精品解析：天津市滨海新区2024-2025学年高三下学期第三次模拟检测数学试卷

2025年滨海新区普通高考模拟检测卷 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第I卷1至3页，第II卷3至6页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案涂写在答!上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干后，再选涂其它答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： 球的表面积、体积公式：，，为球的半径． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为，，所以， 又，故. 故选：D. 2. 已知、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】由可得且， 因为“”“且”，“”“且”， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性排除A、B，再由，即可得出选项. 【详解】， ， 所以函数为奇函数，故排除A、B； 当时，，故D正确； 故选：D 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数、对数函数单调性即可求解. 【详解】由题意. 故选：A. 5. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的位置关系判断AB；根据线面垂直、面面垂直的判定及性质判断CD. 【详解】对于A，由，，则或异面，故A错误； 对于B，由，，则或，故B错误； 对于C，由，，则或， 则在平面内存在直线，而，则，所以，故C正确； 对于D，由，，， 只有当或时，，故D错误. 故选：C. 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B. 某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前7年的数据为，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第8年的生产利润为6.3亿元 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 若随机变量，满足，则， 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，根据百分位数的定义求解判断即可；对于B，根据样本中心点求得，进而求得预测值判断即可；对于C，根据正态分布的对称性求解判断即可；对于D，根据期望和方差的性质判断即可. 【详解】对于A，因为，所以这组数据的第60百分位数为， 故A错误； 对于B，，， 所以，即，则， 当时，亿元，故B正确； 对于C，由于随机变量服从正态分布，则， 因为，所以， 则，故C错误； 对于D，由，则，，故D错误. 故选：B. 7. 已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中给定图象可得函数解析式，然后利用正弦函数的性质和图象变换对各个选项进行判断即可． 【详解】由图可知，，即，则， 此时，又， 则，，即，， 又，所以，则. 对于①，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故①正确； 对于②，的图象向左平移得到，故②正确； 对于③，令，解得， 所以的对称轴为，故③错误； 对于④，当时，，则， 则，则在区间上的最小值为，故④正确. 故选：C. 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为关于渐近线的对称点.若，且的面积为4，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，利用中位线定理与条件求得，进而求得，从而得解. 【详解】依题意，不妨设点为关于渐近线的对称点， 则直线垂直平分线段， 设渐近线与的交点为， 则N为的中点，， 又为的中点，所以， 因为，即，所以，则， 因为的面积为4， 所以，则， 在中，，即， 渐近线可化为，， 所以， 所以， 故双曲线的方程为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：设渐近线与的交点为，说明，是解决本题的关键. 9. 如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若下底面正方形边长为2，“四角反棱台”高为，则该几何体体积为（ ） A. B. C. D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】利用割补法求解几何体体积即可. 【详解】如图，把几何体补全为长方体，则，， 所以该几何体体积为. 故选：C. 数学（第II卷） 注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的模和除法公式求解. 【详解】因为复数满足， 所以， 故答案： 11. 在二项式的展开式中常数项为________． 【答案】112 【解析】 【分析】由二项式定理即可求解. 【详解】的展开式中常数项为. 故答案为：112. 12. 已知圆与抛物线的准线相切于点为的焦点，则直线被圆截得的弦长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得，进而有、，写出，求圆心到直线距离，再应用圆中弦长的几何求法求直线被圆截得的弦长. 【详解】由题设，抛物线准线为，则，故， 由准线与圆相切且圆心，易知， 所以，即， 故到的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 故答案为： 13. 某校高三1班一学习小组有男生4人，女生2人，为提高学生对AI人工智能的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，恰有一名男生参加的概率为________；在有女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式及组合学公式，即可求解第一空，根据条件概率的计算公式，即可求解第二空. 【详解】从个人中任取人，全部情况有种， 恰有一名两名男生的情况有， 故恰有一名男生参加AI人工智能学习的概率为； 有女生参加AI人工智能学习的情况有种， 恰有一名女生参加AI人工智能学习的情况有种， 故在至少有一名女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为. 故答案为：；. 14. 已知正的边长为，中心为，过的动直线与边，分别相交于点、，，，. （1）若，则______； （2）与的面积之比的最小值为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据，利用数量积的定义及运算律即可计算；由题意可得，根据三点共线可得，利用三角形的面积公式可得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1） ； （2）因为，所以， 因为M，O，N三点共线，故，即， 又因为，而，， 则，即，当且仅当时取等号， 所以与的面积之比的最小值为. 故答案为：；. 15. 已知函数，若函数有三个不同的零点（）则实数的取值范围为________；的取值范围为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先讨论的取值范围，结合二次函数的单调性，结合图象即可判定方程根的个数； （2）根据韦达定理可得，，以及，即可代入化简，利用不等式的性质求解. 【详解】由题意，可知， 当时，在，上单调递减，在单调递增，故方程有3个不相等的实数根，则有1个根，有2个根，如图： 所以，解得； 当时，方程的判别式， 可知方程无解，所以此时不符合题意； ③当时，，不符合题意； 综上，取值范围是． ，是方程的两个不等实根， 则，， 是方程的根，即， ， 记， 由于，所以， 故 所以的取值范围． 故答案为：， 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 三、解答题：本大题5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，内角，，所对的边分别，，，已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）方法一：结合题设，根据余弦定理及正弦定理求解即可； 方法二：结合题设，根据正弦定理及两角和的正弦公式求解即可； （2）由余弦定理先求出，再结合平方关系求解即可； （3）结合二倍角公式先求出，，结合正弦定理求出，再结合平方关系求出，进而根据两角和的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 方法一：由， 根据余弦定理可得，， 则，即， 由，根据正弦定理可得，则，即. 方法二：由， 根据正弦定理可得，，则， 则，即， 由，根据正弦定理可得，则，即. 【小问2详解】 由余弦定理可得， 又因为，可得. 【小问3详解】 由（2）知，，， 则，， 由正弦定理，则，即， 又，则，所以， 所以. 17. 在如图所示的几何体中，平面，，是的中点，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）法一：建立空间直角坐标系，求出平面法向量即可证明；法二：构造平行四边形然后结合线面平行的判定定理即可证明； （2）由二面角的公式代入计算，即可得到结果； （3）由点到面的距离公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 证明：法一：如图，平面，，可得平面， 由，可得，则直线，，两两垂直， 以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系． 由题意可得，，，，，． 由平面，取平面的一个法向量为，由， 可得， 又平面，所以平面． 法二：取中点，连接，，由是的中点，可得，而， 则，又，于是四边形是平行四边形． 所以， 又平面平面，所以平面． 【小问2详解】 由（1）可得，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设平面与平面的夹角为， 因此． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）知平面的一个法向量为， 且， 则点到平面的距离为． 18. 已知等差数列与正项等比数列满足：，． （1）求、通项公式； （2）若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列前100项和； （3）若（其中），证明：． 【答案】（1）； （2）209 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据，，由数列是等差数列，数列是等比数列求解； （2）设，从而在数列中，从项开始到项（不含）之前，共有项数为，再验证得到k求解； （3）当时，由，利用错位相减法求解；当时，由，利用裂项相消法求解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 解得，所以； 因为，，所以， 又因为，所以，； 【小问2详解】 设， 在数列中，从项开始到项（不含）之前， 共有项数为， 所以， ， 当时，；当时，， 所以数列前100项是项之后还有32项为2， 所以； 【小问3详解】 当时，， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ， 因为，， 所以， 即. 19. 已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左，右顶点，是椭圆的上顶点，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线交于，两点（异于，），直线与交于点． （i）求面积的取值范围； （ii）是否存在点同时满足，若存在求出点的坐标，若不存在说明理由． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）存在，点或. 【解析】 【分析】（1）由离心率及已知有求椭圆参数，即可得方程； （2）（i）设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理得，，再应用面积公式求范围；（ii）由题设直线为，直线为，进而得，令得，再设点的坐标，由向量数量积的坐标运算列方程求参数，即可得结论. 小问1详解】 由题意，又，解得，椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）设直线的方程为，， 消得，即， 所以，设，，恒成立， ，， ， 令，，则， 由在上单调递增，则，故， 所以； （ii），，由（i）， 直线的方程为，直线的方程为， 因为，，所以． 令 ∴， ∴，，点的横坐标为定值，设点的坐标， 因为，，， 解得，得出或，所以存在点或满足条件. 20. 已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对，有，求的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题可得切线斜率及所过点，由直线点斜式可得切线方程； （2）即对都成立，由恒成立必要条件可得，通过导数证明满足题意即可完成证明； （3）由，令，可得，据此可得；由，令，可得，据此可得. 【小问1详解】 因，所以，， 所以切线斜率为， 所以函数的在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 若对，有，转化为， 即对都成立． 设， 因为，所以要使 必须满足，即，所以 下面证明时满足题意： 因为，，所以， 只需要证明即可． 设， 所以，且，． 先研究当时，设，， 因为函数、在上均为单调递减， 则在内单调递减， 又因为，， 所以，使得， 且当时，；当时，． 此时在内单调递增，在内单调递减， 又，，故对任意的，， 则在内单调递增，所以． 综上，当时，，即得，所以得证： 【小问3详解】 根据题意需要分析，，在上的大小关系． 设，则， 则区间上单调递减， 所以，即． 令，，所以，， 所以， 所以． 再证明，其中， 设，， 设， 因为函数、在上均为单调递减， 则在区间内单调递减， 因为，， 所以，，使得， 当时，；当时，． 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又因为，，， ，使得， 当时，；当时，． 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减． 因，， 所以在区间内恒成立． 令，所以， 所以，，，⋯，， 所以． 对，，所以， 所以 ， 所以得证． 综上， 【点睛】关键点睛：对于部分恒成立问题，可先由恒成立得到条件成立的必要条件，再证明必要条件为条件成立的充分条件即可；对于数列型不等式的证明，可将不等式两边均看成某数列的前n项和，随后可通过证明两边数列的大小关系来完成证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年滨海新区普通高考模拟检测卷 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第I卷1至3页，第II卷3至6页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案涂写在答!上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干后，再选涂其它答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： 球的表面积、体积公式：，，为球的半径． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数图象可能为（ ） A. B. C D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B. 某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前7年的数据为，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第8年的生产利润为6.3亿元 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 若随机变量，满足，则， 7. 已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为关于渐近线的对称点.若，且的面积为4，则的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若下底面正方形边长为2，“四角反棱台”高为，则该几何体体积为（ ） A. B. C. D. 20 数学（第II卷） 注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数为________． 11. 在二项式的展开式中常数项为________． 12. 已知圆与抛物线的准线相切于点为的焦点，则直线被圆截得的弦长为__________． 13. 某校高三1班一学习小组有男生4人，女生2人，为提高学生对AI人工智能认识，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，恰有一名男生参加的概率为________；在有女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率________． 14. 已知正的边长为，中心为，过的动直线与边，分别相交于点、，，，. （1）若，则______； （2）与的面积之比的最小值为______. 15. 已知函数，若函数有三个不同的零点（）则实数的取值范围为________；的取值范围为________. 三、解答题：本大题5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，内角，，所对的边分别，，，已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 在如图所示几何体中，平面，，是的中点，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知等差数列与正项等比数列满足：，． （1）求、通项公式； （2）若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列前100项和； （3）若（其中），证明：． 19. 已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左，右顶点，是椭圆的上顶点，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点直线交于，两点（异于，），直线与交于点． （i）求面积的取值范围； （ii）是否存在点同时满足，若存在求出点的坐标，若不存在说明理由． 20. 已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对，有，求的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $