专题01 相交线与平行线（9大题型提分练）（山西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题01 相交线与平行线 题型概览 题型01 邻补角与对顶角的计算 题型02 垂线的性质 题型03 同位角、内错角、同旁内角 题型04平行线的判定 题型05 利用平行线的性质求角度 题型06平行线中的三角板问题 题型07平行线的性质与判定 题型08 平移 题型09 平行线的性质与判定的压轴题 邻补角与对顶角的计算题型01 1．（23-24七年级下·山西长治·期末）如图，和是对顶角的是（    ） A． B． C．D． 2．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，直线与直线相交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图所示,直线AB,CD,EF相交于点O,若∠AOC=50°, ∠DOE=110°,则∠BOF= . 4．（24-25七年级上·山西长治·期末）如图，已知直线与相交于点，，是的平分线，和互为余角． (1)求的度数． (2)求的度数． 5．（23-24七年级上·山西晋城·期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OP是∠BOC的角平分线，OE⊥AB，OF⊥CD （1）如果∠BOF=50°， 求∠DOP的度数 （2）OP平分∠EOF吗？请写出理由 垂线的性质题型02 6．（23-24七年级下·山西忻州·期末）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，线段最短，理由是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 7．（23-24七年级下·山西朔州·期末）如图是小明同学在体育课上跳远时留下的脚印，测量跳远成绩是过点A作起跳线的垂线段的长度，其中的数学依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．连接两点，线段的长度 D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8．（23-24七年级下·山西大同·期末）过直线m外的一点Q作m的垂线，下列图中借助直角三角尺操作正确的是（    ） A．B． C．D． 9．（24-25七年级上·山西长治·期末）如图，网格中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． 请在图中按下列要求作图： (1)①作直线，与直线交于点； ②过点作直线的垂线，垂足为； ③作线段的垂直平分线，交直线于点． (2) 线段，，中，最短的线段是_________，理由是______． 同位角、内错角、同旁内角题型03 10．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面四个图形中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·山西阳泉·期末）如图，与是同旁内角，它们是由（    ） A．直线，被直线所截形成的 B．直线，被直线所截形成的 C．直线，被直线所截形成的 D．直线，被直线所截形成的 12．（23-24七年级上·山西长治·期末）风筝是中国古代劳动人民发明于东周春秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”．如图所示的纸骨架中，与构成同位角的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，按各组角的位置，说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 平行线的判定题型04 14．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同位角相等 15．（23-24七年级下·山西长治·期末）下列各图中，能画出的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 16．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图1是小强奶奶编的竹篓，图2是将其局部抽象成的图形，下列条件中一定能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级下·山西朔州·期末）劳动人民具有无穷无尽的智慧．如图，这是艺术灯安装师傅安装灯管时使用的工具，利用这个工具既能保证灯管间的距离相等，又能保证灯管相互平行，灯管相互平行的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 18．（23-24八年级上·山西太原·期末）把一副三角板按如图的方式放在桌面上，能够判定的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 利用平行线的性质求角度题型05 19．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，，，点D，E分别在上，若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，则（    ） A． B． C． D． 21．（23-24七年级下·山西朔州·期末）光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，这是一块玻璃的，两面（玻璃上下两个面）的示意图，且，一束光从玻璃面的C处射向玻璃面的处，但从玻璃面的处射出时发生了折射，使光线从变成了，为光线延长线上一点．已知，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 22．（23-24七年级下·山西忻州·期末）在学习了平行线的性质与判定后，数学活动小组的同学们对小学学过的光线的折射现象做了如下实验：如图，光线从液体中射向空气时会发生折射，光线变成，点G在射线上，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级上·山西阳泉·期末）为增强学生身体素质，感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 平行线中的三角板问题题型06 24．（23-24七年级下·山西长治·期末）将三角板按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 25．（23-24七年级下·山西长治·期末）把一副三角尺按如图所示的方式摆放，使 ．若点 E 恰好落在的延长线上，则的大小为（　　） A． B． C． D． 26．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24七年级下·山西朔州·期末）如图，已知直线，现将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 28．（23-24七年级下·山西运城·期末）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，其中直角顶点在直线上，角的顶点在直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 平行线的判定与性质题型07 29．（23-24七年级上·山西长治·期末）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24七年级下·山西太原·期末）超市的分层小推车能够更有效增加角落的收纳空间，十分便捷．如图是它抽象出来的平面图形，已知，．若，，则∠3的度数为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24七年级上·山西临汾·期末）如右图，已知条件：①；②；③；④；其中能够判定直线的是 ．（只填序号） 32．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，，，则的度数是 ． 33．（23-24七年级下山西·忻州·期末）如图是小颖同学劳动节前夕，在街上拍到的路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，则∠3的度数为 ． 34．（24-25七年级上·山西长治·期末）如图，，求的度数． 35．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图，中，D是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若． (1)求证：． (2)若，平分，求的度数． 36．（23-24七年级下·山西大同·期末）如图，点、、分别是的边、、上的点，连接，，且，． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 平移题型08 37．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，是沿射线方向平移得到的，如果，，则平移的距离为（   ） A．5 B．2 C．3 D．8 38．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，将沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ）    A．42 B．96 C．84 D．48 39．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，将沿方向平移得到．若，，则平移的距离为 ．    40．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，在直角三角形中，，，，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与平行或在上，则这5个小直角三角形周长的和为 ． 41．（22-23七年级下·山西晋城·期末）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中一个直角三角形沿的方向平移，平移的距离为线段的长，则阴影部分的面积为 ．    平行线的性质与判定压轴题题型09 42．（23-24七年级下·山西朔州·期末）综合与实践 问题情境： 如图，和被直线所截，分别交于点E，交于点F，，． 探究发现：（1）由已知条件发现，请说明理由； 拓展探究：（2）在图1中添加条件，解答相关的问题： ①如图2，勤奋小组添加的条件是：作直线与交于点M，与交于点N，且，求的度数； ②如图3，创意小组添加的条件是：的平分线交于点G，求的度数． 42．（23-24七年级上·山西长治·期末）综合与探究： 已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，与的平分线交于点，猜想与之间有何数量关系？并说明理由． (3)如图3，与的平分线交于点，猜想与之间有何数量关系？并说明理由． 43．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 44．（24-25七年级上·山西长治·期末）综合与实践 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题供其他同学研究． 实践操作，提出问题： (1)梦想小组的同学们将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为________． (2)善思小组的同学们将一个三角板放在一组直线与之间，如图2，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，猜想与的位置关系，并说明理由； (3)勤学小组的同学们将三角板按图3方式摆放，使顶点在直线上，直角顶点在直线上，若，请直接写出与之间的数量关系_________． 45．（24-25七年级上·山西临汾·期末）综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 46．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下列命题属于真命题的是（    ） A．同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，四种沿折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线互相平行的是（   ） A．如图1，展开后测得 B．如图2，展开后测得且 C．如图3，测得 D．如图4，展开后测得 3．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）数学课堂上，老师出示了如下问题：如图，已知直线外有两点． 画图操作： 第一步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 第二步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 观察发现：． 上述过程中的“画图操作”和“观察发现”可得到的数学知识分别是（    ） 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·山西晋中·期末）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 5．（24-25七年级上·山西长治·期末）一种路灯的示意图如图所示，灯杆与底部支架所成的．顶部支架与灯杆所成的，若底部支架与吊线平行，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·山西运城·期末）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·山西大同·期末）近年来，新中式风格的装修越来越受到年轻人的喜爱，它不仅具有传统中式装修的古典、雅韵，也自然流露出现代元素的气息，下图是某款式角花的局部示意图，若，则的依据是 ． 8．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，在铁路线上选一点来建火车站，最终选择建在点，这样选择的依据是 ． 9．（23-24七年级上·山西晋城·期末）如图，点在射线上，要使，只需添加条件： （写一个即可）． 10．（24-25七年级上·山西临汾·期末）为响应“绿色环保，节能减排”的号召，人们纷纷将购买节能灯作为践行环保理念的重要方式．如图，这是一盏可调节的节能台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线组成．现调节台灯，使外侧光线．若，则的度数为    11．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，已知：B，C，E三点在同一直线上，A，F，E三点在同一直线上，，．求证： (1)； (2)． 12．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，已知，平分，． (1)求证：； (2)若，，试求的度数． 13．（23-24七年级上·山西临汾·期末）如图：已知，，于点D，于点F，    求证： (1)； (2)． 14．（23-24七年级下·山西临汾·期末）已知直线和被直线所截． (1)如图①，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (2)如图②，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (3)如图③，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ 15．（23-24七年级上·山西临汾·期末）阅读理解    (1)如图①，，点分别在直线上，连接，当点在直线的左侧时，试说明． 下面给出了这道题的解题过程，请你阅读理解解题过程并填出所缺的步骤． 证明：如图①， ， ∴________ (2)拓展：将图①中的点移动到直线的右侧，其他条件不变，如图②．试探究之间的关系，并说明理由； (3)应用：如图③，，点分别在直线上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接．若，则_____________度． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线 题型概览 题型01 邻补角与对顶角的计算 题型02 垂线的性质 题型03 同位角、内错角、同旁内角 题型04平行线的判定 题型05 利用平行线的性质求角度 题型06平行线中的三角板问题 题型07平行线的性质与判定 题型08 平移 题型09 平行线的性质与判定的压轴题 邻补角与对顶角的计算题型01 1．（23-24七年级下·山西长治·期末）如图，和是对顶角的是（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角是对顶角，据此求解即可． 【详解】解：由对顶角的定义可知，只有A选项中的和是对顶角， 故选：A． 2．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，直线与直线相交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的性质，对顶角的性质，由邻补角的性质可得，进而由可得，再根据对顶角的性质即可求解，掌握邻补角和对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图所示,直线AB,CD,EF相交于点O,若∠AOC=50°, ∠DOE=110°,则∠BOF= . 【答案】20° 【分析】根据邻补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解． 【详解】∵∠AOC=50°， ∴∠COB=180°-∠AOC=180°-50°=130°， ∵∠DOE=∠COF=110° ∴∠BOF=∠COB-∠COF=130°-110°=20°, 故答案为20°． 【点睛】本题考查了对顶角的性质、邻补角的性质，解题的关键是熟练运用各性质定理，推出相关角的度数． 4．（24-25七年级上·山西长治·期末）如图，已知直线与相交于点，，是的平分线，和互为余角． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，对顶角，掌握相关概念是解题关键． （1）由余角可得，再结合平角的定义求解即可； （2）由角平分线的定义和对顶角相等可得，由余角的定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：和互为余角， ， 点，，在同一条直线上， ， ； （2）解：是的平分线，， 直线与相交于点， ， 由（1）得，， ． 5．（23-24七年级上·山西晋城·期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OP是∠BOC的角平分线，OE⊥AB，OF⊥CD （1）如果∠BOF=50°， 求∠DOP的度数 （2）OP平分∠EOF吗？请写出理由 【答案】（1）160°；（2）平分，见解析 【分析】（1）先根据垂直的定义求出∠COF，然后根据互余求出∠BOC，再根据角平分线的定义求出∠BOP的度数即可得到答案； （2）利用互余可以得出∠COE=∠BOF，再根据角平分线的性质，得出结论． 【详解】解：（1）∵OF⊥CD． ∴∠COF=90°， ∴∠BOC=90°-∠BOF=90°-50°=40°， ∵OP平分∠BOC， ∴∠BOP=∠BOC=20°， ∴∠DOP=90°+50°+20°=160°． （2）OP平分∠EOF，理由： ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴∠COE+∠BOC=∠BOF+∠BOC=90°， ∴∠COE=∠BOF， ∵OP是∠BOC的平分线， ∴∠BOP=∠COP， ∴∠BOF+∠BOP=∠COE+∠COP， 即：∠FOP=∠EOP， ∴OP平分∠EOF． 【点睛】本题主要考查垂直的定义、角平分线的意义、对顶角的性质等知识，根据图形正确判断出两个角之间的关系是正确解答的关键． 垂线的性质题型02 6．（23-24七年级下·山西忻州·期末）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，线段最短，理由是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：， 要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，线段最短，理由是垂线段最短． 故选：D． 7．（23-24七年级下·山西朔州·期末）如图是小明同学在体育课上跳远时留下的脚印，测量跳远成绩是过点A作起跳线的垂线段的长度，其中的数学依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．连接两点，线段的长度 D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，进行判断即可． 【详解】解：测量跳远成绩是过点A作起跳线的垂线段的长度，其中的数学依据是垂线段最短； 故选B． 8．（23-24七年级下·山西大同·期末）过直线m外的一点Q作m的垂线，下列图中借助直角三角尺操作正确的是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查尺规作垂直，根据垂线的性质，直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：过直线为一点向直线作垂线，则过点的垂线垂直于直线，交点处所成角度为， ∴运用直角尺操作正确的是D选项， 故选：D． 9．（24-25七年级上·山西长治·期末）如图，网格中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． 请在图中按下列要求作图： (1)①作直线，与直线交于点； ②过点作直线的垂线，垂足为； ③作线段的垂直平分线，交直线于点． (2)线段，，中，最短的线段是_________，理由是______． 【答案】(1)见解析 (2)，垂线段最短 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线以及垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）按照题目要求结合网格特点即可作图． （2）结合垂线段最短性质，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）线段，，中，最短的线段是，理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 同位角、内错角、同旁内角题型03 10．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面四个图形中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同位角的定义和图形逐个判断即可． 【详解】A、不是同位角，故本选项错误； B、不是同位角，故本选项错误； C、不是同位角，故本选项错误； D、是同位角，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角的应用，注意：两条直线被第三条直线所截，如果有两个角在第三条直线的同旁，并且在两条直线的同侧，那么这两个角叫同位角． 11．（23-24七年级下·山西阳泉·期末）如图，与是同旁内角，它们是由（    ） A．直线，被直线所截形成的 B．直线，被直线所截形成的 C．直线，被直线所截形成的 D．直线，被直线所截形成的 【答案】A 【分析】根据两直线被第三条直线所截，根据角位于两直线的中间，截线的同一侧是同旁内角，可得同旁内角． 【详解】解：与是同旁内角，它们是由直线，被直线所截形成的 故选A． 【点睛】本题考查了同旁内角的含义，熟练掌握含义是解题的关键． 12．（23-24七年级上·山西长治·期末）风筝是中国古代劳动人民发明于东周春秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”．如图所示的纸骨架中，与构成同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是同位角的定义，关键是知道哪两条直线被第三条直线所截．根据同位角的定义解答即可 【详解】解：如图可知，和是同位角， 故选：． 13．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，按各组角的位置，说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，对顶角，同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角,据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意； B、与是内错角，原说法正确，符合题意； C、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意； D、与是内错角，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 平行线的判定题型04 14．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据平行线的判定进行解答即可． 【详解】解：由题意知，木工用图中的角尺画平行线的依据是：同位角相等，两直线平行， 故选：A． 15．（23-24七年级下·山西长治·期末）下列各图中，能画出的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项判断即可得出答案，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：根据同位角相等，两直线平行，可得①正确； 根据垂直于同一直线的两条直线平行，可得②③正确； 根据内错角相等，两直线平行，可得④正确； 综上所述，能画出的是①②③④， 故选：D． 16．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图1是小强奶奶编的竹篓，图2是将其局部抽象成的图形，下列条件中一定能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判断直线，不符合题意； B、，内错角相等，两直线平行，能判断直线，符合题意； C、，不能判断直线，不符合题意； D、，不能判断直线，不符合题意； 故选B． 17．（23-24七年级下·山西朔州·期末）劳动人民具有无穷无尽的智慧．如图，这是艺术灯安装师傅安装灯管时使用的工具，利用这个工具既能保证灯管间的距离相等，又能保证灯管相互平行，灯管相互平行的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结果． 【详解】解：∵工具的两个同旁内角均为， ∴两个角的和为180度， ∴两直线平行； 故选C． 18．（23-24八年级上·山西太原·期末）把一副三角板按如图的方式放在桌面上，能够判定的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定．根据内错角相等，两直线平行，作答即可． 【详解】解：由图可知：， ∴（内错角相等，两直线平行）； 故选：B． 利用平行线的性质求角度题型05 19．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，，，点D，E分别在上，若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据两直线平行，同位角相等得到，再根据两直线平行，同旁内角互补可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 20．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，得到，进而得到，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 21．（23-24七年级下·山西朔州·期末）光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，这是一块玻璃的，两面（玻璃上下两个面）的示意图，且，一束光从玻璃面的C处射向玻璃面的处，但从玻璃面的处射出时发生了折射，使光线从变成了，为光线延长线上一点．已知，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，根据平行线的性质求出，再根据平角的定义即可得出结果．解题的关键是能灵活运用平行线的性质解题． 【详解】解：如图，，     ， ， 故选：A． 22．（23-24七年级下·山西忻州·期末）在学习了平行线的性质与判定后，数学活动小组的同学们对小学学过的光线的折射现象做了如下实验：如图，光线从液体中射向空气时会发生折射，光线变成，点G在射线上，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 23．（23-24八年级上·山西阳泉·期末）为增强学生身体素质，感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质的应用；过点E作，则；利用两线平行，同旁内角互补可分别求得的度数，从而可求解． 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ∴； ∴， ∴， ∴； 故选：D． 平行线中的三角板问题题型06 24．（23-24七年级下·山西长治·期末）将三角板按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质．正确理解题意是解题关键．由角的和差即可求出，再利用平行线的性质可求出即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 25．（23-24七年级下·山西长治·期末）把一副三角尺按如图所示的方式摆放，使 ．若点 E 恰好落在的延长线上，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用，能运用平行线性质进行推理和计算是解题的关键．依据平行线的性质，先求的度数，再根据，即可得到的度数． 【详解】解：， ， 又， ， 故选：． 26．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线性质，平角的定义，利用三角板的特点求出结果是解答本题的关键．根据两直线平行，同位角相等可得，再结合三角板的特征利用平角定义即可算出的度数，即可得到答案． 【详解】解：如下图进行标注，   ， ， ∵， ， ∴； 故选：C． 27．（23-24七年级下·山西朔州·期末）如图，已知直线，现将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据已知条件得出 ，根据两直线平行，内错角相等即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴． 28．（23-24七年级下·山西运城·期末）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，其中直角顶点在直线上，角的顶点在直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，由平行线的性质得出，再结合，即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 平行线的判定与性质题型07 29．（23-24七年级上·山西长治·期末）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．过P作直线，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得，进而可求出，从而求出． 【详解】解：过P作直线，如下图所示， ∵，， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 30．（23-24七年级下·山西太原·期末）超市的分层小推车能够更有效增加角落的收纳空间，十分便捷．如图是它抽象出来的平面图形，已知，．若，，则∠3的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，作，则，根据平行线的性质推出，再由垂直的定义和平行线的性质得到，则． 【详解】解：如图所示，过点E和F分别作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 31．（23-24七年级上·山西临汾·期末）如右图，已知条件：①；②；③；④；其中能够判定直线的是 ．（只填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行线的判定和平行线有关的辅助线，根据各选项逐项判定即可． 【详解】解：若，根据内错角相等两直线平行可得，故①符合题意； 若，根据同旁内角互补两直线平行可得，故②符合题意； 若， ∵ ∴，根据同位角相等两直线平行可得，故③符合题意； 若， 过点C作直线b， 则， 由已知，， ∴， ∴直线a， ∴， 故④符合题意； 32．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，，，则的度数是 ． 【答案】/200度 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定等知识点，掌握平行于同一直线的两直线平行成为解题的关键． 如图：过C作，则，然后根据平行线的性质以及角的和差即可解答． 【详解】解：如图：过C作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 33．（23-24七年级下山西·忻州·期末）如图是小颖同学劳动节前夕，在街上拍到的路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，则∠3的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．过顶点O作直线，直线l将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过顶点O作直线，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 34．（24-25七年级上·山西长治·期末）如图，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据已知可得，即可得出，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 35．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图，中，D是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若． (1)求证：． (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系． （1）根据，得出，又因为，等量代换得，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明； （2）根据，得出，再根据平分，得出，再根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 36．（23-24七年级下·山西大同·期末）如图，点、、分别是的边、、上的点，连接，，且，． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． （1）由两直线平行，同旁内角互补，得到，进而得出，即可证明结论； （2）由平行线的性质，得到，结合角平分线的定义，得出，即可得出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 平移题型08 37．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，是沿射线方向平移得到的，如果，，则平移的距离为（   ） A．5 B．2 C．3 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形平移的问题，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质得到，可得答案． 【详解】解：∵是沿射线方向平移得到的，，， ∴， ∴平移的距离为3． 故选：C． 38．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，将沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ）    A．42 B．96 C．84 D．48 【答案】D 【分析】根据平移的性质得出，，则，则阴影部分面积，根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：由平移的性质知，，，， ， ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形的面积相等是解题的关键． 39．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，将沿方向平移得到．若，，则平移的距离为 ．    【答案】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质可得，继而得出，从而得解．掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：平移的性质可得：， 又∵，， ∴， 即平移的距离为， 故答案为：． 40．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，在直角三角形中，，，，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与平行或在上，则这5个小直角三角形周长的和为 ． 【答案】240 【分析】本题考查平移，根据平移的性质，得到5个小直角三角形周长的和等于大直角三角形的周长，进行求解即可． 【详解】解：由图和平移的性质可知：5个小直角三角形周长的和等于大直角三角形的周长，即为：； 故答案为：240． 41．（22-23七年级下·山西晋城·期末）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中一个直角三角形沿的方向平移，平移的距离为线段的长，则阴影部分的面积为 ．    【答案】12 【分析】如图，与交于点D，根据平移的性质可得，，求出，根据列式计算即可． 【详解】解：如图，与交于点D，    由平移可得，， ∴， ∴ ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了平移的性质，平移只改变图形的位置不改变图形的形状和大小，熟记性质并判断出阴影部分面积等于梯形的面积是解题的关键． 平行线的性质与判定压轴题题型09 42．（23-24七年级下·山西朔州·期末）综合与实践 问题情境： 如图，和被直线所截，分别交于点E，交于点F，，． 探究发现：（1）由已知条件发现，请说明理由； 拓展探究：（2）在图1中添加条件，解答相关的问题： ①如图2，勤奋小组添加的条件是：作直线与交于点M，与交于点N，且，求的度数； ②如图3，创意小组添加的条件是：的平分线交于点G，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据同位角，两直线平行，作答即可； （2）①根据对顶角相等，结合平行线的性质，进行求解即可；②邻补角结合角平分线，求出的度数，再根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）理由如下： ∵，， ∴ ∴． （2）解：①∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ②∵，， ∴． ∵的平分线交CD于点G， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 42．（23-24七年级上·山西长治·期末）综合与探究： 已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，与的平分线交于点，猜想与之间有何数量关系？并说明理由． (3)如图3，与的平分线交于点，猜想与之间有何数量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查平行线的性质和角的和差运算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，根据平行公理的推论、平行线的性质可得，，从而得到，代入数据计算即可； （2）由（1）中的结论得，，根据角平分线的定义得，，可得结论； （3）由（1）中的结论和邻补角的定义得与的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ，， ， 的度数为； （2）解：， 理由：由（1）可知：，， ，分别平分，， ，， ， ； （3）解：， 理由：由（1）可知：，， ，分别平分，， ，， ， ， ． 43．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 【答案】任务一：A，B，C；任务二：见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判定即可 【详解】解：任务一：如图， ∵ ∴ 又 ∴ ∵, ∴， 故选项A正确； ∵ ∴， 故选项B正确； ∵ ∴， 故选项C正确； D.平行于同一条直线的两条直线互相平行，说法错误； E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行说法错误； 所以，能作为判定上述材料中的依据的有A，B，C； 故答案为：A，B，C； 任务二：∵ ∴ 由折叠得， ∴ 又 ∴ 由折叠得， ∴， ∴， ∴． 44．（24-25七年级上·山西长治·期末）综合与实践 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题供其他同学研究． 实践操作，提出问题： (1)梦想小组的同学们将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为________． (2)善思小组的同学们将一个三角板放在一组直线与之间，如图2，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，猜想与的位置关系，并说明理由； (3)勤学小组的同学们将三角板按图3方式摆放，使顶点在直线上，直角顶点在直线上，若，请直接写出与之间的数量关系_________． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：． （2）； 理由如下： ，， ， ，， ， ， ； （3）． 理由如下： ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 45．（24-25七年级上·山西临汾·期末）综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键． （1）过O作，利用平行公理得到，利用平行线的性质得到，，两式相加可得结论； （2）设，利用邻补角定义可得；利用平行线的性质可推导出，进而可得结论； （3）过点F作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】解：（1）如图所示，过O作， ， ， ∴，， ∴， 即； （2）与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）设， 过点F作， ， ， ∴，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 46．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用： （1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）①过P作，根据，可得，，进而得到； ②过K作，根据，可得，，进而得到，由①，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ， ， ，， ， 过P作， 同理可得，， 与的角平分线相交于点K， ， ； （3）解：①如图3，过P作， ， ， ，， ， 故答案为：； ②如图3，过K作， ， ， ，， ， 由①知，， 与的角平分线相交于点K， ， ． 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下列命题属于真命题的是（    ） A．同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了同位角的定义，对顶角的定义，平行线的判定，平行公理的推论等知识，真命题与假命题的判断等知识，分别根据同位角的定义，对顶角的定义，平行线的判定，平行公理的推论等知识逐项判断即可求解，熟知相关概念是解题关键． 【详解】解：A. 同位角相等是假命题，故原选项不合题意； B. 相等的角是对顶角是假命题，故原选项不合题意； C. 垂直于同一条直线的两条直线平行是假命题，故原选项不合题意； D. 平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，故原选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，四种沿折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线互相平行的是（   ） A．如图1，展开后测得 B．如图2，展开后测得且 C．如图3，测得 D．如图4，展开后测得 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 故该选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴， 故该选项不符合题意； C、∵， ∴不能得到， 故该选项符合题意； D、∵， ∴， 故该选项不符合题意； 故选： C． 3．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）数学课堂上，老师出示了如下问题：如图，已知直线外有两点． 画图操作： 第一步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 第二步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 观察发现：． 上述过程中的“画图操作”和“观察发现”可得到的数学知识分别是（    ） 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理及其推论，根据平行公理及其推论即可求解，掌握平行公理及其推论是解题的关键． 【详解】解：由“画图操作”可得到的数学知识是经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； 由“观察发现”可得到的数学知识是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ∴可得到的数学知识分别是， 故选：． 4．（23-24八年级上·山西晋中·期末）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行， 故选：A． 5．（24-25七年级上·山西长治·期末）一种路灯的示意图如图所示，灯杆与底部支架所成的．顶部支架与灯杆所成的，若底部支架与吊线平行，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过E作，根据平行线的传递性可得，然后根据平行线的性质依次求出，，即可． 【详解】解：过E作， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 6．（23-24七年级下·山西运城·期末）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，根据平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， 故选：D． 7．（23-24七年级下·山西大同·期末）近年来，新中式风格的装修越来越受到年轻人的喜爱，它不仅具有传统中式装修的古典、雅韵，也自然流露出现代元素的气息，下图是某款式角花的局部示意图，若，则的依据是 ． 【答案】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的性质，解决本题的关键是熟练掌握对顶角的性质．根据对顶角的性质回答即可． 【详解】由，则的依据是对顶角相等， 故答案为：对顶角相等 8．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，在铁路线上选一点来建火车站，最终选择建在点，这样选择的依据是 ． 【答案】直线外一点到这条直线所作的垂线段最短 【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，依据是垂线段最短. 【详解】根据直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，最终选择建在点． 故答案为：直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 【点睛】本题考查了垂线段的性质，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短. 故答案为：①②③④ 9．（23-24七年级上·山西晋城·期末）如图，点在射线上，要使，只需添加条件： （写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据同位角相等两直线平行，添加，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 10．（24-25七年级上·山西临汾·期末）为响应“绿色环保，节能减排”的号召，人们纷纷将购买节能灯作为践行环保理念的重要方式．如图，这是一盏可调节的节能台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线组成．现调节台灯，使外侧光线．若，则的度数为    【答案】/45度 【分析】本题考查平行线的性质、平行公理的应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．过B作，过A作，根据平行线的性质推导出，即可求解． 【详解】解：如图，过B作，过A作，    ∴， ∴， ， ∵固定支撑杆垂直底座于点， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，已知：B，C，E三点在同一直线上，A，F，E三点在同一直线上，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质和判定． （1）根据，证明，再根据平行线的性质，即可解题； （2）根据平行线的性质和等量关系可得，再根据平行线的判定可得． 【详解】（1）证明： ， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）； （2）证明：由（1）得， （已知）， ， ， ， 即， ， （同位角相等，两直线平行）． 12．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，已知，平分，． (1)求证：； (2)若，，试求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的判定与性质； （1）先证明，可得，可得，证明，可得结论； （2）证明，可得，证明，，结合，进一步可得结论； 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ． 13．（23-24七年级上·山西临汾·期末）如图：已知，，于点D，于点F，    求证： (1)； (2)． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，灵活使用平行线的判定与性质是解题的关键． （1）求得，从而得证； （2）利用推导，证明推导，从而得证． 【详解】（1）解：证明：∵，， ∴． ∴； （2）标记如图所示：    ∵． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， ∴． 14．（23-24七年级下·山西临汾·期末）已知直线和被直线所截． (1)如图①，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (2)如图②，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (3)如图③，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． （1）根据角平分线定义得出，，时，求出，根据平行线的判定推出即可． （2）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． （3）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：当时，．理由如下： 平分，平分 ． ， ， ． （2）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． （3）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． 15．（23-24七年级上·山西临汾·期末）阅读理解    (1)如图①，，点分别在直线上，连接，当点在直线的左侧时，试说明． 下面给出了这道题的解题过程，请你阅读理解解题过程并填出所缺的步骤． 证明：如图①， ， ∴________ (2)拓展：将图①中的点移动到直线的右侧，其他条件不变，如图②．试探究之间的关系，并说明理由； (3)应用：如图③，，点分别在直线上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接．若，则_____________度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，又由即可得到结论； （2）根据平行线的性质得到，，根据即可得到结论； （3）分两种情况：点Q在直线的左侧或点Q在直线的右侧时，分别运用（1）和（2）得到的结论就可解决问题． 本题主要考查平行线的性质，熟练运用平行线的性质进行推理及运用分类讨论的思想是解决问题的关键． 【详解】（1）证明：如图①，    ， ∴， ， 故答案为： （2） ， ， ∴， ， ∴； （3）①当点Q在直线的左侧时，则有． ∵， ∴； ②当点Q在直线的右侧时，则有．    ∵， ∴． 综上所述：若，则或． 故答案为：或． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$