精品解析：天津市滨海新区2023-2024学年高三第三次模拟考试数学试卷

2024年滨海新区普通高考模拟检测卷 数学 本试卷分Ⅰ第卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至6页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案涂题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后；再选涂其它答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：球的表面积、体积公式：，，为球的半径． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合补集和交集的运算法则即可计算求解. 【详解】， ∴， 又， ∴. 故选：B. 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的概念推理即可． 【详解】若，，，则，则， ∴“”是“”的不充分条件； 若，∵，∴，即， ∴“”是“”的必要条件； 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：D． 3. 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象得到该函数的定义域、奇偶性、零点等性质，据此逐项判断即可. 【详解】根据题意，由函数的图象，的定义域为，其图象关于原点对称，为奇函数；在上，函数图象与轴存在交点. 由此分析选项： 对于A，，其定义域为，有， 为偶函数，不符合题意； 对于B，，其定义域为， 有，为奇函数，其图象关于原点对称； 当时，，函数图象与轴存在交点，符合题意； 对于C，，当时，，故恒成立，所以该函数图象在上与轴不存在交点，不符合题意； 对于D，，其定义域为， 有为偶函数，不符合题意. 综上所述，只有选项B的函数满足， 故选：B． 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数的运算性质变形可得. 【详解】，，， 所以. 故选：C. 5. 已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由数列的递推式，分别令，结合等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，再根据等差数列通项公式即可得到答案． 【详解】设等差数列公差为，∵， ∴当时，，解得， ∴， 当时，， ∴， ∴． 故选：D． 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据3，4，2，8，1，5，8，6，9，9，的第60百分位数为6 B. 将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大 C. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，则甲组数据的线性相关程度更强 D. 在一个列联表中，由计算得的值，则的值越接近1，判断两个变量有关的把握越大 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则判断A，根据方差的性质判断B，根据相关系数的概念判断C，根据卡方的意义判断D. 【详解】对于A：将数据从小到大排列为：1，2，3，4，5，6，8，8，9，9， 又，所以第百分位数为，故A错误； 对于B：将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差不变，故B错误； 对于C：具有线性相关关系的两个变量的相关系数为，则越接近与，则和的线性相关程度越强， 因为，所以甲组数据的线性相关程度更强，故C正确； 对于D：在列联表中，由计算得的值，的值越大，则两个变量有关的把握越大，故D错误； 故选：C 7. 已知函数，关于该函数有下列四个说法： （1）函数的图象关于点中心对称 （2）函数的图象关于直线对称 （3）函数在区间内有4个零点 （4）函数在区间上单调递增 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于（1），由， 所以不是函数的图象的对称中心，所以（1）错误； 对于（2）中，由， 所以不是函数图象的对称轴，所以（2）错误； 对于（3）中，令，可得， 当时，可得；当时，可得；当时，可得； 当时，可得，所以在内，函数有4个零点，所以（3）正确； 对于（4）中，由，可得，此时函数不是单调函数，所以（4）错误. 故选：A. 8. 我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为3:1，且该几何体的顶点在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知正四棱柱和正四棱锥的高相等，利用几何关系和正四棱柱的对称性得到关于的方程组，再利用球的表面积公式即可得解． 【详解】正四棱柱和正四棱锥的体积之比为，且共一个底面， 正四棱柱和正四棱锥高相等， 设正四棱柱和正四棱锥的高为，该几何体外接球的半径为， 易知球O是正四棱柱的外接球，也是正四棱锥的外接球， ， 解得， ∴球O的表面积为． 故选：A． 9. 已知双曲线的焦点在，过点的直线与两条渐近线的交点分别为M､N两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，，即中，进而求出，又中可求，可得渐近线的倾斜角大小，进而求离心率. 【详解】由题意，可得如下示意图： 其中，知：，又，，即且， ∴中，有，得， ∴在中，，若与x轴夹角，即， ∴，由，即可得. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用线段的比例关系，以及垂直关系求两渐近线的夹角大小，进而根据渐近线的斜率求参数a、b的数量关系，即可求离心率. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 若复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据复数的运算，化简得，即可得到复数的虚部，得到答案． 【详解】由题意，复数满足，即， 所以复数的虚部为． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的分类的应用，其中解答中熟记复数的运算和复数的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 11. 在二项式的展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合二项式定理展开式通项公式得到的值，然后求解的系数即可. 【详解】展开式的通项公式为 令，解得，则的系数为 故答案为： 12. 已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与相交于两点，且，则圆的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程求出其焦点坐标，根据对称关系求出圆心坐标，根据垂径定理求出圆的半径即可得到答案. 【详解】依题意可知抛物线的焦点为， 圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称， ∴圆心坐标为， 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d， 则， 又∵，∴ 则圆的标准方程为． 故答案为：． 13. 随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为________．这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据古典概型的计算方法可求两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率；设事件表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件表示“他们选择的景点不相同”，先求出，，在利用条件概率公式即可求第二空. 【详解】设事件表示“两位游客都选择天津之眼摩天轮”， 则； 设事件表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件表示“他们选择的景点不相同”， 则，， ∴． 故答案为：． 14. 在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为__________（请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由向量在向量上的投影向量为，根据向量的线性运算和数量积的运算法则，求解即可；以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，用含的式子表示出点和点的坐标，再根据向量的数量积的坐标运算法则，求解即可. 【详解】由，知， 因为，， 所以 ， 所以向量在向量上的投影向量为 ； 若，则， 以为原点建立平面直角坐标系，则， 设，则，， 所以，， 所以，， 所以， 是关于的开口向上，对称轴为的二次函数， 当时，取得最小值. 故答案为：； 15. 已知函数若函数（）（为自然对数的底数）恰有4个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先作出的图象，根据k的范围分类讨论的图象，使得函数与函数的图象恰好有4个交点，求出对应k的范围即可． 【详解】时，，单调递增，的图象： 令， 函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象恰好有4个交点． ①当k＝0时，， 如图， 显然，函数与函数的图象不可能有4个交点，不符题意； ②当k＜0时，如图， 要使函数与函数的图象恰好有4个交点，则，则； ③当k＞0时，如图， 要使函数与函数图象恰好有4个交点， 则与在时有两个交点， 即有两个正实数根， 即有两个正实数根， 令， 则与在时图象有两个交点， ， 令，， 则，∴在时单调递增， ∵，，， ∴当时，单调递减； 当时，单调递增． ∴， ∴如图： ∴． 综上所述，． 故答案为：． 【点睛】本题综合考查利用导数和数学结合思想研究方程的根、函数的图象的交点问题，需要熟练掌握利用导数研究函数的单调性的方法，并能作出函数图象，结合图象进行求解． 三、解答题：本大题5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，内角所对的边分别为，，，． （1）求角的大小： （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得，结合已知即可求出B的大小； （2）利用余弦定理即可求出b的值； （3）根据求出sinA，cosA，从而可求sin2A、cos2A，再根据正弦的差角公式即可计算． 【小问1详解】 在中，由正弦定理，可得， 又由，得 即， ∴，∴，∴． 又因为，可得； 【小问2详解】 在中，由余弦定理及，，， 有，故； 【小问3详解】 由，可得， 因为，所以，故为锐角，故， 因此，． 所以，． 17. 如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，A1A＝A1B1＝2，侧棱A1A⊥平面ABC，点D是棱CC1的中点. （1）证明：BB1⊥平面AB1C； （2）求点B1到平面ABD的距离； （3）求平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建系，将线面垂直的证明转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线； （2）将点面距转化为直线的方向向量在平面的法向量上的投影的绝对值，再利用向量的数量积即可求解； （3）将面面角转化为两平面的法向量所成角，再利用向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 证明：建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可得 ， ， ， ， ， ， 则 ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，取 则 ， 所以 . 【小问2详解】 由（1）知 ， 设平面 的一个法向量为， 则 ，取 ， 所以点B1到平面ABD的距离为 ； 【小问3详解】 由（1）知， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，取 ， 设平面BCD与平面ABD的夹角为 ， 则 . 18. 已知椭圆：（）的离心率为，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右顶点为，是椭圆上不与顶点重合的动点． ①若点（），点在椭圆上且位于轴下方，设和的面积分别为，．若，求点的坐标； ②若直线与直线交于点，直线交轴于点，设直线和直线的斜率为，，求证：为定值，并求出此定值． 【答案】（1）； （2）①；②证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，列出关于a，b，c的方程组即可求解； （2）①根据面积关系可得，从而得，据此即可求解；②联立QC和AB的方程，求出Q点坐标，联立QC和椭圆方程，结合韦达定理求出P点坐标，求出BP的方程，从而可求N的坐标，再根据斜率计算公式即可求解． 【小问1详解】 由题意得，又，解得， 椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 ①由（1）可得，点（）在椭圆上，代入椭圆方程得， 连接，∵， ， ，∴， ∴直线的方程为，联立， 解得或（舍去）， ． ②设直线的斜率为，则直线的方程为：， 又，，直线的方程为， 由，解得， ∴， 由，得， ， 则，∴， 则， ， 依题意、不重合，∴，即， ∴， 直线的方程为， 令，即，解得， ， ， 为定值． 【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是采用设线法联立椭圆方程得到，再求出，最后计算相关斜率再作差即可. 19. 已知等差数列的前项和为，，，数列是公比大于1的等比数列，且，． （1）求，的通项公式； （2）数列，的所有项按照“当为奇数时，放在的前面；当为偶数时，放在的前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列：，，，，，，，…，求数列的前7项和及前项和； （3）是否存在数列，满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）， （3）存在； 【解析】 【分析】（1）利用等差数列和等边数列通项公式及求和公式，列出方程组即可求解； （2）利用分组求和及等差等边数列求和公式即可求解； （3）利用前n项和与通项公式之间的关系，采用作差法即可判断求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，， 可知，所以． 又，所以数列的公差， 所以， 设等比数列的公比为，，． 所以，．得到，联立得 解得或（舍去），代入中，解得 得数列的通项公式为． 【小问2详解】 由题意 【小问3详解】 由已知得① 当时，②， ①②两式相减得：， 当时，也符合③ 所以，对于都成立． 又当时④成立 ③④两式相减得：，经检验也符合 故存在． 20. 已知函数，其中为实数． （1）当时， ①求函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程； ②若对任意的，均有，则称为在区间上的下界函数，为在区间上的上界函数．若，且为在上的下界函数，求实数的取值范围． （2）当时，若，，且，设，．证明：． 【答案】（1）①；② （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①利用导数的几何意义即可求出切线方程；②，利用参变分离构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，从而可求参数k的范围； （2）由基本不等式可得，将问题转化为证，结合，，令，即证，构造函数，研究求性质即可得证. 【小问1详解】 ①当时，，所以， 所以函数的图像在处的切线斜率． 又因为， 所以函数的图象在处的切线方程为， ②因为函数为在上的下界函数， 所以，即． 因为，所以，故． 令，，则． 设，，则， 所以当时，，从而函数在上单调递增， 所以， 故在上恒成立，所以函数在上单调递增， 从而． 因为在上恒成立，所以在上恒成立， 故，即实数的取值范围为． 【小问2详解】 当时，，，， 要证， 即证， 因为， 所以只要证， 即证， 因为，， 即证， 令，即证， 因为，即证（*）， 令，则． 构造函数： 则， 令, 则， 因为，，， 所以． 所以在单调递增． 得到， 可知在单调递减，． 所以（*）成立，原命题成立． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是等价转化证明，再构造函数，利用多次求导得到其单调性即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年滨海新区普通高考模拟检测卷 数学 本试卷分Ⅰ第卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至6页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案涂题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后；再选涂其它答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：球的表面积、体积公式：，，为球的半径． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 3. 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A. B. C D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（ ） A 4 B. 8 C. 12 D. 16 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据3，4，2，8，1，5，8，6，9，9，的第60百分位数为6 B. 将一组数据中每一个数据加上同一个正数后，方差变大 C. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，则甲组数据的线性相关程度更强 D. 在一个列联表中，由计算得的值，则的值越接近1，判断两个变量有关的把握越大 7. 已知函数，关于该函数有下列四个说法： （1）函数的图象关于点中心对称 （2）函数的图象关于直线对称 （3）函数在区间内有4个零点 （4）函数在区间上单调递增 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为3:1，且该几何体的顶点在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线的焦点在，过点的直线与两条渐近线的交点分别为M､N两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 若复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为__________. 11. 在二项式的展开式中的系数为______． 12. 已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与相交于两点，且，则圆的标准方程为________． 13. 随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为________．这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率________． 14. 在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为__________（请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为__________． 15. 已知函数若函数（）（为自然对数底数）恰有4个零点，则的取值范围是________． 三、解答题：本大题5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，内角所对的边分别为，，，． （1）求角的大小： （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，A1A＝A1B1＝2，侧棱A1A⊥平面ABC，点D是棱CC1的中点. （1）证明：BB1⊥平面AB1C； （2）求点B1到平面ABD距离； （3）求平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值. 18. 已知椭圆：（）的离心率为，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右顶点为，是椭圆上不与顶点重合的动点． ①若点（），点在椭圆上且位于轴下方，设和的面积分别为，．若，求点的坐标； ②若直线与直线交于点，直线交轴于点，设直线和直线的斜率为，，求证：为定值，并求出此定值． 19. 已知等差数列的前项和为，，，数列是公比大于1的等比数列，且，． （1）求，的通项公式； （2）数列，的所有项按照“当为奇数时，放在的前面；当为偶数时，放在的前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列：，，，，，，，…，求数列的前7项和及前项和； （3）是否存在数列，满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式，若不存在，请说明理由． 20. 已知函数，其中为实数． （1）当时， ①求函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程； ②若对任意的，均有，则称为在区间上的下界函数，为在区间上的上界函数．若，且为在上的下界函数，求实数的取值范围． （2）当时，若，，且，设，．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$