2025年九年级中考数学考终极冲刺攻略—特殊平行四边形中折叠问题

2025年九年级中考数学考终极冲刺攻略 特殊平行四边形中折叠问题 1．把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和重合，折痕为，连接，求证：四边形是菱形． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形．在上取一点，沿折叠，点恰好落在上的点处． (1)点的坐标为______． (2)求点的坐标； (3)若点是平面内一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．【探究证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，展平纸片，连接． 请完成：（1）观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系； （2）证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，展平纸片，连接． 请完成： （3）是的一条________等分线． 4．已知，如图所示，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，如果，求 (1)的长； (2)的长． 5．如图1，四边形是矩形，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度匀速运动，当点运动到点时，点停止运动，设运动时间为秒． (1)尺规作图：沿过点的直线将矩形折叠，使得点与点重合，在图1中作出该折痕； (2)在（1）的条件下，该折痕分别与，相交于点，点，连接，，求四边形的周长； (3)过点作的垂线，是否存在某一时间，使得该直线被矩形的边所截得的线段长为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 6．如图，将矩形（）沿折叠后，点落在点处，且交于点，若，．    (1)求的长； (2)求和的面积； (3)求中点到边上的距离． 7．【操作思考】如图1，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形的内部，点A的对应点为点G，折痕为，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使与重合，折痕为． （1）求的度数． 【探究应用】将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结，作的中垂线分别交，于点P，H，连结，． （2）求证：． （3）求证：平分． 8．综合与实践 在数学活动课上，数学老师带领同学们以“正方形的折叠”为主题展开综合与实践活动．    【动手操作】 如图1，在正方形中，点E在边上，连接，将正方形沿折叠得到四边形，点A、D的对应点分别为点G，H．延长，相交于点M，与相交于点N． 【问题发现】 （1）求证：． 【实践探究】 （2）如图2，若点N为的中点，连接，，求的度数． 【拓展思考】 （3）如图3，在（2）的条件下、延长交于点F，求的值． 9．在长方形纸片中，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在点处． ​​ (1)如图1，若点落在对角线上，且，求的度数． (2)如图2，若点落在边上，且，，求的长． (3)如图3，若点是的中点，的延长线交于点，且，，求的长． 10．如图1，有一张矩形纸片（），将纸片折叠，使点与点重合，再展开，折痕交边于点，交边于点，分别连接、和（如图2）．    (1)求证：①；②四边形是菱形； (2)当，时，求折痕的长； (3)若，求的值（用含的代数式表示）． 11．在矩形纸片中，，．将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A的对应点为． (1)求证：； (2)连接，求证：四边形是菱形； (3)求折痕的长． 12．【问题初探】 （1）如图1，正方形中，，点，点在边上，连接，，将沿着直线折叠，将沿着直线折叠，点，点的对称点恰好都为点，过点作垂直于，交于点，交于点，请直接写出线段的长度； 【类比分析】 （2）如图2，矩形中，，，点，点在边上，连接，，将沿着直线折叠，将沿着直线折叠，点，点的对称点恰好都为点，过点作垂直于，交于点，交于点，求线段的长度； 【学以致用】 （3）如图3，四边形中，，点为四边形内部一点，连接，，，，，，．求证：． 13．已知：如图1，在矩形中，，，为对角线的中点，点为上一动点，连接并延长，交于点，连接，将沿折叠，点的对应点为点． (1)求证：； (2)当点在直线与直线BC之间时，如图2，延长，交的延长线于点，连接． ①求证：； ②设的长为，的长度为，请用含的代数式表示． (3)如图3，若交于点，若与相似，请直接写出的长． 14．在矩形中，． 沿过点的直线折叠矩形，使点落在边上点处，折痕为． 【尝试】 （1）如图1，与始终保持相似关系，请说明理由． 【探究】 （2）随着折痕位置的变化，点的位置随之发生变化，当时，是否存在点，使？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【延伸】 （3）如图2，折叠，使边落在上处，折痕为． 若，求的值． 15．如图，在矩形中，，对角线相交于点O，点P为边上一动点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，连接交对角线于点E，作线段的中垂线分别交线段于点N，G，F，M，当时，求； (3)如图3，连接，若以为折痕，将折叠，点A的对应点为点E，线段与相交于点F，当为直角三角形，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考数学考终极冲刺攻略—特殊平行四边形中折叠问题》参考答案 1．见解析 【分析】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、折叠的性质．由折叠得到垂直平分，得到，，再证明，继而证得，则可得四边形是菱形． 【详解】证明：由折叠可知：垂直并平分，与交于点O， 则，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四为形为菱形． 2．(1) (2) (3)存在，或或． 【分析】（1）利用坐标与图形的性质，可得结论； （2）设，则，利用勾股定理构建方程求出，可得结论； （3）画出图形，分三种情形分别求解即可． 【详解】（1）矩形． ， ， 故答案为：； （2）由翻折变换的性质可知，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）存在，理由如下， 如图， 当四边形是平行四边形时， ， ， 当四边形是平行四边形时， ， ， 当四边形是平行四边形时， 此时与关于点A对称， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，图形结合分析，特殊四边形的性质． 3．（1）；（2）见解析；（3）三 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）由折叠的性质可知，，然后可得，则有是等边三角形，进而问题可求证； （3）连接，根据等腰三角形性质证明，根据平行线的性质证明，证明，得出，即可证明． 【详解】（1）解：由题意可知； （2）证明：由折叠的性质可得：，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （3）证明：连接，如图所示： 由折叠的性质可知：，，， ∵折痕，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的一条三等分线． 故答案为：三． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明是解题的关键． 4．(1) (2) 【分析】（1）由矩形的性质得，，由折叠得，而，所以，则； （2）由，，得，且，所以，求得． 此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键． 【详解】（1）解： 四边形是矩形，，， ，， 由折叠得， ， ， 的长为． （2）解：，， ， 由折叠可知：， ， ， 的长为． 5．(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，作出的垂直平分线，即可求解； （2）先证明，得出得出四边形是平行四边形，根据垂直平分，即可证明四边形是菱形，进而在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质求得周长，即可求解； （3）分情况讨论，根据相似三角形的性质求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵沿过点的直线将矩形折叠，使得点与点重合， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形， ∵四边形是矩形， ∴， 设， ∵，， ∴， 在中， ∴ 解得：，即 ∴四边形的周长为 （3）解：如图所示，当在上 ∵， ∴， 又∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴，， 依题意，， ∴，， ∴， 如图所示，当在上， 同理可得，则， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，作垂线，垂直平分线的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．(1)； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握折叠的性质，运用三角形面积公式计算是解题的关键． （1）根据题意得出，在直角中，根据勾股定理就可以求出的长； （2）由折叠的性质得，，，，由，即可得出结果； （3）由勾股定理得出的长，设到边上的距离为，则，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，由折叠性质得：， ∴， ∴， 设，则． 在中，由勾股定理得：，即：， 解得：， ∴； （2）解：由折叠的性质得：，，，， ∴， ； （3）解：， 设到边上的距离为， 则，即：， 解得：， ∴到边上的距离为． 7．（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）由正方形的性质得，再由折叠的性质得：，，即可求解； （2）由线段垂直平分线性质可得，再由等腰三角形性质可得，推出，即是等腰直角三角形，得出，利用勾股定理可得，即可证得结论； （3）过点P作的平行线分别交、于点M、N，可证得，得，再证明是等腰直角三角形即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠得：，， ∴ ， 故的度数为．   （2）证明：如图，由（1）知， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴．     （3）解：如图3，过点P作的平行线分别交、于点M、N，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在正方形中，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定和性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键． 8．（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由折叠的性质可得，再根据正方形的性质得到，推出，得到，即可得出结论； （2）根据正方形的性质结合折叠的性质可得，推出，进而推出，得到，再根据点N为的中点，得到，推出，得到，最后根据三角形内角和定理即可求出； （3）连接，设交于点P，证明，推出，再证明，得到，由（2）求出，推出，结合，证明四边形是平行四边形，得到，由（2）求出，由折叠的性质得到，设，结合折叠的性质求出，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，设交于点P，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∵， ∴是平行四边形， ∴， 由（2）知， ∴， 由折叠的性质得到， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在中，，即， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质及折叠的性质是解题的关键． 9．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得，根据折叠的性质的； （2）根据矩形的性质得，，，由折叠的性质得：，，根据勾股定理得，则，设，则，根据勾股定理可得，解得，即的长为； （3）连接，由题意可得，由折叠的性质得：，，，则，通过证明，则，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，即的长为． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， 沿所在的直线折叠，使点落在点处， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质得：，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的长为； （3）解：连接，如图所示： 点是的中点， ， 由折叠的性质得：，，， ， 在和中， ， ， ， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 10．(1)①见解析；②见解析 (2) (3) 【分析】（1）①根据折叠性质和矩形的性质得到，，然后根据全等三角形的判定可得结论；②证明和四边形是平行四边形，进而利用菱形的判定定理可得结论； （2）根据折叠性质和矩形性质，结合勾股定理求得，，进而根据菱形的性质和勾股定理求得即可求解； （3）可设，则，根据折叠性质和矩形性质，结合勾股定理求得，，进而可求解． 【详解】（1）证明：①根据折叠的性质得，，垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， 在和中， ， ∴； ②由①得，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 根据折叠的性质得，，， 在中，， ∴， 在中，，， ∴ ∴ ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∴； （3）解：根据已知知，， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴，，， 根据折叠的性质得，，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查折叠性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 11．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形得出，证明，根据折叠得出，求出，根据等腰三角形的判定得出结论即可； （2）根据折叠得出，，，根据矩形的性质得出，，证明，得出，证明，即可证明四边形为菱形； （3）过G作于E，证明四边形是矩形，得出，，设，则，根据勾股定理得出，求出，求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点处，是折痕， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，如图， ∵将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点处，是折痕， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：过G作于E，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 即，， ∴， 在中，由勾股定理，得： ， 即折痕的长为． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 12．（1）；（2）；（3）见解析 【分析】（1）由折叠的性质得出，，，证出，由勾股定理求出，则可得出答案； （2）证明，得出，求出的长，由等腰三角形的性质可得出答案； （3）延长至，使，延长至点，使，证明，得出，，同理可得 ，得出，，证出四边形为平行四边形，则可得出结论． 【详解】（1）解：将沿着直线折叠，将沿着直线折叠， ，，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ∴ ， ，， ，， 四边形是矩形， ， ； （2）解：同（1）可知，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 由折叠得 ∵ ∴ 同理可得， ， ， ， ， ， ； （3）证明：延长至，使，延长至点，使， ， ， ， ， ， ， ，， 同理可得 ， ，， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，折叠变换的性质等，熟练掌握以上知识是解本题的关键． 13．(1)见解析 (2)①见解析；② (3)或 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，相似三角形，全等三角形，等腰三角形，勾股定理等知识； （1）根据题意证出，结合全等三角形的性质得到，得到，即可求出； （2）①根据已知得到，通过折叠得出得到，求出，得到等腰三角形，再根据得，即可求出；②过点作于点，证出，得到，由（1）得：，，在中，，再证出，得到，即可求出； （3）分情况讨论，当时，得到，当时，证出，得到，，即可求出． 【详解】（1）解：在矩形中，， 为的中点 即 （2）解：①在矩形中， 折叠 由（1）得： ②过点作于点 ， ， 由（1）得：， 在中， 又，      （3）当时， ， 当时， ， 又 ， 综上或 14．（1）与始终保持相似关系，理由见详解 （2）存在点，使，此时的长为 （3） 【分析】本题主要考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，理解图示，矩形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质，折叠的性质可得，由相似三角形的判定即可求解； （2）根据矩形的性质可得，，由（1）可得，则，得到，根据题意求出，，由折叠的性质可得，在中由勾股定理可得，则，再根据即可求解； （3）根据题意可得，由矩形的性质，折叠的性质，可得，可证，得到，设，则，，在中由勾股定理可得，解得，可得，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴，且， ∴与始终保持相似关系； （2）存在，此时，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴，， 由（1）可得，与始终保持相似关系，即， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴存在点，使得，此时； （3）∵，若， ∴， ∵四边形是矩形，折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 15．(1) (2) (3)或1 【分析】（1）由勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义求出DE和PE的长，求出，进一步求得，利用勾股定理即可得解； （2）利用勾股定理求出，证明，推出，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题； （3）分两种情况讨论，当时，过点O作于H，由平行线分线段成比例可得，由折叠的性质可得，可求，可得；当时，由勾股定理和矩形的性质可得，通过证明，可得，可求的长，通过证明，可得，可求． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3.1，当时，过点O作于H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将折叠，点A的对应点为点E，线段与相交于点F， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3.2， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将折叠，点A的对应点为点E，线段与相交于点F， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或1 【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，利用分类讨论思想解决问题是解答本题的关键 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$