24.1.4 圆周角 第2课时 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册

第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 224.1.4 圆周角 第2课时 圆内接四边形 学习目标 1.掌握圆内接多边形的概念（重点）. 2.圆内接四边形的性质并能运用其性质进行计算（难点）. 复习引入 问题1: 什么叫圆心角、圆周角？同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系？ 问题2: 圆周角定理推论是什么？ 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 顶点在圆心的角叫圆心角, 圆周角定理推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 圆周角相等，所对的弧长也相等； 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 获取新知 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形. 猜想：∠A 与∠C，∠B 与∠D 之间的关系为： ∠A +∠C = 180°， ∠B +∠D = 180°. 想一想： 如何证明你的猜想呢？ α β ∵ ∠A 所对的圆心角是∠β，∠C 所对的圆心角是∠α， ∴， 同理， 连接 OB，OD． ∴ + = 证明： 又 + = C O D B A E 性质：圆的内接四边形的对角互补. C O D B A ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， E ∵∠BCD＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE. 想一想：图中∠A与∠DCE的大小有何关系？ 推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. C O D B A E 例题讲解 例 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E， ∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC. 课堂小结 圆周角 圆周角的定义： 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角. 圆周角定理及其推论： 定理: 推论 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． ①同弧或等弧所对的圆周角相等． ②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 圆内接四边形： 圆内接四边形的内角和为360°,并且四边形的对角互补. 课堂练习 知识点　圆内接四边形的性质 1. 如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A＝80°，则∠C的度数为( ) A. 80° B. 100° C. 110° D. 120° B [变式1] 如图，四边形ABCD内接于☉O，E为BC延长线上一点.若∠A＝70°，则∠DCE的度数为( ) A. 110° B. 120° C. 70° D. 60° C [变式2] 如图，四边形ABCD内接于☉O，点E在CD的延长线上.若∠ADE＝70°，则∠AOC＝______°. 140 2. 如图，四边形ABCD内接于☉O，AB为☉O的直径. (1)若∠ABD＝20°，则∠BCD ＝______； (2)若D为的中点，∠ADC＝ 130°，则∠A＝______. 110° 65° 3. 如图，在圆内接四边形ABCD中，过点B作BH⊥AD于点H.若∠BCD＝120°，AH＝2，则BH的长为____. 6 4. 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，若∠ADC＝150°，AC＝2，则☉O的半径为____. 2 5. 如图，正方形ABCD的四个顶点均在☉O上，P是 上不同于点C，D的任意一点，则∠DPC的度数为_______. 135° 6. 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，＝.求证：CD平分∠ACE. 证明：∵＝， ∴∠BAD＝∠ACD. ∵∠DCE＝∠BAD， ∴∠DCE＝∠ACD， 即CD平分∠ACE. 易错点　对所有可能性考虑不全而出错 7. 如图，A，B是☉O上的两点，C是☉O上不与点A，B重合的任意一点.如果∠AOB＝130°，那么∠ACB的度数为( ) A. 65° B. 115° C. 65°或130° D. 65°或115° D 8. 如图，在平面直角坐标系中，☉C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内☉C上一 点，∠BMO＝120°，则圆心C的坐标为_____________. (－，) 9. 如图，点A，B，C，D，E在☉O上，且 对应的圆心角的度数为50°，则∠E＋∠C＝_______°. 155 解：证明：∵∠BAC＝∠ADB， ∠BAC＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴DB平分∠ADC. 10. (2025·锦州实验中学期初)如图，圆内 接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E， BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB. (1)求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的度数； ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠ABD＋∠CBD＋∠ADB＋∠CDB＝180°， ∴2(∠ABD＋∠ADB)＝180°， ∴∠ABD＋∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝180°－(∠ABD＋∠ADB)＝90°. 10. (2025·锦州实验中学期初)如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB. (2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点 F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的 长度. 解：由(1)，得∠BAE＋∠DAE＝90°， ∠BAE＝∠ADE， ∴∠ADE＋∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°. ∵∠BAD＝90°，∴BD是圆的直径， ∴BD垂直平分AC，∴AD＝CD. ∵AC＝AD，∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC＝60°. ∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝30°. ∵CF∥AD，∴∠F＋∠BAD＝180°，∴∠F＝90°. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°. ∵∠FBC＋∠ABC＝180°， ∴∠FBC＝∠ADC＝60°， ∴BC＝2BF＝4. ∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，∴BD＝2BC＝8. ∵BD是圆的直径，∴此圆半径的长度为4. 11.【几何探究】如图，四边形ABCD内接于☉O，AC是☉O的直径，AB＝BC，连接OD，BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD. (1)求∠EDO的度数； 解：由题图，知OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD. ∵∠EDA＝∠ACD， ∴∠EDA＝∠ODC. ∵AC是☉O的直径， ∴∠ADC＝90°，∴∠ADO＋∠ODC＝90°， ∴∠ADO＋∠EDA＝90°，即∠EDO＝90°. 11.【几何探究】如图，四边形ABCD内接于☉O，AC是☉O的直径，AB＝BC，连接OD，BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD. (2)若AD＝3，CD＝4，求AB，BD的长； 解：∵AC是☉O的直径，∴∠ADC＝ ∠ABC＝90°. ∵AD＝3，CD＝4， ∴在Rt△ACD中，根据勾股定理， 得AC＝＝＝5. ∵AB＝BC，∴AB＝AC＝. 如图，过点B作BF⊥BD，交DC的 延长线于点F，则∠DBF＝∠ABC ＝90°，∴∠ABD＝∠CBF＝90°－∠CBD. ∵四边形ABCD内接于☉O，∴∠BCF＝∠BAD. 又∵AB＝BC，∴△BAD≌△BCF(ASA)， ∴AD＝CF，BD＝BF，∴DF＝CD＋CF ＝CD＋AD＝7. 在Rt△BDF中，由勾股定理， 得BD2＋BF2＝DF2，即2BD2＝DF2， ∴BD＝DF＝. 11.【几何探究】如图，四边形ABCD内接于☉O，AC是☉O的直径，AB＝BC，连接OD，BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD. (3)若AD＝a，CD＝b，直接写出BD的长. 解：由(2)，知BD＝DF＝(AD＋CD) ＝(a＋b). $$