24.2.1 点和圆的位置关系 课件 -2024--2025学年人教版九年级数学上册

第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系 学习目标 1.掌握点和圆的三种位置关系及其判定方法.（重点） 2.知道不在同一直线上的三点确定一个圆，能过不在同一直线上的三点作圆.（难点） 3.掌握三角形外心的概念及其性质.（重点） 4.掌握反证法的证明思想及一般步骤.（重点） 情境引入 问题 我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉.图中是射击靶的示意图，它是由许多同心圆(圆心相同、半径不等的圆)构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？怎么解决这个问题呢？ 获取新知 r · C O A B OC > r 观察图中点A，B，C与圆的位置关系.设⊙O半径为 r , 说出A，B，C到圆心O的距离与半径的关系： 点C在圆外 点A在圆内 点B在圆上 OA < r OB = r 点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有： 反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？ d = r d ＞ r d ＜ r 点P在圆内 点P在圆上 点P在圆外 r · O A P P P 设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则 点和圆的位置关系 ● ● ● ● O 点在圆外 d > r 符号“ ”读作“等价于”，它表示符号“ ”的左右两端可以互相推出. 数量关系 位置关系 点在圆上 d = r 点在圆内 d ＜ r 例题讲解 如图所示，在中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A=30°，AC=3cm.以点C为圆心， 半径为cm画⊙C，请指出点A、B、D与⊙C的位置关系. 解：在中，∠A=30°， ∴点 B 在⊙C 上； 由勾股定理得，AB=2 cm，BC= cm. ∵CD＜ cm，∴点 D 在⊙C 内; ∴CD= AC= ×3=1.5(cm). AC=3cm＞ cm，∴点 A 在⊙C 外. 2. ⊙O 的半径为 10 cm，A、B、C 三点到圆心的距离分别为 8 cm、10 cm、12 cm，则点 A、B、C 与 ⊙O 的 位置关系是点 A 在________，点 B 在_________，点 C 在__________. 跟踪训练 圆内 圆上 圆外 1. 圆心为 O 的两个同心圆，半径分别为 1 和 2，若 OP = ，则点 P 在 ( 　) A. 大圆内 B. 小圆内 C. 小圆外 D. 大圆内，小圆外 O D · · · · · 以不与 A 点重合的任意一点为圆心，以这个点到点 A 的距离为半径画圆即可；可作无数个圆. A … 三角形的外接圆及外心 问题1 如何过一个点A作一个圆？过点A 可以作多少个圆？ 获取新知 作线段 AB 的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点到点 A 的距离为半径画圆即可； 可作无数个圆. 问题2 如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？ ● O O ● ● O ● O A B 问题3 过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ D E G F 经过 B，C 两点的圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线上. 经过 A，B，C 三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点 O 的位置. 经过 A，B 两点的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上. ● O A B C 思考 过同一直线上的三点可以作圆吗？ 有且只有一个 位置关系 不在同一直线上的三个点确定一个 圆. D E G F ● O A B C 1. 外接圆 ⊙O 叫做△ABC 的外接圆 ，△ABC 叫做⊙O 的内接三角形 2. 三角形的外心： 定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心 作图：三角形三边垂直平分线的交点 性质：到三角形三个顶点的距离相等 例题讲解 某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为 A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等.请问同学们这所中学应该建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？ A C B ● ● ● ● 解：学校应该建在 AB 和 AC 垂直平分线的交点上. 获取新知 经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？如何证明这个结论？ A B C l 如图，假设经过直线 l 上的三点 A、B、C 可以作圆，设这个圆的圆心为 P，那么点 P 既在线段 AB 的垂直平分线 l1 上，又在线段 BC 的垂直平分线 l2 上. 这样，经过点 P 便有两条直线 l1，l2 同时垂直于直线 l，这与“过一点有且只有 一条直线与已知直线垂直”这一 基本事实相矛盾． 所以过同一条直线上的三点 不能作圆． l1 l2 A B C P 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所做假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法． ①反设：假设命题的结论不成立(或其反面成立)； ②推理：从这个假设出发，经过推理，得出矛盾； ③结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结 论成立. 反证法的定义 反证法的一般步骤 求证：在△ABC中，至少有一个内角小于等于60°. 例题讲解 证明：假设△AB C中没有一个内角小于或等于 60°， 则　　　　　　　　　　　　　　　. ∴∠A +∠B +∠C > 60° + 60° + 60° = 180°， 即∠A +∠B +∠C > 180°. 这与三角形的内角和为 180°矛盾，故假设不成立． ∠A > 60°，∠B > 60° ， ∠ C >60° ∴△ABC中至少有一个内角小于或等于 60° 课堂小结 点和圆的位置关系 点和圆的位置关系 点在圆内 d﹤r 点在圆上 点在圆外 d＝r d > r 确定圆的条件： 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 反证法： ①反设，②推导出矛盾，③下结论 课堂练习 知识点1　点和圆的位置关系 1. 已知☉O的半径为4，OP＝3，则点P与☉O的位置关系是( ) A. 点P在☉O内 B. 点P在☉O上 C. 点P在☉O外 D. 不能确定 A 2. 已知☉O的半径为4，点P在☉O的外部，则OP需要满足的条件是( ) A. OP＞4 B. 0≤OP＜4 C. OP＞2 D. 0≤OP＜2 A 3. 若☉P的半径为5，圆心P的坐标为(3，4)，则平面直角坐标系的原点O与☉P的位置关系是点O在☉P____.(填“内”“外” 或“上”) 上 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，r为半径作圆，请回答下列问题： (1)当r取何值时，点A在☉C上？ 解：∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5， ∴BC＝＝3. 当r＝4时，点A在☉C上. 解：∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5， ∴BC＝＝3. 当3＜r＜4时，点A在☉C的外部，且点B在☉C的内部. 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，r为半径作圆，请回答下列问题： (2)当点A在☉C的外部，且点B在☉C的 内部时，求r的取值范围. 知识点2　确定圆的条件 5. 下列关于确定一个圆的说法中，正确的是( ) A. 三个点一定能确定一个圆 B. 以已知线段为半径能确定一个圆 C. 以已知线段为直径能确定一个圆 D. 菱形的四个顶点能确定一个圆 C 6. 如图，点A，B，C在同一条直线上，点M在直线AC外，经过图中的任意三个点可以作____个圆. 3 知识点3　三角形的外接圆与外心 7. (2025·沈阳七中期初)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，3)，B(2，1)，C(2，－3).经画图操作可知，△ABC的外接圆的圆心的坐标是( ) A. (－2，－1) B. (－1，0) C. (－1，－1) D. (0，－1) A 8. (2025·盘锦第一完全中学月考)如图，已知点O是△ABC的外心，连接OA，OB，OC.若∠1＝40°，则∠BAC的度数为( ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° D 9. 如图，一块矩形空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，只保留作图痕迹). 解：如图所示，此圆即为花坛的 位置.(作法不唯一) 知识点4　反证法 10. 用反证法证明“若☉O的半径为r，点P到圆心的距离d＜r，则点P在☉O的内部”，首先应假设( ) A. d≤r B. d≥r C. 点P在☉O的外部 D. 点P在☉O上或☉O的外部 D 11. 已知☉O的半径为1，点P到圆心O的距离为d.若关于x的方程x2－2x＋d＝0有实根，则点P( ) A. 在☉O的内部 B. 在☉O的外部 C. 在☉O上 D. 在☉O上或☉O的内部 D 12. 如图，O为等腰三角形ABC的外心，AB＝AC，连接OB，记∠C＝α，∠CBO＝β，则α，β满足的关系式为( ) A. 2β－α＝90° B. 2β－α＝180° C. β＋α＝90° D. 2α－β＝90° D 13. 一个破损的轮子如图所示，已知圆弧上有三点A，B，C，连接AB，AC，BC. (1)画出该轮子的圆心； 解：如图1，分别作弦AB和AC的垂直 平分线，交点O即为该轮子的圆心. 13. 一个破损的轮子如图所示，已知圆弧上有三点A，B，C，连接AB，AC，BC. (2)若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16 cm， 腰AB＝10 cm，求该轮子的半径. 解：如图2，连接AO，OB，且BC与AO交于点D. ∵△ABC是等腰三角形，BC＝16 cm， ∴BD＝BC＝8 cm，AO⊥BC. 在Rt△ABD中，AB＝10 cm， ∴AD＝＝＝6(cm). 设该轮子的半径为R cm. 在Rt△BOD中，OB2＝BD2＋OD2， ∴R2＝82＋(R－6)2，解得R＝， ∴该轮子的半径为 cm. 14.【隐圆】(1)如图，已知OA＝OB＝OC，∠ACB＝28°，则∠AOB的度数是________. 56° 14.【隐圆】(2)如图，点A，B的坐标分别为(6，0)，(0，8)，C为坐标平面内的一点，BC＝1，M为线段AC的中点，连接OM，求OM的最大值. 解：如图，以点B为圆心，BC的长为 半径作圆，取OD＝OA＝6，连接CD. ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD. 若要OM最大，则CD最大， 当D，B，C三点共线，点C在DB的 延长线上时，CD最大，即OM最大. ∵OB＝8，OD＝6，∠BOD＝90°， ∴BD＝10，∴CD＝11， ∴OM＝CD＝，即OM的最大值为. $$