重难点培优02 利用基本不等式求最值（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优02 利用基本不等式求最值 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 分离转化对勾型（★★★） 2 题型二 变形后利用常数代换法（★★★★） 5 题型三 消元法（★★★★） 8 题型四 换元法化简（★★★★） 11 题型五 双换元法化简（★★★★） 13 题型六 三角换元法化简（★★★） 16 题型七 多次使用基本不等式（★★★★） 18 题型八 三元型均值不等式（★★★★） 21 题型九 基本不等式与其他知识交汇（★★★★★） 23 03 实战检测・分层突破验成效 27 检测Ⅰ组 重难知识巩固 27 检测Ⅱ组 创新能力提升 34 1、重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【说明】，当且仅当时，等号成立． （2）常见变形：、、． 2、基本不等式 （1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． （2）常见变形：； （3）常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； （），当且仅当时取等号； 3、基本不等式链： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 题型一 分离转化对勾型 【技巧通法·提分快招】 形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 1．设，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对变形后，利用基本不等式求解. 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 2．函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】化简函数，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，函数 又由，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以 即函数的最大值是. 故选：C. 3．（24-25高三上·江西赣州·期中）（多选题）下列式子中最小值为8的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A、B选项，直接根据均值不等式结合取等条件判断正误即可；对于C选项，先将原式变形为，再根据均值不等式结合取等条件判断正误即可；对于D选项，根据，利用“1”的代换，结合均值不等式和取等条件判断正误即可. 【详解】对于选项A：， 当且仅当，即时等号成立，但不成立， 所以的最小值不为8，故A错误； 对于选项B：因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8，故B正确； 对于选项C：， 当且仅当时，即时，取得最小值8，故C正确； 对于选项D：由题意， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故D不正确. 故选：BC 4．函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 5．（24-25高三上·上海·开学考试）函数在上的最大值为 ． 【答案】 【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故答案为： 题型二 变形后利用常数代换法 【技巧通法·提分快招】 1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 2、形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。 1．（23-24高三上·陕西咸阳·月考）已知实数x满足，则的最小值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【分析】利用，结合基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 2．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 3．（24-25高三上·河南·月考）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“1”的代换后由基本不等式得最小值． 【详解】由，有，有，有， ， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为． 故选：C． 4．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件构造，利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】由，可知，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 5．（24-25高三上·山东聊城·月考）已知正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由条件结合基本不等式证明，解不等式可得结论. 【详解】由，得， 所以， 因为，，所以， 所以，即， 所以，当且仅当，且，即时，上式取“=”， 所以的最小值为． 故选：D. 6．（24-25高三上·四川南充·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先利用换元法探索的关系，再结合常数代换法求的最小值. 【详解】因为，为正数，且， 两边平方得：， 所以. 设，则，解得， ，整理得：，即. 所以 . 当且仅当：即时取“”. 即的最小值为. 故答案为： 题型三 消元法 【技巧通法·提分快招】 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 1．（2025·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】对目标式合理变形，再利用基本不等式求解即可． 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 2．（2024·浙江金华·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得且、，再由，应用基本不等式求其最小值，注意取值条件. 【详解】由，，即，易知， 所以， 当且仅当时等号成立，此时， 所以的最小值为. 故选：D 3．（24-25高三上·重庆·月考）已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得，得出的表达式再由基本不等式计算可得结果. 【详解】由得， 即， 当且仅当，取到等号， 故选：C. 4．（2024·吉林长春·一模）已知，，，则的最小值为 ． 【答案】/4.5 【分析】根据条件消去，再利用“1”的变形技巧，结合均值不等式求解即可. 【详解】由可得，解得， 又，所以， 则 ， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 5．（24-25高三上·重庆九龙坡·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】25 【分析】由代入消去，整理得，设，则得，利用基本不等式即可求得. 【详解】由可得，代入中，可得， 设，则， 于是， 因，当且仅当时，等号成立， 即时，取得最小值25. 故答案为：25. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于通过代入消元后，需要将所得的分式的分子进行换元处理，即可利用基本不等式求其最值. 题型四 换元法化简 1．（24-25高三上·河北唐山·月考）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形得到，根据为正数，得到不等式，求出，并且，换元后得到，由基本不等式求出最小值，得到答案. 【详解】正数满足， 故， 由于，故，即，等价于， 解得， ， 令，则， 则 ， 当且仅当，即时，即，等号成立. 故选：C 2．已知，则的最小值为 ． 【答案】/1.5 【分析】设，则，将已知代入根据基本不等式性质可求解. 【详解】令，则， 将代入则， 当且仅当，时取到等号，所以的最小值为． 故答案为： 3．（24-25高三上·河南·月考）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可. 【详解】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 4．（24-25高三上·浙江·期中）设，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可. 【详解】， ， 令 又， ，当且仅当时等号成立, , 在上单调递减， 时， 的最大值为. 故答案为： 题型五 双换元法化简 1．已知为正数，求的最大值（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】把代数式等价变形结合基本不等式可得结果. 【详解】法一：令，则 当且仅当，即时取等号． 法二：令，则， ∴原式，当且仅当时，即时取等号． 法三： ，当且仅当时取等号． 法四： 当且仅当时，即时取等号． 故选：A． 2．（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意得，， 令，则， 由得， 故 ， 当且仅当，结合，即时取等号， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9， 故选：B 3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案. 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 【答案】/0.25 【分析】方法一，利用换元法，然后根据基本不等式“1”的妙用求解.方法二，直接根据基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】方法一 设，，则， ， ， 当且仅当，，即，时取等号， ． 方法二，， ， 当且仅当，时取等号，． 故答案为： 题型六 三角换元法化简 【技巧通法·提分快招】 一般情况下，复合或者能转化为型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值 1．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】应用三角换元，令，且，结合已知、平方关系、和角正弦公式得，进而有，最后利用基本不等式“1”的代换求目标式最小值. 【详解】，由， 得， 令，且， 所以，有， 即，故， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为1. 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据已知等量关系及三角函数的性质，应用三角换元将已知等式化为是关键. 2．（23-24高三上·湖北荆州·月考）已知实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由换元法构造函数，再由导数判断单调性后求解最值． 【详解】由条件知令， 则， 令， 则， 当时，，当时，时，， 故当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，取得最大值， 故答案为： 3．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 ；的取值范围为 ． 【答案】 1 【分析】第一空：直接由基本不等式即可求解；第二空：首先将目标式子化为关于的代数式，通过三角换元得的范围，进一步取到倒，结合对勾函数性质得，从而即可得解. 【详解】由题意，等号成立当且仅当，即的最大值为1； 由题意， 因为，所以设， 所以， 所以， 所以， 令，，所以， 又， 所以， 所以. 故答案为：1；. 【点睛】关键点点睛：第二空的关键是首先画出关于的代数式，并求出的范围，由此即可顺利得解. 题型七 多次使用基本不等式 【技巧通法·提分快招】 多次用基本不等式，需注意取等条件的一致性. 1．（23-24高三上·河北·月考）已知正实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】12 【分析】由条件可得，将展开并变形为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为正实数，满足， 故，当且仅当时等号成立， 故 ， 当且仅当，即时取等号，符合题意， 故的最小值为12， 故答案为：12 2．（23-24高三下·重庆·模拟预测）对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值. 【详解】任意的正实数，满足， 由于为正实数，故由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为. 故答案为： 【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等 3．（2025·辽宁·模拟预测）设表示数集中最小的数，若，则的最大值为 . 【答案】1 【分析】由基本不等式可得，，故，再结合基本不等式可得，进而可得. 【详解】设， 则，，，， 因为，所以,， 当且仅当时两个不等式同时取等号， 所以， 又， 当且仅当，时取等号，所以，则，当且仅当，时取等号， 故的最大值为1. 故答案为：1 题型八 三元型均值不等式 【技巧通法·提分快招】 一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个： 从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； 从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； 从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件. 1．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合条件可得，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可. 【详解】因为，所以， 所以 所以， 又，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. 3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案. 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】因式分解得到，变形后得到，利用基本不等式求出最小值. 【详解】因为为正实数， 故， 即， ， 当且仅当，即，此时， 所以的最小值为. 故答案为： 题型九 基本不等式与其他知识交汇 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由投影向量的定义及向量相等得，再应用向量数量积的坐标表示得，最后应用基本不等式求目标式的最小值. 【详解】由题意，可得，故，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 2．（2025·山东枣庄·二模）将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】通过平移得到,再结合对数的运算性质,由基本不等式即可求解. 【详解】由题意可得， 因为， 所以， 所以， 即，且. 因为，当且仅当时，取到最小值. 故选：B 3．（2025·四川成都·模拟预测）已知锐角，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由，可得，即， 所以， 则 ， 当且仅当时，即，即时， 也就是时，等号成立. 故选：C 4．（24-25高三下·山东·模拟预测）已知随机变量，且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．16 D． 【答案】B 【分析】由正态分布的对称性求得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意正态分布均值，结合对称性可知：，可得，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以最小值为8. 故选：B 5．（23-24高三上·湖北恩施·期中）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】令是的中点，连接，易得，根据三点共线的推论有，应用基本不等式求目标式最小值，注意取值条件. 【详解】若是的中点，连接，点G是的重心，则必过，且， 由题设，又共线， 所以，即，注意，    由 ，当且仅当，即时等号成立， 故目标式最小值为1. 故选：A 6．（2025·重庆九龙坡·三模）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 , ，若 ，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正余弦定理化简已知条件得，即可求得，由向量模的运算法则得，结合数量积定义及运算律，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 即，由余弦定理得，又，所以， 由知， 所以 ，当且仅当即时等号成立， 所以线段长度的最小值为. 故选：D 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·陕西·模拟预测）若的展开式中常数项为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由二项式展开式性质可计算出，结合基本不等式即可得. 【详解】由，有， 令，即，故， 即，即，则， 当且仅当或时，等号成立， 故的最小值为.     故选：C. 2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】设公差为，由求出，则，由及乘“1”法计算可得. 【详解】正项等差数列中，设公差为， 因为，所以，因为，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：B 3．（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得. 【详解】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 4．（24-25高三上·重庆·月考）已知，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，结合基本不等式可求的最小值. 【详解】因为， 所以 所以， 所以，所以， 当时，，等式变为，显然不成立， 所以，所以， 所以 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 所以的最小值为. 故选：D. 【点睛】思路点睛：利用三角恒等变换得到，最值问题常常借助基本不等式求解. 5．（2024·四川成都·模拟预测）若是正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察等式分母可知，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果. 【详解】因为 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 6．（24-25高三上·广东深圳·月考）已知，，则最小值为（ ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】先将用的关系表示，又由，得，再利用“乘1法”及基本不等式即可得出． 【详解】设， 则，解得，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2， 故选：D. 7．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，利用换元法可将原式变形再利用基本不等式即可求得结果. 【详解】由可得，且 因此， 令，则； 又； 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将未知数个数减少，并合理变形利用基本不等式求解. 8．（23-24高三上·江苏无锡·月考）已知正数，满是，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先利用换元法探索的关系，再结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为，为正数，且， 两边平方得：， 所以. 设，则. 所以. 所以. 当且仅当：即时取“”.即的最小值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于根据已知条件，探索出满足的条件等式. 9．函数f(x)＝(x>1)的最小值为 ． 【答案】8 【详解】 (解法1：基本不等式法)f(x)＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时取等号，则f(x)min＝8. (解法2：导数法)f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝4或x＝－2(舍去).当1<x<4时，f′(x)<0，f(x)在(1，4)上单调递减；当x>4时，f′(x)>0，f(x)在(4，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝4处取到极小值也是最小值，即f(x)min＝f(4)＝8. 10．（24-25高三下·浙江湖州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】根据条件变形，待求式转化为一元变量后，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以，则, 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：1 11．（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据，将化简可得，再根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可. 【详解】由可得， 因为，所以，即，则， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 12．（2024·河南濮阳·模拟预测）设实数x，y，z满足，则的最大值是 ． 【答案】/0.75 【分析】根据给定条件，消去并变形，借助二次函数最值求解即得. 【详解】实数x，y，z满足，则， 于是 ， 当且仅当且时取等号，所以当时，. 故答案为： 13．已知正实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得，令，，即可得到且，，目标式子，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为正实数，满足， 即，令，，则且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 14．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的最小值为 . 【答案】 【分析】根据条件得到，再通过转化和构造，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 则， 又，所以， 当且仅当，即时取等号， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 【点晴】关键点点晴，本题的关键在于将条件变形为，再利用基本不等进行求解. 15．（24-25高三上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】设，得到，假设得到矛盾，即有，结合且，将目标式化为，最后应用基本不等式求最小值. 【详解】设，则，即， 若，则，而，仅当时等号成立， 所以，显然与矛盾，所以， 由上，由，即，则， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以，，即，时，目标式最小值为4. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：应用换元法，结合基本不等式得到，再由将目标式整理只为含的表达式为关键. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·江苏盐城·三模）设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（    ） 0 A．1 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质求出的值，再利用期望公式得到与的关系，然后换元，将所求式子进行变形，结合与的关系，运用基本不等式求出其最小值. 【详解】根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为，即.解得. 已知随机变量的期望为，可得. 化简可得：，进一步变形为. 设，则， 将进行变形， 给式子乘以得到. 展开式子： 根据基本不等式，有. 所以，当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】对进行变形，结合，运用基本不等式计算即可. 【详解】, 由于， 当且仅当，即取等号. 则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键是对进行变形，然后结合进行配凑放缩，即可求出最值. 3．（23-24高三上·河北邢台·期末）设，若，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．4 【答案】D 【分析】由基本不等式结合待定系数比例即可得解. 【详解】设，， 令，解得，所以， 即，当且仅当，时，等号成立． 故选：D. 4．（23-24高三下·江苏苏州·模拟预测）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意首先得，且，进一步通过换元法以及判别式法即可求解，注意验证取等条件. 【详解】因为，所以，所以，等号成立当且仅当， 从而， 令，设，显然， 则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得，注意到，从而， 等号成立当且仅当，即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是得，且，由此即可顺利得解. 5．（2025·江苏淮安·模拟预测）（多选题）若满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式计算可得A正确，将表达式参数化利用三角函数值域计算可得B正确，将表达式化简计算可得，解不等式可得，即可得C错误，D正确. 【详解】对于A，由可得， 因此，可得， 当且仅当时，等号成立，即A正确； 对于B，将表达式化简可得， 将方程参数化可知，； 所以，其中； 又，所以，可得B正确； 对于C，由可得， 即， 因此，解得， 当且仅当时，等号成立，即C错误，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：在求解的取值范围时关键在于利用表达式特征，将等式参数化并利用辅助角公式计算即可得出结论. 6．（24-25高三上·上海·月考）已知，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，分析得，进而得到，从而利用“1”的代换与基本不等式即可得解. 【详解】因为， 则方程与有相同的解，不妨设为， 则，故，即，整理得， 因为， 所以 ， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于分析得方程与有相同的解，从而得到，由此得解. 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优02 利用基本不等式求最值 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 分离转化对勾型（★★★） 2 题型二 变形后利用常数代换法（★★★★） 3 题型三 消元法（★★★★） 4 题型四 换元法化简（★★★★） 4 题型五 双换元法化简（★★★★） 5 题型六 三角换元法化简（★★★） 5 题型七 多次使用基本不等式（★★★★） 6 题型八 三元型均值不等式（★★★★） 6 题型九 基本不等式与其他知识交汇（★★★★★） 7 03 实战检测・分层突破验成效 8 检测Ⅰ组 重难知识巩固 8 检测Ⅱ组 创新能力提升 9 1、重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【说明】，当且仅当时，等号成立． （2）常见变形：、、． 2、基本不等式 （1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． （2）常见变形：； （3）常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； （），当且仅当时取等号； 3、基本不等式链： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 题型一 分离转化对勾型 【技巧通法·提分快招】 形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 1．设，则 （    ） A． B． C． D． 2．函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高三上·江西赣州·期中）（多选题）下列式子中最小值为8的是（    ） A． B． C． D． 4．函数的最小值为 ． 5．（24-25高三上·上海·开学考试）函数在上的最大值为 ． 题型二 变形后利用常数代换法 【技巧通法·提分快招】 1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 2、形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。 1．（23-24高三上·陕西咸阳·月考）已知实数x满足，则的最小值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 2．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河南·月考）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 5．（24-25高三上·山东聊城·月考）已知正数，满足，则的最小值为 ． 6．（24-25高三上·四川南充·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为 ． 题型三 消元法 【技巧通法·提分快招】 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 1．（2025·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 2．（2024·浙江金华·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 3．（24-25高三上·重庆·月考）已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·吉林长春·一模）已知，，，则的最小值为 ． 5．（24-25高三上·重庆九龙坡·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 题型四 换元法化简 1．（24-25高三上·河北唐山·月考）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的最小值为 ． 3．（24-25高三上·河南·月考）已知，则的最小值为 . 4．（24-25高三上·浙江·期中）设，则的最大值为 . 题型五 双换元法化简 1．已知为正数，求的最大值（    ） A． B．1 C． D． 2．（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 题型六 三角换元法化简 【技巧通法·提分快招】 一般情况下，复合或者能转化为型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值 1．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高三上·湖北荆州·月考）已知实数满足，则的最大值为 . 3．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 ；的取值范围为 ． 题型七 多次使用基本不等式 【技巧通法·提分快招】 多次用基本不等式，需注意取等条件的一致性. 1．（23-24高三上·河北·月考）已知正实数，满足，则的最小值为 ． 2．（23-24高三下·重庆·模拟预测）对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 3．（2025·辽宁·模拟预测）设表示数集中最小的数，若，则的最大值为 . 题型八 三元型均值不等式 【技巧通法·提分快招】 一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个： 从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； 从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； 从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件. 1．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值是 . 题型九 基本不等式与其他知识交汇 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（2025·山东枣庄·二模）将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 3．（2025·四川成都·模拟预测）已知锐角，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25高三下·山东·模拟预测）已知随机变量，且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．16 D． 5．（23-24高三上·湖北恩施·期中）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 6．（2025·重庆九龙坡·三模）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 , ，若 ，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·陕西·模拟预测）若的展开式中常数项为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 3．（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 4．（24-25高三上·重庆·月考）已知，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·四川成都·模拟预测）若是正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·广东深圳·月考）已知，，则最小值为（ ） A． B．4 C． D．2 7．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·江苏无锡·月考）已知正数，满是，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．函数f(x)＝(x>1)的最小值为 ． 10．（24-25高三下·浙江湖州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 11．（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 . 12．（2024·河南濮阳·模拟预测）设实数x，y，z满足，则的最大值是 ． 13．已知正实数，满足，则的最小值为 ． 14．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的最小值为 . 15．（24-25高三上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 . 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·江苏盐城·三模）设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（    ） 0 A．1 B． C．4 D．2 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高三上·河北邢台·期末）设，若，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．4 4．（23-24高三下·江苏苏州·模拟预测）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏淮安·模拟预测）（多选题）若满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·上海·月考）已知，若，则的最小值为 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$