1.3 等式性质与不等式性质（4大考点+6大题型）（讲义+精练）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

1.3　等式性质与不等式性质 目录 01 课表要求 2 02 落实主干知识 3 一、两个实数比较大小的方法 3 二、等式的性质 3 三、不等式的性质 3 四、常用二级结论 4 03 探究核心题型 5 题型一：数(式)的大小比较 5 题型二：利用不等式的性质解题 5 题型三：证明不等式 6 题型四：已知不等式条件，确定目标式取值界限 7 题型五：不等式的综合问题 8 题型六：浓度不等式 9 04 好题赏析（一题多解） 10 05 数学思想方法 11 ①数形结合 11 ②转化与化归 11 ③分类讨论 12 06 课时精练（真题、模拟题） 13 基础过关篇 13 能力拓展篇 14 1、掌握等式性质. 2、会比较两个数的大小. 3、理解不等式的性质，并能简单应用. 一、两个实数比较大小的方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 二、等式的性质 性质1　对称性：如果，那么； 性质2　传递性：如果，，那么； 性质3　可加(减)性：如果，那么； 性质4　可乘性：如果，那么； 性质5　可除性：如果，，那么. 三、不等式的性质 性质1　对称性：； 性质2　传递性：； 性质3　可加性：； 性质4　可乘性：； 性质5　同向可加性：； 性质6　同向同正可乘性：； 性质7　同正可乘方性：. 四、常用二级结论 1、浓度不等式 (1) 浓度不等式定理：若，，则一定有> 通俗的理解：克的不饱和糖水里含有克糖，往糖水里面加入克糖，则糖水更甜 (2) 浓度不等式的倒数形式：设，，则有>. 题型一：数(式)的大小比较 【例1】（2025·四川攀枝花·三模）已知，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题总结】 比较大小的常用方法 (1)作差法 (2)作商法 (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小. 【变式1-1】若，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·上海金山·二模）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二：利用不等式的性质解题 【例2】（多选题）（2025·山东济南·二模）已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明． 2、构造函数，利用函数的单调性． 3、利用特殊值法排除错误选项. 【变式2-1】（多选题）（2025·河南·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选题）设，则下列结论正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-3】（多选题）已知，则下列各选项正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三：证明不等式 【例3】证明下列不等式： (1)已知，，，求证：； (2)已知，，均为正实数，且，求证：. 【解题总结】 证明大小的常用方法 (1)作差法 (2)作商法 【变式3-1】对于正数，，，，求证 (1) (2) 【变式3-2】已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3-3】设，，，证明：． 题型四：已知不等式条件，确定目标式取值界限 【例4】（多选题）（2025·高三·重庆·期中）已知，且，则（    ） A． B． C．无最小值，只有最大值为4 D．的最小值为12 【解题总结】 在利用不等式的性质求代数式的取值范围时，需注意以下关键要点： 首先，必须严格遵循不等式的性质。不等式的性质是求解取值范围的基础，任何违反性质的操作都可能导致结果错误。其次，需警惕多次运用不等式性质时可能导致的变量取值范围扩大。在复杂问题中，若分步处理不等式，每一步的运算都可能引入额外误差，最终导致所求范围超出实际解集。例如，对不等式进行多次平方或开方操作时，可能引入非原解集的解。 【变式4-1】已知则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选题）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【变式4-3】（2025·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 题型五：不等式的综合问题 【例5】设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A． B．3 C．8 D．9 【解题总结】 综合利用等式与不等式的性质进行求解. 【变式5-1】记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·江苏南通·模拟预测）设实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·河南信阳·模拟预测）已知圆O：，点和点在圆上，满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 题型六：浓度不等式 【例6】求证：． 【解题总结】 浓度不等式定理：若，，则一定有> 【变式6-1】（多选题）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 【变式6-2】求证：． 【变式6-3】（多选题）（2025·江苏·模拟预测）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 1．已知，则（    ） A． B． C． D． ①数形结合 1．已知均为正实数，以下不等式恒成立的有     ①；②；③ A．①② B．②③ C．①②③ D．① 2．设，且，则     A． B． C． D． 3．如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形，则以下说法中错误的是    A． B．当时，，，，四点重合 C． D． ②转化与化归 4．已知实数x，y满足，则和y的最大值分别为    A．2， B．2，1 C．4， D．4， 5．若，，则以下结论正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 ③分类讨论 7．某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为 x，y，单位：本现了解到：①②，则这些数学专著至少有  A．9本 B．10本 C．11本 D．12本 8．以表示数集M中最大的数．设，已知或，则的最小值为          ． 9．设x，y是正实数，记S为x，，中的最小值，则S的最大值为          ． 基础过关篇 1．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 3．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆柱的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为，若圆柱和圆台的高和体积都相等，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川成都·三模）已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 9．（2025·浙江杭州·二模）已知，为任意正数，若恒成立，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025·河南·三模）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2025·四川攀枝花·一模）已知实数，且满足，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·高三·云南怒江·期末）已知正数，，满足，则，，的大小关系为 . 13．（2025·广东中山·一模）已知，则实数的取值范围是 . 能力拓展篇 14．（2025·河北保定·模拟预测）记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为 . 15．已知，，则，的大小关系为 ． 16．从平面直角坐标系的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列关于所取点的说法中一定正确的是（    ） A．第一象限的点比第二象限的点多 B．第二象限的点比第三象限的点多 C．第三象限的点比第一象限的点多 D．第四象限的点比第二象限的点多 17．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 18．（多选题）（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 19．（多选题）（2025·安徽合肥·三模）已知实数,满足,,，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3　等式性质与不等式性质 目录 01 课表要求 3 02 落实主干知识 4 一、两个实数比较大小的方法 4 二、等式的性质 4 三、不等式的性质 4 四、常用二级结论 5 03 探究核心题型 6 题型一：数(式)的大小比较 6 题型二：利用不等式的性质解题 8 题型三：证明不等式 9 题型四：已知不等式条件，确定目标式取值界限 12 题型五：不等式的综合问题 14 题型六：浓度不等式 16 04 好题赏析（一题多解） 19 05 数学思想方法 20 ①数形结合 20 ②转化与化归 22 ③分类讨论 23 06 课时精练（真题、模拟题） 26 基础过关篇 26 能力拓展篇 31 1、掌握等式性质. 2、会比较两个数的大小. 3、理解不等式的性质，并能简单应用. 一、两个实数比较大小的方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 二、等式的性质 性质1　对称性：如果，那么； 性质2　传递性：如果，，那么； 性质3　可加(减)性：如果，那么； 性质4　可乘性：如果，那么； 性质5　可除性：如果，，那么. 三、不等式的性质 性质1　对称性：； 性质2　传递性：； 性质3　可加性：； 性质4　可乘性：； 性质5　同向可加性：； 性质6　同向同正可乘性：； 性质7　同正可乘方性：. 四、常用二级结论 1、浓度不等式 (1) 浓度不等式定理：若，，则一定有> 通俗的理解：克的不饱和糖水里含有克糖，往糖水里面加入克糖，则糖水更甜 (2) 浓度不等式的倒数形式：设，，则有>. 题型一：数(式)的大小比较 【例1】（2025·四川攀枝花·三模）已知，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A：当，，满足，但是，故A错误； 对于B：当，，满足，但是，故B错误； 对于C：若，，满足，但是，故C错误； 对于D：因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 若，则，所以，故D正确. 故选：D 【解题总结】 比较大小的常用方法 (1)作差法 (2)作商法 (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小. 【变式1-1】若，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于AB，由题，所以由得， 令，因为均为增函数，所以为增函数， 所以，即，，故A错误，B正确； 对于C，若，此时，且， 而， 所以，则，此时，故C错误， 对于D，若，此时，且， 若时，，必有，故D错误； 故选：B 【变式1-2】（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 【变式1-3】（2025·上海金山·二模）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，，A正确； 对于B，取，，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B 题型二：利用不等式的性质解题 【例2】（多选题）（2025·山东济南·二模）已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为，所以，所以，故A对； 因为，所以， 由，所以，故B对； 若，满足，显然不成立，故C错； 当，则，必有， 当，则，故，必有， 故D对. 故选：ABD 【解题总结】 1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明． 2、构造函数，利用函数的单调性． 3、利用特殊值法排除错误选项. 【变式2-1】（多选题）（2025·河南·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A项，因为是减函数，而，所以，故A项正确； 对于B项，因为在上单调递增，而，所以，故B项正确； 对于C项，，因为，，，所以，即，故C项错误； 对于D项，，因为，，，所以，即，故D项正确. 故选：ABD. 【变式2-2】（多选题）设，则下列结论正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【解析】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，，，则，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 【变式2-3】（多选题）已知，则下列各选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，由，得，则，因此，C正确； 对于D，取，满足，而，D错误． 故选：AC 题型三：证明不等式 【例3】证明下列不等式： (1)已知，，，求证：； (2)已知，，均为正实数，且，求证：. 【解析】（1）由，得， 因为，所以， 所以，进而得到， 因为，所以. （2）因为，，均为正实数，且， 所以由基本不等式得， ， 当且仅当时，等号成立. 【解题总结】 证明大小的常用方法 (1)作差法 (2)作商法 【变式3-1】对于正数，，，，求证 (1) (2) 【解析】（1）， 当且仅当时取等号， （2）解法一：注意到因式分解 ， 当且仅当时取到， 所以， 令，则有. 解法二：由第一问可知， ， 不等式两边同除可得， 两边同时取次方即可得， 令，则有. 方法3：不妨设，取， ①若，则（将其设为）， 因此有， ②若，不妨设，则有， 否则，因中前两项之和小于或等于，第三项等于，其计算结果不可能等于，与矛盾. 下面证明，只需证. 显然. 不妨设，则， ， 由于，所以，即. 因此有，所以. 而， 所以由①可得.证毕. 【变式3-2】已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【解析】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 【变式3-3】设，，，证明：． 【解析】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 题型四：已知不等式条件，确定目标式取值界限 【例4】（多选题）（2025·高三·重庆·期中）已知，且，则（    ） A． B． C．无最小值，只有最大值为4 D．的最小值为12 【答案】ACD 【解析】由，则，又，即，同理，A对； 由，且，显然时，B错； 由上分析知：且，结合的单调性知：，C对； 由，当且仅当时等号成立，D对. 故选：ACD 【解题总结】 在利用不等式的性质求代数式的取值范围时，需注意以下关键要点： 首先，必须严格遵循不等式的性质。不等式的性质是求解取值范围的基础，任何违反性质的操作都可能导致结果错误。其次，需警惕多次运用不等式性质时可能导致的变量取值范围扩大。在复杂问题中，若分步处理不等式，每一步的运算都可能引入额外误差，最终导致所求范围超出实际解集。例如，对不等式进行多次平方或开方操作时，可能引入非原解集的解。 【变式4-1】已知则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则有， 即，解得， 所以由，可得, 两同向不等式相加得： 化简得 故选：C. 【变式4-2】（多选题）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ACD 【解析】不等式，， 对于A，，即，解得，A正确； 对于B，∵，∴，， 又，∴， 即，解得，B错误； 对于C，∵，，∴， 即，解得，C正确； 对于D，∵，， 又， ∴，所以，D正确. 故选：ACD. 【变式4-3】（2025·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 【答案】A 【解析】由，得， 又，所以， 所以，即， 所以的最大值为27. 故选：A 题型五：不等式的综合问题 【例5】设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A． B．3 C．8 D．9 【答案】B 【解析】由，得， 于是，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 故选：B 【解题总结】 综合利用等式与不等式的性质进行求解. 【变式5-1】记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，，所以， 所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故选：A 【变式5-2】（2025·江苏南通·模拟预测）设实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得： ， 当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 【变式5-3】（2025·河南信阳·模拟预测）已知圆O：，点和点在圆上，满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，点在圆上， 所以， 因为， 所以， 所以， 又因为， 所以，当且仅当取等号. 故选：B. 题型六：浓度不等式 【例6】求证：． 【解析】‌原不等式可转化为， 由浓度不等式得， 则得， 于是 两边开平方，即得． 下面证明浓度不等式，，其中， 证明：由， 所以. 【解题总结】 浓度不等式定理：若，，则一定有> 【变式6-1】（多选题）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 【答案】BCD 【解析】对于A，，， ，，故A错误， 对于B，，， ，，故B正确， 对于C，，， ，， ， ，故C正确， 对于D，，， ，， ，故D正确， 故选：BCD 【变式6-2】求证：． 【解析】‌由浓度不等式，可得， 则有， 于是， ， 因此． 证明浓度不等式：，其中， 证明：， 所以. 【变式6-3】（多选题）（2025·江苏·模拟预测）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由题意可知，正确； 对于B，因为，所以，正确； 对于C，即，错误； 对于D，，正确.故选：ABD 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． ①数形结合 1．已知均为正实数，以下不等式恒成立的有     ①；②；③ A．①② B．②③ C．①②③ D．① 【答案】B  【解析】①，当，时，，，此时，此时①不成立； ②，，当且仅当且时等号成立， 而，， 故在a，b均为正实数时恒成立，②恒成立； ③，令，则可以看成当时， 函数的函数值恒大于或等于1， 由函数图象可知③恒成立． 故选 2．设，且，则     A． B． C． D． 【答案】D  【解析】A选项，若，满足，但，所以A选项错误． B选项，若，满足，但，所以B选项错误． C选项，若，满足，但，所以C选项错误． D选项，对于函数，图象如下图所示， 由图可知函数在R上单调递增，所以D选项正确． 故选： 3．如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形，则以下说法中错误的是    A． B．当时，，，，四点重合 C． D． 【答案】C  【解析】由题知：正方形ABCD的面积为，正方形的面积为，长方形面积为 对于A：由图可知：正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有，故A正确； 对于B：正方形的面积为，当时，正方形的面积为0，故B正确； 对于C：结合图象正方形的面积与4个长方形的面积之和的大小关系不定，故C错误； 对于D：结合图象正方形ABCD的面积大于正方形的面积，即，故D正确． 故选 ②转化与化归 4．已知实数x，y满足，则和y的最大值分别为    A．2， B．2，1 C．4， D．4， 【答案】D  【解析】因为 ， 因为，所以，解得 又因为，所以， 所以， 即，即，解得， 所以，所以， 故的最大值为4，y的最大值为 故选： 5．若，，则以下结论正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D  【解析】，，则， ，故①正确； ，， ， ，故③正确； ，故②正确； ， ， ， ， ，故④正确； 故选： 6．（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 【答案】D 【解析】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有个， 第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有个， 第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有个， 第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有个， 又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少， 所以①，且②， 由不等式性质可知，①+②可得，即第二象限点比第四象限点少. 故选：D. ③分类讨论 7．某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为 x，y，单位：本现了解到：①②，则这些数学专著至少有  A．9本 B．10本 C．11本 D．12本 【答案】A  【解析】由已知，①，②，并且， 可得：，所以 当时，，不合条件； 当时，，所以，这时， 其中若，则，满足条件，这时， 若，则，不合条件； 当时，一定有 综上所述，这些数学专著至少有本 故选： 8．以表示数集M中最大的数．设，已知或，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】令，，，m，n，， 则， ①若， 令， ； ②若，即， 令， ， ， 综上可知，的最小值为 故答案为 9．设x，y是正实数，记S为x，，中的最小值，则S的最大值为          ． 【答案】  【解析】设，当时， 不妨设， ①当时， ②当时，， 若，则； 若，则； ③当时，，， ； ④当时，，， 同理，当时，可以证明 综上所述：S的最大值为 故答案为 基础过关篇 1．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且，所以 设，则，所以单调递增， 所以 ，所以选B. 3．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆柱的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为，若圆柱和圆台的高和体积都相等，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不妨设圆柱和圆台的高为，由体积公式可知，即； . 圆台中，故，即，，选项A错误，选项B正确. 由基本不等式，结合，得，平方后得到，选项CD错误. 故选：B 5．（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，，则， 则，即，充分性成立； 若，，则， 所以，必要性成立， 所以如果，那么“”是“”的充要条件. 故选：C 6．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误， 对于选项C，由，得到，即，所以推不出， 但可以得出，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 又，当且仅当时取等号，显然不满足题意， 则，即， 又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误， 故选：C. 7．（2025·四川成都·三模）已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两边取对得，则且，即同号或， 所以，当时，不成立，A错； 由，B对； 由，若时，，C错； 由，且， 当时，，此时，D错. 故选：B 8．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】这一事实表示为一个不等式为． 证明：， 又，， ，即， 即. 故选： 9．（2025·浙江杭州·二模）已知，为任意正数，若恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为对任意的正数，恒成立， 所以，又，所以，所以. 故选：A 10．（多选题）（2025·河南·三模）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意可得， A项:由单调递增，知，故选项A正确； B项:时选项B不正确； C项:由，则，当且仅当时等号成立，∵，∴等号不成立，故选项C正确； D项:构造函数，，∴单调递增，又，得，故选项D不正确． 故选:AC． 11．（多选题）（2025·四川攀枝花·一模）已知实数，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A.由条件可知，，则，故A正确； B.，当且仅当时等号成立，故B正确； C. ，当时等号成立，故C错误； D.因为，，故D正确. 故选：ABD 12．（2025·高三·云南怒江·期末）已知正数，，满足，则，，的大小关系为 . 【答案】 【解析】由，得，则，得， 所以，所以， 令，则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以，即 所以， 所以，综上， 故答案为：. 13．（2025·广东中山·一模）已知，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】将不等式可化为， 由不等式可得，即，求解得：或； 由不等式可得，即，求解得：或； 综上：. 故答案为：. 能力拓展篇 14．（2025·河北保定·模拟预测）记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】由题意，， 则， 当且仅当时，全部取得等号，所以，故的最小值为4. 故答案为：4. 15．已知，，则，的大小关系为 ． 【答案】 【解析】法一：， ， ， ． 法二：令， 显然是上的减函数， ，即． 故答案为： 16．从平面直角坐标系的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列关于所取点的说法中一定正确的是（    ） A．第一象限的点比第二象限的点多 B．第二象限的点比第三象限的点多 C．第三象限的点比第一象限的点多 D．第四象限的点比第二象限的点多 【答案】D 【解析】设分别从第一、二、三、四象限中取个点，则， 两式相加得，所以，所以选项D正确， 取时，满足，但，所以A和B错误， 取时，满足，但，所以C错误， 故选：D. 17．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 因为，所以， 当时，，此时，， 这与矛盾，所以， 由，得， 所以，当且仅当时取等号， 由A选项知，当时，不符题意， 所以， 由，可得， 因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 由，得， 则， 因为，， 所以， 又因为，所以，所以， 综上所述，. 故选：A. 18．（多选题）（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题意可得，对于函数， 则在R上单调递增，结合，可得. 对于A，，故A正确； 对于B，由不能判断与1的大小，故B错误； 对于C，取，此时C不成立，故C错误； 对于D，因为，由指数函数的单调性易得，故D正确. 故选：AD. 19．（多选题）（2025·安徽合肥·三模）已知实数,满足,,，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对不等式进行变形化简得：， 设. 求导得：. 所以函数在上单调递增. 由，且函数单调递增，可得，即. 对于选项A： 因为，所以平方可得即.A正确. 对于选项B： 取反例，当时，，满足题意. 而，所以B错误. 对于选项C： 取反例，当时， 计算选项C的左边为，右边， 此时，C错误. 对于选项D： 令，求导得，可以看出该导数在上小于0. 所以在上单调递减，所以. 因为，所以，所以. 由前面可知，所以，所以选项D正确. 故选：AD. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $$