期末检测 B卷-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

2024-2025学年八年级（下）期末检测卷 【人教版】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：下册全部内容 ，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．为响应习近平总书记强调的“着眼满足人民群众多样化、多层次、多方面的精神文化需求”这一号召，某市夜校开设漆扇制作课程，一周内每天报名的人数分别为：72，86，67，59，91，82，94，则这组数据的中位数是（  ） A．59 B．67 C．82 D．86 【答案】C 【分析】本题考查的是求解中位数，把数据从小到大排序，根据处在最中间的数或最中间的两个数的平均数可得中位数，从而可得答案. 【详解】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：59,67,72,82,86,91,94， 最中间的数是， ∴这组数据的中位数是82． 故选：C 2．若一次函数（k，b为常数）的图象如图所示，那么当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象，得到y随x的增大而减小，且时，，根据性质解答即可． 本题考查了一次函数的性质，一次函数与等式，熟练掌握性质和不等式是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得到y随x的增大而减小，且时，， 故时，， 故选：A． 3．下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，算术平方根，根据算术平方根和二次根式的化简进行判断，数值相关性质是解题的关键． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确， 故选：D． 4．下列二次根式中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式和二次根式的性质，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．，故选项A不符合题意； B．，故选项B不符合题意； C．，是最简二次根式，故选项C符合题意； D．，故选项D不符合题意． 故选：C． 5．重庆市某手套生产企业接到紧急生产一批手套的任务．企业安排生产速度相同的甲、乙两车间共同完成生产任务，乙车间中途停工一段时间维修设备，然后改变速度继续生产，直到与甲车间同时完成生产任务为止．设该企业未生产的手套数量（万只）与甲车间生产时间（天）之间的关系如图所示．在下列描述中，正确的是（　　） A．乙车间维修设备时间为2天 B．若乙车间不停工且不改变速度则可以提前完成任务 C．五天内，甲车间生产手套的数量比乙车间数量多 D．乙车间维修设备后每天比以前多生产手套10万只 【答案】D 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，根据函数图象可得：乙车间维修设备时间为1天，即可判断A，根据函数图象求得总任务有万只，进而判断B选项，根据第2天后，甲乙合作每天生产万只，得出乙的速度，进而判断D选项，根据五天内，甲乙生产数量相同即可判断C选项，即可求解． 【详解】解：函数图象在和时出现的变化，乙车间维修设备时间为1天，故A.选项不正确，不符合题意； 甲每天生产万只， ∴总任务有：万只， ∵生产速度相同的甲、乙两车间共同完成生产任务， ∴若乙车间不停工且不改变速度，需要天，不能提前完成任务；故B选项错误， 第2天后，甲乙合作每天生产万只， ∴乙改变速度为每天生产万只， 万只， 即乙车间维修设备后每天比以前多生产手套10万只，故D选项正确； 五天内，甲车间生产手套的数量为万只 乙车间生产的数量为万只，两车间一样多，故C选项错误， 故选：D． 6．如图，在中，平分交于点 F，平分交于点E，与交于点O，点G为边的中点，连接．若，则的长为（    ）   A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义和三角形内角和定理，等角对等边，由平行四边形的性质可得，则，再由角平分线的定义可推出，则，再由，得到，同理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵点G为边的中点， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， 故选：D． 7．如图，已知正方形，E是对角线上的中点，F是边的中点，连接，，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】该题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，根据直角三角形斜边的中线等于斜边一半得出，再根据正方形性质和勾股定理求出，最后根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：在正方形中，， ∵E是对角线上的中点， ∴， ∵， ∴， ∵E是对角线上的中点，F是边的中点， ∴， 故选：C． 8．如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若， ，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作于点，交的延长线于点，由折叠得，，而，则，可证明，得，，由，得，由，得，再证明，得，所以，求得，即可求解． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， 沿折叠，点落在的直角顶点处，且，， ，，， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：C． 9．如图，在中，，的平分线交于点，于点，若，，则的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的性质，勾股定理以及全等三角形的判定与性质；根据勾股定理求出，由角平分线性质定理得，再证明可得，可得出，再由的周长求得结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 10．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，根据数轴可得，，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由数轴可得： ∴，故A正确，不符合题意， ∵， ∴ ∴，故B正确，不符合题意； ∵ ∴，故C正确，符合题意， ∵ ∴，故D错误，符合题意， 故选： D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．代数式有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式和二次根式的知识，解题的关键是熟练掌握分式和二次根式的定义， 【详解】解：代数式有意义， ，解得． 故答案为：． 12．如图，是矩形的对角线，平分交于点．若，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了矩形的性质、角平分线的定义等知识，先根据矩形的性质和角平分线求出，再用平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：∵是矩形的对角线， ∴， ∵平分交于点． ∴ ∴ ∵ ∴， 故答案为： 13．如图，在中，对角线、交于点，点为中点．若，则长为 ． 【答案】8 【分析】根据题意证明是的中位线，然后根据中位线的性质即可求解；本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线，掌握并熟练使用相关定理，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，O是对角线的交点， ∴， ∵点为中点． ∴是的中位线， ∴． 故答案为：8． 14．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键．从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分对应x的取值范围即可该不等式的解集． 【详解】解：把代入，得：，解得：， ∴直线与直线交于点， 当时，则． 故答案为：． 15．在中，，为上一点，，，，则的长是 【答案】3 【分析】本题考查的是勾股定理，设，在中，根据的正切可求出．在中，根据勾股定理得到关于的方程，解得的值即可求出的长．熟知直角三角形的性质是解答此题的关键． 【详解】解：设，则， ，， ， 解得， ． 故答案为：3． 16．如图，矩形中，，，的平分线交于点，为线段上一动点，点为的中点，则线段长的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，二次函数的性质，两点距离公式等知识．首先建立平面直角坐标系，根据是的平分线，可知点的坐标是，利用待定系数法求出直线的解析式为，设点的坐标是，因为点是的中点，所以点的坐标可以表示为，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可知，根据的取值范围可知当时，的长度最大，最大长度是． 【详解】解：如下图所示，以点为原点，所在直线为轴 ，建立平面直角坐标系， ，， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 是的平分线， ， ， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标是， 点是的中点， 点的坐标是， ， ， 当时，最大， 最大值． 故答案为： 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算； （1）先化简各二次根式，再计算加减运算即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 18．每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端水平方向向右滑动的距离为多少米． 【答案】(1)云梯顶端与墙角的距离的长为 (2)云梯底端在水平方向上滑动的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理即可得到求解； （2）在中，根据勾股定理求出，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：； 答：云梯顶端与墙角的距离的长为； （2）解：，， ， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ， ． 答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 19．如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，对角线，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为24，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查菱形的证明与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练菱形的判定定理是解题的关键． （1）利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半结合平行四边形的性质即可证明； （2）设，，利用勾股定理求出，由题意得，推出，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，分别是边，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵对角线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：设，， ∵的周长为24，， ∴， ∴，即， ∵， ∴在中，根据勾股定理得，即． ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为24． 20．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，点在第一象限内直线：上一点．是以点为直角顶点的等腰直角三角形． (1)求点的坐标； (2)当时，直线（）既在直线的上方，又在直线的上方，直接写出的取值范围； (3)若点，且的面积等于的面积，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点B作轴于点D，由点A的坐标及等腰直角三角形的性质，可得出点B的坐标为，结合点B在直线上，即可求出a的值，进而可得出点A的坐标； （2）求出直线的解析式，再根据直线在直线l和上方的条件，结合函数图象的性质确定m的取值范围； （3）由（1）可得出点B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式为，由的面积等于的面积，可得出点C在直线上，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b的值． 【详解】（1）解∶过点B作轴于点D，如图所示． 点A的坐标为， ． 是以点B为直角顶点的等腰直角三角形， ． ∵点B在第一象限， ∴点B的坐标为， 又∵点B在直线上， ，解得∶， ∴点A的坐标为； （2）解：由（1）知， 设直线的解析式为，把)代入，解得， ∵当时，直线即在直线：的上方，又在直线的上方， ∴结合函数图象可知m的取值范围是； （3）解：由（1）可得出点B的坐标为， 设直线AB的解析式为， 将，代入得∶ 解得∶ ∴直线的解析式为． ∵的面积等于的面积， 点C在直线上， ∵点C的坐标为， ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．某校运动会需要身高在165~185cm的学生组成彩旗方队，为此测量了一些学生的身高（单位：cm），经过整理、描述和分析（所选学生的身高x共分成四组：；；；），下面给出了部分信息： 信息一：所选学生身高数据的频数分布直方图和扇形统计图如下 信息二：平均数、中位数和众数如下表 统计量 平均数 中位数 众数 所选学生的身高（单位：cm） 174 m 175 信息三：D组10名学生的身高情况（单位：cm）如下 180，180，181，181，182，182，182，183，184，185． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求C组学生的人数，并补全频数分布直方图； (2)求B组所在扇形的圆心角的度数，并确定m的值位于哪个组中； (3)站在第一排的D组中有一名身高184cm的学生因病无法参加，为保证队伍的整齐效果，小明建议增加两名身高182cm的学生，同时去掉一名身高180cm的学生，请你通过计算，评价小明的建议是否正确． 【答案】(1)30人，图见解析 (2)，m的值位于B组中 (3)正确，理由见解析 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、平均数、中位数、众数等统计知识，解题的关键是理解形统计量的意义，利用图表信息进行计算和分析． （1）根据组在扇形统计图中的占比以及已知的频数求出总人数，进而求出组人数并补全直方图； （2）先求出组人数及占比，再计算圆心角度数，根据中位数定义确定所在组； （3）分别计算调整前后数据的方差，根据方差判断数据波动情况，进而评价建议是否合理． 【详解】（1）解：已知总人数为加上组人数．又因为组人数占总人数的， 设总人数为，则组人数为， 可得， 解得人， 所以组人数为人， 补全频数分布直方图： （2）解：组人数为40人， 组人数占总人数的比例为， 则组所在扇形的圆心角的度数为， 一共有100个数据，中位数是第、个数据的平均数，组有20人，组有40人，前两组共人，所以第、个数据在组中， 即的值位于组中； （3）评价小明的建议正确， 原组数据180，180，181，181，182，182，182，183，184，185， 平均数， 方差 ， 调整后的数据， 平均数， 方差 ， 因为，方差越小数据越稳定，说明调整后数据波动更小，队伍更整齐， 所以小明的建议正确． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，直线交x轴于点B，两直线交于点． (1)求点C的坐标． (2)在y轴右侧是否存在一点P，使以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，点的坐标，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据两直线交于点，则，即可作答． （2）先求出，结合以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，根据对角线互相平分进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入， 得， ∴， （2）解：存在， 依题意，交x轴于点B， ∴， 解得， ∴， 由（1）得， ∵，且以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， 则， 整理得， ∴， ∴； ∴当为对角线时， 则， 整理得， ∴， ∴； ∵点P在y轴右侧， ∴不符合题意，舍去； ∴当为对角线时， 则， 整理得， ∴， ∴； 综上：或． 23．如图，在平行四边形中，是对角线上的两点（点在点左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求线段长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）根据，可推出，再根据平行四边形的性质可得，，即可得出，，进而可证四边形是平行四边形． （2）根据勾股定理可得，进而得出，根据全等三角形的性质和判定可得，． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．定义：在一个四边形中，若一条对角线能把该四边形分成的两个三角形中，至少有一个三角形为等腰直角三角形，则这个对角线叫做“奋进线”，这个四边形叫做“奋进四边形”． (1)①如图1，在四边形中，若，，则四边形______（填“是”或“否”）“奋进四边形”，若是，则______是“奋进线”（若不是，此空不填）； ②如图1，若四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，且，，时，当为等腰三角形时，的长为______； (2)如图2，四边形和四边形均为“奋进四边形”，，，对角线分别为这两个四边形的“奋进线”，求证：； (3)如图3，四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，若，，，当为“奋进线”时，且恰好为等腰直角三角形的一条直角边，直接写出此时的长． 【答案】(1)①是；；②或 (2)详见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等待，正确理解“奋进四边形”的定义是解题的关键． （1）①可证明，则可利用勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，据此可得结论； ②可利用勾股定理的逆定理证明不是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，据此分和，两种情况利用勾股定理求解即可； （2）由题意知：和都是等腰直角三角形，则可证明，得到； （3）同理可证明不是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，再分和，两种情况画出示意图讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵在四边形中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴四边形是“奋进四边形”，且是“奋进线”； ②当时， ∵， ∴此时不是等腰直角三角形， 同理可得当时，不是等腰直角三角形， ∵四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴， 当时，则； 当时，； 综上所述，的长为或； （2）解：由题意知：和都是等腰直角三角形， ∵， ，， ∵ ， ， ； （3）解：同理可证明不是等腰直角三角形， ∵四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”， ∴是等腰直角三角形， 当时，如图1，作，取，连接， 同理可证明， ， ，是等腰直角三角形， ，， ， ， ∴由勾股定理得， ， 当时，如图，同理可得， 综上：或． 25．追本湖源 （1）如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，与之间存在怎样的位置和数量关系？请说明理由． 迁移应用 （2）如图2，在正方形中，点在边上，连接，过点作，垂足为，作点关于点的对称点，连接，． ①当点为的中点时，判断与的位置关系，并证明你的结论； ②当时，是否存在为等腰三角形的情况？如果存在，求此时的长；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）且，见解析；（2）①，见解析，②存在，， 【分析】（1）要探究与的位置和数量关系．可利用正方形的性质得到边和角的条件，通过证明三角形全等得出与的数量关系，再利用角的等量代换推出它们的位置关系． （2）①判断与的位置关系．根据正方形性质、中点及对称点的性质得到三角形全等的条件，证明三角形全等后利用对应角相等来判断位置关系．②判断是否存在为等腰三角形的情况并求的长．需分情况讨论，根据等腰三角形的性质、正方形性质、相似三角形性质等逐步计算出的长度． 【详解】解：（1）且 ，理由如下：       四边形是正方形， ，． ． 又， ． ．             延长交于点（如图3）． ， ． ， ． ． ，即．         （2）①，理由如下，             四边形是正方形， ，． 为的中点， ． 点为关于点的对称点， ．             在与中， ， ，． ．             ②当时，存在为等腰三角形的情况（如下图4，图5）．         在图4中，当点，与点重合时，为等腰三角形，此时．     在图5中，．此时． 作于点，延长交于点． ，，， ，． ． ，， 四边形是平行四边形． ． ，． ． ，， ． ，即，得．     ∵，，由题意知，最大时，最大， ∴ ， 综上所述：，，． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行四边形的判定与性质．解题关键在于：（1）利用正方形性质构造全等三角形来探究线段关系；（2）①通过证明三角形全等得到角的关系从而判断直线位置关系；②分情况讨论等腰三角形，结合多种几何图形性质计算线段长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级（下）期末检测卷 【人教版】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：下册全部内容 ，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．为响应习近平总书记强调的“着眼满足人民群众多样化、多层次、多方面的精神文化需求”这一号召，某市夜校开设漆扇制作课程，一周内每天报名的人数分别为：72，86，67，59，91，82，94，则这组数据的中位数是（  ） A．59 B．67 C．82 D．86 2．若一次函数（k，b为常数）的图象如图所示，那么当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 4．下列二次根式中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．重庆市某手套生产企业接到紧急生产一批手套的任务．企业安排生产速度相同的甲、乙两车间共同完成生产任务，乙车间中途停工一段时间维修设备，然后改变速度继续生产，直到与甲车间同时完成生产任务为止．设该企业未生产的手套数量（万只）与甲车间生产时间（天）之间的关系如图所示．在下列描述中，正确的是（　　） A．乙车间维修设备时间为2天 B．若乙车间不停工且不改变速度则可以提前完成任务 C．五天内，甲车间生产手套的数量比乙车间数量多 D．乙车间维修设备后每天比以前多生产手套10万只 6．如图，在中，平分交于点 F，平分交于点E，与交于点O，点G为边的中点，连接．若，则的长为（    ）   A． B．3 C． D．4 7．如图，已知正方形，E是对角线上的中点，F是边的中点，连接，，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D．4 8．如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若， ，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 9．如图，在中，，的平分线交于点，于点，若，，则的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．代数式有意义，则x的取值范围为 ． 12．如图，是矩形的对角线，平分交于点．若，则 ． 13．如图，在中，对角线、交于点，点为中点．若，则长为 ． 14．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为 ． 15．在中，，为上一点，，，，则的长是 16．如图，矩形中，，，的平分线交于点，为线段上一动点，点为的中点，则线段长的最大值是 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．计算： (1)； (2)． 18．每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端水平方向向右滑动的距离为多少米． 19．如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，对角线，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为24，，求四边形的面积． 20．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，点在第一象限内直线：上一点．是以点为直角顶点的等腰直角三角形． (1)求点的坐标； (2)当时，直线（）既在直线的上方，又在直线的上方，直接写出的取值范围； (3)若点，且的面积等于的面积，请直接写出的值． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．某校运动会需要身高在165~185cm的学生组成彩旗方队，为此测量了一些学生的身高（单位：cm），经过整理、描述和分析（所选学生的身高x共分成四组：；；；），下面给出了部分信息： 信息一：所选学生身高数据的频数分布直方图和扇形统计图如下 信息二：平均数、中位数和众数如下表 统计量 平均数 中位数 众数 所选学生的身高（单位：cm） 174 m 175 信息三：D组10名学生的身高情况（单位：cm）如下 180，180，181，181，182，182，182，183，184，185． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求C组学生的人数，并补全频数分布直方图； (2)求B组所在扇形的圆心角的度数，并确定m的值位于哪个组中； (3)站在第一排的D组中有一名身高184cm的学生因病无法参加，为保证队伍的整齐效果，小明建议增加两名身高182cm的学生，同时去掉一名身高180cm的学生，请你通过计算，评价小明的建议是否正确． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，直线交x轴于点B，两直线交于点． (1)求点C的坐标． (2)在y轴右侧是否存在一点P，使以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，在平行四边形中，是对角线上的两点（点在点左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求线段长． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．定义：在一个四边形中，若一条对角线能把该四边形分成的两个三角形中，至少有一个三角形为等腰直角三角形，则这个对角线叫做“奋进线”，这个四边形叫做“奋进四边形”． (1)①如图1，在四边形中，若，，则四边形______（填“是”或“否”）“奋进四边形”，若是，则______是“奋进线”（若不是，此空不填）； ②如图1，若四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，且，，时，当为等腰三角形时，的长为______； (2)如图2，四边形和四边形均为“奋进四边形”，，，对角线分别为这两个四边形的“奋进线”，求证：； (3)如图3，四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，若，，，当为“奋进线”时，且恰好为等腰直角三角形的一条直角边，直接写出此时的长． 25．追本湖源 （1）如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，与之间存在怎样的位置和数量关系？请说明理由． 迁移应用 （2）如图2，在正方形中，点在边上，连接，过点作，垂足为，作点关于点的对称点，连接，． ①当点为的中点时，判断与的位置关系，并证明你的结论； ②当时，是否存在为等腰三角形的情况？如果存在，求此时的长；如果不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$