专题09：期末复习满分冲刺（提高篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学期末复习沪教版（2020）

2024-2025学年高二数学下学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题09 期末复习满分冲刺（提高篇） 考点一：导数 1.质点的运动规律为，则质点在时的瞬时速度为 ． 【答案】 【分析】求函数的导数，根据导数的物理意义进行求解即可． 【解析】解：函数的导数， 当时，， 即质点在时的速度为， 故答案为：． 2.若函数在处导数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的定义即可直接求解. 【解析】 , 故选：D. 3.已知函数的导函数为，若，为的导函数，则 . 【答案】/ 【分析】求出复合函数的导函数，代入求值. 【解析】， 所以. 故答案为： 4.直线与曲线相切，则 ． 【答案】 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求解即可. 【解析】设切点坐标为，由于， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：，即， 所以，， 故答案为：. 5．（23-24高二下·上海青浦·期末）若函数在区间上是严格单调函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，分在区间单调递增和单调递减两种情况讨论，参变分离，结合正切函数的性质计算可得. 【解析】因为，所以， 因为函数在区间上是严格单调函数， 若单调递增，则在上恒成立， 因为当时，所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时，所以； 若单调递减，则在上恒成立， 因为当时，所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时，所以； 综上可得. 故答案为： 6．（22-23高二下·上海松江·期末）函数在上不单调，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】因为函数在区间上不是单调函数，所以导数既有正值也有负值，也即有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间内，再通过分类讨论，求的取值范围即可 【解析】因为，所以， 又因为函数在区间上不单调，所以在内有实数根，且无重根， 即有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间内， ①若，则，， 方程的两个实根0和4均不在区间内，所以； ②若，则，， 方程在区间内有实根，所以可以为； ③若方程有一个实根在区间内，另一个实根在区间外， 则，即，； ④若方程在区间内有两个不相等的实根， 则：，∴， ∴； 综合①②③④得的取值范围是． 故答案为： 7．（21-22高二下·上海杨浦·期末）设，若，则x的取值范围是 . 【答案】 【分析】奇偶性定义判断奇偶性，利用导数研究的单调性，再应用奇偶、单调性求x的范围. 【解析】由且，易知：为奇函数， 所以， 又，故在上递增， 所以，可得. 故答案为： 8．（21-22高二下·上海普陀·期末）已知函数有两个零点，对于下列结论：①；②；则（    ） A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对 【答案】C 【分析】函数有两个零点，则有两个根，即，设，利用导数法研究即可 【解析】因为函数有两个零点， 所以有两个根，即， 设，， 当时，解得，函数单调递增； 当时，解得，函数单调递减， ， 当趋向于正无穷时，趋向于0，当趋向于0时，趋向于负无穷， 所以当时，与有两个交点，故①正确； 由此可知， 因为， 若，即. 即证， 当趋向于正无穷时，不成立，故②不正确. 故选：C 9.若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导函数，确定函数的单调性和极值点，利用函数在区间上有极值点，即可求实数的取值范围． 【解析】函数的定义域为R，且． 当时，恒成立，故在R上单调递增，从而没有极大值，也没有极小值． 当时，令，得， 解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增， 从而时有极小值，函数没有极大值． 依题意有，解得，即实数的取值范围是． 故答案为：． 10.设函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数） 【解析】（1）当时，，该函数的定义域为， ，令，可得， 由，可得；由，可得， 故当时，函数的增区间为，减区间为. （2）当时，由可得， 令，其中， 由题意可知，直线与函数在上的图象有两个公共点， ， 令，则与同号， 则对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数，且， 当时，，此时，，此时函数单调递减， 当时，，此时，，此时函数单调递增， 所以，， 又因为，，显然，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个公共点， 因此，实数的取值范围是. 考点二：计数原理与排列组合 11．（2019·上海嘉定·高二期末）已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断. 【详解】由组合数的定义可知，A选项错误； 由排列数的定义可知，B选项正确； 由组合数的性质可知，则C、D选项均错误.故选B. 【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题. 12．（广东省惠州市第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题）甲､乙､丙､丁4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，且甲､乙两名同学不能安排到同1个小区，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】30 【分析】利用间接法：先把学生安排出去，再排除甲､乙两名同学安排到同1个小区的情况，结合捆绑法运算求解. 【详解】根据题意：若每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，共有种安排方法， 若甲､乙两名同学安排到同1个小区，共有种安排方法， 所以共有种安排方法. 故答案为：30. 13．（2024上·江西·高二校联考期末）某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（    ） A．18 B．21 C．23 D．72 【答案】A 【分析】根据特殊元素优先安排的方法，先安顿好甲，再安排其他同学即可. 【详解】要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分成两步完成： ① 让甲在三个项目中任选一个，有种方法； ② 让另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，有种方法. 由分步乘法计数原理，可得符合条件的报名方法种数为. 故选：A. 14.（23-24格致中学高二期中）某中学运动会期间，甲、乙、丙、丁、戊、戌六名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有（   ） A．180种 B．190种 C．192种 D．240种 【答案】C 【解析】若甲位于两端时，乙与之相邻只有一个位置可选，丙与甲不相邻有余下四个位置可选， 故有种方法； 若甲不位于两端时，乙与之相邻有两个位置可选，丙与甲不相邻有三个位置可选， 故有种方法； 综上不同的排列方式有192种.故选：C 15.（23-24高二下·湖北·期中）14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，从后排9人中抽2人调整到前排，有中不同的取法， 将前排5人和后来两人看成七个位置， 把两个人在七个位置中选两个位置进行排列，完成调整，有中不同的排法， 所以不同调整方法的总数是种.故选：D. 16.（23-24高二上·上海浦东新·期末）10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有 种. 【答案】126 【知识点】排列组合综合 【分析】由隔板法，将10个小球排成一排，中间插入5个隔板，即可求得不同的放法. 【详解】由隔板法，将10个小球排成一排，除去两端中间插入5个不相邻的隔板，此时9个空中选5个空放隔板，将10个球分成六份，再将六份装入六个盒子中即可，不同的放法有种. 故答案为：126. 17．（2023·全国·高三专题练习）设集合，其中为自然数且，则符合条件的集合A的个数为（    ） A．833 B．884 C．5050 D．5151 【答案】A 【分析】利用隔板法，然后排除有两个数相同的结果，再结合集合元素的无序性可得. 【详解】将100个小球排成一列，在101个空位（包括两段的空位）中插入第一个挡板，再在产生的102个空位中插入第二个挡板，将小球分成三段，分别记每段中的小球个数为a、b、c，共有种结果， 因为，所以a、b、c中含有两个0,1,2，…，50各有3种结果， 所以a、b、c三个数各不相等的结果共有个 因为三个元素的每种取值有6种不同顺序， 所以，由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为个. 故选：A 18．（2021·福建宁德·高二期中）2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）． 【答案】180 【分析】分为两类：第一类是一组3人，另一组5人，第二类是两组均为4人，然后根据人数分组，再进行排列即可. 【详解】分配的方案有两类， 第一类：一组3人，另一组5人，有种； 第二类：两组均为4人，有种， 所以共有种不同的分配方案． 故填：180 【点睛】本题考查了分类计数原理和分步计数原理以及排列组合数的计算，属于中档题目，解题中需要注意分组的条件要充分考虑到，防止重复和遗漏. 19．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有_________种不同的分配方法． 【答案】150 【分析】把5名医生分成3组，然后再分配即得. 【详解】根据题意，先把5名医生分成3组再分配， 一是分成3,1,1然后分配，共有种分配方法， 二是分成2,2,1然后分配，共有种分配方法， 所以共有种分配方法. 故答案为：150. 考点三：二项式定理 20．（2025·北京朝阳·一模）在的展开式中，常数项为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的展开式通项为， 令，解得，所以，展开式中的常数项为. 故选：D. 21．（2025·山东·一模）展开式中第4项的系数为 ． 【答案】 【详解】由展开式的通项公式可得，， 所以展开式中第4项的系数为. 故答案为：． 22.（2021·上海市第三女子中学高三期中）在的二项展开式中常数项的系数是____________（结果用数值表示） 【答案】60 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项． 【详解】解：∵展开式的通项公式为， 令，求得，可得展开式中的常数项为， 故答案为：60． 23．（2021·河北·石家庄市第十七中学高三期中）若的展开式中的系数为，则___________. 【答案】 【分析】求出通项公式，再令，并结合题意解方程即可. 【详解】解：展开式的通项公式为：， 因为的系数为 ，故令，解得. 所以，即：，所以. 故答案为： 24．（2025·福建泉州·二模）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 【答案】C 【分析】根据二项式系数和公式可得，利用赋值法可得，即可利用二项式展开式的通项特征求解. 【详解】因为的二项式系数之和为32，则，解得， 即二项式为， 因为展开式各项系数和为243，令，代入可得，解得， 即二项式为，则该二项式展开式的通项为， 令，解得，则展开式中的系数为. 故选：C 25．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知二项式，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用赋值法可得特定项的系数及项的系数之和. 【详解】, 令，则， 即， 又， 所以， 故选：D. 26．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A．9 B．10 C．19 D．29 【答案】C 【分析】先将等式两边同时乘以，再将两边同时求导后，令可得. 【详解】因为， 所以 分别对两边进行求导得 ， 令，得， 所以， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键将原式两边同时乘以，再将两边对求导. 27．（2021·福建省建瓯市芝华中学高二期中）．求： （1）展开式中二项式系数最大的项及项的系数． （2）值． 【答案】（1）二项式系数最大的项的系数为160，项的系数为192；（2）729. 【分析】（1）结合二项式展开式的通项公式求得展开式中二项式系数最大的项及项的系数. （2）利用赋值法求得值. 【详解】（1）由于，一共有项，故时，二项式系数最大，故. 含项的为，故其系数为. （2）， 令，， 令，， 所以． 考点四：条件概率与相关公式 28．（2022·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（理））当时，若，则事件A与B的关系是（    ） A．互斥 B．对立 C．相互独立 D．无法判断 【答案】C 【解析】∵， ∴，即， ∴， ∴事件A与B相互独立. 故选：C. 29.（2023•宝山区模拟）袋中装有编号为1到5的5个球．先从袋中任取一个球，若该球不是1号球，则放回袋中；若是1号球，则不放回；然后再摸一次．则第二次摸到2号球的概率是 　　． 【分析】利用条件概率与全概率公式计算即可． 【解答】解：设事件为第一次取到1号球，为第一次未取到1号球，事件表示第二次取到2号球， 则， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了条件概率与全概率公式，属于基础题． 30.（2024·上海静安·二模）某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有（0，1，2）个次品的概率如下： 一批产品中有次品的个数 0 1 2 概率 0.3 0.5 0.2 则各批产品通过检查的概率为 ．（精确到0.01） 【答案】/0.91； 【分析】根据条件概率公式求解，，，即可利用全概率公式求解． 【详解】设事件表示一批产品中有个次品，1，， 则，，， 设事件表示这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品， 则，，， 所以． 故答案为：0.91． 31.（23-24高三下·上海浦东新·期中）某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 . 【答案】0.18 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】设事件“任取一名同学，成绩为优秀”，“抽取的选修第门选修课的同学”（）， 则，且两两互斥，依题意，， ， 所以成绩是优秀的概率为 . 故答案为：0.18 32．（2022·全国·高三专题练习）盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的．第一次比赛时，从中任意取出了3个来用，用完后仍放回盒中（新球用后成了旧球）．第二次比赛时再从盒中取出3个来用，求第二次取出的3个球均为新球的概率． 【解析】设A表示第二次取出3个球均为新球，为第一次取出3球中有i个新球，i＝0，1，2，3， 则，，，， ，，，， 所以． 33．（2022·全国·高三专题练习）鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼的保质期一般在三至四天.据统计，某超市一天鲜花饼卖出3箱的概率为，卖出箱的概率为，卖出箱的概率为，没有卖出的概率为，为了保证顾客能够买到新鲜的鲜花饼，该超市规定当天结束营业后检查货架上存货，若卖出箱及以上，则需补货至箱，否则不补货.假设第一天该超市开始营业时货架上有箱鲜花饼. (1)在第一天结束营业后货架上有箱鲜花饼的条件下，求第二天结束营业时货架上有箱存货的概率； (2)求第二天结束营业时货架上有箱存货的概率. 【解析】（1）设事件：“第二天开始营业时货架上有箱鲜花饼”，事件：“第二天开始营业时货架上有箱鲜花饼”，，事件：“第二天结束营业时货架上有箱存货”， 因为第一天结束营业后货架上有箱鲜花饼，故第二天只卖出箱， 故； （2）由题意，，， 由全概率公式得. 34．（2022·全国·高三专题练习）某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，且当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.从以上数据可知，当乙球员参加比赛时，求该球队某场比赛不输球的概率. 【解析】设表示“乙球员担当前锋”，表示“乙球员担当中锋”，表示“乙球员担当后卫”，表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球根据题意，则 ，所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为. 考点五：随机变量的分布与数字特征 35.（2023•松江区模拟）已知盒中装有形状完全相同的4个黑球与2个白球，现从中有放回的摸取4次，每次都是从盒子中随机摸出1个球，设摸得白球个数为，则为　　 A． B． C．2 D． 【分析】由题可知，然后根据二项分布的期望公式即得． 【解答】解：盒中装有形状完全相同的4个黑球与2个白球， 每次从盒子中随机摸出1个白球的概率为， 又摸球的过程是有放回的，， ． 故选：． 【点评】本题考查二项分布的期望，属基础题． 36.（2023•宝山区模拟）一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用表示取出的3个球中最大编号，则　　． 【分析】由题意得的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出． 【解答】解：一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个， 用表示取出的3个球中最大编号， 的可能取值为3，4，5， ， ， ， ． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题． 37.（2023•奉贤区二模）已知随机变量的分布为，且，若，则实数　　． 【分析】根据已知条件，结合离散型随机变量期望公式，以及期望的线性公式，即可求解． 【解答】解：随机变量的分布为， 则， ， 则，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查离散型随机变量期望公式，属于基础题． 38.（2024·上海徐汇·二模）同时抛掷三枚相同的均匀硬币，设随机变量表示结果中有正面朝上，表示结果中没有正面朝上，则 . 【答案】 【分析】先利用独立事件的概率乘法公式求出，，再利用期望和方差公式求解． 【详解】由题意可知，，， 所以， 所以． 故答案为：. 39.（2024·上海虹口·二模）已知随机变量，且，则 . 【答案】12 【分析】利用二项分布方差和期望的公式求解即可. 【详解】随机变量， ， ， 则. 故答案为：12 40．（2022·全国·高三专题练习）设，若随机变量的分布列如下表： －1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，得，则， 所以，， 所以，， 所以，， 即最大， 故选：C. 41．（2024·浙江宁波·模拟预测）随机变量的分布列如表所示，则当在内增大时，满足（    ） 0 1 A．先增大后减小 B．先减小后增大 C．增大 D．减小 【答案】A 【分析】根据分布列计算随机变量的期望、方差后，利用二次函数求解. 【详解】由分布列可得： ， 所以， 因为对称轴方程为， 所以当在内增大时，先增大后减小. 故选：A 42．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由，解得 由随机变量的分布列的性质得，得 所以 故选：B 43．（2022·全国·高三专题练习）从装有个白球和个黑球的袋中无放回任取个球，每个球取到的概率相同，规定： （1）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量 （2）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量 则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】根据题意，，，，分布列如下： 根据题意，，，，分布列如下： ，， ，， 可得， 故选：C. 考点六：二项分布 超几何分布与正态分布 44．（21-22高二下·上海杨浦·期末）已知随机变量服从二项分布，且（），则 . 【答案】 【分析】由二项分布的期望和方差公式求出，，再根据期望的性质求出，最后根据方差的性质计算可得； 【解析】解：因为，所以， 又， 即，解得， 所以. 故答案为： 45．（2022·全国·高三专题练习）某工厂产品合格的概率均为，各产品合格与否相互独立．设为该工厂生产的件商品中合格的数量，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知X服从与参数为5，p的二项分布， ∴  ，，， 又，， ∴  ，， ∴  ， 故选：B. 46．（23-24高二下·上海·期末）设随机变量服从二项分布若随机变量的方差则 【答案】 【分析】利用二项分布的方差公式求出，再利用二项分布概率公式求值即可. 【解析】依题意，，解得， 所以. 故答案为： 47．（24-25高二上·上海·期末）已知随机变量，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据正态曲线的对称性求解即可. 【解析】根据正态曲线的对称性，时， 若，则， 于是. 故答案为： 48．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【解析】因为且， 所以， 所以. 故答案为： 49．（2022·全国·高三专题练习）从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝(    ) A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【解析】的可能取值为. ，，. ∴的分布列为： ξ 0 1 2 P 于是， 故. 故选：C. 50．（2022·安徽·高三开学考试）已知某次考试的数学成绩服从正态分布，且，现从这次考试随机抽取 3 位同学的数学成绩，则这 3 位同学的数学成绩都在内的概率为_____． 【答案】 【解析】由题意得，该正态曲线的对称轴为，∵， ∴，∴3位同学的数学成绩都在的概率为． 故答案为： 51．（2022·全国·高三专题练习）北京某高校有20名志愿者报名参加2022年北京冬奥会服务工作，其中有2名老师，18名学生.若从中随机抽取名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老师的人数. (1)若，求X的分布列与数学期望； (2)当n为何值时，的概率取得最大值?最大值是多少? 【解析】（1）当时，X的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P . （2）的概率为，，且. 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的概率取最大值，最大值是. 52．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者： (1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率； (2)从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望． 【解析】（1）记事件为至少有1人通过手机收看， 由题意知，通过手机收看的概率为，没有通过手机收看的概率为， 则； （2）由题意知：，则的可能取值为0，1，2，3， ； ； ； ； 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 考点七：相关分析与回归分析 53．（2022·全国·高三专题练习）甲､乙､丙､丁四位同学各自对两变量的线性相关性做试验，分别求得样本相关系数，如下表： 甲 乙 丙 丁 则试验结果中两变量有更强线性相关性的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【解析】由已知，乙的相关系数的绝对值为，是四人中最大的，因此乙同学有更强的相关性． 故选：B． 54．（2022·全国·高三专题练习）对于数据组，如果由线性回归方程得到的对应于自变量的估计值是，那么将称为相应于点的残差．某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据如下表所示： 3 4 5 6 2.5 3 4 根据表中数据，得出关于的线性回归方程为，据此计算出样本点（4，3）处的残差为－0.15，则表中的值为（    ） A．3.3 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】B 【解析】由题意可知，在样本（4，3）处的残差－0.15，则，即， 解得，即， 又，且线性方程过样本中心点（，）， 则，则， 解得. 故答案为：B 55．（2022·全国·高三专题练习）已知两个变量和之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据， 3 4 5 6 7 3.5 2.4 1.1 -0.2 -1.3 根据表格中的数据求得同归方程，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由已知数据，可知随着的增大而减小， 则变量和变量之间存在负相关的关系，， 当时，则， 即：，． 故选：B. 56．（2022·全国·高三专题练习）为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数（天） 3 4 5 6 繁殖个数（千个） 2.5 3 4.5 由最小二乘法得与的线性回归方程为，则当时，繁殖个数的预测值为（ ） A．4.9 B．5.25 C．5.95 D．6.15 【答案】B 【解析】由题意，根据表格中的数据，可得， 即样本中心为，代入回归直线方程，即， 解得，即回归直线的方程为， 当时，，故选B． 考点八：列联表与独立性检验 57．（2022·四川·树德中学高三阶段练习（文））根据分类变量x与y的观察数据，计算得到．依据下面给出的临界值表， 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 可知下列判断中正确的是（    ） A．有95%的把握认为变量x与y独立 B．有95%的把握认为变量x与y不独立 C．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10% D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10% 【答案】D 【解析】因为 ，且 ， 所以依据表中给出的 独立性检验知：变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%， 故选：D 58．（2022·全国·高三专题练习）为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（    ） 0.025 0.010 0.005 0.001 5.02 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效” C．有99.99%以上的把握认为“药物有效” D．有99.99%以上的把握认为“药物无效” 【答案】A 【解析】因为，即， 所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”或有99.9%以上的把握认为“药物有效”． 故选：A． 考点九：综合压轴 59．（2024·上海崇明·一模）王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将记作第一组，、、、分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)王老师将测试成绩在和内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率； (3)已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差． 【答案】(1)74.5 (2) (3) 【分析】（1）根据频率之和为1可求的值，根据组中值可求平均数； （2）根据对立事件可求2人的测试成绩至少1个在内的概率； （3）根据分层方差和总体方差的关系式可求第二组和第四组所有学生成绩的方差. 【详解】（1）由题意得，解得 所以平均数等于 （2）由题意，内有8人，内有2人， 所以被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率为. （3）设第二组、第四组的平均数与方差分别为， 由题意，第二组、第四组分别有10人和8人， 所以成绩在第二组、第四组的平均数 成绩在第二组、第四组的方差 故估计成绩在第二组、第四组的方差是. 60．（2024·上海虹口·一模）2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示． (1)求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数； (2)若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率； (3)已知这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，位于上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于上的均值与方差． 【答案】(1) (2) (3)这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，. 【分析】（1）根据百分位数的定义求解即可； （2）先求出的人数，利用对立事件结合古典概型求解即可； （3）根据题意利用分层抽样的平均数和方差公式运算求解. 【详解】（1）∵， ∴第35百分位数为第两个数的平方数 （2）由图1可知，图2中有2人， 所以从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分设为事件， 所以. （3）由题意可知：落在的频率为，落在的频率为， 因为这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7， 位于上的均值为73，方差为134.6， 所以， 设这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为， 所以，解得：， ， 解得：. 这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，. 61．（24-25高三上·上海浦东新·期末）过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”． (1)设，判断点是否为的“类点”，并说明理由； (2)设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； (3)设，证明：轴上不存在的“类点”． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)2； (3)证明见解析. 【分析】（1）判断点的位置，求出过此点的切线方程，结合“类点”的定义判断即可. （2）求出过点的切线方程，并代入的坐标并结合“类点”的定义求出值，验证即可得解. （3）假定存在，并设出点的坐标，由过点的切线方程建立等式，分离参数构造函数，利用导数探讨方程根的情况导出矛盾得证. 【详解】（1）函数，，点在上，求导得， 设切点为，切线方程为，即， 由切线过，得，,解得或， 因此切线方程为，所以点为的“类点”. （2）函数，求导得，设切点为， 切线方程为，即， 切线过，则， 依题意，方程有三个不同解，且成等差数列，设为，公差为， ， 因此，则，，则， 当时，，不过， 所以的值为2. （3）假设轴上存在函数的“类点”，记为，设坐标为， 求导得，设切点为，切线方程为， 即，由切线过，得，此方程至少有两个不同解， 设，则，由，得或， 当时，，函数是上的严格减函数， 当时，为上的严格增函数， 函数的极小值，极大值，又， 当或时，方程有两个不同解，当时，方程有三个不同解， 当时，在上，其余情况下在外，则， 设两垂直切线的斜率为，对应方程的两根为， 则，由， 得，则有， 由，得异号，不妨设， 由均值不等式知，， 则，与矛盾，即不存在， 所以轴上不存在的“类点”. 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 62．（24-25高三上·上海松江·期末）定义在上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数在的相依区间．已知． (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围． (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）求出，根据零点存在性定理判断证明； （2）根据函数在上处处相依，可得，使得，转化为，，得解； （3）根据题意可得，结合的单调性将要证明的问题转化为，，构造函数，利用导数证明. 【详解】（1）当时，， ， 所以，， 即，又在上处处相依， 所以函数在上有零点. （2），， ， 因为函数在上处处相依， 所以，，使得， 即，使得， ，，即，， 又， . 所以实数的取值范围为. （3）当时，，则， 因为为函数的在的相依区间， 所以，又， 则， 因为，，即单调递减， ，，即单调递增， 所以，则， 要证，即证，即证， 即证，， 令， ， 令，， ， 因为，，， 所以，即在上单调递减，则， 所以，即在上单调递减， 所以，即，即证得成立. 从而证明得到. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是根据相依区间的定义得到，结合条件利用分析法转化为，，构造函数证明. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题09 期末复习满分冲刺（提高篇） 考点一：导数 1.质点的运动规律为，则质点在时的瞬时速度为 ． 2.若函数在处导数为，则等于（    ） A． B． C． D． 3.已知函数的导函数为，若，为的导函数，则 . 4.直线与曲线相切，则 ． 5．（23-24高二下·上海青浦·期末）若函数在区间上是严格单调函数，则实数的取值范围为 ． 6．（22-23高二下·上海松江·期末）函数在上不单调，则实数k的取值范围是 . 7．（21-22高二下·上海杨浦·期末）设，若，则x的取值范围是 . 8．（21-22高二下·上海普陀·期末）已知函数有两个零点，对于下列结论：①；②；则（    ） A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对 9.若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是 . 10.设函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数） 考点二：计数原理与排列组合 11．（2019·上海嘉定·高二期末）已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（　　） A． B． C． D． 12．（广东省惠州市第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题）甲､乙､丙､丁4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，且甲､乙两名同学不能安排到同1个小区，则不同的安排方法共有__________种. 13．（2024上·江西·高二校联考期末）某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（    ） A．18 B．21 C．23 D．72 14.（23-24格致中学高二期中）某中学运动会期间，甲、乙、丙、丁、戊、戌六名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有（   ） A．180种 B．190种 C．192种 D．240种 15.（23-24高二下·湖北·期中）14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（    ） A． B． C． D． 16.（23-24高二上·上海浦东新·期末）10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有 种. 17．（2023·全国·高三专题练习）设集合，其中为自然数且，则符合条件的集合A的个数为（    ） A．833 B．884 C．5050 D．5151 18．（2021·福建宁德·高二期中）2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）． 19．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有_________种不同的分配方法． 考点三：二项式定理 20．（2025·北京朝阳·一模）在的展开式中，常数项为（  ） A． B． C． D． 21．（2025·山东·一模）展开式中第4项的系数为 ． 22.（2021·上海市第三女子中学高三期中）在的二项展开式中常数项的系数是____________（结果用数值表示） 23．（2021·河北·石家庄市第十七中学高三期中）若的展开式中的系数为，则___________. 24．（2025·福建泉州·二模）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 25．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知二项式，则 （    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A．9 B．10 C．19 D．29 27．（2021·福建省建瓯市芝华中学高二期中）．求： （1）展开式中二项式系数最大的项及项的系数． （2）值． 考点四：条件概率与相关公式 28．（2022·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（理））当时，若，则事件A与B的关系是（    ） A．互斥 B．对立 C．相互独立 D．无法判断 29.（2023•宝山区模拟）袋中装有编号为1到5的5个球．先从袋中任取一个球，若该球不是1号球，则放回袋中；若是1号球，则不放回；然后再摸一次．则第二次摸到2号球的概率是 　　． 30.（2024·上海静安·二模）某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有（0，1，2）个次品的概率如下： 一批产品中有次品的个数 0 1 2 概率 0.3 0.5 0.2 则各批产品通过检查的概率为 ．（精确到0.01） 31.（23-24高三下·上海浦东新·期中）某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 . 32．（2022·全国·高三专题练习）盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的．第一次比赛时，从中任意取出了3个来用，用完后仍放回盒中（新球用后成了旧球）．第二次比赛时再从盒中取出3个来用，求第二次取出的3个球均为新球的概率． 33．（2022·全国·高三专题练习）鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼的保质期一般在三至四天.据统计，某超市一天鲜花饼卖出3箱的概率为，卖出箱的概率为，卖出箱的概率为，没有卖出的概率为，为了保证顾客能够买到新鲜的鲜花饼，该超市规定当天结束营业后检查货架上存货，若卖出箱及以上，则需补货至箱，否则不补货.假设第一天该超市开始营业时货架上有箱鲜花饼. (1)在第一天结束营业后货架上有箱鲜花饼的条件下，求第二天结束营业时货架上有箱存货的概率； (2)求第二天结束营业时货架上有箱存货的概率. 34．（2022·全国·高三专题练习）某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，且当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.从以上数据可知，当乙球员参加比赛时，求该球队某场比赛不输球的概率. 考点五：随机变量的分布与数字特征 35.（2023•松江区模拟）已知盒中装有形状完全相同的4个黑球与2个白球，现从中有放回的摸取4次，每次都是从盒子中随机摸出1个球，设摸得白球个数为，则为　　 A． B． C．2 D． 36.（2023•宝山区模拟）一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用表示取出的3个球中最大编号，则　　． 37.（2023•奉贤区二模）已知随机变量的分布为，且，若，则实数　　． 38.（2024·上海徐汇·二模）同时抛掷三枚相同的均匀硬币，设随机变量表示结果中有正面朝上，表示结果中没有正面朝上，则 . 39.（2024·上海虹口·二模）已知随机变量，且，则 . 40．（2022·全国·高三专题练习）设，若随机变量的分布列如下表： －1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差中最大的是（    ） A． B． C． D． 41．（2024·浙江宁波·模拟预测）随机变量的分布列如表所示，则当在内增大时，满足（    ） 0 1 A．先增大后减小 B．先减小后增大 C．增大 D．减小 42．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则（    ） A． B． C．1 D． 43．（2022·全国·高三专题练习）从装有个白球和个黑球的袋中无放回任取个球，每个球取到的概率相同，规定： （1）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量 （2）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量 则（    ） A．， B．， C．， D．， 考点六：二项分布 超几何分布与正态分布 44．（21-22高二下·上海杨浦·期末）已知随机变量服从二项分布，且（），则 . 45．（2022·全国·高三专题练习）某工厂产品合格的概率均为，各产品合格与否相互独立．设为该工厂生产的件商品中合格的数量，其中，，则（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高二下·上海·期末）设随机变量服从二项分布若随机变量的方差则 47．（24-25高二上·上海·期末）已知随机变量，且，则 . 48．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则 . 49．（2022·全国·高三专题练习）从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝(    ) A．2 B．1 C．3 D．4 50．（2022·安徽·高三开学考试）已知某次考试的数学成绩服从正态分布，且，现从这次考试随机抽取 3 位同学的数学成绩，则这 3 位同学的数学成绩都在内的概率为_____． 51．（2022·全国·高三专题练习）北京某高校有20名志愿者报名参加2022年北京冬奥会服务工作，其中有2名老师，18名学生.若从中随机抽取名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老师的人数. (1)若，求X的分布列与数学期望； (2)当n为何值时，的概率取得最大值?最大值是多少? 52．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者： (1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率； (2)从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望． 考点七：相关分析与回归分析 53．（2022·全国·高三专题练习）甲､乙､丙､丁四位同学各自对两变量的线性相关性做试验，分别求得样本相关系数，如下表： 甲 乙 丙 丁 则试验结果中两变量有更强线性相关性的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 54．（2022·全国·高三专题练习）对于数据组，如果由线性回归方程得到的对应于自变量的估计值是，那么将称为相应于点的残差．某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据如下表所示： 3 4 5 6 2.5 3 4 根据表中数据，得出关于的线性回归方程为，据此计算出样本点（4，3）处的残差为－0.15，则表中的值为（    ） A．3.3 B．4.5 C．5 D．5.5 55．（2022·全国·高三专题练习）已知两个变量和之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据， 3 4 5 6 7 3.5 2.4 1.1 -0.2 -1.3 根据表格中的数据求得同归方程，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 56．（2022·全国·高三专题练习）为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数（天） 3 4 5 6 繁殖个数（千个） 2.5 3 4.5 由最小二乘法得与的线性回归方程为，则当时，繁殖个数的预测值为（ ） A．4.9 B．5.25 C．5.95 D．6.15 考点八：列联表与独立性检验 57．（2022·四川·树德中学高三阶段练习（文））根据分类变量x与y的观察数据，计算得到．依据下面给出的临界值表， 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 可知下列判断中正确的是（    ） A．有95%的把握认为变量x与y独立 B．有95%的把握认为变量x与y不独立 C．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10% D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10% 58．（2022·全国·高三专题练习）为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（    ） 0.025 0.010 0.005 0.001 5.02 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效” C．有99.99%以上的把握认为“药物有效” D．有99.99%以上的把握认为“药物无效” 考点九：综合压轴 59．（2024·上海崇明·一模）王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将记作第一组，、、、分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)王老师将测试成绩在和内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率； (3)已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差． 60．（2024·上海虹口·一模）2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示． (1)求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数； (2)若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率； (3)已知这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，位于上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于上的均值与方差． 61．（24-25高三上·上海浦东新·期末）过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”． (1)设，判断点是否为的“类点”，并说明理由； (2)设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； (3)设，证明：轴上不存在的“类点”． 62．（24-25高三上·上海松江·期末）定义在上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数在的相依区间．已知． (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围． (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$