第3讲：万有引力与宇宙航行【十大考点+十大题型】-2024-2025学年高一下学期物理期末《考点•题型•密卷》精讲精练高效复习讲义

第3讲：万有引力与宇宙航行 【考点归纳】 · 考点一：开普勒行星运动定律 · 考点二：万有引力定律 · 考点三：万有引力与重力的关系 · 考点四：计算中心天体的质量和密度 · 考点五：宇宙三大速度的对比 · 考点六：宇宙第一速度的计算 · 考点七：同步卫星与近地卫星 · 考点八：各种卫星变轨问题 · 考点九：双星（多星）系统 · 考点十：万有引力与宇宙航行综合计算 【知识梳理】 知识点1：开普勒行星运动定律 定律 内容 公式或图示 开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 公式：＝k，k是一个与行星无关的常量 知识点二．万有引力定律 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比． (2)公式：F＝G. 3．符号意义 (1)G为引力常量，其数值由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2. (2)r为两个质点间的距离或质量均匀的两个球体的球心间的距离． 知识点3　万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示． (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：G＝mg0. (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和． 越靠近两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg. 知识点4：天体质量和密度的计算 1．利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R. (1)由G＝mg，得天体质量M＝. (2)天体密度ρ＝＝＝. 2．利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T. (1)由G＝mr，得M＝. (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝. (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度． 知识点5：天体运动问题 1．解决天体运动问题的基本思路 一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G＝ma，式中a是向心加速度． 2．四个重要结论 设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动 (1)由G＝m得v＝ ，r越大，天体的v越小． (2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，天体的ω越小． (3)由G＝m()2r得T＝2π ，r越大，天体的T越大． (4)由G＝man得an＝，r越大，天体的an越小． 以上结论可总结为“越远越慢，越远越小”． 知识点6：宇宙航行 一：宇宙速度 数值 意义 第一宇宙速度 7.9 km/s 卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度 第二宇宙速度 11.2 km/s 使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度 第三宇宙速度 16.7 km/s 使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度 二．第一宇宙速度的定义：又叫环绕速度，是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所具有的速度，是人造地球卫星的最小发射速度，v＝7.9 km/s. 三．第一宇宙速度的计算 设地球的质量为M，卫星的质量为m，卫星到地心的距离为r，卫星做匀速圆周运动的线速度为v： 方法一：→→ 方法二：→→ 二：卫星各物理量分析： 项目 推导式 关系式 结论 v与r的关系 G＝m v＝ r越大，v越小 ω与r的关系 G＝mrω2 ω＝ r越大，ω越小 T与r的关系 G＝mr2 T＝2π r越大，T越大 a与r的关系 G＝ma a＝ r越大，a越小 由上表可以看出：卫星离地面高度越高，其线速度越小，角速度越小，周期越大，向心加速度越小．可以概括为“高轨低速长周期”． 知识点7．人造地球卫星的轨道 人造卫星的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道． (1)椭圆轨道：地心位于椭圆的一个焦点上． (2)圆轨道：卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星所需的向心力由万有引力提供，由于万有引力指向地心，所以卫星的轨道圆心必然是地心，即卫星在以地心为圆心的轨道平面内绕地球做匀速圆周运动． 总之，地球卫星的轨道平面可以与赤道平面成任意角度，但轨道平面一定过地心．当轨道平面与赤道平面重合时，称为赤道轨道；当轨道平面与赤道平面垂直时，即通过极点，称为极地轨道，如图 2．地球同步卫星 (1)定义：相对于地面静止的卫星，又叫静止卫星． (2)六个“一定”． ①同步卫星的运行方向与地球自转方向一致． ②同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，T＝24 h. ③同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度． ④同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星都在赤道的正上方． ⑤同步卫星的高度固定不变． ⑥同步卫星的环绕速度大小一定：设其运行速度为v，由于G＝m，所以v＝＝ 知识点8、卫星变轨原理 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示． (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G<m，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在椭圆轨道B点(远地点)将做近心运动，G>m，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ. 2．变轨过程分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB. (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3. (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则E1<E2<E3. 知识点9．双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示． (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2. ②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2. ③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. ④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. ⑤双星的运动周期T＝2π. ⑥双星的总质量m1＋m2＝. 2．多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．常见的多星及规律： 常见的三星模型 ①＋＝ma向 ②×cos 30°×2＝ma向 常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向 ②×cos 30°×2＋＝ma向 【题型归纳】 题型一：开普勒行星运动定律 1．（23-24高一下·江苏南京·期末）关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆中心 B．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点运行的速率相等 C．表达式中，月球绕地球运动的k值与地球绕太阳运动的k值不同 D．该定律是在牛顿运动定律的基础上推导出来的 2．（23-24高一下·安徽亳州·期末）节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶。地球沿椭圆形轨道绕太阳运动，2024年春分、夏至、秋分和冬至所处四个位置和时间如图所示。下列说法正确的是（　　） A．地球由春分运行到秋分的时间等于由秋分运行到春分的时间 B．夏至和冬至时地球绕太阳公转的角速度大小相等 C．地球由春分运行到夏至的过程中加速度逐渐减小 D．太阳在椭圆的一个焦点上，根据地球的公转周期和地球绕太阳椭圆轨道的半长轴长度可估算出地球的质量 3．（23-24高一下·江西九江·期末）“行星连珠”是指太阳系的多颗行星位于地球与太阳连线上且在太阳的同一侧，最壮观的“九星连珠”极其罕见，但“两星连珠”较为常见，设某行星的轨道半径为地球轨道半径的倍，该行星每过多少年与地球与发生一次两星连珠？（　　） A． B． C． D． 题型二：万有引力定律 4．（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期末）对于质量和质量的两个物体间的万有引力的表达式，下列说法正确的是（　　） A．当两个物体间的距离趋于零时，万有引力趋于无穷大 B．和所受的引力性质可能相同，也可能不同 C．当有第三个物体放入之间时，和之间的万有引力将增大 D．和所受引力总是大小相等的 5．（23-24高一下·山西朔州·期末）2024年5月8日，嫦娥六号探测器进入环月轨道，为登陆月球做准备。已知月球质量为地球质量的，月球半径为地球半径的，不考虑地球和月球的自转，嫦娥六号在月球表面受到月球引力为地球表面受到地球引力的（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·重庆·期末）2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭运载，在中国文昌航天发射场成功发射，并准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功。已知地球质量是月球质量的81倍，设定地球中心与月球中心的间距恒为D，嫦娥六号探测器位于地球中心与月球中心连线上距月球中心d处时，其所受地球引力和月球引力的合力为零。由此可知（　　） A． B． C． D． 题型三：万有引力与重力的关系 7．（23-24高一下·河南安阳·期末）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同，已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，由此可知地球的半径为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·湖北·期末）我国航天科学家在进行深空探索的过程中发现有颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北半球，OE连线与赤道平面的夹角为30°经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为，则E位置的向心加速度为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·四川凉山·期末）设某星球可看做半径为R的质量分布均匀的球体，因该星球自转使其表面各处重力加速度不相同，在两极的重力加速度等于g，在赤道上的重力加速度等于，则该星球自转角速度等于（　　） A． B． C． D． 题型四：计算中心天体的质量和密度 10．（23-24高一下·四川成都·期末）我国“嫦娥六号”航天器于2024年5月3日在海南文昌发射中心发射升空。航天器在近月轨道上绕月球的运动可视为匀速圆周运动，经过时间t（小于绕行周期），运动的弧长为s，航天器与月球中心连线扫过的角度为θ（弧度），引力常量为G，则（　　） A．航天器的轨道半径为 B．航天器的环绕周期为 C．月球的质量为 D．月球的密度为 11．（23-24高一下·广东江门·期末）宇航员在某一星球表面（接近真空环境）做科学实验，他让小球自距星球表面h高处自由下落，经过时间t小球落到星球表面，已知该星球半径为R，万有引力常数为G，h远小于R，则下列说法错误的是（　　） A．星球表面的重力加速度为 B．星球的质量为M= C．该星球的第一宇宙速度为 D．此星球的平均密度为 12．（23-24高一下·四川遂宁·期末）2021年11月8日，“天问一号”环绕器成功实施第五次近火制动，准确进入遥感使命轨道，开展火星全球遥感探测，让人类登上火星的梦想更近了一步。假设某一天，某同学登上火星在火星两极用弹簧测力计测得质量为m的物体其所受的重力为F1，在火星赤道上用同一弹簧测力计测得其所受的重力为F2，通过天文观测测得火星的自转角速度为ω，已知引力常量为G，将火星看成是质量分布均匀的球体，则火星的密度和半径分别为（　　） A．　 B．　 C．　 D．　 题型五：宇宙三大速度的对比 13．（23-24高一下·北京海淀·期末）如图所示，牛顿在他的《自然哲学的数学原理》中说到：把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次远；抛出速度足够大时，物体就不会落回地面，而是成为人造地球卫星。可认为山的高度远小于地球的半径，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．对于那些抛出后可以落回地面的物体，无论抛出速度是多大，落地时间都一样 B．图中圆轨道对应的抛出速度近似等于第一宇宙速度 C．若抛出的速度大于第一宇宙速度，则物体在之后的运动过程中将无法返回山顶 D．若抛出的速度大于第二宇宙速度，则物体被抛出后可能绕地球做圆周运动 14．（23-24高一下·河北·期末）宇宙速度是从地球表面向宇宙空间发射人造地球卫星、行星际和恒星际飞行器所需的最低速度．下列关于宇宙速度的说法正确的是（    ） A．第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度 B．若飞行器的发射速度大于第二宇宙速度，则飞行器将绕地球做椭圆运动 C．若飞行器的发射速度大于第三宇宙速度，则飞行器将绕太阳运动 D．卫星绕地球做圆周运动的速率可能大于第一宇宙速度 15．（23-24高一下·山西太原·期末）2024年5月3日，“嫦娥六号”进入周期、距月球表面高度处的圆形轨道，绕月球做匀速圆周运动。已知月球半径为，引力常量为，下列选项正确的是（  ） A．月球的密度为 B．月球的质量为 C．“嫦娥六号”在地球上的发射速度大于地球的第二宇宙速度 D．“嫦娥六号”在月球该轨道上的运行速度小于月球的第一宇宙速度 题型六：宇宙第一速度的计算 16．（23-24高一下·甘肃·期末）若质量为m的“祝融号”火星车悬停在火星表面上方，受到竖直向上的升力F，已知火星的半径为R，引力常量为G，忽略火星的自转，则下列说法正确的是（　　） A．火星表面的重力加速度大小为 B．火星的第一宇宙速度大小为 C．火星的质量为 D．火星的密度为 17．（23-24高一下·陕西渭南·期末）2024年3月2日，“神舟十七号”航天员乘组圆满完成第二次出舱活动,我国航天员首次完成舱外维修任务。已知“神舟十七号”航天员乘组所在的空间站质量为m，轨道半径为r，绕地球运行的周期为T，地球半径为R，引力常量为G。求： （1）空间站运行所需的向心力大小； （2）地球的平均密度； （3）第一宇宙速度的大小。 18．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）北京时间2024年5月8日9：57左右，在发射升空约112小时30分钟后，“嫦娥六号”月球探测器在接近高度约200千米的近月点开启轨道器3000牛发动机实施减速制动，点火过程持续895秒，10：12探测器成功进入大椭圆环月轨道，“嫦娥六号”任务就此转入第四个阶段——环月飞行段。若该椭圆轨道的近月点、远月点距离月球表面的高度分别用r1、r2表示，已知“嫦娥六号”在该椭圆轨道运行的周期为T，月球半径为R，万有引力常量为G，求： （1）月球的质量M； （2）月球的第一宇宙速度v1。 题型七：同步卫星与近地卫星 19．（23-24高一下·贵州黔南·期末）2023年8月13日长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火升空，成功将陆地探测四号01星送入预定轨道。陆地探测四号01星是全球首颗地球同步轨道SAR（合成孔径雷达）卫星，如图中所示；图中为太阳探测卫星“夸父一号”，轨道高度小于地球静止卫星轨道高度；为赤道上的物体。则下列说法正确的是（　　） A．、的线速度大小关系为 B．、的周期大小关系为 C．、的角速度大小关系为 D．、的向心加速度大小关系为 20．（23-24高一下·天津河东·期末）华为MAte60Pro成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机，即使在没有地面网络信号的情况下，用户也可以从容拨打、接听卫星电话。该手机依托“天通一号”系列地球静止卫星与外界联系，目前我国已发射有“天通一号”01、02、03三颗卫星，若卫星绕地球做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．三颗卫星有可能经过天津市上空 B．三颗卫星的轨道半径一定都相等 C．三颗卫星的运行速度等于7.9km/s D．若已知三颗卫星到地球表面高度及引力常量，即可求出地球质量 21．（21-22高一下·天津·期末）北京时间2022年6月5日，神舟十四号成功发射后，与空间站天和核心舱成功对接，6月6号航天员陈东、刘洋、蔡旭哲顺利进入天和核心舱。三位航天员承接着空间站的在轨建造任务，将在轨工作6个月。已知地球半径为R，空间站距离地面高度为h，地球表面重力加速度为g，万有引力常量G，求： （1）地球的平均密度； （2）空间站绕地球做匀速圆周运动的周期； （3）若已知空间站的高度，静止卫星距离地面的高度为空间站高度90倍，试计算空间站的运行周期约为多少小时？（已知地球自转周期为24小时） 题型八：各种卫星变轨问题 22．（23-24高一下·广东湛江·期末）2024年6月2日上午6时23分，嫦娥六号已成功着陆在月球背面南极的艾特肯盆地。设想嫦娥六号被月球俘获后进入椭圆轨道Ⅰ上运行，当经过近月点M点时完成变轨后进入圆形轨道Ⅱ上运行，已知月球半径为R，圆形轨道Ⅱ距月球表面距离为nR，椭圆轨道Ⅰ远月点距月球表面距离为kR，如图所示，忽略其他天体对嫦娥六号的影响，关于嫦娥六号的运动，以下说法正确的是（　　） A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要在M点点火使其加速才能完成 B．在轨道Ⅱ上运行速度为月球第一宇宙速度的倍 C．在轨道Ⅰ上的近月点速度是远月点的倍 D．在轨道Ⅰ上运行周期是轨道Ⅱ上运行周期的倍 23．（23-24高一下·广西百色·期末）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第五十六颗北斗导航卫星，该卫星属地球静止轨道卫星。其发射过程可简化成下列过程：先将卫星发射至近地圆轨道1，变轨使其沿椭圆轨道2运行，最后变轨将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（　　） A．卫星在轨道3上的速度比在轨道1上的速度小，且大于7.9km/s B．卫星在轨道3上经过P点时的加速度大于它在轨道2上经过P点时的加速度 C．卫星经过轨道2上的Q点时速率最大，经过轨道2上的P点时速率最小 D．卫星在1，2，3轨道上的周期分别为T1，T2，T3，则周期关系为 24．（23-24高一下·四川成都·期末）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号运载火箭在酒泉卫星发射中心圆满的完成了发射，与“天和”核心舱成功对接。飞船变轨前绕地稳定运行在圆形轨道Ⅰ上，椭圆轨道Ⅱ为飞船的转移轨道，核心舱绕地沿逆时针方向运行在圆形轨道Ⅲ上，轨道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分别相切于A、B两点，则神舟十八号（　　） A．在Ⅰ轨道上稳定运行的速度可能大于7.9km/s B．在Ⅱ轨道上由A向B运动时，速度减小，机械能减小 C．在Ⅱ轨道上经过A点的速度大于在Ⅲ轨道的运行速度 D．应先变轨到Ⅲ轨道，然后再通过加速完成与“天和”核心舱的对接 题型九：双星（多星）系统 25．（23-24高一下·陕西渭南·期末）天文学家通过“中国天眼”的500米口径地面射电望远镜（FAST），在武仙座球状星团（M13）中发现一个脉冲双星系统。如图所示，双星系统由两颗恒星A、B组成，在万有引力的作用下，它们绕其连线上的O点做匀速圆周运动，轨道半径之比，则两颗天体的（　　） A．质量之比 B．角速度之比 C．线速度大小之比 D．向心力大小之比 26．（23-24高一下·河南三门峡·期末）在银河系中，双星的数量非常多，研究双星，对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义。由A、B两颗恒星组成的双星系统如图所示，A、B绕其连线上的一点O做圆周运动，测得A、B两颗恒星间的距离为L，恒星A的周期为T，恒星A做圆周运动的向心加速度是恒星B的2倍，已知万有引力常量为G，忽略其他星球对A、B的影响，则下列说法正确的是（　　） A．恒星B的周期为 B．A、B两颗恒星质量之比为 C．恒星A的线速度是恒星B的4倍 D．A、B两颗恒星质量之和为 27．（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下均绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G。求： （1）A星球做圆周运动的轨道半径R和B星球做圆周运动的轨道半径r； （2）两星球做圆周运动的周期； （3）如果把星球A质量不断地搬运到B星球上，并保持A和B两者中心之间距离仍为L。则组成新的稳定双星后那么星球A做圆周运动的轨道半径和周期如何变化。 题型十：万有引力与宇宙航行综合计算 28．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）长征二号F遥十七运载火箭托举着神舟十七号载人飞船，在酒泉卫星发射中心点火升空，经多次变轨后与在轨空间站对接，其变轨过程简化后，如图所示。飞船先从P点由近地轨道1进入椭圆轨道2，在椭圆轨道2运行一段时间后，再择机从Q点进入圆轨道3，然后与空间站完成对接，P、Q两点分别为椭圆轨道的近地点和远地点。已知地球的半径为R，表面重力加速度为g；近地轨道半径约等于地球半径，圆轨道3的半径为地球半径的k倍。求： (1)空间站在圆轨道3上的线速度大小； (2)飞船在椭圆轨道上的周期。 29．（23-24高一下·贵州毕节·期末）北斗系统是中国自研的全球卫星导航系统，可为全球用户提供全天候、全天时、高精度定位、导航和授时服务。北斗系统包含地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星。其中某一中圆地球轨道卫星距地球表面的高度为h，绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球半径为R，引力常量为G。求： （1）该中圆地球轨道卫星的线速度v； （2）地球的质量M； （3）地球的平均密度ρ。 30．（21-22高一下·江苏苏州·阶段练习）如图所示，A是地球的一颗静止卫星，O为地球中心，地球半径为R，地球自转周期为T0。另一卫星B的圆形轨道也位于赤道平面内，且距地面的高度h=R，地球表面的重力加速度大小为g。 （1）求卫星B所在处的重力加速度； （2）求卫星B的运行周期T1； （3）若卫星B运行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近，求从A、B两卫星相距最近时刻到紧邻的相距最远时刻的时间间隔。（用T0和T1表示） 【高分突破】 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西西安·期末）关于万有引力与天体，下列说法正确的是（　　） A．第谷测量大量行星运行的数据并据此推理出了行星运动定律 B．由可知，两物体紧靠在一起时，万有引力非常大 C．牛顿在实验室里通过测量几个铅球之间的万有引力，得出引力常量的数值 D．所有行星绕太阳运动的轨迹都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 2．（23-24高一下·河南·期末）如图所示，利用霍曼转移轨道可以将航天器从地球发送到火星。若地球和火星绕太阳公转的轨道都是圆形，则霍曼轨道就是一个经过近日点P和远日点Q且与这两个行星轨道都相切的椭圆。当“天问一号”火星探测器到达地球轨道的P点时，瞬时点火后进入霍曼轨道，当“天问一号”运动到霍曼轨道的Q点时，再次瞬时点火后进入火星轨道。下列说法正确的是（　　） A．“天问一号”在地球轨道上的线速度小于在火星轨道上的线速度 B．在P点瞬时点火后，“天问一号”的速度需要达到第二宇宙速度 C．在Q点再次瞬时点火加速，是为了增大太阳对“天间一号”的引力 D．“天问一号”沿霍曼轨道运行时在P点的加速度最小 3．（23-24高一下·四川凉山·期末）2024年5月3日17时27分，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场点火发射，准确进入地月转移轨道。它的主要任务是到月球背面采样，并携带月球样品返回地球，这也是人类第一次从月球背面采集月壤。5月8日10时12分，成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G。则嫦娥六号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的（　　） A．向心加速度为 B．角速度为 C．速度为 D．周期为 4．（23-24高一下·河南新乡·期末）2024年6月6日，嫦娥六号上升器成功与轨道器和返回器组合体完成月球轨道的交会对接。该次对接过程简化为如图所示，轨道器和返回器组合体（以下简称组合体）绕月球做半径为3R的匀速圆周运动，上升器从椭圆轨道的近月点B（近似为月球表面处）运行半个周期，到椭圆轨道的远月点A时，恰好与组合体实现对接，之后两者一起沿组合体原有轨道运动。已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g月，忽略月球自转，则下列说法正确的是（　　） A．组合体的运行周期为 B．上升器对接后机械能减小 C．上升器在椭圆轨道上的运行速率均小于对接后的运行速率 D．上升器在椭圆轨道上的运行周期与组合体的运行周期之比为 5．（23-24高一下·辽宁朝阳·期末）据报道、一个国际研究小组借助于智利的天文望远镜观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示。假设此双星系统中体积较小的成员能“吸食”体积较大的星体的表面物质，达到质量转移的目的，且在演变过程中两者球心之间的距离保持不变，双星平均密度可视为相同，则在最初演变的过程中（　　） A．它们做圆周运动的万有引力保持不变 B．它们做圆周运动的角速度不断变小 C．体积较大的星体做圆周运动的轨道半径变小，线速度变小 D．体积较大的星体做圆周运动的向心加速度变大，线速度变大 6．（23-24高一下·福建福州·期末）如图，A是我国目前发射的空间站，天舟二号B在为空间站运送物资过程中有段时间在离地心的距离为r的轨道上运行，运行速率为，向心加速度为；空间站离地心的距离为R，运行速率为，向心加速度为，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．可以将静止卫星发射到空间站所在的轨道上 D．空间站在轨道上运动时所受的合力不变 7．（23-24高一下·福建福州·期末）北京时间2024年5月12日7时43分，中国在酒泉卫星发射中心使用长征四号丙运载火箭，成功将试验二十三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。该星主要用于空间环境探测。已知地球半径为R，自转周期为T，“遥试验二十三号卫星轨道离地面的高度为，地球静止卫星轨道离地面的高度为，（）引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．试验二十三号卫星的发射速度大于11.2km/s B．试验二十三号卫星运行的速度小于地球第一宇宙速度 C．试验二十三号卫星与静止卫星绕地球运行的向心加速度之比为 D．地球的平均密度可表示为 8．（23-24高一下·安徽亳州·期末）如图所示，A、B是地球的两颗卫星，其轨道半径之比，两颗卫星的质量之比，则下列判断正确的是（　　） A．两颗卫星的加速度大小之比 B．两颗卫星的向心力大小之比 C．两颗卫星的线速度大小之比 D．两颗卫星的角速度大小之比 二、多选题 9．（23-24高一下·山西吕梁·期末）2024年4月26日，神舟十八号飞船自主交会对接天和核心舱。5月28日，航天员乘组完成了8.5小时的出舱活动任务。如图为飞船变轨前后的示意图，变轨前Ⅰ轨道为近地圆轨道，地球半径为R，F为地心，B为椭圆Ⅱ轨道的远地点，。则（　　） A．飞船在Ⅱ轨道上A点的速度介于第一宇宙速度与第二宇宙速度之间 B．出舱时宇航员由于没有受到地球引力而处于漂浮状态 C．飞船在Ⅱ轨道上运行的周期是在Ⅰ轨道上运行周期的两倍 D．在B点要变轨到更高的圆轨道，需要点火使飞船加速 10．（23-24高一下·青海·期末）2024年6月4日，携带月球样品的嫦娥六号上升器自月球背面起飞，随后成功进入预定环月轨道。嫦娥六号完成世界首次月球背面采样和起飞。图为嫦娥六号着陆月球前部分轨道的简化示意图，Ⅰ是嫦娥六号的地月转移轨道，Ⅱ、Ⅲ是嫦娥六号绕月球运行的椭圆轨道，Ⅳ是嫦娥六号绕月球运行的圆形轨道。P、Q分别为椭圆轨道Ⅱ上的远月点和近月点。不考虑月球的自转。下列说法正确的是（　　） A．嫦娥六号从轨道Ⅱ上的Q点变轨至轨道Ⅲ需减速 B．在轨道Ⅱ上运行的嫦娥六号经过P点时的速率大于经过Q点时的速率 C．嫦娥六号在轨道Ⅱ上运行时的机械能小于在轨道Ⅳ上运行时的机械能 D．嫦娥六号在轨道Ⅳ上运行时的速率小于在轨道Ⅱ上运行时经过Q点的速率 11．（23-24高一下·安徽淮北·期末）年月日，我国成功发射第颗北斗导航卫星，“北斗”卫星导航定位系统由地球静止卫星，中轨道卫星和倾斜静止卫星组成．下列说法正确的是（　　） A．地球静止卫星的运行速度大于第一宇宙速度 B．地球静止卫星的线速度比静止在赤道上物体的大 C．中轨道卫星的周期大于 D．中轨道卫星的向心加速度比地球静止卫星的大 12．（23-24高一下·河南·期末）2024年2月3日7时37分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将吉利星座02组卫星发射升空，11颗卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。假设其中三颗卫星绕地球做圆周运动，如图所示，a为地球的静止卫星，周期为T，b为倾斜轨道卫星，c为极地卫星（绕地球的两极做圆周运动），已知，地球表面两极的重力加速度为g。地球半径为R，则下列说法正确的是（　　） A．b卫星距离地球表面的高度为 B．c卫星的运动周期大于T C．a卫星和c卫星的线速度大小之比为 D．a卫星和c卫星的向心加速度大小之比为 13．（23-24高一下·山东威海·期末）科学家推测，双星的运动是产生引力波的来源之一。假设P、Q两天体组成一双星系统，各自围绕它们连线上某点在二者间万有引力作用下做匀速圆周运动。已知P、Q的质量比为2:3，下列说法正确的是（　　） A．P、Q的周期之比为2:3 B．P、Q的半径之比为3:2 C．P、Q的向心力之比为2:3 D．P、Q的向心加速度之比为3:2 14．（2024·全国·模拟预测）2023年5月30日16时29分，神舟十六号载人飞船入轨后，成功对接于空间站和核心舱径向端口，形成了三舱三船组合体，飞船发射后会在停泊轨道（I）上进行数据确认，后择机经转移轨道（Ⅱ）完成与中国空间站的交会对接，其变轨过程可简化为下图所示，已知停泊轨道半径近似为地球半径R，中国空间站轨道距地面的平均高度为h，飞船在停泊轨道上的周期为，则（　　） A．飞船在转移轨道（Ⅱ）上各点的速度均小于7.9km/s B．飞船在转移轨道（Ⅱ）上Q点的加速度等于空间站轨道（Ⅲ）上Q点的加速度 C．飞船在停泊轨道（I）与组合体在空间站轨道（Ⅲ）上的速率之比为 D．飞船在转移轨道（Ⅱ）上正常运行的周期为 三、解答题 15．（23-24高一下·山东威海·期末）2024年5月，嫦娥六号探测器在我国文昌成功发射，之后进入地月转移轨道，5月8日探测器成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行，做周期为T的匀速圆周运动，之后登陆月球，完成月球背面采样任务后成功返回。若探测器登陆月球后，采集的质量为m的土壤静置在月球表面的水平压力传感器上，传感器的示数为F。已知月球半径为r，引力常量为G，求： (1)月球表面的重力加速度及月球质量； (2)环月轨道距月球表面的高度。 16．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术。如图所示，其发射过程简化如下：质量为m的飞船在酒泉卫星发射中心发射，由“长征”运载火箭送入近地点为P、远地点为Q的椭圆轨道上，飞船通过变轨进入预定圆轨道。已知：点P距地面的高度为h，飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，地球表面重力加速度为g，地球半径为R。求： （1）飞船从Q点到P点速度大小的变化情况； （2）飞船经过椭圆轨道近地点P时的地球引力大小； （3）Q点距地面的高度。 17．（23-24高一下·广西贵港·期末）如图所示，绕地球做圆周运动的卫星的运行周期为T0，对地张角。地球的半径为R，引力常量为G，球的体积，其中r为球的半径。求： （1）地球的质量M； （2）地球的平均密度ρ； （3）地球近地卫星的运行周期T。 18．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）2024年6月4日7时38分，嫦娥六号上升器携带月球样品自月球背面起飞，成功进入预定环月轨道。如图所示，设月球表面上有一倾角的足够长固定斜面，一小物块从斜面底端以速度沿斜面向上运动，经过时间t后速度恰好减为零。已知小物块和斜面间的动摩擦因数为，月球半径为R，引力常量为G，，。求： （1）月球表面的重力加速度大小； （2）月球的“第一宇宙速度”； （3）嫦娥六号在距月球表面高度为h的环月轨道上做匀速圆周运动的运行周期T。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲：万有引力与宇宙航行 【考点归纳】 · 考点一：开普勒行星运动定律 · 考点二：万有引力定律 · 考点三：万有引力与重力的关系 · 考点四：计算中心天体的质量和密度 · 考点五：宇宙三大速度的对比 · 考点六：宇宙第一速度的计算 · 考点七：同步卫星与近地卫星 · 考点八：各种卫星变轨问题 · 考点九：双星（多星）系统 · 考点十：万有引力与宇宙航行综合计算 【知识梳理】 知识点1：开普勒行星运动定律 定律 内容 公式或图示 开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 公式：＝k，k是一个与行星无关的常量 知识点二．万有引力定律 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比． (2)公式：F＝G. 3．符号意义 (1)G为引力常量，其数值由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2. (2)r为两个质点间的距离或质量均匀的两个球体的球心间的距离． 知识点3　万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示． (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：G＝mg0. (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和． 越靠近两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg. 知识点4：天体质量和密度的计算 1．利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R. (1)由G＝mg，得天体质量M＝. (2)天体密度ρ＝＝＝. 2．利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T. (1)由G＝mr，得M＝. (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝. (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度． 知识点5：天体运动问题 1．解决天体运动问题的基本思路 一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G＝ma，式中a是向心加速度． 2．四个重要结论 设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动 (1)由G＝m得v＝ ，r越大，天体的v越小． (2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，天体的ω越小． (3)由G＝m()2r得T＝2π ，r越大，天体的T越大． (4)由G＝man得an＝，r越大，天体的an越小． 以上结论可总结为“越远越慢，越远越小”． 知识点6：宇宙航行 一：宇宙速度 数值 意义 第一宇宙速度 7.9 km/s 卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度 第二宇宙速度 11.2 km/s 使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度 第三宇宙速度 16.7 km/s 使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度 二．第一宇宙速度的定义：又叫环绕速度，是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所具有的速度，是人造地球卫星的最小发射速度，v＝7.9 km/s. 三．第一宇宙速度的计算 设地球的质量为M，卫星的质量为m，卫星到地心的距离为r，卫星做匀速圆周运动的线速度为v： 方法一：→→ 方法二：→→ 二：卫星各物理量分析： 项目 推导式 关系式 结论 v与r的关系 G＝m v＝ r越大，v越小 ω与r的关系 G＝mrω2 ω＝ r越大，ω越小 T与r的关系 G＝mr2 T＝2π r越大，T越大 a与r的关系 G＝ma a＝ r越大，a越小 由上表可以看出：卫星离地面高度越高，其线速度越小，角速度越小，周期越大，向心加速度越小．可以概括为“高轨低速长周期”． 知识点7．人造地球卫星的轨道 人造卫星的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道． (1)椭圆轨道：地心位于椭圆的一个焦点上． (2)圆轨道：卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星所需的向心力由万有引力提供，由于万有引力指向地心，所以卫星的轨道圆心必然是地心，即卫星在以地心为圆心的轨道平面内绕地球做匀速圆周运动． 总之，地球卫星的轨道平面可以与赤道平面成任意角度，但轨道平面一定过地心．当轨道平面与赤道平面重合时，称为赤道轨道；当轨道平面与赤道平面垂直时，即通过极点，称为极地轨道，如图 2．地球同步卫星 (1)定义：相对于地面静止的卫星，又叫静止卫星． (2)六个“一定”． ①同步卫星的运行方向与地球自转方向一致． ②同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，T＝24 h. ③同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度． ④同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星都在赤道的正上方． ⑤同步卫星的高度固定不变． ⑥同步卫星的环绕速度大小一定：设其运行速度为v，由于G＝m，所以v＝＝ 知识点8、卫星变轨原理 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示． (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G<m，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在椭圆轨道B点(远地点)将做近心运动，G>m，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ. 2．变轨过程分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB. (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3. (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则E1<E2<E3. 知识点9．双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示． (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2. ②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2. ③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. ④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. ⑤双星的运动周期T＝2π. ⑥双星的总质量m1＋m2＝. 2．多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．常见的多星及规律： 常见的三星模型 ①＋＝ma向 ②×cos 30°×2＝ma向 常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向 ②×cos 30°×2＋＝ma向 【题型归纳】 题型一：开普勒行星运动定律 1．（23-24高一下·江苏南京·期末）关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆中心 B．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点运行的速率相等 C．表达式中，月球绕地球运动的k值与地球绕太阳运动的k值不同 D．该定律是在牛顿运动定律的基础上推导出来的 【答案】C 【详解】A．根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A错误； B．根据开普勒第二定律可知，地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点的运行速率大于远日点的运行速率，故B错误； C．根据开普勒第三定律可知 其中k与中心天体的质量有关，故月球绕地球运动的k值与地球绕太阳运动的k值不同，故C正确； D．开普勒在他的导师第谷天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，但不是在牛顿运动定律的基础上导出了行星运动规律，故D错误。 故选C。 2．（23-24高一下·安徽亳州·期末）节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶。地球沿椭圆形轨道绕太阳运动，2024年春分、夏至、秋分和冬至所处四个位置和时间如图所示。下列说法正确的是（　　） A．地球由春分运行到秋分的时间等于由秋分运行到春分的时间 B．夏至和冬至时地球绕太阳公转的角速度大小相等 C．地球由春分运行到夏至的过程中加速度逐渐减小 D．太阳在椭圆的一个焦点上，根据地球的公转周期和地球绕太阳椭圆轨道的半长轴长度可估算出地球的质量 【答案】C 【详解】A．太阳位于椭圆右侧的焦点上，地球由春分运行到秋分的过程中每一位置的速度均比关于短轴对称的右侧椭圆上相应对称点的速度小，即地球在左侧运动的平均速率小一些，则地球由春分运行到秋分的时间比由秋分运行到春分的时间长，故A错误； B．由开普勒第二定律可知地球与太阳连线在相同时间内扫过的面积相同，故近地点的速度大于和远地点的速度，由于近地点和远地点的曲率半径相同，所以夏至和冬至时地球绕太阳公转的角速度大小不相等，故B错误； C．地球由春分点运行到夏至点的过程中与太阳距离增大，根据万有引力定律和牛顿第二定律可知，地球的加速度逐渐减小，故C正确； D．由开普勒第一定律，太阳在椭圆的一个焦点上，根据地球的公转周期和太阳与地球的距离可估算出的是中心天体太阳的质量，不能够估算地球的质量，故D错误。 故选C。 3．（23-24高一下·江西九江·期末）“行星连珠”是指太阳系的多颗行星位于地球与太阳连线上且在太阳的同一侧，最壮观的“九星连珠”极其罕见，但“两星连珠”较为常见，设某行星的轨道半径为地球轨道半径的倍，该行星每过多少年与地球与发生一次两星连珠？（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】地球周期年，设地球轨道半径为，行星轨道半径为，由开普勒第三定律 解得行星周期 年 设每隔年会发生一次连珠现象，则有 可得 年 故选A。 题型二：万有引力定律 4．（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期末）对于质量和质量的两个物体间的万有引力的表达式，下列说法正确的是（　　） A．当两个物体间的距离趋于零时，万有引力趋于无穷大 B．和所受的引力性质可能相同，也可能不同 C．当有第三个物体放入之间时，和之间的万有引力将增大 D．和所受引力总是大小相等的 【答案】D 【详解】A．当两个物体间的距离趋于零时，它们不能看作质点，该公式不在适用。故A错误； B．和所受的引力性质相同。故B错误； C．当有第三个物体放入之间时，和之间的万有引力不变。故C错误； D．由牛顿第三定律可知，和所受引力总是大小相等的。故D正确。 故选D。 5．（23-24高一下·山西朔州·期末）2024年5月8日，嫦娥六号探测器进入环月轨道，为登陆月球做准备。已知月球质量为地球质量的，月球半径为地球半径的，不考虑地球和月球的自转，嫦娥六号在月球表面受到月球引力为地球表面受到地球引力的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】嫦娥六号在月球表面受到月球引力与地球表面受到地球引力之比为 故选C。 6．（23-24高一下·重庆·期末）2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭运载，在中国文昌航天发射场成功发射，并准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功。已知地球质量是月球质量的81倍，设定地球中心与月球中心的间距恒为D，嫦娥六号探测器位于地球中心与月球中心连线上距月球中心d处时，其所受地球引力和月球引力的合力为零。由此可知（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设嫦娥六号探测器的质量为，月球质量为，则地球质量为，当嫦娥六号探测器位于地球中心和月球中心连线上距月球中心d处时，有 解得 故选A。 题型三：万有引力与重力的关系 7．（23-24高一下·河南安阳·期末）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同，已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，由此可知地球的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在地球表面两极处有 在地球表面赤道处有 联立可得，地球的半径为 故选B。 8．（23-24高一下·湖北·期末）我国航天科学家在进行深空探索的过程中发现有颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北半球，OE连线与赤道平面的夹角为30°经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为，则E位置的向心加速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A位置的重力加速度由万有引力提供得 D位置万有引力提供重力加速度和向心加速度 E位置的向心加速度 故选B。 9．（23-24高一下·四川凉山·期末）设某星球可看做半径为R的质量分布均匀的球体，因该星球自转使其表面各处重力加速度不相同，在两极的重力加速度等于g，在赤道上的重力加速度等于，则该星球自转角速度等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在两极时由万有引力等于重力，有 在赤道上时，有 联立解得 故选D。 题型四：计算中心天体的质量和密度 10．（23-24高一下·四川成都·期末）我国“嫦娥六号”航天器于2024年5月3日在海南文昌发射中心发射升空。航天器在近月轨道上绕月球的运动可视为匀速圆周运动，经过时间t（小于绕行周期），运动的弧长为s，航天器与月球中心连线扫过的角度为θ（弧度），引力常量为G，则（　　） A．航天器的轨道半径为 B．航天器的环绕周期为 C．月球的质量为 D．月球的密度为 【答案】C 【详解】A．根据题意可得 所以 故A错误； B．航天器的环绕周期为 故B错误； C．根据万有引力提供向心力 联立可得 故C正确； D．月球的密度为 故D错误。 故选C。 11．（23-24高一下·广东江门·期末）宇航员在某一星球表面（接近真空环境）做科学实验，他让小球自距星球表面h高处自由下落，经过时间t小球落到星球表面，已知该星球半径为R，万有引力常数为G，h远小于R，则下列说法错误的是（　　） A．星球表面的重力加速度为 B．星球的质量为M= C．该星球的第一宇宙速度为 D．此星球的平均密度为 【答案】D 【详解】A．小球在星球表面做自由落体运动，小球在竖直方向自由落体运动 解得小球在星球表面的重力加速度为 故A正确，不符合题意； B．在星球表面重力与万有引力相等有 所以星球的质量为 故B正确，不符合题意； C．卫星做圆周运动万有引力提供向心力 解得该星球的第一宇宙速度为 故C正确，不符合题意； D．此星球的平均密度为 故D错误，符合题意。 故选D。 12．（23-24高一下·四川遂宁·期末）2021年11月8日，“天问一号”环绕器成功实施第五次近火制动，准确进入遥感使命轨道，开展火星全球遥感探测，让人类登上火星的梦想更近了一步。假设某一天，某同学登上火星在火星两极用弹簧测力计测得质量为m的物体其所受的重力为F1，在火星赤道上用同一弹簧测力计测得其所受的重力为F2，通过天文观测测得火星的自转角速度为ω，已知引力常量为G，将火星看成是质量分布均匀的球体，则火星的密度和半径分别为（　　） A．　 B．　 C．　 D．　 【答案】C 【详解】在火星两极处 在火星赤道处 联立可得，火星的半径为 由密度公式 其中 联立可得星的密度为 故选C。 题型五：宇宙三大速度的对比 13．（23-24高一下·北京海淀·期末）如图所示，牛顿在他的《自然哲学的数学原理》中说到：把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次远；抛出速度足够大时，物体就不会落回地面，而是成为人造地球卫星。可认为山的高度远小于地球的半径，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．对于那些抛出后可以落回地面的物体，无论抛出速度是多大，落地时间都一样 B．图中圆轨道对应的抛出速度近似等于第一宇宙速度 C．若抛出的速度大于第一宇宙速度，则物体在之后的运动过程中将无法返回山顶 D．若抛出的速度大于第二宇宙速度，则物体被抛出后可能绕地球做圆周运动 【答案】B 【详解】A．根据题意，抛出的物体做平抛运动，当同一高度抛出落到水平地面时，无论抛出速度是多大，落地时间都一样，由图可知并不是落到水平地面，所以落地时间不一样，故A错误； B．山的高度远小于地球的半径，可忽略山的高度时，图中圆轨道对应的抛出速度近似第一宇宙速度，物体将会不会落到地球，将会绕地球做匀速圆周运动，故B正确； C．若抛出的速度大于第一宇宙速度，且小于第二宇宙速度时，物体将绕地球做椭圆轨道运动，则物体在之后的运动过程中有可能返回山顶，故C错误； D．若抛出的速度大于第二宇宙速度，且小于第三宇宙速度时，物体会脱离地球引力的束缚，将会绕太阳运动，故D错误。 故选B。 14．（23-24高一下·河北·期末）宇宙速度是从地球表面向宇宙空间发射人造地球卫星、行星际和恒星际飞行器所需的最低速度．下列关于宇宙速度的说法正确的是（    ） A．第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度 B．若飞行器的发射速度大于第二宇宙速度，则飞行器将绕地球做椭圆运动 C．若飞行器的发射速度大于第三宇宙速度，则飞行器将绕太阳运动 D．卫星绕地球做圆周运动的速率可能大于第一宇宙速度 【答案】A 【详解】AD．第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是地球卫星绕地球飞行的最大速度，故A正确，D错误； B．第二宇宙速度是在地面上发射物体，使之成为绕太阳运动或绕其他行星运动的人造卫星所必需的最小发射速度，故B错误； C．第三宇宙速度是在地面上发射物体，使之飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度，故C错误。 故选A。 15．（23-24高一下·山西太原·期末）2024年5月3日，“嫦娥六号”进入周期、距月球表面高度处的圆形轨道，绕月球做匀速圆周运动。已知月球半径为，引力常量为，下列选项正确的是（  ） A．月球的密度为 B．月球的质量为 C．“嫦娥六号”在地球上的发射速度大于地球的第二宇宙速度 D．“嫦娥六号”在月球该轨道上的运行速度小于月球的第一宇宙速度 【答案】D 【详解】B．根据万有引力提供向心力 得月球的质量为 故B错误； A．密度 故A错误； C．“嫦娥六号”在地球上的发射速度大于地球的第一宇宙速度，小于地球的第二宇宙速度，故C错误； D．第一宇宙速度是航天器最小发射速度，也是航天器最大运行速度。“嫦娥六号”在月球该轨道上的运行速度小于月球的第一宇宙速度，故D正确。 故选D。 题型六：宇宙第一速度的计算 16．（23-24高一下·甘肃·期末）若质量为m的“祝融号”火星车悬停在火星表面上方，受到竖直向上的升力F，已知火星的半径为R，引力常量为G，忽略火星的自转，则下列说法正确的是（　　） A．火星表面的重力加速度大小为 B．火星的第一宇宙速度大小为 C．火星的质量为 D．火星的密度为 【答案】B 【详解】A．根据平衡条件得 解得 A错误； B．根据牛顿第二定律得 解得 B正确； C．根据黄金代换 解得 C错误； D．根据密度公式得 解得 D错误。 故选B。 17．（23-24高一下·陕西渭南·期末）2024年3月2日，“神舟十七号”航天员乘组圆满完成第二次出舱活动,我国航天员首次完成舱外维修任务。已知“神舟十七号”航天员乘组所在的空间站质量为m，轨道半径为r，绕地球运行的周期为T，地球半径为R，引力常量为G。求： （1）空间站运行所需的向心力大小； （2）地球的平均密度； （3）第一宇宙速度的大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）空间站运行所需的向心力大小为 又 可得 （2）空间站绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 解得地球质量为 根据 解得地球的平均密度为 （3）地球第一宇宙速度等于卫星在地球表面轨道的运行速度，则有 解得第一宇宙速度为 18．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）北京时间2024年5月8日9：57左右，在发射升空约112小时30分钟后，“嫦娥六号”月球探测器在接近高度约200千米的近月点开启轨道器3000牛发动机实施减速制动，点火过程持续895秒，10：12探测器成功进入大椭圆环月轨道，“嫦娥六号”任务就此转入第四个阶段——环月飞行段。若该椭圆轨道的近月点、远月点距离月球表面的高度分别用r1、r2表示，已知“嫦娥六号”在该椭圆轨道运行的周期为T，月球半径为R，万有引力常量为G，求： （1）月球的质量M； （2）月球的第一宇宙速度v1。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）根据开普勒第三定律可知，“嫦娥六号”在近月点高度r1、远月点高度r2的椭圆轨道上运动的周期与在半径为 的原轨道上运动的周期相同，根据 可得月球的质量 （2）根据 可得月球的第一宇宙速度 题型七：同步卫星与近地卫星 19．（23-24高一下·贵州黔南·期末）2023年8月13日长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火升空，成功将陆地探测四号01星送入预定轨道。陆地探测四号01星是全球首颗地球同步轨道SAR（合成孔径雷达）卫星，如图中所示；图中为太阳探测卫星“夸父一号”，轨道高度小于地球静止卫星轨道高度；为赤道上的物体。则下列说法正确的是（　　） A．、的线速度大小关系为 B．、的周期大小关系为 C．、的角速度大小关系为 D．、的向心加速度大小关系为 【答案】B 【详解】AB．卫星绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力可得 解得 由以上各式可知，轨道半径越小，线速度越大，周期越小，的轨道半径小于地球静止卫星的轨道半径，即，则有、的线速度大小关系为；、的周期大小关系为，A错误，B正确； C．是地球静止卫星，相对地球静止，为赤道上的物体，因此、的角速度大小关系为，C错误； D．是地球静止卫星，相对地球静止，为赤道上的物体，其两者的运动周期相同，由向心加速度公式可知，由于的轨道半径大于随地球自转的轨道半径，因此、的向心加速度大小关系为，D错误。 故选B。 20．（23-24高一下·天津河东·期末）华为MAte60Pro成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机，即使在没有地面网络信号的情况下，用户也可以从容拨打、接听卫星电话。该手机依托“天通一号”系列地球静止卫星与外界联系，目前我国已发射有“天通一号”01、02、03三颗卫星，若卫星绕地球做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．三颗卫星有可能经过天津市上空 B．三颗卫星的轨道半径一定都相等 C．三颗卫星的运行速度等于7.9km/s D．若已知三颗卫星到地球表面高度及引力常量，即可求出地球质量 【答案】B 【详解】A．地球静止卫星只能位于赤道的正上方，所以不可能经过天津市上空，故A错误； B．根据万有引力提供向心力可得 可得 由于三颗卫星的周期相同，所以三颗卫星的轨道半径一定都相等，故B正确； C．根据万有引力提供向心力可得 可得 地球第一宇宙速度7.9km/s是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，所以三颗卫星的运行速度小于7.9km/s，故C错误； D．根据万有引力提供向心力可得 可得地球质量为 则已知三颗卫星到地球表面高度及引力常量，无法可求出地球质量，故D错误。 故选B。 21．（21-22高一下·天津·期末）北京时间2022年6月5日，神舟十四号成功发射后，与空间站天和核心舱成功对接，6月6号航天员陈东、刘洋、蔡旭哲顺利进入天和核心舱。三位航天员承接着空间站的在轨建造任务，将在轨工作6个月。已知地球半径为R，空间站距离地面高度为h，地球表面重力加速度为g，万有引力常量G，求： （1）地球的平均密度； （2）空间站绕地球做匀速圆周运动的周期； （3）若已知空间站的高度，静止卫星距离地面的高度为空间站高度90倍，试计算空间站的运行周期约为多少小时？（已知地球自转周期为24小时） 【答案】（1）；（2）；（3）1.5小时 【详解】（1）假设地球表面一质量为m的物体，其受到的万有引力等于重力，所以有 解得地球质量为 则地球的平均密度为 （2）空间站绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，所以有 解得周期为 （3）设一物体绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，由万有引力提供向心力，所以有 则通过公式可以得出，不同轨道半径的物体绕地球做匀速圆周运动时，其轨道半径与周期的关系满足 则根据题意可知，空间站与静止卫星的轨道半径分别为 所以可以得到空间站的周期为 题型八：各种卫星变轨问题 22．（23-24高一下·广东湛江·期末）2024年6月2日上午6时23分，嫦娥六号已成功着陆在月球背面南极的艾特肯盆地。设想嫦娥六号被月球俘获后进入椭圆轨道Ⅰ上运行，当经过近月点M点时完成变轨后进入圆形轨道Ⅱ上运行，已知月球半径为R，圆形轨道Ⅱ距月球表面距离为nR，椭圆轨道Ⅰ远月点距月球表面距离为kR，如图所示，忽略其他天体对嫦娥六号的影响，关于嫦娥六号的运动，以下说法正确的是（　　） A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要在M点点火使其加速才能完成 B．在轨道Ⅱ上运行速度为月球第一宇宙速度的倍 C．在轨道Ⅰ上的近月点速度是远月点的倍 D．在轨道Ⅰ上运行周期是轨道Ⅱ上运行周期的倍 【答案】D 【详解】A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要在M点点火制动，使其减速才能完成，故A错误； B．设月球的质量为，嫦娥六号的质量为，根据万有引力充当向心力可得 当嫦娥六号环绕月球表面做圆周运动时的速度即为第一宇宙速度，即月球的第一宇宙速度为 而嫦娥六号在轨道Ⅱ上运行时的速度 在轨道Ⅱ上运行速度与月球第一宇宙速度之比为 即在轨道Ⅱ上运行速度为月球第一宇宙速度的倍，故B错误； C．根据题已知条件可得，近月点及远月点距月球球心的距离分别为 ， 设在轨道Ⅰ上近月点的速度为，远月点的速度为，取极短时间，根据开普勒第二定律有 可得，在轨道Ⅰ上的近月点速度与远月点速度的比值为 即在轨道Ⅰ上的近月点速度是远月点的倍，故C错误； D．根据题已知可得轨道Ⅰ的半长轴 设嫦娥六号在轨道Ⅰ上运行周期为，在轨道Ⅱ上运行的周期为，根据开普勒第三定律有 可得 即在轨道Ⅰ上运行周期是轨道Ⅱ上运行周期的倍，故D正确。 故选D。 23．（23-24高一下·广西百色·期末）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第五十六颗北斗导航卫星，该卫星属地球静止轨道卫星。其发射过程可简化成下列过程：先将卫星发射至近地圆轨道1，变轨使其沿椭圆轨道2运行，最后变轨将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（　　） A．卫星在轨道3上的速度比在轨道1上的速度小，且大于7.9km/s B．卫星在轨道3上经过P点时的加速度大于它在轨道2上经过P点时的加速度 C．卫星经过轨道2上的Q点时速率最大，经过轨道2上的P点时速率最小 D．卫星在1，2，3轨道上的周期分别为T1，T2，T3，则周期关系为 【答案】C 【详解】A．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，根据万有引力提供向心力有 解得 轨道3半径比轨道1半径大，卫星在轨道3上的速度小于它在轨道1上的速度，卫星在轨道1上运行的速度约等于第一宇宙速度，所以卫星在轨道3上的速度小于7.9km/s，A错误； B．由牛顿第二定律和万有引力定律有 解得 所以卫星在轨道3上经过P点时的加速度等于它在轨道2上经过P点时的加速度，B错误； C．根据开普勒第二定律，近地点速率最大，远地点速率最小，所以卫星经过轨道2上的Q点时速率最大，经过轨道2上的P点时速率最小，C正确； D．根据开普勒第三定律，半长轴越大，周期越大。轨道3的半长轴最大，周期最大，轨道1的半长轴最小，周期最小，所以 D错误。 故选C。 24．（23-24高一下·四川成都·期末）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号运载火箭在酒泉卫星发射中心圆满的完成了发射，与“天和”核心舱成功对接。飞船变轨前绕地稳定运行在圆形轨道Ⅰ上，椭圆轨道Ⅱ为飞船的转移轨道，核心舱绕地沿逆时针方向运行在圆形轨道Ⅲ上，轨道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分别相切于A、B两点，则神舟十八号（　　） A．在Ⅰ轨道上稳定运行的速度可能大于7.9km/s B．在Ⅱ轨道上由A向B运动时，速度减小，机械能减小 C．在Ⅱ轨道上经过A点的速度大于在Ⅲ轨道的运行速度 D．应先变轨到Ⅲ轨道，然后再通过加速完成与“天和”核心舱的对接 【答案】C 【详解】A．根据 解得 近地卫星的环绕速度等于第一宇宙速度7.9km/s，圆形轨道Ⅰ的轨道半径大于地球半径，则神舟十八号在Ⅰ轨道上稳定运行的速度小于7.9km/s，故A错误； B．神舟十八号在Ⅱ轨道上由A向B运动时，只有万有引力做负功，则速度减小，机械能不变，故B错误； C．Ⅱ轨道相对于Ⅰ轨道是高轨道，由高轨道到低轨道，需要在切点位置减速，可知在Ⅱ轨道上经过A点的速度大于在Ⅰ轨道上经过A点的速度，而根据 在轨道Ⅲ的速度小于轨道Ⅰ的速度，则在Ⅱ轨道上经过A点的速度大于在Ⅲ轨道的运行速度，故C正确； D．神舟十八号应先变轨到Ⅱ轨道，然后再通过加速完成与“天和”核心舱的对接，故D错误。故选C。 题型九：双星（多星）系统 25．（23-24高一下·陕西渭南·期末）天文学家通过“中国天眼”的500米口径地面射电望远镜（FAST），在武仙座球状星团（M13）中发现一个脉冲双星系统。如图所示，双星系统由两颗恒星A、B组成，在万有引力的作用下，它们绕其连线上的O点做匀速圆周运动，轨道半径之比，则两颗天体的（　　） A．质量之比 B．角速度之比 C．线速度大小之比 D．向心力大小之比 【答案】A 【详解】BC．两颗恒星A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，在相同的时间转过的角度相同，则A、B的角速度相等，则有 根据 可得A、B的线速度大小之比 故BC错误； AD．由于A、B绕O点做匀速圆周运动的向心力由它们相互作用的万有引力提供，所以A、B的向心力大小相等，则有 根据 可得A、B的质量之比为 故A正确，D错误。 故选A。 26．（23-24高一下·河南三门峡·期末）在银河系中，双星的数量非常多，研究双星，对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义。由A、B两颗恒星组成的双星系统如图所示，A、B绕其连线上的一点O做圆周运动，测得A、B两颗恒星间的距离为L，恒星A的周期为T，恒星A做圆周运动的向心加速度是恒星B的2倍，已知万有引力常量为G，忽略其他星球对A、B的影响，则下列说法正确的是（　　） A．恒星B的周期为 B．A、B两颗恒星质量之比为 C．恒星A的线速度是恒星B的4倍 D．A、B两颗恒星质量之和为 【答案】D 【详解】A．A、B绕其连线上的一点O做圆周运动，可知A、B两颗恒星的周期相等，角速度相等，则恒星B的周期为，故A错误； B．由于A、B两颗恒星做圆周运动的向心力由相互作用的万有引力提供，所以A、B两颗恒星的向心力大小相等，则有 可知A、B两颗恒星质量之比为 故B错误； C．恒星A做圆周运动的向心加速度是恒星B的2倍，根据 可知A、B两颗恒星做圆周运动的线速度大小为 故C错误； D．根据万有引力提供向心力可得 ， 又 联立解得A、B两颗恒星质量之和为 故D正确。 故选D。 27．（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下均绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G。求： （1）A星球做圆周运动的轨道半径R和B星球做圆周运动的轨道半径r； （2）两星球做圆周运动的周期； （3）如果把星球A质量不断地搬运到B星球上，并保持A和B两者中心之间距离仍为L。则组成新的稳定双星后那么星球A做圆周运动的轨道半径和周期如何变化。 【答案】（1）；（2）；（3）半径变大；周期不变 【详解】（1）两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有 可得 又因为 所以可以解得 （2）根据（1）可得 （3）根据（1）可知 得变大，则变大； 根据（2）可知 总质量保持不变，距离不变，则周期不变。 题型十：万有引力与宇宙航行综合计算 28．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）长征二号F遥十七运载火箭托举着神舟十七号载人飞船，在酒泉卫星发射中心点火升空，经多次变轨后与在轨空间站对接，其变轨过程简化后，如图所示。飞船先从P点由近地轨道1进入椭圆轨道2，在椭圆轨道2运行一段时间后，再择机从Q点进入圆轨道3，然后与空间站完成对接，P、Q两点分别为椭圆轨道的近地点和远地点。已知地球的半径为R，表面重力加速度为g；近地轨道半径约等于地球半径，圆轨道3的半径为地球半径的k倍。求： (1)空间站在圆轨道3上的线速度大小； (2)飞船在椭圆轨道上的周期。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据万有引力提供向心力 根据万有引力与重力的关系 解得 （2）飞船在轨道1运动，根据万有引力提供向心力 根据万有引力与重力的关系 轨道2的半轴长为 由开普勒第三定律 联立解得 29．（23-24高一下·贵州毕节·期末）北斗系统是中国自研的全球卫星导航系统，可为全球用户提供全天候、全天时、高精度定位、导航和授时服务。北斗系统包含地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星。其中某一中圆地球轨道卫星距地球表面的高度为h，绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球半径为R，引力常量为G。求： （1）该中圆地球轨道卫星的线速度v； （2）地球的质量M； （3）地球的平均密度ρ。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由匀速圆周运动公式可得，该中圆地球轨道卫星的线速度为 （2）卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 解得地球质量为 （3）由 ， 联立解得地球的平均密度为 30．（21-22高一下·江苏苏州·阶段练习）如图所示，A是地球的一颗静止卫星，O为地球中心，地球半径为R，地球自转周期为T0。另一卫星B的圆形轨道也位于赤道平面内，且距地面的高度h=R，地球表面的重力加速度大小为g。 （1）求卫星B所在处的重力加速度； （2）求卫星B的运行周期T1； （3）若卫星B运行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近，求从A、B两卫星相距最近时刻到紧邻的相距最远时刻的时间间隔。（用T0和T1表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）地球表面 卫星B处 又，解得 （2）卫星B向心力公式 解得 （3）从相距最近到相距最远 即 解得 【高分突破】 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西西安·期末）关于万有引力与天体，下列说法正确的是（　　） A．第谷测量大量行星运行的数据并据此推理出了行星运动定律 B．由可知，两物体紧靠在一起时，万有引力非常大 C．牛顿在实验室里通过测量几个铅球之间的万有引力，得出引力常量的数值 D．所有行星绕太阳运动的轨迹都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 【答案】D 【详解】A．开普勒测量大量行星运行的数据并据此推理出了行星运动定律，A错误。 B．由 可知，两物体紧靠在一起时，万有引力不适用，B错误； C．牛顿在实验室里通过测量几个铅球之间的万有引力，发现了万有引力定律，没有得出引力常量的数值，C错误； D．所有行星绕太阳运动的轨迹都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，D正确。 故选D。 2．（23-24高一下·河南·期末）如图所示，利用霍曼转移轨道可以将航天器从地球发送到火星。若地球和火星绕太阳公转的轨道都是圆形，则霍曼轨道就是一个经过近日点P和远日点Q且与这两个行星轨道都相切的椭圆。当“天问一号”火星探测器到达地球轨道的P点时，瞬时点火后进入霍曼轨道，当“天问一号”运动到霍曼轨道的Q点时，再次瞬时点火后进入火星轨道。下列说法正确的是（　　） A．“天问一号”在地球轨道上的线速度小于在火星轨道上的线速度 B．在P点瞬时点火后，“天问一号”的速度需要达到第二宇宙速度 C．在Q点再次瞬时点火加速，是为了增大太阳对“天间一号”的引力 D．“天问一号”沿霍曼轨道运行时在P点的加速度最小 【答案】B 【详解】A．设太阳的质量为M，“天问一号”的质量为m，“天问一号”绕太阳运动的轨道半径为r、线速度大小为v，根据万有引力提供向心力 解得 由于地球轨道的半径小于火星轨道的半径，则根据上式可知“天问一号”在地球轨道上的线速度大于在火星轨道上的线速度，故A错误； B．在P点瞬时点火加速后，“天问一号”需要克服地球引力离开地球，进入霍曼转移轨道绕太阳做椭圆运动，所以此时“天问一号”的速度需要达到第二宇宙速度，故B正确； C．在Q点再次点火加速时，“天问一号”所受引力不变，速度增大，从而使其在远日点做离心运动刚好变轨至火星轨道，故C错误； D．根据牛顿第二定律有 可得 “天问一号”沿霍曼轨道运行时在P点时，轨道半径最小，加速度最大，故D错误。 故选B。 3．（23-24高一下·四川凉山·期末）2024年5月3日17时27分，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场点火发射，准确进入地月转移轨道。它的主要任务是到月球背面采样，并携带月球样品返回地球，这也是人类第一次从月球背面采集月壤。5月8日10时12分，成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G。则嫦娥六号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的（　　） A．向心加速度为 B．角速度为 C．速度为 D．周期为 【答案】D 【详解】A．由 得探测器的向心加速度 故A错误； B．由 得 故B错误； C．由 得探测器的速度 故C错误； D．由 得 故D正确。 故选D。 4．（23-24高一下·河南新乡·期末）2024年6月6日，嫦娥六号上升器成功与轨道器和返回器组合体完成月球轨道的交会对接。该次对接过程简化为如图所示，轨道器和返回器组合体（以下简称组合体）绕月球做半径为3R的匀速圆周运动，上升器从椭圆轨道的近月点B（近似为月球表面处）运行半个周期，到椭圆轨道的远月点A时，恰好与组合体实现对接，之后两者一起沿组合体原有轨道运动。已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g月，忽略月球自转，则下列说法正确的是（　　） A．组合体的运行周期为 B．上升器对接后机械能减小 C．上升器在椭圆轨道上的运行速率均小于对接后的运行速率 D．上升器在椭圆轨道上的运行周期与组合体的运行周期之比为 【答案】A 【详解】A．在月球表面有 对组合体有 解得 故A正确； B．上升器要与组合体对接需要加速，因此上升器对接后机械能增加，故B错误； C．上升器在椭圆轨道的近月点B的运行速率大于近月轨道卫星的运行速率，根据 可知，近月轨道卫星的运行速率大于组合体的运行速率，因此上升器在椭圆轨道上的运行速率不一定小于对接后的运行速率，故C错误； D．根据开普勒第三定律 其中 ， 可得上升器在椭圆轨道上的运行周期与组合体的运行周期之比为，故D错误。 故选A。 5．（23-24高一下·辽宁朝阳·期末）据报道、一个国际研究小组借助于智利的天文望远镜观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示。假设此双星系统中体积较小的成员能“吸食”体积较大的星体的表面物质，达到质量转移的目的，且在演变过程中两者球心之间的距离保持不变，双星平均密度可视为相同，则在最初演变的过程中（　　） A．它们做圆周运动的万有引力保持不变 B．它们做圆周运动的角速度不断变小 C．体积较大的星体做圆周运动的轨道半径变小，线速度变小 D．体积较大的星体做圆周运动的向心加速度变大，线速度变大 【答案】D 【详解】A．设体积较小的星体质量为m1，轨道半径为r1，体积大的星体质量为m2，轨道半径为r2，双星间的距离为L，转移的质量为△m，万有引力 结合二项式定理可知，二者的质量越接近，万有引力越大，故A错误； B．对m1有 对m2有 又 解得 总质量m1+m2不变，两者距离L不变，则角速度ω不变，B错误； CD．因为 解得 ω、L、m1均不变，Δm增大，则r2增大，即体积较大星体圆周运动轨迹半径变大； 又 ， 体积较大星体的线速度v也增大，向心加速度也增大。 C错误，D正确。 故选D。 6．（23-24高一下·福建福州·期末）如图，A是我国目前发射的空间站，天舟二号B在为空间站运送物资过程中有段时间在离地心的距离为r的轨道上运行，运行速率为，向心加速度为；空间站离地心的距离为R，运行速率为，向心加速度为，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．可以将静止卫星发射到空间站所在的轨道上 D．空间站在轨道上运动时所受的合力不变 【答案】A 【详解】A．根据 ， 解得 故A正确； B．根据 ， 解得 故B错误； C．我国空间站位于距地面约400km的近地轨道，绕地球一圈的时间，即周期约为90分钟，静止卫星的周期与地球自转周期24h相等，根据开普勒第三定律可知，静止卫星的轨道半径大于我国空间站的轨道半径，即不能够将静止卫星发射到空间站所在的轨道上，故C错误； D．空间站在轨道上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，可知，运动时所受的合力大小不变，方向始终指向圆心，即合力发生变化，故D错误。 故选A。 7．（23-24高一下·福建福州·期末）北京时间2024年5月12日7时43分，中国在酒泉卫星发射中心使用长征四号丙运载火箭，成功将试验二十三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。该星主要用于空间环境探测。已知地球半径为R，自转周期为T，“遥试验二十三号卫星轨道离地面的高度为，地球静止卫星轨道离地面的高度为，（）引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．试验二十三号卫星的发射速度大于11.2km/s B．试验二十三号卫星运行的速度小于地球第一宇宙速度 C．试验二十三号卫星与静止卫星绕地球运行的向心加速度之比为 D．地球的平均密度可表示为 【答案】B 【详解】A．试验二十三号卫星的发射速度满足，故A错误； B．试验二十三号卫星绕地球运行的半径大于地球的半径，由 可知，其运行速度小于地球第一宇宙速度，故B正确； C．根据万有引力提供向心力，有 故 故C错误； D．对静止卫星有 解得 故地球密度为 故D错误。 故选B。 8．（23-24高一下·安徽亳州·期末）如图所示，A、B是地球的两颗卫星，其轨道半径之比，两颗卫星的质量之比，则下列判断正确的是（　　） A．两颗卫星的加速度大小之比 B．两颗卫星的向心力大小之比 C．两颗卫星的线速度大小之比 D．两颗卫星的角速度大小之比 【答案】A 【详解】C．两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动，地球对卫星的引力为其提供向心力，设地球质量M，卫星质量m，则 解得 可知两颗卫星的线速度之比 故C错误； D．根据 可得 故D错误； A．根据 可得 故A正确； B．地球对卫星的引力提供向心力，根据 可得 故B错误。 故选A。 二、多选题 9．（23-24高一下·山西吕梁·期末）2024年4月26日，神舟十八号飞船自主交会对接天和核心舱。5月28日，航天员乘组完成了8.5小时的出舱活动任务。如图为飞船变轨前后的示意图，变轨前Ⅰ轨道为近地圆轨道，地球半径为R，F为地心，B为椭圆Ⅱ轨道的远地点，。则（　　） A．飞船在Ⅱ轨道上A点的速度介于第一宇宙速度与第二宇宙速度之间 B．出舱时宇航员由于没有受到地球引力而处于漂浮状态 C．飞船在Ⅱ轨道上运行的周期是在Ⅰ轨道上运行周期的两倍 D．在B点要变轨到更高的圆轨道，需要点火使飞船加速 【答案】AD 【详解】A． 飞船在近地圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动，速度大小与第一宇宙速度相等，从Ⅰ轨道A点点火加速到Ⅱ轨道，未脱离地球，故飞船在Ⅱ轨道上A点的速度介于第一宇宙速度与第二宇宙速度之间，故A正确； B．出舱时宇航员完全失重，但依然受到地球的引力，故B错误； C．根据开普勒第三定律有 解得 故C错误； D．在B点要变轨到更高的圆轨道，需要点火使卫星加速，使卫星做离心运动，故D正确； 故选AD。 10．（23-24高一下·青海·期末）2024年6月4日，携带月球样品的嫦娥六号上升器自月球背面起飞，随后成功进入预定环月轨道。嫦娥六号完成世界首次月球背面采样和起飞。图为嫦娥六号着陆月球前部分轨道的简化示意图，Ⅰ是嫦娥六号的地月转移轨道，Ⅱ、Ⅲ是嫦娥六号绕月球运行的椭圆轨道，Ⅳ是嫦娥六号绕月球运行的圆形轨道。P、Q分别为椭圆轨道Ⅱ上的远月点和近月点。不考虑月球的自转。下列说法正确的是（　　） A．嫦娥六号从轨道Ⅱ上的Q点变轨至轨道Ⅲ需减速 B．在轨道Ⅱ上运行的嫦娥六号经过P点时的速率大于经过Q点时的速率 C．嫦娥六号在轨道Ⅱ上运行时的机械能小于在轨道Ⅳ上运行时的机械能 D．嫦娥六号在轨道Ⅳ上运行时的速率小于在轨道Ⅱ上运行时经过Q点的速率 【答案】AD 【详解】A．嫦娥六号从轨道Ⅱ上的Q点变轨至轨道Ⅲ，做近心运动，应让发动机在Q点减速，故A正确； B．嫦娥六号在轨道Ⅱ上由P运动到Q过程，万有引力做正功，可知嫦娥六号在轨道Ⅱ上经过P点时的速率小于经过Q点时的速率，故B错误； C．嫦娥六号从轨道Ⅱ上变轨到轨道IV上，除万有引力外的力做负功，机械能减小，故嫦娥六号在轨道Ⅱ上运行时的机械能大于在轨道IV上运行时的机械能，故C错误； D．嫦娥六号在Q点从轨道Ⅱ上经过近心运动进入轨道IV上，速度减小，故嫦娥六号在轨道IV上运行时的速率小于在Ⅱ上运行时经过Q点的速率，故D正确。 故选AD。 11．（23-24高一下·安徽淮北·期末）年月日，我国成功发射第颗北斗导航卫星，“北斗”卫星导航定位系统由地球静止卫星，中轨道卫星和倾斜静止卫星组成．下列说法正确的是（　　） A．地球静止卫星的运行速度大于第一宇宙速度 B．地球静止卫星的线速度比静止在赤道上物体的大 C．中轨道卫星的周期大于 D．中轨道卫星的向心加速度比地球静止卫星的大 【答案】BD 【详解】A．第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则地球静止卫星的运行速度小于第一宇宙速度，选项A错误； B．静止卫星的角速度等于地球自转的角速度，根据 v=ωr 可知，地球静止卫星的线速度比静止在赤道上物体的大，选项B正确； C．根据 可得 中轨道卫星的轨道半径小于静止卫星的轨道半径，可知中轨道卫星的周期小于静止卫星的周期，即小于，选项C错误； D．根据 可得 中轨道卫星的轨道半径小于静止卫星的轨道半径，中轨道卫星的向心加速度比地球静止卫星的大，选项D正确。 故选BD。 12．（23-24高一下·河南·期末）2024年2月3日7时37分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将吉利星座02组卫星发射升空，11颗卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。假设其中三颗卫星绕地球做圆周运动，如图所示，a为地球的静止卫星，周期为T，b为倾斜轨道卫星，c为极地卫星（绕地球的两极做圆周运动），已知，地球表面两极的重力加速度为g。地球半径为R，则下列说法正确的是（　　） A．b卫星距离地球表面的高度为 B．c卫星的运动周期大于T C．a卫星和c卫星的线速度大小之比为 D．a卫星和c卫星的向心加速度大小之比为 【答案】AD 【详解】B．根据开普勒第三定律 且 可得 故B错误； A．根据万有引力与重力的关系 根据万有引力提供向心力 解得b卫星距离地球表面的高度为 故A正确； C．根据万有引力提供向心力 可得 a和c卫星的线速度之比为 故C错误； D．根据牛顿第二定律 可得 a和c卫星的向心加速度之比为 故D正确。 故选AD。 13．（23-24高一下·山东威海·期末）科学家推测，双星的运动是产生引力波的来源之一。假设P、Q两天体组成一双星系统，各自围绕它们连线上某点在二者间万有引力作用下做匀速圆周运动。已知P、Q的质量比为2:3，下列说法正确的是（　　） A．P、Q的周期之比为2:3 B．P、Q的半径之比为3:2 C．P、Q的向心力之比为2:3 D．P、Q的向心加速度之比为3:2 【答案】BD 【详解】AB．P、Q两天体各自围绕它们连线上某点做匀速圆周运动，则转动的角速度相等，有公式可知，P、Q的周期之比为，又有 可得 故A错误，B正确； C．P、Q两颗星的向心力都等于两者之间的万有引力，因此P、Q两星的向心力之比为，故C错误； D．根据题意，由牛顿第二定律有 解得 则有 故D正确。 故选BD。 14．（2024·全国·模拟预测）2023年5月30日16时29分，神舟十六号载人飞船入轨后，成功对接于空间站和核心舱径向端口，形成了三舱三船组合体，飞船发射后会在停泊轨道（I）上进行数据确认，后择机经转移轨道（Ⅱ）完成与中国空间站的交会对接，其变轨过程可简化为下图所示，已知停泊轨道半径近似为地球半径R，中国空间站轨道距地面的平均高度为h，飞船在停泊轨道上的周期为，则（　　） A．飞船在转移轨道（Ⅱ）上各点的速度均小于7.9km/s B．飞船在转移轨道（Ⅱ）上Q点的加速度等于空间站轨道（Ⅲ）上Q点的加速度 C．飞船在停泊轨道（I）与组合体在空间站轨道（Ⅲ）上的速率之比为 D．飞船在转移轨道（Ⅱ）上正常运行的周期为 【答案】BD 【详解】A．停泊轨道（I）半径近似为地球半径R，则飞船在停泊轨道（I）运行的速度等于第一宇宙速度，即7.9km/s，飞船在停泊轨道（I）P点加速，做离心运动进入转移轨道（Ⅱ），故飞船在转移轨道（Ⅱ）上P点的速度大于在停泊轨道（I）上P点的速度，即大于7.9km/s，故A错误； B．由万有引力提供向心力有 解得 可知，飞船在转移轨道（Ⅱ）上Q点的加速度等于空间站轨道（Ⅲ）上Q点的加速度，故B正确； C．由万有引力提供向心力有 解得 则飞船在停泊轨道（I）与组合体在空间站轨道（Ⅲ）上的速率之比为，故C错误； D．由开普勒第三定律有 解得 故D正确。 故选BD。 三、解答题 15．（23-24高一下·山东威海·期末）2024年5月，嫦娥六号探测器在我国文昌成功发射，之后进入地月转移轨道，5月8日探测器成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行，做周期为T的匀速圆周运动，之后登陆月球，完成月球背面采样任务后成功返回。若探测器登陆月球后，采集的质量为m的土壤静置在月球表面的水平压力传感器上，传感器的示数为F。已知月球半径为r，引力常量为G，求： (1)月球表面的重力加速度及月球质量； (2)环月轨道距月球表面的高度。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）质量为m的土壤在月球上的重力 月球表面的重力加速度 对月球表面的物体 （2）对环月轨道上的物体 环月轨道距月球表面的高度 16．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术。如图所示，其发射过程简化如下：质量为m的飞船在酒泉卫星发射中心发射，由“长征”运载火箭送入近地点为P、远地点为Q的椭圆轨道上，飞船通过变轨进入预定圆轨道。已知：点P距地面的高度为h，飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，地球表面重力加速度为g，地球半径为R。求： （1）飞船从Q点到P点速度大小的变化情况； （2）飞船经过椭圆轨道近地点P时的地球引力大小； （3）Q点距地面的高度。 【答案】（1）变大；（2）；（3） 【详解】（1）飞船从Q点到P点过程，飞船所受万有引力方向与速度方向夹角为锐角，飞船做加速运动，可知， 飞船从点到点过程中，速度变大。 （2）飞船经过近地点时，根据万有引力公式有 在地球表面有 解得 （3）飞船在预定圆轨道上，由万有引力提供向心力，则有 其中周期为 结合上述解得点距地面的高度 17．（23-24高一下·广西贵港·期末）如图所示，绕地球做圆周运动的卫星的运行周期为T0，对地张角。地球的半径为R，引力常量为G，球的体积，其中r为球的半径。求： （1）地球的质量M； （2）地球的平均密度ρ； （3）地球近地卫星的运行周期T。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）根据几何关系可知，该卫星的轨道半径 设该卫星的质量为m1，根据牛顿第二定律得 解得 （2）地球的体积 地球的密度为 解得 （3）设某地球近地卫星的质量为m2，根据牛顿第二定律得 解得 18．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）2024年6月4日7时38分，嫦娥六号上升器携带月球样品自月球背面起飞，成功进入预定环月轨道。如图所示，设月球表面上有一倾角的足够长固定斜面，一小物块从斜面底端以速度沿斜面向上运动，经过时间t后速度恰好减为零。已知小物块和斜面间的动摩擦因数为，月球半径为R，引力常量为G，，。求： （1）月球表面的重力加速度大小； （2）月球的“第一宇宙速度”； （3）嫦娥六号在距月球表面高度为h的环月轨道上做匀速圆周运动的运行周期T。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设小物块沿斜面上滑时的加速度大小为，根据牛顿第二定律可得 又 联立解得月球表面的重力加速度大小为 （2）卫星在月球表面轨道绕月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 又 联立解得月球的第一宇宙速度为 （3）嫦娥六号在距月球表面高度为h的环月轨道上做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力得 解得运行周期为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$