期末押题预测卷01（范围：选择性必修第二、三册）-2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 期末押题预测卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：选择性必修第二、三册） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若等比数列满足，，（    ）． A． B． C．8 D．64 【答案】A 【解析】根据条件先求出数列的首项和公比，即可求出. 【详解】设数列的公比为， ，解得，， . 故选：A. 2．以“奔跑合肥，科创未来”为主题的2023合肥马拉松，于11月19日开跑，共有3万余名跑者在滨湖新区纵情奔跑，本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（约8公里）等多个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑三个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是（    ） A．若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有10种不同的分配方案 B．若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有15种不同的分配方案 C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法 D．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有48种不同的站法 【答案】D 【详解】对于AB，不同的分配方案有种，故AB错误； 对于CD，不同的站法有种，故C错误，D正确. 故选：D. 3．已知，若，则（    ） A．-1 B．1 C．-8088 D．8088 【答案】C 【详解】令得， 所以令，则， 所以， 所以 所以的展开式的通项为， 令，则. 故选：C. 4．对四对变量和进行线性相关检验，已知是观测值组数，是相关系数，且已知：①，；②，；③，；④，.则变量和线性相关程度最高的两组是（    ） A．①② B．①④ C．②④ D．③④ 【答案】B 【详解】相关系数的绝对值越接近于1，变量、的线性相关程度越高， 显然①④中对应绝对值更接近于1. 故选：B 5．已知是函数的极小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知，， 令得或， 由题意是极小值点，则， 若，则时，，单调递减，时，，单调递增， 则是函数的极小值点， 若，则时，，单调递减，时，，单调递增， 则是函数的极大值点，不合题意， 综上，，即. 故选：A. 6．设随机变量，函数在定义域上是单调递增函数的概率为，则（    ） 附：若，则. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 若对任意实数恒成立，则， 所以， 又，所以，，，，，， 所以，， 则. 故选：B. 7．为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，且满足，每局之间相互独立.记甲､乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（    ） A．17 B．22 C．27 D．32 【答案】C 【详解】由题可知：甲乙两人每轮训练通过的概率为：. 因为，，，所以由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立. 所以，当，即时取得最大值. 又甲、乙在轮训练中训练过关的轮数服从二项分布，则期望为，结合，可得. 故选：C. 8．若曲线在与处的切线互相垂直，且两条切线的交点在直线上，则的值可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数，求导得, 曲线在与处的切线斜率分别为， 由两条切线互相垂直，得，而， 当且仅当中一个取1，另一个取时，它们的积为，不妨令，， 则，即， 此时,， 如图，设，则是以为直角顶点的等腰直角三角形， 由图知，， 则， 对于A，由，得不成立，A不是； 对于B，由，得不成立，B不是； 对于C，由，得不成立，C不是； 对于D，取，，D是. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（    ） A．事件A与事件B不互斥 B．事件A与事件B相互独立 C． D． 【答案】AD 【详解】事件可共同发生不互斥，A对． ，，即不独立，BC错． ，D对， 故选：AD． 10．已知等比数列中，满足，，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列 【答案】AC 【详解】由题意可知， 对于A,,所以，故，所以为等比数列，故A正确， 对于B,，，所以为等比数列，且公比为，首项为1，故是递减数列， 对于C,，所以为公差为1的等差数列，故C正确， 对于D,所以，成等比数列，，，不成等比数列，故D错误， 故选：AC 11．“石头，剪刀，布”游戏起源于中国汉朝，称为“手势令”．游戏规则为：（1）参加游戏的人随机出一种手势，且石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；（2）两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时，都出相同的手势或三种手势都出现为平局．现有个人共举行了局游戏，且各局游戏互不影响，则下列说法正确的有（    ） A．若，，则只有一人获胜的概率为 B．若，，则平局的概率为 C．若，且规定其中一人连续两局获胜，比赛结束，则恰经过5局比赛结束的概率为 D．若，且规定每局比赛输者淘汰，则恰经过5局比赛决出最终胜利者的概率为 【答案】ABD 【详解】对于A，若，，则每个人出的手势都有种可能， 所以个人出手势的总情况数为种，只有一人获胜的情况有种情况， 因为三个人都有可能获胜，所以只有一人获胜的概率为，故A正确； 对于B，若，，个人出手势的总情况数为种， 计算平局的情况： 所有人出相同手势的情况有种（都出石头、都出剪刀、都出布）. 三种手势都出现的情况：用间接法，先计算不满足三种手势都出现的情况， 即只有一种手势的3种情况和只有两种手势的情况. 计算只有两种手势的情况：从3种手势中选2种，有种选法， 设选的两种手势为A和B，把5个人分配到这两种手势中， 排除5个人都出A和5个人都出B的情况， 有种情况，所以只有两种手势的情况有种. 那么三种手势都出现的情况有种. 综上平局的情况共有种，所以平局的概率，故选项B正确； 对于C，当时，两人每次出手势都有3种情况，所以每局的情况数为种， 恰经过5局比赛结束，说明前3局没有一人连续两局获胜，第4局和第5局是同一人获胜， 设两人为甲和乙，若恰经过5局比赛甲获胜，则第一三局甲输，第二四五局甲胜， 其概率为； 若恰经过5局比赛乙获胜，则第一三局乙输，第二四五局乙胜， 其概率为； 所以恰经过5局比赛结束的概率，故选项C错误； 对于D，若，每局比赛打平，则3个人出的手势一样，有3种情况，或者各不相同， 有种情况，所以三人打平的概率为； 若3人中两个人出的手势一样，与另外一个不一样，则每局比赛打平的概率为， 不妨设三人分别为甲、乙、丙，最后经过5局比赛甲获胜， 有以下几种情况， ①， 前4局，三人都是平局，第5局甲胜乙丙，其概率为 ， ②，前3局，三人都是平局，第4局甲丙胜乙输，第5局甲胜丙，其概率为 ， ③，前3局，三人都是平局，第4局甲乙胜丙输，第5局甲胜乙，其概率为 ， ④，第一二局三人打平，第三局甲乙胜丙输，第四局甲乙打平，第五局甲胜乙， 其概率为， ⑤，第一二局三人打平，第三局甲丙胜乙输，第四局甲丙打平，第五局甲胜丙， 其概率为， ⑥，第一局三人打平，第二局甲丙胜乙输，第四五局甲丙打平，第五局甲胜丙， 其概率为， ⑦，第一局三人打平，第二局甲乙胜丙输，第四五局甲乙打平，第五局甲胜乙， 其概率为， ⑧，第一局甲乙胜丙输，第二三四局甲乙都是平局，第5局甲胜乙，其概率为 ， ⑨，第一局甲丙胜乙输，第二三四局甲丙都是平局，第5局甲胜丙，其概率为 ， 综上，甲获胜的概率为， 所以恰经过5局比赛决出最终胜利者的概率，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．某种细胞的存活率与存放温度之间具有线性相关关系，其样本数据如下表所示： 存放温度 存活率 计算得，，，，并求得回归直线为.但实验人员发现表中数据的对应值录入有误，更正为.则更正后的回归直线方程为 ． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 【答案】 【详解】由题意，更正后，，， ，， ，， 因此，更正后的回归直线方程为. 故答案为：. 【点睛】本题考查回归方程的求法，考查最小二乘法公式的应用，考查计算能力，是基础题． 13．已知函数在处取得最小值m，函数，则 ，曲线在点处的切线的斜率为 . 【答案】 【详解】 ， 因为， 所以，当时，单调递减； 当时，，单调递增. 从而时，. 因为， 所以， 故曲线在点处的切线的斜率为. 故答案为：；. 【点睛】本题主要考查用导数求函数的单调性、最值、切线的斜率，属于中档题. 14．已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值等于 . 【答案】 【详解】因为， 所以，将代入，得， 所以，，所以， ， 又因为，所以，，即， 因为，所以，， 当且仅当时等号成立， 所以， 因为，所以当时， 最大， 所以， 即时，有最大值. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：根据求的最大值时，注意分析数列中项的正负号，得，且，进而得. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．近年来，我国青少年近视问题呈现高发性、低龄化、重度化趋势. 已知某校有学生200人，其中40人每天体育运动时长小于1小时，160人每天体育运动时长大于或等于1小时，为研究体育运动时长与青少年近视的相关性，研究人员采用分层随机抽样的方法从学生中抽取50人进行调查，得到以下数据： 体育运动时长小于1小时 体育运动时长大于或等于1小时 合计 近视 4 无近视 2 合计 (1)请完成上表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生是否近视与体育运动时长有关？ (2)为进一步了解近视学生的具体情况，现从调查的近视学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量为体育运动时长小于1小时的人数，求的分布列和数学期望. 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 【答案】(1)可以认为学生是否近视与体育运动时长有关 (2)分布列见详解， 【详解】（1）由题意可知：抽取50人中体育运动时长小于1小时的人数为， 据此可得列联表： 体育运动时长小于1小时 体育运动时长大于或等于1小时 合计 近视 8 4 12 无近视 2 36 38 合计 10 40 50 零假设：学生是否近视与体育运动时长无关， 可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断出成立， 因此可以认为不成立，即认为学生是否近视与体育运动时长有关. （2）由题意可知：的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 的期望. 16．已知数列的前项和为，满足，. (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式． (2)设数列的前项和为，求． (3)数列中是否存在不同的三项成等差数列，若存在请求出这些项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）当时，由可得， 两式相减得，即，从而， 当时，，所以，， 由得，从而， 故总有，，，从而， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故. （2）因为， 设数列的前项和为，则，① 所以，② ①②可得 ，故， 所以，. （3）假设中存在三项、、成等差数列， 则， 两边同时除以得：，而，， 所以、为偶数，的左边是奇数，右边是偶数，显然不可能成立， 故不存在不同的三项成等差数列. 17．已知函数（为常数）. （1）讨论函数的单调性； （2）当，时，求证：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1）由可得：，所以. 当a≤0时, 在R上恒成立；在上单增； 当a>0时,令,即,解得,令,即,解得. 所以当a>0时, 在上单增，在上单减. 综上所述：当a≤0时, 在上单增； 当a>0时, 在上单增，在上单减. （2）当时，. 令，则 令，则. 令，得：；令，得：； 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，， 所以， 所以存在，使， 且当或时，；当时，， 所以在上单增，在上单减，在上单增. 又，所以有：恒成立， 即当，时，求证： 【点睛】利用导数证明不等式，常用的思路层次有三个:其一直接构造函数利用导数证明；其二直接做差构造函数利用导数证明；其三先做适当的变换后再做差构造函数利用导数证明. 18．甲和乙两人进行足球射门比赛.规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢乙的概率为p，其中. (1)记比赛结束时，甲赢的次数为X，求X的分布列； (2)记为甲和乙进行了4局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率，为甲和乙进行了5局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率.若，求p的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【详解】（1）根据题意，则X所有可能的取值为， 于是， ， ， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）记事件B为“进行了4局比赛分出胜负”， 则， 记事件A为“甲获胜”，则事件表示“进行了4局比赛以后甲获胜”， 则， 故进行了4局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为 ； 记事件为“进行了5局比赛分出胜负”， 则， 则表示“进行了5局比赛以后甲获胜”， 则， 故进行了5局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为 . 依题意，， 解得，故p的取值范围为. 19．若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知. (1)判断的单调性； (2)证明：存在源数列； (3)（ⅰ）若恒成立，求的取值范围； （ⅱ）记的源数列为，证明：前项和. 【答案】(1)在上单调递减 (2)证明见证明 (3)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由，得， 即在上单调递减. （2）由（1）可知在上单调递减，又， 当且x无限趋近于0时，趋向于正无穷大， 即的值域为， 对于可以取到任意正整数，且在上都有存在唯一自变量与之对应， 故对于，令，其在上的解必存在且唯一，不妨设解为， 即，则都存在唯一的实数，使得， 即存在源数列. （3）（ⅰ）恒成立，即恒成立， 令，即恒成立， 令，则， 令，则，仅在时取等号， 即在上单调递减，故，即在上单调递增， 故，故； （ⅱ）证明：由（ⅰ）得，故，即， 故， 当时，， 当时，， 即前项和. 【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的新定义以及数列不等式恒成立以及证明不等式问题，综合性较强，解答第3问的关键在于证明不等式时，得到后，即可推出，此时要用放缩法得到，从而再用裂项法求和，证明不等式. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 期末押题预测卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：选择性必修第二、三册） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若等比数列满足，，（    ）． A． B． C．8 D．64 2．以“奔跑合肥，科创未来”为主题的2023合肥马拉松，于11月19日开跑，共有3万余名跑者在滨湖新区纵情奔跑，本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（约8公里）等多个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑三个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是（    ） A．若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有10种不同的分配方案 B．若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有15种不同的分配方案 C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法 D．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有48种不同的站法 3．已知，若，则（    ） A．-1 B．1 C．-8088 D．8088 4．对四对变量和进行线性相关检验，已知是观测值组数，是相关系数，且已知：①，；②，；③，；④，.则变量和线性相关程度最高的两组是（    ） A．①② B．①④ C．②④ D．③④ 5．已知是函数的极小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．设随机变量，函数在定义域上是单调递增函数的概率为，则（    ） 附：若，则. A． B． C． D． 7．为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，且满足，每局之间相互独立.记甲､乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（    ） A．17 B．22 C．27 D．32 8．若曲线在与处的切线互相垂直，且两条切线的交点在直线上，则的值可能是（    ）． A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（    ） A．事件A与事件B不互斥 B．事件A与事件B相互独立 C． D． 10．已知等比数列中，满足，，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列 11．“石头，剪刀，布”游戏起源于中国汉朝，称为“手势令”．游戏规则为：（1）参加游戏的人随机出一种手势，且石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；（2）两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时，都出相同的手势或三种手势都出现为平局．现有个人共举行了局游戏，且各局游戏互不影响，则下列说法正确的有（    ） A．若，，则只有一人获胜的概率为 B．若，，则平局的概率为 C．若，且规定其中一人连续两局获胜，比赛结束，则恰经过5局比赛结束的概率为 D．若，且规定每局比赛输者淘汰，则恰经过5局比赛决出最终胜利者的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．某种细胞的存活率与存放温度之间具有线性相关关系，其样本数据如下表所示： 存放温度 存活率 计算得，，，，并求得回归直线为.但实验人员发现表中数据的对应值录入有误，更正为.则更正后的回归直线方程为 ． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 13．已知函数在处取得最小值m，函数，则 ，曲线在点处的切线的斜率为 . 14．已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值等于 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．近年来，我国青少年近视问题呈现高发性、低龄化、重度化趋势. 已知某校有学生200人，其中40人每天体育运动时长小于1小时，160人每天体育运动时长大于或等于1小时，为研究体育运动时长与青少年近视的相关性，研究人员采用分层随机抽样的方法从学生中抽取50人进行调查，得到以下数据： 体育运动时长小于1小时 体育运动时长大于或等于1小时 合计 近视 4 无近视 2 合计 (1)请完成上表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生是否近视与体育运动时长有关？ (2)为进一步了解近视学生的具体情况，现从调查的近视学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量为体育运动时长小于1小时的人数，求的分布列和数学期望. 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 16．已知数列的前项和为，满足，. (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式． (2)设数列的前项和为，求． (3)数列中是否存在不同的三项成等差数列，若存在请求出这些项；若不存在，请说明理由． 17．已知函数（为常数）. （1）讨论函数的单调性； （2）当，时，求证：. 18．甲和乙两人进行足球射门比赛.规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢乙的概率为p，其中. (1)记比赛结束时，甲赢的次数为X，求X的分布列； (2)记为甲和乙进行了4局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率，为甲和乙进行了5局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率.若，求p的取值范围. 19．若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知. (1)判断的单调性； (2)证明：存在源数列； (3)（ⅰ）若恒成立，求的取值范围； （ⅱ）记的源数列为，证明：前项和. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$