专题10：期末复习满分冲刺（压轴篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学期末复习沪教版（2020）

2024-2025学年高二数学下学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题09 期末复习满分冲刺（压轴篇） 题型一：排列组合填选 1．（2022-2023宝山区高二期末）六名同学站成一排照相，其中甲､乙相邻，丙与甲乙都不相邻，则不同站法的种数是__________（结果用数字表示） 2．（2024上师大附中校考期末）为落实“五育并举”的全面培养的教育体系，某校开设了中华传统文化美德讲习、地方特色美食烹饪、本区域民族体育项目及汉文化礼仪四门选修校本课，该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，则恰有2名同学选修本区域民族体育项目的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海·期末）现有编号分别为 的小球各两个，每个球的大小与质地均相同．将这个球排成一列，使得任意编号相同的球均不相邻，记满足条件的排列个数为 ，则 （    ） ① 对任意 都是偶数； ② ． A．①②都是真命题 B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题 D．①②都是假命题 题型二：二项式定理填选 4．（2021·上海奉贤·一模）已知的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则的值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（24-25高二上·上海·期末）已知，其中，为正整数，则“是奇数”是“存在正整数使得”的（    ）条件. A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 6．（2024•松江区校级模拟）若、为正整数）的二项展开式中关于的一次项系数之和为11，则项系数的最小值为 　　． 7．（2023上·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知，则 . 题型三：概率统计填选 8．（2024上海高三专题练习）已知随机变量的分布列如下： X 1 2 3 P a b 2b—a 则的最大值为（    ） A． B．3 C．6 D．5 9．（2022上海·高三专题练习（理））设，，随机变量X的分布列是（    ） a 则方差（    ） A．既与有关，也与有关 B．与有关，但与无关 C．与有关，但与无关 D．既与无关，也与无关 10．（23-24高二上·上海·期末）已知，随机变量、相互独立，随机变量的分布为，的分布为，则当在内增大时（    ） A．减小，增大 B．减小，减小 C．增大，增大 D．增大，减小 11．（21-22高二下·上海闵行·期末）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，定义X的信息熵． 命题1：若，则随着n的增大而增大； 命题2：若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，则． 则以下结论正确的是（    ） A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确 C．两个命题都错误 D．两个命题都正确 12.（2023上海高三专题练习）将3只小球放入3个盒子中， 盒子的容量不限， 且每个小球落入盒子的概率相等． 记为分配后所剩空盒的个数， 为分配后不空盒子的个数， 则（    ） A． B． C． D． 13．（2022上海·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下： 2 3 6 P a 则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．18 14．（2024大同中学高三阶段练习）随机变量的概率分布列为，k＝1，2，3，其中c是常数，则的值为（    ） A．10 B．117 C．38 D．35 15．（2022·上海高三阶段练习）据一组样本数据，…，，求得经验回归方程为，且.现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为1.2，则（       ） A．去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快 B．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程一定过点 C．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为 D．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.05 16．（2024上海高二期末）假设有两个分类变量和的列联表如下： 注：的观测值.对于同一样本，以下数据能说明和有关系的可能性最大的一组是（ ） A． B． C． D． 题型四：导数填选 17.（2024七宝中学期末）函数的驻点为 ． 18．（2023格致中学期末）函数的最小值为______. 19.（2024闵行中学高二期末若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上上海期末）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24上海高三阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（2023高三上海·专题练习）若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23.已知函数，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24.（2024上海阶段练习）已知函数若函数有三个零点，则（ ） A. B. C. D. 25．（2024上海阶段练习）函数若函数只有一个零点，则的范围是______ 26．（2024上海阶段练习）若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型五：圆锥曲线填选 27．（24-25高三上·上海松江·期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ． 28．（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 29．（24-25高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，直线的斜率为，则使成立的实数的值为 ． 30．（22-23高二下·上海宝山·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点、，为坐标原点.有下列结论：①四边形是平行四边形；②若轴，垂足为，则直线的斜率为；③若，则四边形的面积为；④若为正三角形，则双曲线的离心率为.其中正确命题的序号是 . 题型六：解答题精选 31．（24-25高二上·上海徐汇·期末）在二项式的展开式中： (1)若，求 (2)若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项． 32．（23-24高二下·上海·期末）已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64. (1)求二项展开式的中间项； (2)求展开式中的常数项. 33．（2024上海阶段练习）已知． （1）求在处的切线方程以及的单调性； （2）对，有恒成立，求的最大整数解． 34、（2024上海阶段练习）已知函数. （1）求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若有解，求实数a的取值范围． 35．（2024上海阶段练习）北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀，为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表 成绩 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 人数 5 5 15 25 10 (1)从参加接训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率， (2)用分层抽样的方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90）的学生为X，求X的分布列和数学期望， 36．（2025·上海闵行·二模）某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． (1)若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； (2)若恰好抽选了1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； (3)若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与数学期望． 37．（2025·上海金山·二模）为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 (1)完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； (2)是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 (3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布和期望. 题型七：压轴题精选 38．（2025·上海松江·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 39．（2025·上海嘉定·二模）已知椭圆C：．F为椭圆的右焦点，过椭圆上一点的直线交椭圆于另一点Q，点M为椭圆上任意一点． (1)求的最小值； (2)当直线的斜率为1时，求面积的最大值及此时点M的坐标； (3)若直线与直线交于点D，点D不在x轴上，Q关于原点的对称点为点R，直线与交于点E，求线段的取值范围． 40．（23-24高二下·上海奉贤·期末）对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. (1)判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； (2)若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； (3)试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 41．（24-25高三上·上海浦东新·期末）过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”． (1)设，判断点是否为的“类点”，并说明理由； (2)设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； (3)设，证明：轴上不存在的“类点”． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题09 期末复习满分冲刺（压轴篇） 题型一：排列组合填选 1．（2022-2023宝山区高二期末）六名同学站成一排照相，其中甲､乙相邻，丙与甲乙都不相邻，则不同站法的种数是__________（结果用数字表示） 【答案】144 【分析】根据题意可知利用捆绑法将甲､乙看成整体，再利用插空法使丙与甲乙都不相邻，按照分步乘法计数原理即可求得结果. 【详解】由题可知，将问题分成三步： 第一步：将甲乙看作一个整体，内部排列有种， 第二步：将除甲乙丙之外的其余三人全排列有种， 第三步：丙与甲乙的整体去插空，共有种， 所以共有种不同的站法. 故答案为：144 2．（2024上师大附中校考期末）为落实“五育并举”的全面培养的教育体系，某校开设了中华传统文化美德讲习、地方特色美食烹饪、本区域民族体育项目及汉文化礼仪四门选修校本课，该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，则恰有2名同学选修本区域民族体育项目的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式求解即可． 【详解】6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有1位同学选修， 满足条件四门课程有两种人数分类3,1，1,1或者2,2,1,1， 所以共有种选法， 恰有2名同学选修本区域民族体育项目共有种选法， 故则恰有2名同学选修本区域民族体育项目的概率为． 故选：． 3．（23-24高二下·上海·期末）现有编号分别为 的小球各两个，每个球的大小与质地均相同．将这个球排成一列，使得任意编号相同的球均不相邻，记满足条件的排列个数为 ，则 （    ） ① 对任意 都是偶数； ② ． A．①②都是真命题 B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】注意到为的倍数，故易得为偶数；另一方面由插空法可以得到与间的不等式. 【解析】现有编号分别为的小球各两个，我们现在分两步将这个球排成一列并使得任意编号相同的球均不相邻. 第一步，将这个数分成对数，且每对数均不相邻，设有种分法； 第二步，将个小球中相同编号的两个小球分别放到第一步分得的每一对数对应的位置上，这相当于给这对位置分配这个数，故有种分配方法. 由乘法原理得，， 当时，为偶数；当时，因为为偶数，所以也为偶数. 故任意，都是偶数，①为真命题； 另一方面，若有编号分别为的小球各两个，将它们排成一列且任意编号相同的小球不相邻之后，从这个球产生的个空隙中选出个空隙放入两个编号为的小球，完成这两步由乘法原理有种方法，但完成这两步后这个球的排列满足同号球不相邻，所以.故②也是真命题. 故选：A. 【点睛】思路点睛：先将个球的排列等同于分配到个位置上，任意编号相同的球均不相邻，所以可将个位置的任意两个位置作为一组放置相同编号的球，把两个位置不相邻的组数求出来，再依次选出组依次排列编号相同的两个球即可求解. 题型二：二项式定理填选 4．（2021·上海奉贤·一模）已知的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则的值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】 根据给定条件求出二项展开式的通项，再列式即可计算得的值. 【详解】 依题意，的二项展开式通项：，， 于是有：，整理得，即，而，解得， 所以的值为8. 故选：B 5．（24-25高二上·上海·期末）已知，其中，为正整数，则“是奇数”是“存在正整数使得”的（    ）条件. A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】根据二项式展开式的通项特征得，即可根据组合数的性质得，由充要条件的定义即可判断. 【解析】的展开式的通项为， 若存在正整数使得，则，故，即，由于是正整数且，故为奇数，必要性成立； 反之，若为奇数，设，则，即存在正整数使得，充分性成立. 因此“是奇数”是“存在正整数使得”的充要条件. 故选：A 6．（2024•松江区校级模拟）若、为正整数）的二项展开式中关于的一次项系数之和为11，则项系数的最小值为 　　． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中含的一次项系数和，列出方程求出，的关系；利用二项展开式的通项公式求出含项的系数，通过等量代换转化成二次函数的最值，求出二次函数的最值． 【解答】解：由题意、为正整数）的二项展开式中关于的一次项系数之和为11，知， 即， 又展开式中含项的系数为， 当或时，含项的系数最小，最小值为25． 故答案为：25． 【点评】本题考查二项展开式的通项公式的应用，等量代换，二次函数的最值的求法，是中档题． 7．（2023上·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知，则 . 【答案】 【详解】因为 ， 所以，， 令， 则，易知，， . 故答案为：. 题型三：概率统计填选 8．（2024上海高三专题练习）已知随机变量的分布列如下： X 1 2 3 P a b 2b—a 则的最大值为（    ） A． B．3 C．6 D．5 【答案】C 【解析】，只需求的最大值即可，根据题意：，，， 所以， 当时，其最大值为，故的最大值为． 故选：C. 9．（2022上海·高三专题练习（理））设，，随机变量X的分布列是（    ） a 则方差（    ） A．既与有关，也与有关 B．与有关，但与无关 C．与有关，但与无关 D．既与无关，也与无关 【答案】B 【解析】由分布列可得， 故. 故选：B 10．（23-24高二上·上海·期末）已知，随机变量、相互独立，随机变量的分布为，的分布为，则当在内增大时（    ） A．减小，增大 B．减小，减小 C．增大，增大 D．增大，减小 【答案】C 【分析】利用数学期望和方差的性质直接求解. 【解析】由题意可得：，， 所以. 所以当在内增大时，增大. ；. 所以. 所以当在内增大时，增大. 故选：C 11．（21-22高二下·上海闵行·期末）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，定义X的信息熵． 命题1：若，则随着n的增大而增大； 命题2：若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，则． 则以下结论正确的是（    ） A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确 C．两个命题都错误 D．两个命题都正确 【答案】A 【分析】根据信息熵公式，利用对数的运算性质及对数函数的单调性判断命题1；由已知公式得到关于的展开式，应用作差法及对数的性质判断的大小判断命题2. 【解析】若，则，故随着n的增大而增大，命题1正确； ，则， 而，， ， 所以，故，命题2错误； 故选：A 12.（2023上海高三专题练习）将3只小球放入3个盒子中， 盒子的容量不限， 且每个小球落入盒子的概率相等． 记为分配后所剩空盒的个数， 为分配后不空盒子的个数， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为一共有3个盒子，所以， 因此，， 由题意可知：， ，， ， ，所以， 故选：C 13．（2022上海·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下： 2 3 6 P a 则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．18 【答案】D 【解析】根据分布列可知，解得， ， ， 所以. 故选：D. 14．（2024大同中学高三阶段练习）随机变量的概率分布列为，k＝1，2，3，其中c是常数，则的值为（    ） A．10 B．117 C．38 D．35 【答案】C 【解析】，k＝1，2，3， ，解得， ， ， . 故选：C 15．（2022·上海高三阶段练习）据一组样本数据，…，，求得经验回归方程为，且.现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为1.2，则（       ） A．去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快 B．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程一定过点 C．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为 D．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.05 【答案】C 【解析】对A，因为，所以去除两个误差较大的样本点后的估计值增加速度变慢，故A错误； 对B，当时，，设去掉两个误差较大的样本点后，横坐标的平均值为，纵坐标的平均值为， 则，，故B错误； 对C，因为去除两个误差较大的样本点后，重新求得回归直线的斜率为1.2， 所以，解得， 所以去除两个误差较大的样本点后的经验回归方程为，故C正确； 对D，因为，所以，故D错误. 故选：C. 16．（2024上海高二期末）假设有两个分类变量和的列联表如下： 注：的观测值.对于同一样本，以下数据能说明和有关系的可能性最大的一组是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据独立性检验的方法和列联表可得，当与相差越大，则分类变量和有关系的可能性越大，即相差越大，与相差越大．由各选项可得A满足条件，选A． 题型四：导数填选 17.（2024七宝中学期末）函数的驻点为 ． 【答案】0 【分析】求出函数的导数，令，求得，则函数的驻点为0. 【解析】因为， ， 令，得，而， 所以函数的驻点为0. 故答案为：0. 18．（2023格致中学期末）函数的最小值为______. 【答案】1 【解析】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1. 19.（2024闵行中学高二期末若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成关于一个变量的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解. 【详解】 设公切线与函数切于点， ，切线的斜率为， 则切线方程为，即 设公切线与函数切于点， ，切线的斜率为， 则切线方程为，即 所以有 因为，所以，可得，，即， 由可得：， 所以， 令，则，， 设，则， 所以在上为减函数， 则，所以， 所以实数的取值范围是， 故选：B． 20．（23-24高二上上海期末）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设切点坐标，写出切线方程，过点，代入化简得，将问题转化为该方程有三个不等实根，结合导函数讨论单调性数形结合求解. 【详解】设切点为，∵，∴， ∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为， 代入点的坐标，化简得， ∵过点可以作三条直线与曲线相切， ∴方程有三个不等实根. 令，求导得到， 可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 如图所示， 故，即. 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求切线方程，关键点在于将问题转化为方程的根的问题，根据方程的根的个数，求解参数的取值范围，考查导函数的综合应用，涉及等价转化，数形结合思想，属于中档题. 21．（23-24上海高三阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：D． 22．（2023高三上海·专题练习）若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导函数有两个不等根计算即可. 【详解】由题意得函数的定义域为，， 要使函数恰有三个单调区间， 则有两个不相等的实数根，∴，解得且， 故实数a的取值范围为， 故选：C. 23.已知函数，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，函数， 所以，令， 则，所以为奇函数， 所以的图象关于点中心对称，所以， 由，可得， 所以， 由， 则， 所以函数单调递减， 由可得，， 即，解得，实数a的取值范围是. 故选：B． 24.（2024上海阶段练习）已知函数若函数有三个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】要使函数有三个解，则与有三个交点， 当时，，则，可得在上递减，在递增， ∴时，有最小值，且时，； 当时，；当时，；当时，单调递增； ∴图象如下，要使函数有三个零点，则， 故选：D． 25．（2024上海阶段练习）函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（ ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】ABC 【解析】 解：∵只有一个零点， ∴函数与函数有一个交点， 作函数函数与函数的图象如下， 结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点； 当时，，可得，令可得，所以函数在时，直线与相切，可得. 综合得：或. 故选：ABC. 26．（2024上海阶段练习）若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 把不等式转化为对x>0恒成立，设，故对任意的恒成立，利用导数可求a的取值范围. 【详解】 由不等式恒成立，可知对x>0恒成立. 设，则该函数为上的增函数，故， 故对任意的恒成立， 设，则， 当时，，故为上的增函数， 而当时，有，不合题意； 当时，对任意的恒成立， 当时， 若，则，当时，， 故在为减函数，在为增函数， 故， 故 综上：的取值范围是. 故选：A 题型五：圆锥曲线填选 27．（24-25高三上·上海松江·期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用向量运算将转化为，通过求的取值范围来求得正确答案. 【解析】圆的圆心为，半径为. 因为 ． 又因为椭圆的，为椭圆的右焦点， 设，， ， ， 所以，， ∴． 故答案为： 28．（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据抛物线的定义和圆的性质转化为三点一线即可求出最值. 【解析】抛物线的准线为，设点到准线的距离为，圆心，圆心到准线的距离为，则， 则， 则的最小值为4. 故答案为：4. 29．（24-25高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，直线的斜率为，则使成立的实数的值为 ． 【答案】 【分析】不妨设点在x轴上方，根据正弦定理可得，结合直线的倾斜角可知x轴，且直线的斜率为，设，根据斜率公式整理可得，再根据数量积的坐标运算求解即可. 【解析】由题意可知：，不妨设点在x轴上方， 取的中点，过分别作直线平行与x轴，分别交于点， 因为，由正弦定理可得， 设，则， 则，且， 可得， 又因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可得，， 则，可得，即x轴， 则，可得直线的斜率为， 设，则， 则，， 整理可得，解得， 又因为， 且，可得， 即，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据题中的长度和直线的倾斜角可知x轴，且直线的斜率为，进而可得坐标值. 30．（22-23高二下·上海宝山·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点、，为坐标原点.有下列结论：①四边形是平行四边形；②若轴，垂足为，则直线的斜率为；③若，则四边形的面积为；④若为正三角形，则双曲线的离心率为.其中正确命题的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】对于①，利用双曲线的性质判断四边形的形状，对于②，利用斜率公式判断，对于③，由题意可判断四边形为矩形，从而可求出其面积，对于④，由为正三角形，可表示出点的坐标，代入双曲线方程化简可求出离心率. 【解析】对于①，因为双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点、， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以①正确， 对于②，设，则， 因为轴，垂足为，所以， 所以，，所以②正确， 对于③，因为，所以， 所以为直角三角形，所以四边形为矩形， 设，则，所以， 因为，所以， 所以，所以四边形的面积为，所以③错误， 对于④，因为为正三角形，，所以， 因为点在双曲线上， 所以，化简得， 所以，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以④正确， 故答案为：①②④    【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的定义和几何性质的应用，解题的关键是结合题意和双曲线的几何性质找出等量关系，从而可进行判断，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 题型六：解答题精选 31．（24-25高二上·上海徐汇·期末）在二项式的展开式中： (1)若，求 (2)若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，利用赋值法求得答案. （2）由二项式系数性质求出，求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项. 【解析】（1）当时，， 取，得，取，得， 所以. （2）由所有项的二项式系数和等于4096，得，解得， 二项式展开式的通项公式， 令展开式中系数最大的项是第项，则， 整理得，解得，而，因此， 所以展开式中系数最大的项. 32．（23-24高二下·上海·期末）已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64. (1)求二项展开式的中间项； (2)求展开式中的常数项. 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）根据二项展开式中各项的二项式系数求出n的值，再结合展开式的通项，即可求得答案； （2）求出展开式中的常数项以及项，即可求得答案. 【解析】（1）由的二项展开式中各项的二项式系数和为64， 得， 的通项为， 二项展开式的中间项为第4项，即； （2）结合（1）可得的常数项为， 展开式中的项为， 展开式中的常数项为. 33．（2024上海阶段练习）已知． （1）求在处的切线方程以及的单调性； （2）对，有恒成立，求的最大整数解． 【答案】（1），单调递减区间为，单调递增区间为；（2）． 【解析】 （1） 所以定义域为 ， ；， 所以切线方程为，即； ，又， 令解得，令解得 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）等价于； ， 记，，所以为上的递增函数， 且，，所以，使得 即， 所以在上递减，在上递增， 且； 所以的最大整数解为. 34、（2024上海阶段练习）已知函数. （1）求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若有解，求实数a的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）. 【解析】 (1)由题可知的定义域为 函数， 所以函数在区间上是增函数. 在区间上的最大值为，最小值为. (2)，令， . 当时，.，显然有解. 当时，由得， 当时，， 当时，， 故在处取得最大值. 若使有解，只需 解得. 结合，此时a的取值范围为. 综上所述，a的取值范围为. 35．（2024上海阶段练习）北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀，为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表 成绩 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 人数 5 5 15 25 10 (1)从参加接训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率， (2)用分层抽样的方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90）的学生为X，求X的分布列和数学期望， 【解题思路】（1）根据古典概型的概率计算公式即可求解， （2）根据分层抽样的抽样比可得[70，80）和[80，90）抽取的学生人数，由超几何分布即可求解概率，进而得分布列. 【解答过程】（1）设该名学生考核成绩优秀为事件A，由已知50名同学的成绩中，优秀的有35名同学，所以， 可以可估计这名学生考核优秀的概率为． （2）由已知，用分层抽样方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任取8人，则考核成绩在[70，80）的学生应抽取3人，考核成绩在[80，90）的学生应抽取5人． 由题意可得X的所有可能取值为1，2，3，4， 所以 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 所以 即所求数学期望为． 36．（2025·上海闵行·二模）某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． (1)若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； (2)若恰好抽选了1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； (3)若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析； 【分析】（1）结合题意，由古典概率求解即可； （2）由条件概率计算公式即可； （3）列出的可能取值，求出相应概率，然后再由期望公式求出期望即可. 【详解】（1）逐个抽选，恰好第一个抽选的是男生的情况为男生所占人数总比例，故概率为. （2）记事件为恰好抽选了1名男生与1名女生，事件为这2人都是高二学生， 由条件概率可得. （3）因为共抽取了2名学生，所以男生人数与女生人数之差只能为偶数，分两种情况讨论： 当时， 男 女 高一 1 0 高二 0 1 或 男 女 高一 0 1 高二 1 0 所以； 当时， 男 女 高一 1 0 高二 1 0 或 男 女 高一 0 1 高二 0 1 所以， 所以的分布列为 0 2 . 37．（2025·上海金山·二模）为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 (1)完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； (2)是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 (3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布和期望. 【答案】(1)列联表见解析，0.35； (2)有； (3)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）完善列联表，求出经验概率. （2）求出的观测值，与临界值比对得解. （3）求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）完善列联表，如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为. （2）由（1）得， 所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”. （3）不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5， 的所有可能值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. 题型七：压轴题精选 38．（2025·上海松江·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据题意利用为正三角形得到，再求解离心率即可. （2）利用的面积求出基本量，进而得到椭圆方程设，利用两点间距离公式表示，转化为二次函数分类讨论求解最值即可. （3）设直线的方程为，与椭圆联立方程组可得，根据点分别在第一、四象限，得，解得，四边形的面积可表示为，可得，令，得到，再利用对勾函数单调性求得范围即可. 【详解】（1）如图，设椭圆的焦距为，则， 因为，所以中， 又因为为正三角形，所以，即， 所以椭圆的离心率. （2）由于正三角形的面积为，得到， 解得，，又，得到，故椭圆方程为， 设，且，即， ， 其对称轴为，而，当，即时， 在时取得最大值，； 当，即时， 在时取得最大值，. 综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为. （3）设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则，. 因为点分别在第一、四象限， 所以，即， 故，解得， 得到四边形的面积为， ， 因为，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增， 故，即四边形面积的取值范围为. 39．（2025·上海嘉定·二模）已知椭圆C：．F为椭圆的右焦点，过椭圆上一点的直线交椭圆于另一点Q，点M为椭圆上任意一点． (1)求的最小值； (2)当直线的斜率为1时，求面积的最大值及此时点M的坐标； (3)若直线与直线交于点D，点D不在x轴上，Q关于原点的对称点为点R，直线与交于点E，求线段的取值范围． 【答案】(1), (2), (3) 【详解】（1） 由椭圆方程知，，所以右焦点， 设，则，由代入得： ， 由于，对称轴， 所以， 即的最小值为，此时点为椭圆的右顶点. （2） 由直线的斜率为1且经过，可得直线方程， 与椭圆联立方程组，消元得：， 解得，则代入得：，所以， 则， 设平行于直线的直线方程为，则与椭圆联立方程组，消元得： ，当此直线与椭圆相切时，满足判别式为， 即，解得， 根据数形结合可得时，满足切点取到面积最大值， 此时方程为， 代入直线得，则， 由点到直线的距离公式得： ， 所以面积的最大值为， 此时点； （3） 设过点直线为：，与椭圆联立方程组，消元得： ， 由， 再由于交点D不在x轴上，即， 设交点，则有， 代入得：， 由于Q关于原点的对称点为点R，所以， 则直线方程为，与直线相交得： 点纵坐标为， 而直线与直线相交得： 点纵坐标为， 所以可得 当且仅当，即时，取到最小值. 即的取值范围是 40．（23-24高二下·上海奉贤·期末）对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. (1)判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； (2)若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； (3)试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)存在，理由见解析 (2) (3)存在，答案见解析 【分析】（1）由对恒成立，可得结论； （2）由题意可得对恒成立，令，，求导求得的最大值与的最小值，可求的取值范围. （3）直线和函数相切于，则，进而构造函数再证明即可. 【解析】（1）因为对恒成立， 所以存在一条分界线. （2）对恒成立，则对恒成立. 令，则 解得，则在上严格增，在上严格减， 得，所以 令，则，则在上严格单调递增， 得，所以， 进而 （3）画两个函数的大致图像，利用计算器猜想： 两个函数与的一个交点是， 再猜想：直线和函数相切于，则 下面从两个角度去证明该直线是分界线： 一方面：， 所以 另一方面：令 则，解得，则在上严格增，在上严格减， 所以，即所以 所以对恒成立. 【点睛】方法点睛：把新定义转化为不等式恒成立，再通过构造函数求得函数的最值可求范围，求分界线，先通过作图，猜想分界线，再证明即可． 41．（24-25高三上·上海浦东新·期末）过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”． (1)设，判断点是否为的“类点”，并说明理由； (2)设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； (3)设，证明：轴上不存在的“类点”． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)2； (3)证明见解析. 【分析】（1）判断点的位置，求出过此点的切线方程，结合“类点”的定义判断即可. （2）求出过点的切线方程，并代入的坐标并结合“类点”的定义求出值，验证即可得解. （3）假定存在，并设出点的坐标，由过点的切线方程建立等式，分离参数构造函数，利用导数探讨方程根的情况导出矛盾得证. 【解析】（1）函数，，点在上，求导得， 设切点为，切线方程为，即， 由切线过，得，,解得或， 因此切线方程为，所以点为的“类点”. （2）函数，求导得，设切点为， 切线方程为，即， 切线过，则， 依题意，方程有三个不同解，且成等差数列，设为，公差为， ， 因此，则，，则， 当时，，不过， 所以的值为2. （3）假设轴上存在函数的“类点”，记为，设坐标为， 求导得，设切点为，切线方程为， 即，由切线过，得，此方程至少有两个不同解， 设，则，由，得或， 当时，，函数是上的严格减函数， 当时，为上的严格增函数， 函数的极小值，极大值，又， 当或时，方程有两个不同解，当时，方程有三个不同解， 当时，在上，其余情况下在外，则， 设两垂直切线的斜率为，对应方程的两根为， 则，由， 得，则有， 由，得异号，不妨设， 由均值不等式知，， 则，与矛盾，即不存在， 所以轴上不存在的“类点”. 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$