精品解析：江苏省扬州市广陵区红桥高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

红桥高级中学2024-2025学年度第二学期 高一数学阶段测试卷 试卷满分150分；考试时长120分钟；2025.5 一、单项选择题：本小题共8题，每小题5分，共40分.在在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式及两角差的正弦公式逆用得解. 【详解】 ， 故选：A 2. 如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由梯形面积公式求出原图的面积，结合原图与直观图面积的关系，分析即可得出结果. 【详解】根据题意，原图直角梯形中，上下两底分别为2和4，高为， 其面积， 则其直观图的面积. 故选：B. 3. 方程的解所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在性定理分析判断即可. 【详解】令，在上连续，且单调递增， 对于A，因为，， 所以的零点不在内，所以A错误， 对于B，因为，， 所以的零点不在内，所以B错误， 对于C，因为，， 所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确， 对于D，因为，， 所以的零点不在内，所以D错误， 故选：C 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】在中，直接利用余弦定理求解 【详解】在中，由余弦定理得：， 所以， 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用降幂公式和诱导公式化简可得答案. 【详解】，解得：， 故选：D 6. 如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的个数为（ ） ①，，，四点共面； ②平面； ③与的交点一定在直线上. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面几何的性质及平行公理可得，且四边形为梯形，结合公理可得答案. 【详解】依题意，可得，，故，所以，，，四点共面，故①正确； 因为，，所以四边形为梯形，与必相交，设交点，所以不平行平面，故②错误； 因为点在上，故点在平面，同理，点在平面上， 所以点是平面与平面的交点， 又是平面与平面的交线，所以与的交点一定在直线上，故③正确； 故选：C 7. 在平行四边形中，已知，，，点在边上，满足，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由向量的线性运算法则将用和，由向量数量积的公式运算求出的位置，从而可得答案。 【详解】作出图形 设，由图可得：， 所以 因为在平行四边形中，已知，，， 所以，解得，则点在点， 所以， 则, 故选：B 8. 已知圆锥底面半径为3，体积为，若圆锥底面圆周和顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得圆锥的高，结合球的截面圆的性质，以及球的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的高为，因为圆锥的体积为，可得，解得， 设圆锥的外接球的半径为，可得，即， 解得，所以外接球的表面积为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得得6分，部分选对得得部分，有选错的得得0分. 9. 的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ） A. 若为钝角三角形，则 B. 若，则 C. 若，，，则有两解 D. ，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用余弦定理来计算判断A；利用大角对大边以及正弦定理边化角判断B；将条件转化为角的直接关系判断C；利用正弦定理及二倍角公式得，进而转化为角的关系判断D. 【详解】对于A，当为钝角时，为钝角三角形，由余弦定理得， 所以，A错误； 对于B，若，则，由正弦定理得，B正确； 对于C，若，，，由正弦定理得， 而，则可能是锐角也可能是钝角，因此有两解，C正确； 对于D，因为，所以，所以， 即，则或，即或， 为等腰三角形或直角三角形，D正确. 故选：BCD 10. 已知向量，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则，的夹角为钝角 D. 若，则在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量平行垂直的坐标表示求判断A、B选项；对C，用向量反向共线说明不成立；对D，直接计算投影向量即可. 【详解】向量，， 对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，当时，，反向共线，夹角为， 此时，的夹角不为钝角，C错误； 对于D，当时，，因此在上的投影向量为 ， 在上的投影向量的坐标为，D正确. 故选：ABD 11. 如图，正方体 的棱长为1，动点在线段 上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（   ） A. B. 当为中点时， C. 存在点，使得平面平面 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直接使用中位线的性质即可证明；对于B，使用等腰三角形的中线性质即可证明；对于C，使用反证法即可否定结论；对于D，直接计算出三棱锥的体积即可验证. 【详解】对于A，由于分别是的中点，故. 而，所以，故A正确； 对于B，当是的中点时，由于，故，而，所以，故B正确； 对于C，假设平面平面，则两平面没有公共点，从而两直线没有公共点，又由于两直线都在下底面内，故. 而，这意味着和重合，矛盾，故C错误； 对于D，设到平面的距离和到直线的距离分别为和，则，从而三棱锥的体积，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于C选项对线面平行和线线平行定义的运用. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量模的坐标表示求解即得. 【详解】向量，，则， 所以. 故答案为：1 13. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，M，N分别是，的中点，若，，则异面直线与所成角大小是____________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，证明，得到是异面直线与所成的角或其补角，结合题设条件在中，求即得. 【详解】 如图，取的中点，连接, 因M，N分别是，的中点，底面是平行四边形，故且 又且，故得, 即,故是异面直线与所成的角或其补角. 由,两边取平方，， 设的夹角为，因，,代入上式， 整理可得，，即，故,则， 在中，设,，因，故. 故答案为： 14. 已知一个正四棱台的体积为，上､下底面边长分别为，则棱台的高为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式计算即可. 【详解】设棱台高为，由棱台的体积公式知，其中分别为上下底面面积. 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正方体中， （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】（1） 在正方体中， 又平面，平面，所以平面； （2） 连接、，在正方体中为正方形， 所以， 又平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以. 【解析】 【分析】（1）根据正方体的性质得到，即可得证； （2）根据正方体的性质得到、，即可证明平面，从而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点. （1）若，，三点共线，求的值； （2）若向量与的夹角为，求的值； （3）若四边形为矩形，求点坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求出、，利用，，三点共线列方程求出的值． （2）利用向量的夹角公式即可求解. （3）由平面向量的坐标运算和矩形的定义，列方程组求出、、的值即可得到的坐标． 【小问1详解】 向量，，， 所以，， 由，，三点共线知，， 即，解得； 【小问2详解】 ， 解得， 【小问3详解】 设， 由，， ， ， 若四边形为矩形，则， 即，解得； 由，得， 解得， 故 17. 已知角，满足，，且，. （1）求的值； （2）求的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意和同角三角函数基本关系式、二倍角公式分别求出，，，，再利用两角差的正弦公式计算即可； （2）先根据题意缩小角的范围到和，进而得出，再计算的值即可得到结果. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以，； 因为，所以； 所以. 【小问2详解】 因为，，所以； 因为，所以，故， 所以； 又因为，所以，； 所以， 又因为，所以. 18. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）设，当的值最大时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边转角，再结合条件即可求出结果； （2）根据条件，利用正弦定理求出外接圆的半径，再利用边转角得到，再根据条件得到，进而求出，再利用，求出，再求出，利用面积公式即可求出结果. 【小问1详解】 由题意在中，，，由正弦定理得， 又因为，故，故， 又，所以，得到. 【小问2详解】 由题意及（1）知，，，由正弦定理知外接圆直径， 故 ， ， 其中，且， 因为，故，而， 故的最大值为1，此时，即 故，， 所以， 又， 故， 此时. 19. 如图所示，在长方形中，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，且平面平面. （1）求证：； （2）求四棱锥的体积； （3）在棱上是否存在一点P，使得平面，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：根据题意可知，在长方形中，和为等腰直角三角形， ∴， ∴，即. ∵平面平面， 且平面平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴. （2）. （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）在长方形中可知，，根据面面垂直的性质定理可以证明. （2）取的中点，连接，则，由面面垂直的性质定理可以证明平面，进而求出. （3）连接交于点，假设在上存在点P，使得平面，根据平行线的性质结合平面几何知识即可得到与之间的关系. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图所示，取的中点，连接，则，且. ∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面， ∴. 【小问3详解】 连接交于点，假设在上存在点P，使得平面，连接. ∵平面，平面平面， ∴，∴在中，. ∵，∴， ∴，即， ∴在棱上存在一点P，且， 使得平面. 【点睛】关键点点睛：本题第三小问关键是确定动点P的位置，使得//，利用三角形相似得出与之间的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红桥高级中学2024-2025学年度第二学期 高一数学阶段测试卷 试卷满分150分；考试时长120分钟；2025.5 一、单项选择题：本小题共8题，每小题5分，共40分.在在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 3. 方程的解所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 7 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的个数为（ ） ①，，，四点共面； ②平面； ③与的交点一定在直线上. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 在平行四边形中，已知，，，点在边上，满足，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 8. 已知圆锥底面半径为3，体积为，若圆锥底面圆周和顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得得6分，部分选对得得部分，有选错的得得0分. 9. 的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ） A. 若为钝角三角形，则 B. 若，则 C. 若，，，则有两解 D. ，则为等腰三角形或直角三角形 10. 已知向量，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则，的夹角为钝角 D. 若，则在上的投影向量的坐标为 11. 如图，正方体 的棱长为1，动点在线段 上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（   ） A. B. 当为中点时， C. 存在点，使得平面平面 D. 三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则________． 13. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，M，N分别是，的中点，若，，则异面直线与所成角大小是____________． 14. 已知一个正四棱台的体积为，上､下底面边长分别为，则棱台的高为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正方体中， （1）求证：平面； （2）求证：. 16. 在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点. （1）若，，三点共线，求的值； （2）若向量与的夹角为，求的值； （3）若四边形为矩形，求点坐标. 17. 已知角，满足，，且，. （1）求的值； （2）求的大小. 18. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）设，当的值最大时，求的面积． 19. 如图所示，在长方形中，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，且平面平面. （1）求证：； （2）求四棱锥的体积； （3）在棱上是否存在一点P，使得平面，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $