题型十三 几何探究题课件2025年 中考数学复习 （河南专版）

题型十三 几何探究题 1 类型1 新定义类几何探究题 1.阅读理解:如图（1）,在四边形 的边上任取一点 （点不与点， 重合）,分别连接 ,,可以把四边形 分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似, 我们就把叫做四边形的边 上的相似点;如果这三个三角形都相似, 我们就把叫做四边形的边 上的强相似点. 2025河南中考专题 2 解决问题: （1）如图（1）, ,试判断点 是否是四边形的边 上的相似 点,并说明理由; 【答案】点是四边形的边 上的相似点. 理由: , . 2025河南中考专题 3 , , . 又 , , 点是四边形的边 上的相 似点. 2025河南中考专题 （2）如图（2）,在矩形 中, ,,且,,, 四点均在 正方形网格（网格中每个小正方形的 边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上,试在图（2）中画出矩形 的边上的一个强相似点 ,并连接, ; 【答案】作图如下（说明:只需画对其中一种图形即可）: 2025河南中考专题 5 拓展应用: （3）如图（3）,将矩形沿折叠,使点落在边上的点处.若点 恰好是四边形的边上的一个强相似点,试探究和 的数量关系. 【答案】 点是四边形 的边 上的一个强相似点, , . 由折叠可知 , 2025河南中考专题 6 , , , . 在中， , , . 2025河南中考专题 2.我们定义：如图（1），在中，把绕点 顺时针旋转 得到，把绕点逆时针旋转 得到，连接 . 当 时，我们称是的“旋补三角形”， 的边上的中线叫做的“旋补中线”，点 叫做“旋补中心”. 2025河南中考专题 8 特例感知 （1）在图（2）、图（3）中，是的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”. ①如图（2），当为等边三角形时，与的数量关系为 __ ； ②如图（3），当 ,时， 的长为___. 4 2025河南中考专题 9 猜想论证 （2）在图（1）中，当为任意三角形时，猜想与 的数量关系， 并给予证明. 【答案】猜想： . 证明：如图（1），延长到点，使，连接 ， 图（1） 2025河南中考专题 10 则 ， , . 在和 中， ， . 为的中点，为 的中点， . （方法不唯一，正确即可） 2025河南中考专题 拓展应用 （3）如图（4），在四边形中， , , ， ,.在四边形内部是否存在点，使是 的“旋补 三角形”？若存在，给予证明，并求 的“旋补中线”长；若不存在， 说明理由. 2025河南中考专题 12 图（2） 【答案】存在. 证明：如图（2），过点作的平行线，交 边的 垂直平分线于点，连接，, , 则四边形 为矩形， , . , ， 为等边三角形， . 2025河南中考专题 13 ,, ， ， ， ， . 又, ， 故点使为 的“旋补三角形”. 取的中点,连接，则为 的“旋补中线”， . 2025河南中考专题 类型2 铺垫、迁移、拓展类几何探究题 3.在学习了“图形的变化”后，王老师设计了如下问题，请你解答. 2025河南中考专题 15 （1）观察发现 如图（1），在平面直角坐标系中， 将绕原点顺时针旋转 ， 得到，再作关于 轴对称的 ，则 ①连接,,则与 的位置关系是______； ②与 关于直线______（写直线的表达式）对称. ③经探究发现点,,在以点为圆心的圆上，连接,,则 的度数为____. 平行 2025河南中考专题 16 （2）探究迁移 如图（2），在菱形中，对角线与相交于点，点为边 上 一点，点为平面内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转 ，得 到线段，作线段关于直线对称的线段，连接， .若 ，请判断四边形 的形状，并说明理由. 2025河南中考专题 17 【答案】四边形 为矩形. 理由如下： 假设线段的垂直平分线为直线 ， 由（1）知与关于直线 对称， . 又 , 直线,四边形 是平行四边形， ， ， 四边形 是矩形. 2025河南中考专题 18 （3）拓展应用 如图（3），在（2）的条件下，连接 ，,若是 的中点， ，， 是等腰直角三角形，请直接写出线段 的长. 【答案】或 . 2025河南中考专题 19 【解析】解法提示：连接， ， ，过点作于点 . ， ， （依据：等腰三角形“三线合一”）, . 易知 , （点拨：旋转和对 称的性质）, . . . . . . 2025河南中考专题 20 , . ，点是 的中点, ， ， ， ， 2025河南中考专题 ， . 由（1）可知 ，故分两 种情况讨论. 2025河南中考专题 ①当 时，如图（1）所示， 图（1） 此时 . 2025河南中考专题 23 图（2） ②当 时，如图（2）所示， 此时 . 2025河南中考专题 24 类型3 实践操作类几何探究题 4.综合与实践课上，小颖和小亮借助某数学软件在平面直角坐标系中对三 角形的平移与旋转进行了如下探究，并得出了一些结论，请你补充完整. 2025河南中考专题 25 【研究背景】 如图（1），在平面 直角坐标系中，已 知点 和点 ，连接，为线段的中点，于点 . 2025河南中考专题 26 【平移探究】 （1）如图（2）， 将 平移，使 点平移至点 处. ①填空：点的对应点的坐标为______，点的对应点 的坐标为_______. 2025河南中考专题 27 【解析】解法提示:轴， 轴， . 又为的中点， ， ，， . 由，，可得 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个 单位长度，得到 ， ， . 2025河南中考专题 28 ②连接，，试判断四边形 的形状，并说明理由. 【答案】四边形 是菱形. 理由：由平移的性质，知 ， 四边形 是平行四边形. 由①可知，， 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位 长度，得到 . 2025河南中考专题 29 图（1） 如图（1），延长交轴于点 ， 则轴，， ， ， ， 四边形 是菱形（依据：有一组邻边 相等的平行四边形是菱形）. . . 2025河南中考专题 30 【旋转探究】 （2）如图（3），将绕点顺时针旋转，得到，设直线 交 轴于点，试判断与 的大小关系，并结合图（3）说明理由. 2025河南中考专题 31 【答案】 . 理由：如图（2），连接 ， 图（2） ， . 由旋转的性质可知，， ， . 又，（依据： ）, . . . 2025河南中考专题 （3）当直线经过线段的中点时，请直接写出点 的坐标. 【答案】点的坐标为或 . 2025河南中考专题 33 【解析】解法提示：连接 ， 点，分别为， 的中点， ， ， . 设 . 分两种情况进行讨论. 2025河南中考专题 34 ①当直线经过第一、二、四象限，且经过点 时，如图（3）， 则， . 在中，由勾股定理，得 , 即 ， 解得 ， ， 点的坐标为 . 图（3） 2025河南中考专题 35 ②当直线经过第一、二、三象限，且经过点 时，如图（4）， 则， ， 由勾股定理，得 , 即 ， 解得 ， , . 综上可知，点的坐标为或 . 图（4） 2025河南中考专题 36 一题多解 （3）点的坐标为或 . 解法提示：， 点在以点 为圆心，3为半径的圆上. 又，与相切， 点 有如图所示的两种情况. 连接，易证 ， ， . 根据轴对称的性质，可求得 . 2025河南中考专题 37 类型4 类比探究类几何探究题 5.【探究】 2025河南中考专题 38 （1）已知和 都是等边三角形． ①如图（1），当点在上时，连接．请探究，和 之间的数 量关系，并说明理由. 2025河南中考专题 39 【答案】 ． 理由：和 是等边三角 形， ，， ， ， . 在和 中， 2025河南中考专题 40 （提示：“手拉手” 模型）， . ， . . 2025河南中考专题 ②如图（2），当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究 ， 和 之间的数量关系，并说明理由． 【答案】 ． 理由：和 是等边三角形， ，， ， ， . 在和 中， 2025河南中考专题 42 （提示：“手拉手”模型）， . ， ． . . 2025河南中考专题 【运用】 （2）如图（3），等边三角形中，，点在 上， ．点是直线上的动点，连接，以为边在 的右侧作 等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出 的 长． 【答案】或 ． 2025河南中考专题 44 【解析】解法提示：过点作 （点拨：构造“手拉手”模型），则 为等边三角形．显然点不与点， 重合. ①当点在 左侧时，如图（1）， 和 是等边三角形， ，， ， ， ， ，此时 不可能为直角三角形． . . 2025河南中考专题 45 ②当点在线段 上时，如图（2）， 同理可证 ， ， ， 此时只有有可能为 . 当 时， ，此时 . ， （依据：等腰三角形“三线合一”）. 又 ， ． 2025河南中考专题 46 图（3） ③当点在 的延长线上时，如图（3）， 同理可证 ， 则 ， ， 只有可能为 . 当 时， ， ， ， . 综上，的长为或 ． 2025河南中考专题 47 6.【初识原理】 某数学兴趣小组成员小明在阅读课外读物时，读到了一个关于“费马点”的 问题：如图（1），请你在（最大的内角小于）的内部找一点 ， 使得的值最小.费马的解法是：如图（2），将绕点 顺时针旋转 ，得到，连接 （1）当的值最小时，的度数为_____ . 120 2025河南中考专题 48 【结论应用】 小组成员小方连接了，并发现是等边三角形，且点 的位置是固 定的. （2）请你解决以下问题：如图（3），在中， ， ，，是内部一点，求 的最小值. 2025河南中考专题 49 图（1） 【答案】如图（1），在 右侧作等边三角形 ，连接，则的最小值为 的长（提示：根据（1）中点，，， 共线 时，取最小值，最小值为 的 长）. 易知 ， . 过点作，交的延长线于点 ， 则， ， ， ， 故的最小值为 . . . . . 2025河南中考专题 【类比探究】 （3）郭老师对该兴趣小组进行指导，设置了如下问题，请你帮忙解决. 如图（4），在中，，，的度数不定.以 为边 在其上方作等边三角形，连接，求 的最大值. 2025河南中考专题 51 图（2） 【答案】如图（2），将绕点逆时针旋转 ，得 到，连接，则 . 易得是等边三角形， . 根据“两点之间，线段最短”，得 ， 的最大值为5. 2025河南中考专题 52 【拓展应用】 （4）郭老师将（3）的问题进行了如下深化，请你帮忙解决. 如图（5），在中，，，的度数不定.以 为一边 在其上方作矩形，且满足，连接,请直接写出 的最大值. 【答案】 . 2025河南中考专题 53 图（3） 【解析】解法提示：如图（3），将绕点 逆时针旋 转 ，并放大为原来的2倍，得到，连接 ， 则， ，， . 根据“两点之间，线段最短”，得 ， 的最大值为 . 2025河南中考专题 54 $$