专题08：期末复习满分冲刺（基础篇2）讲义-2024-2025学年高二下学期数学期末复习沪教版（2020）

2024-2025学年高二数学下学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题07 期末复习满分冲刺（基础篇2） 考点一：导数 1．（2024·上海静安·一模）已知物体的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，则该物体在时刻的瞬时速度为 . 2．（23-24高一下·上海·期末）若，则 . 3．（22-23高二下·上海长宁·期末）下列求导计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·上海浦东新·期末）函数的驻点是 ． 5．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）曲线在点处的切线的方程为 ． 6．（22-23高二下·上海静安·期末）已知曲线上一点，则在点处的切线方程为 . 7．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，，则该函数的严格增区间是 . 9．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，则函数的极大值点为 ． 10．（2024·上海徐汇·一模）设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 . 11．（22-23高二下·上海普陀·期末）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列所有真命题的序号为 ．    ①函数在区间上严格减；   ②函数在区间上严格增； ③函数在处取得极小值；   ④函数在处取得极小值． 12．若，恒成立，则a的最大值为（ ） A． B．1 C．e D． 考点二：计数原理与排列组合 13.（2023嘉定二模）已知，若，则 . 14．（23-24高二下·上海青浦·期末）“”是“”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 15．（2023秋•松江区校级月考）设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有种，则为　　 A．， B．， C．， D．， 16．（24-25高二上·上海·期末）有4名学生报名参加“行知杯”足球赛和“灵辰杯”篮球赛两项比赛，每人至少报一项，每项比赛参加人数不限，则不同的报名结果有 种． 17．（2021·湖北武汉·高二期中）六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（       ） A．48 B．72 C．90 D．120 18．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中（理））将A，B，C，D四盆不同的花从左到右摆放成一排，但A，C不能相邻，B，C相邻，则共有______种不同的摆放方法. 19．（上海市崇明区2021-2022学年高二下学期期末数学试题）某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的方法有___________种． 20．（2022·高二课时练习）有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案？ A．680 B．816 C．1360 D．1456 21．（2021·湖北·高二期中）《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成3组派去三地执行公务（每地至少去1人），则不同的方案有（       ）种． A．150 B．180 C．240 D．300 22．（22-23高二上·上海浦东新·期末）10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有 种. 23．（2021·江西·横峰中学高二期中（理））如图所示的几何体由三棱锥与三棱柱组合而成，现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（       ） A．种 B．种 C．种 D．种\ 考点三：二项式定理 24．（24-25高二上·上海·期末）在的二项展开式中，常数项为 . 25.（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）的二项展开式的第二项为 ． 26.（23-24高二下·上海黄浦·期中）在 的展开式中，系数为有理数的项共有 项． 27.的二项展开式中系数最大的项为第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．2或3 28.若，则（    ） A．244 B．242 C．122 D．121 29..已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 30．（2021·江苏·立人高中高二期中）在展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列. （1）求展开式的所有项的系数和； （2）证明展开式中没有常数项； （3）求展开式中的所有有理项. 考点四：条件概率与相关公式 31.已知事件A和B是互斥事件，，，，则______． 32.（2023•普陀区三模）已知、分别为随机事件、的对立事件，（A），（B），则下列等式错误的是　　 A． B． C．若、独立，则（A） D．若、互斥，则 33．（22-23高二下·上海黄浦·期末）三颗骰子各掷一次，观察掷得的点数.记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个2点”，则 . 34．（23-24高二下·上海·期末）设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为 、  ，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是 ． 35．（23-24高二上·上海·期末）某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 . 36．（2022·全国·高三专题练习）某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是．从开关第一次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，那么第二次闭合后出现红灯的概率是____________． 37．（2022·全国·高三专题练习）某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100％，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为______． 考点五：随机变量的分布与数字特征 38．（24-25高三·上海·随堂练习）已知随机变量X分布如下：，它是均匀分布，则为 ． 39．（22-23高二下·上海金山·期末）设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 40．（21-22高二下·上海杨浦·期末）已知随机变量的分布为，则（    ） A． B． C． D．无法确定 41．（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知随机变量X服从二项分布，且，则 . 42．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量的分布为，且随机变量，则 . 43．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 44．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者： (1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率； (2)从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望． 考点六、二项分布、超几何分布和正态分布 45．（2022·全国·高三专题练习）.若随机变量的分布列为，其中，则下列结果中正确的是 A． B． C． D． 46．（2022·全国·高三专题练习）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（    ） A． B． C． D． 47．（2022·全国·高三专题练习）一批产品共有20件，其中2件次品，18件合格品，从这批产品中任意抽取2件，则至少有1件是次品的概率是（    ） A． B． C． D． 48．（2022·广东佛山·高三阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 49．（2022·江苏·淮安市钦工中学高三阶段练习）某地有6000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为___________. 50．（2022·广东广州·高三阶段练习）某品牌手机的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布．且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为________． 考点七：相关分析与回归分析 51．某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图． 下面关于相关系数的比较，正确的是（　　） A． B． C． D． 52．（2022·上海交大附中高三阶段练习）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：头），并计算得，，，，. (1)估计该地区这种野生动物的数量； (2)求样本的相关系数.（精确到0.01） 53．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.8995，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝﹣0.9568，则下列判断正确的是（　　） A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强     B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强     C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强     D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强 54．（23-24高三下·上海浦东新·期中）通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图.若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是（    ） A．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关 B．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变 C．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 55．（22-23高二下·上海松江·期末）某蛋糕店对某新品种蛋糕进行试销，根据试销情况，得到销售单价（单位：元/个）与每天的销量（单位：个）的数据，如下表所示.已知该新品种蛋糕的销量关于销售单价的经验回归方程为，则 . 单价（元/个） 销量/个 56．（2022·全国·高三专题练习）已知，的取值如表： 0 1 3 4 4.3 4.8 6.7 若，具有线性相关关系，且回归方程为，则__________． 57．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知一组样本数据，，…，（，，，…，不相等），若这组数据的样本相关系数为，则在这组样本数据的散点图中，所有样本点（，2，…，n）所在的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 58．（2022·全国·高三专题练习（文））给出下列说法：①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位.其中说法正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 考点八：列联表与独立性检验 59．（23-24高二下·上海·期末）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某销售网点为了调查是否购买该款盲盒与性别的关系，得到如下列联表： 女生 男生 总计 购买 40 20 60 未购买 70 70 140 总计 110 90 200 则认为 （填有或没有）的把握认为改款盲盒与性别有关．（） 60．（23-24高二下·上海·期末）党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入（单位：万元）与年份代码（见下表）具有线性相关关系，计算得，，． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到； (2)求出关于的线性回归方程． 参考公式： 相关系数，，． 考点九：综合压轴 61．（21-22高二下·上海浦东新·期末）迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试.统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[40，100]内，统计相应分数段的人数如下表： 分数段 学生人数 累计总人数 10人 10人 40人 50人 50人 100人 60人 160人 30人 190人 10人 200人 (1)根据上面的学生成绩频率分布表，作出学生成绩频率分布的直方图.并估计这200名学生的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值为代表）； (2)在这200名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了10人，再从这10人中随机抽取3人，记X为3人中成绩在的人数，求X的分布列和数学期望； (3)规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级.以样本估计总体，用频率代替概率.从所有参加考试的同学中随机抽取10人，其中获得B等级的人数恰为人的概率为P，当k为何值时P的值最大？ 62.（2023·上海宝山·三模）记，分别为函数，的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”. (1)证明：函数与不存在“S点”； (2)若函数与存在“S点”，求实数的值； (3)已知，.若存在实数，使函数与在区间内存在“S点”，求实数的取值范围. 63.（23-24高二下·上海·期中）已知与都是定义在上的函数，函数图像上任意两点，记表示此两点连线的斜率.当时，都有，则称是的一个“T函数”． (1)判断是否为函数的一个函数，并说明理由； (2)设的导数为，求证：关于的方程在区间上有实数解； (3)函数的导函数存在记为，即导函数存在记为，当都有，函数是否存在T函数?若存在，请求出的所有函数；若不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题08 期末复习满分冲刺（基础篇2） 考点一：导数 1．（2024·上海静安·一模）已知物体的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，则该物体在时刻的瞬时速度为 . 【答案】2 【分析】由瞬时速度的意义，求出函数在时的导数值即可. 【详解】函数，求导得，则， 所以所求瞬时速度为2. 故答案为：2 2．（23-24高一下·上海·期末）若，则 . 【答案】 【分析】利用导数的定义求解即得. 【解析】依题意，. 故答案为： 3．（22-23高二下·上海长宁·期末）下列求导计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数的运算法则及复合函数的求导公式依次分析选项，综合可得答案． 【解析】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误． 故选：B． 4．（23-24高二下·上海浦东新·期末）函数的驻点是 ． 【答案】 【分析】求导，根据导数即可求解. 【解析】，令，解得， 故答案为：. 5．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）曲线在点处的切线的方程为 ． 【答案】 【分析】求出，可求得的值，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线的方程 【详解】由，则，且， 所以曲线在点处的切线的方程为， 故答案为： 6．（22-23高二下·上海静安·期末）已知曲线上一点，则在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据导数求出曲线在该点的斜率，然后直接求解即可. 【解析】的导数为， 该曲线在处的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为： 7．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求函数的导数，根据题意转化为，恒成立，利用参变分离，转化为求函数的最值问题，即可求解. 【详解】若函数，则， 由题意可知，，恒成立， 即，恒成立， 设，，恒成立， 所以在区间单调递增，即， 所以. 故选：D 8．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，，则该函数的严格增区间是 . 【答案】 【分析】求导，利用导数求原函数的单调区间. 【解析】因为，，则对恒成立， 所以该函数的严格增区间是. 故答案为：. 9．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，则函数的极大值点为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，对函数求导，利用导函数研究函数的单调性，即可求解. 【解析】由，可得， 令，解得：，， 令，解得：或，所以在，上单调递增； 令，解得：，所以在上单调递减； 故函数的极大值点为； 故答案为： 10．（2024·上海徐汇·一模）设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】函数存在两个不同的极值点等价于在内有两个异号零点，进而转化为在内有两个不等根即可求解. 【详解】解：易知函数的定义域为， ， 因为函数存在两个不同的极值点， 所以在内有两个不等根， 设，， 则只需，即， 所以，则的取值范围为. 故答案为： 11．（22-23高二下·上海普陀·期末）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列所有真命题的序号为 ．    ①函数在区间上严格减；   ②函数在区间上严格增； ③函数在处取得极小值；   ④函数在处取得极小值． 【答案】②④ 【分析】根据给定的图象，求出或的的取值范围，再逐项判断作答. 【解析】观察图象知，当时，或，当时，或， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，①错误，②正确； 函数在处取得极大值，③错误； 函数在处取得极小值，④正确， 所以所有真命题的序号是②④. 故答案为：②④ 12．若，恒成立，则a的最大值为（ ） A． B．1 C．e D． 【答案】C 【分析】 根据题设可得、，当易知，当时构造，利用导数研究单调性可得，即可知在上恒成立，构造并研究求其最小值即可得a的最大值. 【详解】 由，， 由， ①若，，此时满足； ②若，令，在恒成立， ∴在单调递增，而， ∴在恒成立， 综上，在恒成立，， 令，， 在单调递减，单调递增， ∴，即有． 故选：C 考点二：计数原理与排列组合 13.（2023嘉定二模）已知，若，则 . 答案：3 14．（23-24高二下·上海青浦·期末）“”是“”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据组合数知识得到方程，求出或3，得到答案. 【解析】，故或， 解得或3， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 15．（2023秋•松江区校级月考）设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有种，则为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】本题是一个分步乘法问题，每名学生报名有3种选择，有4名学生根据分步计数原理知共有种选择，同理三项冠军的结果数也有类似的做法． 【解答】解：由题意知本题是一个分步乘法问题， 首先每名学生报名有3种选择， 有4名学生根据分步计数原理知共有种选择， 每项冠军有4种可能结果， 3项冠军根据分步计数原理知共有种可能结果． 故选：． 【点评】本题考查分步乘法原理，考查计数原理的应用，是一个简单的应用分步计数原理的题目，没有同分类原理结合，也没有排列组合问题的应用，是一个基础题． 16．（24-25高二上·上海·期末）有4名学生报名参加“行知杯”足球赛和“灵辰杯”篮球赛两项比赛，每人至少报一项，每项比赛参加人数不限，则不同的报名结果有 种． 【答案】81 【分析】求出每名学生报名的种数，再利用分步乘法计数原理列式计算得解. 【解析】依题意，每名学生报名的种数是3，由分步乘法计数原理得不同的报名结果有种. 故答案为：81 17．（2021·湖北武汉·高二期中）六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（       ） A．48 B．72 C．90 D．120 【答案】A 【分析】根据题意可得甲、乙只能在第二位和第五位，根据分步乘法原理，即可得答案. 【详解】由题意得，甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车， 所以甲、乙只能在第二位和第五位，共有种排法，其他车辆任意排列， 所以总排法有种. 故选：A 18．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中（理））将A，B，C，D四盆不同的花从左到右摆放成一排，但A，C不能相邻，B，C相邻，则共有______种不同的摆放方法. 【答案】 【分析】将BC捆绑，看成一个复合元素与A，D全排列，再排除C在A，B之间，即可求出结果. 【详解】先排B，C，有种排法； 因为B，C相邻，所以可将BC捆绑，与A，D全排列，则有种排法； 又A，C不能相邻，需排除C在A，B之间的情况，有种排法； 故有种. 故答案为： 19．（上海市崇明区2021-2022学年高二下学期期末数学试题）某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的方法有___________种． 【答案】120 【分析】从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑看作一个元素，另一辆看作另一个元素，这两个元素不相邻，将这两个元素插入另外4个车位形成的5个空位中. 【详解】从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑看作一个元素，有种方法； 另一辆看作另一个元素，这两个元素不相邻，将这两个元素插入另外4个车位形成的5个空位中，有种， 因此共有种. 故答案为：120 20．（2022·高二课时练习）有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案？ A．680 B．816 C．1360 D．1456 【答案】A 【详解】先给每个小朋友分三个苹果，剩余个苹果利用“隔板法”， 个苹果有个空，插入三个 “板”，共有680种方法. 故选：A. 21．（2021·湖北·高二期中）《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成3组派去三地执行公务（每地至少去1人），则不同的方案有（       ）种． A．150 B．180 C．240 D．300 【答案】A 【分析】将5人分3组，每组至少1人，共有两种情况：（1）每组人数别为1，2，2；（2）每组的人数分别为1，1，3，然后分别计算出现的结果数并相加，可得结果. 【详解】解：将5人分3组，每组至少1人，共有两种情况： （1）每组人数别为1，2，2，方法有； （2）每组的人数分别为1，1，3，方法有， 所以不同的方案有90+60=150种. 故选：A 【点睛】此题考查的是排列组中的分类、分步计数原理，属于中档题. 22．（22-23高二上·上海浦东新·期末）10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有 种. 【答案】126 【分析】由隔板法，将10个小球排成一排，中间插入5个隔板，即可求得不同的放法. 【解析】由隔板法，将10个小球排成一排，除去两端中间插入5个不相邻的隔板，此时9个空中选5个空放隔板，将10个球分成六份，再将六份装入六个盒子中即可，不同的放法有种. 故答案为：126. 23．（2021·江西·横峰中学高二期中（理））如图所示的几何体由三棱锥与三棱柱组合而成，现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（       ） A．种 B．种 C．种 D．种\ 【答案】C 【分析】第一步：根据相邻的面均不同色，涂三棱锥P-ABC的三个侧面， 第二步：涂三棱柱ABC-的三个侧面，然后利用分步计数原理求解. 【详解】第一步：涂三棱锥P-ABC的三个侧面， 因为要求相邻的面均不同色， 所以共有种不同的涂法， 第二步：涂三棱柱ABC-的三个侧面， 先涂侧面有种涂法，再涂和只有1种涂法， 所以涂三棱柱的三个侧面共有种涂法， 所以对几何体的表面不同的涂色方案共有种涂法， 故选：C 考点三：二项式定理 24．（24-25高二上·上海·期末）在的二项展开式中，常数项为 . 【答案】20 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【解析】的二项展开式中，常数项为， 故答案为： 25.（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）的二项展开式的第二项为 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】应用二项式定理得到展开式通项，进而写出第二项即可得. 【详解】由题设，展开式通项为，， 所以，第二项为. 故答案为： 26.（23-24高二下·上海黄浦·期中）在 的展开式中，系数为有理数的项共有 项． 【答案】6 【解析】由题意知，展开式的通项公式为， 当（）为整数时，的系数为有理数， 所以，即展开式中系数为有理数的项共有6个. 27.的二项展开式中系数最大的项为第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．2或3 【解题思路】由通项公式列出不等式组可求答案. 【解答过程】的展开式通项公式为， 设第项为系数最大的项，则有，解得，即. 故选：B. 28.若，则（    ） A．244 B．242 C．122 D．121 【解题思路】分别令、得两式相加可得答案. 【解答过程】令，得， 令，得， 两式相加得， 则. 故选：C. 29..已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，得到，从而求出展开式中系数的最小值. 【解答过程】因为的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，所以， 所以展开式的通项公式为，要使展开式中系数的最小值，则为奇数，取值为1，3，5，7，所以当或5时，系数最小，则展开式中系数的最小值为， 故选：C. 30．（2021·江苏·立人高中高二期中）在展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列. （1）求展开式的所有项的系数和； （2）证明展开式中没有常数项； （3）求展开式中的所有有理项. 【答案】(1)（2）见解析（3） 【分析】（1）由展开式中第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，可得：，整理得，，即可求得的值；再赋值x=1,得所有项的系数和（2）由通项公式得无解即可证明；（3）由通项公式得当时为有理项求解 【详解】（1）因为展开式中第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列， ，整理得，，即， 又，，的值为7. 令x=1,展开式的所有项的系数和 （2），令，不成立，所以展开式中没有常数项. （2）由（2）知当时展开式中的所有有理项为 考点四：条件概率与相关公式 31.已知事件A和B是互斥事件，，，，则______． 【答案】 【解析】由题意知，，， 则． 故答案为：． 32.（2023•普陀区三模）已知、分别为随机事件、的对立事件，（A），（B），则下列等式错误的是　　 A． B． C．若、独立，则（A） D．若、互斥，则 【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断． 【解答】解：由， 故选项错误，选项正确； 若、独立，则（A）（B）， ，故正确； 若、互斥，则， ，正确． 故选：． 【点评】本题考查了条件概率的概率公式的应用，独立事件概率公式以及互斥事件概率公式的应用，考查了逻辑推理能力，属基础题． 33．（22-23高二下·上海黄浦·期末）三颗骰子各掷一次，观察掷得的点数.记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个2点”，则 . 【答案】 【分析】先分别计算事件和事件的情况数，在根据条件概率的定义计算. 【解析】根据条件概率的定义，的含义为在事件发生的前提下，事件发生的概率， 事件的情况数为， 对于事件，因为“三个点数都不相同”，则只有一个2点，故有种情况， 所以. 故答案为：. 34．（23-24高二下·上海·期末）设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为 、  ，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【解析】设事件分别表示“此人来自甲地区和乙地区”；事件表示“感染此疾病”， ，， 因此 故答案为： 35．（23-24高二上·上海·期末）某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 . 【答案】 【分析】求出第一次取到0个、1个、2个新球的概率，再结合条件概率及全概率公式列式计算即得. 【解析】用表示第一次取到个新球的事件，用表示第二次训练时恰好取到1个新球的事件， 则，且两两互斥，， ， 因此， 所以第二次训练时恰好取到1个新球的概率为. 故答案为： 36．（2022·全国·高三专题练习）某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是．从开关第一次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，那么第二次闭合后出现红灯的概率是____________． 【答案】 【解析】记第一次闭合后出现红灯为事件，则第一次出现绿灯为事件，第二次闭合后出现红灯为事件，出现绿灯为， ，，， 所以． 故答案为：． 37．（2022·全国·高三专题练习）某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100％，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为______． 【答案】0.625 【解析】设“考生答对题目”为事件A，“考生知道正确答案”为事件B， 则，，， ． 故答案为：0.625． 考点五：随机变量的分布与数字特征 38．（24-25高三·上海·随堂练习）已知随机变量X分布如下：，它是均匀分布，则为 ． 【答案】 【分析】由均匀分布可知，，求解即可. 【解析】随机变量X分布是均匀分布，所以， ，． 故答案为： 39．（22-23高二下·上海金山·期末）设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由离散型随机变量的分布列性质求出，然后求解即可. 【解析】因为随机变量X的分布列， 所以，解得：， . 故选：B. 40．（21-22高二下·上海杨浦·期末）已知随机变量的分布为，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先由概率和为1求得，再根据期望公式求解即可. 【解析】由题，，所以， 所以， 故选：C 41．（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知随机变量X服从二项分布，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据二项分布的期望公式，求得，得到，结合方差的公式，即可求解. 【解析】由题意知，随机变量服从二项分布， 因为，可得，解得，即， 所以. 故答案为：. 42．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量的分布为，且随机变量，则 . 【答案】29 【分析】由数学期望和方差的公式求出，，再由方差的的性质即可求出. 【解析】因为随机变量的分布为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：29. 43．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据方差和期望的性质可得：,, 故选：D 44．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者： (1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率； (2)从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望． 【解析】（1）记事件为至少有1人通过手机收看， 由题意知，通过手机收看的概率为，没有通过手机收看的概率为， 则； （2）由题意知：，则的可能取值为0，1，2，3， ； ； ； ； 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 考点六：二项分布 超几何分布和正态分布 45．（2022·全国·高三专题练习）.若随机变量的分布列为，其中，则下列结果中正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由离散型随机变量的概率关系可知：.则. 46．（2022·全国·高三专题练习）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为， 因为是有放回的取球，所以， 所以 故选：D 47．（2022·全国·高三专题练习）一批产品共有20件，其中2件次品，18件合格品，从这批产品中任意抽取2件，则至少有1件是次品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】至少有1件是次品的概率是. 故选：C. 48．（2022·广东佛山·高三阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误； 对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量， 所以，所以B错误； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以C正确； 对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，， 即，所以D错误. 故选：C. 49．（2022·江苏·淮安市钦工中学高三阶段练习）某地有6000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为___________. 【答案】300 【解析】由正态分布曲线的对称轴为，以及可得，因此, 故130分以上的人数为. 故答案为：300 50．（2022·广东广州·高三阶段练习）某品牌手机的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布．且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为________． 【答案】0.4【解析】由题意知，， ∴ ∴正态分布曲线的对称轴为直线， 因为， ∴， 故该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4， 故答案为：0.4 考点七：相关分析与回归分析 51．某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图． 下面关于相关系数的比较，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知：所对应的图中的散点呈现正相关 ，而且对应的相关性比对应的相关性要强，故，所对应的图中的散点呈现负相关，且根据散点的分布情况可知,因此， 故选：C 52．（2022·上海交大附中高三阶段练习）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：头），并计算得，，，，. (1)估计该地区这种野生动物的数量； (2)求样本的相关系数.（精确到0.01） 【解析】（1）由已知得样本平均数 ， 从而该地区这种野生动物数量的估计值为. （2）由，，， 可得样本 的相关系数为 . 53．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.8995，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝﹣0.9568，则下列判断正确的是（　　） A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强     B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强     C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强     D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强 【答案】C 【解析】依题意：， 所以正相关，负相关， ，所以的线性相关性较强. 故选：C 54．（23-24高三下·上海浦东新·期中）通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图.若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是（    ） A．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关 B．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变 C．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 【答案】D 【分析】根据相关系数的概念逐一判断. 【解析】对于A：去掉图中右下方的点后，根据图象，两个变量还是负相关，A错误； 对于BCD：去掉图中右下方的点后，相对来说数据会集中，相关程度会更高， 但因为是负相关，相关系数会更接近线性相关系数会变小，故D正确，BC错误. 故选：D. 55．（22-23高二下·上海松江·期末）某蛋糕店对某新品种蛋糕进行试销，根据试销情况，得到销售单价（单位：元/个）与每天的销量（单位：个）的数据，如下表所示.已知该新品种蛋糕的销量关于销售单价的经验回归方程为，则 . 单价（元/个） 销量/个 【答案】 【分析】根据经验回归方程必过样本点中心，代入数值后，即可求解. 【解析】由题意可得，， 则. 故答案为：185 56．（2022·全国·高三专题练习）已知，的取值如表： 0 1 3 4 4.3 4.8 6.7 若，具有线性相关关系，且回归方程为，则__________． 【答案】 【解析】将代入回归方程为，可得，应填答案． 57．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知一组样本数据，，…，（，，，…，不相等），若这组数据的样本相关系数为，则在这组样本数据的散点图中，所有样本点（，2，…，n）所在的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】样本相关系数r的绝对值越接近于1，样本数据的散点图越接近于一条直线．因为该组数据的样本相关系数，故样本数据呈负相关，所以所有样本点（，2，…，n）所在的曲线可能在直线上， 故选：A． 58．（2022·全国·高三专题练习（文））给出下列说法：①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位.其中说法正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【解析】对于① 中，回归直线恒过样本点的中心，但不一定过一个样本点，所以不正确； 对于② 中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，所以是正确的； 对于③ 中，根据方差的计算公式，可得将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差是不变的，所以是正确的； 对于④ 中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，所以是正确的. 故选：B. 考点八：列联表与独立性检验 59．（23-24高二下·上海·期末）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某销售网点为了调查是否购买该款盲盒与性别的关系，得到如下列联表： 女生 男生 总计 购买 40 20 60 未购买 70 70 140 总计 110 90 200 则认为 （填有或没有）的把握认为改款盲盒与性别有关．（） 【答案】有 【分析】根据列联表数据和的计算公式求出即可根据小概率值的独立性检验得到结论. 【解析】零假设为改款盲盒与性别无关联. 由列联表数据计算得， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，故有的把握认为改款盲盒与性别有关. 故答案为：有. 60．（23-24高二下·上海·期末）党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入（单位：万元）与年份代码（见下表）具有线性相关关系，计算得，，． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到； (2)求出关于的线性回归方程． 参考公式： 相关系数，，． 【答案】(1)，与具有较高的线性相关程度 (2) 【分析】（1）根据题意求得，利用相关系数公式求得相关系数，比较可得结论； （2）利用回归方程的系数公式求得，继而求得，即可求得与的回归方程． 【解析】（1）由表数据可得的平均数， 所以， 所以相关系数， 由，所以与具有较高的线性相关程度； （2）依题意可得， ， ， 所以， 所以关于的线性回归方程为． 考点九：综合压轴 61．（21-22高二下·上海浦东新·期末）迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试.统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[40，100]内，统计相应分数段的人数如下表： 分数段 学生人数 累计总人数 10人 10人 40人 50人 50人 100人 60人 160人 30人 190人 10人 200人 (1)根据上面的学生成绩频率分布表，作出学生成绩频率分布的直方图.并估计这200名学生的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值为代表）； (2)在这200名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了10人，再从这10人中随机抽取3人，记X为3人中成绩在的人数，求X的分布列和数学期望； (3)规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级.以样本估计总体，用频率代替概率.从所有参加考试的同学中随机抽取10人，其中获得B等级的人数恰为人的概率为P，当k为何值时P的值最大？ 【答案】(1)频率分布直方图见解析，平均成绩约为69.5分； (2)分布列见解析，期望为； (3)4. 【分析】（1）根据给定数表，作出学生成绩频率分布的直方图，并求出200名学生的平均成绩作答. （2）求出10人中成绩在，，的人数，再求出X的可能值，并计算各个值对应的概率，列出分布列，求出期望作答. （3）利用二项分布的概率公式及不等式法求解作答. 【解析】（1）依题意，学生成绩频率分布的直方图如图， （分）， 所以这200名学生的平均成绩约为69.5分. （2）由数表知，成绩在，，内的人数分别为60，30，10， 利用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了10人， 则成绩在的人数为，成绩在的人数为，成绩在的人数为， X的可能值为0，1，2，3， ，，，， X的分布列为： X 0 1 2 3 P X的期望为. （3）由数表知，成绩为B等级的频率为，因此，从全体学生中任抽1人，成绩为B等级的概率是， 则有，，令最大， 则，即， 整理得：，解得，而，即， 所以当时，其概率最大. 62.（2023·上海宝山·三模）记，分别为函数，的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”. (1)证明：函数与不存在“S点”； (2)若函数与存在“S点”，求实数的值； (3)已知，.若存在实数，使函数与在区间内存在“S点”，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导，假设存在“S点”，解方程组可得结论； （2）求导，设“S点”为，解方程组得结论． （3）设“S点”为，由，用表示出，由求得的范围，利用导数求得的范围. 【解析】（1）因为，，则，， 假设存在函数与存在“S点” 即存在满足，方程组无解， 所以函数与不存在“S点”. （2）因为与，则与， 设“S好点”为，满足，， 所以. （3）由已知，， 依题意可得：存在满足，代入得， 解得， 由，又，故解得， 令，则，在上增函数， ，时，，且当时，， 所以，即． 【点睛】思路点睛：本题考查导数的定义，解题关键是掌握新定义“S点”的含义，对函数的“好点”，实质就是解方程组，因此凡是出现“S点”，解题时就是由此方程组求解．这样就把新定义转化一般的函数及其导数问题． 63.（23-24高二下·上海·期中）已知与都是定义在上的函数，函数图像上任意两点，记表示此两点连线的斜率.当时，都有，则称是的一个“T函数”． (1)判断是否为函数的一个函数，并说明理由； (2)设的导数为，求证：关于的方程在区间上有实数解； (3)函数的导函数存在记为，即导函数存在记为，当都有，函数是否存在T函数?若存在，请求出的所有函数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是，理由见详解 (2)证明见详解 (3)函数存在唯一T函数 【分析】（1）根据题意结合T函数的定义，即可得出结论； （2）先证引理：对连续可导函数，对任意，均存在，使得，结合引理即可证明； （3）根据（2）种引理可证为T函数，再通过导数证明唯一性可得解. 【解析】（1）是函数的一个函数，理由如下： 因为， 若，则， 即，可知是函数的一个函数. （2）先证引理：对连续可导函数，对任意，均存在，使得. 构建，则， 可知，且在区间上连续不断， 反证：若函数在区间上没有零点， 则（或）在区间内恒成立， 可知在内单调递增（减）， 则（或），这与相矛盾， 所以假设不成立， 即函数在区间上有零点，设为， 可知，即. 由题意可知：， 由引理可知：存在，使得， 即关于的方程在区间上有实数解. （3）由引理可知：存在，使得，即， 又因为在内恒成立，可知在内单调递增， 可知，即， 所以为的一个T函数； 下证T函数的唯一性：假设存在T函数， 对任意， 当时，均存在，使得， 因为，即， 下证：， 若存在使得， 因为在的严格增函数， 故存在使得， 可知存在使得， 则，由的单调性知，矛盾， 故对任意都有 同理可证：对任意都有，从而； 综上所述：函数存在唯一T函数. 【点睛】关键点点睛：对于函数的新定义题要理解好定义的内容，不等式运算时注意不等式的要求，变号时要多注意，一般的大题在前面的问题和后面的问题有联系，后面的问题没有思路时看看前面的问题 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$