24.1.4 圆周角 第1课时 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册

第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 224.1.4 圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论 学习目标 1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.（重点） 2. 掌握圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（重点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程.（难点） 复习引入 问题1: 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 顶点在圆心的角叫圆心角，例如∠BOC. 问题2: 如上图中，∠BAC的顶点和边有哪些特点? A ∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点. 获取新知 A B O C 像这种顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 （两个条件必须同时具备，缺一不可） · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 判断下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. （2） （1） （3） （6） 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 √ （4） （5） √ √ 例题讲解 A B O C 测量：如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系. 猜测：圆周角的度数_______它所对弧的圆心角度数的一半. 等于 （2）圆心 O 在∠BAC 的内部 （1）圆心 O 在∠BAC 的 一边 （3）圆心 O 在∠BAC 的 外部 推导与论证 （1）圆心 O 在∠BAC 的一边（特殊情形） OA = OC ∠A = ∠C ∠BOC = ∠A + ∠C O A B D O A C D O A B C D （1）圆心 O 在∠BAC 的内部 O A C D O A B D O A B D O C A D O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D （3）圆心 O 在∠BAC 的外部 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆周角定理及其推论 例题讲解 如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠OCB＝50°，则∠A等于( ) A.40° B.50° C.60° D.70° 解：⊙O是△ABC的外接圆， OB=OC, 所以∠OBC=∠OCB=50°， ∠BOC=80°， 根据圆周角定理 ∠A= ∠BOC= ×80°=40°. A 1.如图，OB，OC 都是⊙O 的半径，点 A ，D 是圆上任意两点，连接 AB，AC，BD，CD. ∠BAC 与∠BDC 相等吗？请说明理由. D ∴∠BAC=∠BDC. 解：相等. 理由如下： ∵ 获取新知 问题2 如图，若 ∠A 与∠B 相等吗？ 解：相等. 想一想：反过来，如果∠A =∠B，那么 成立吗？ D A B O C E F 相等。两圆周角相等，其所对应的弧长也相等。 同弧或等弧所对的圆周角相等. 圆周角相等，其所对应的弧长也相等. A1 A2 A3 圆周角定理的推论1 解：∵ AB 是直径，点 O 是圆心， ∴∠AOB = 180°. ∵∠ACB 是直径 AB 所对的圆周角， ∴∠ACB = ∠AOB = 90°. 问题3 如图，线段 AB 是☉O 的直径，点 C 是☉O 上的任意一点 (除点 A、B 外)，那么∠ACB 就是直径 AB 所对的圆周角. 想一想，∠ACB 会是怎样的角？ · O A C B 圆周角定理的推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. C1 A O B C2 C3 如图，分别求出下图中∠ x 的大小. 60° x 30° 20° x 解：(1)∵ 同弧所对圆周角相等，∴∠x = 60°. A D B E C (2) 连接 BF. F ∵ 同弧所对圆周角相等， ∴∠ABF =∠D = 20°，∠FBC =∠E = 30°. ∴∠x = ∠ABF +∠FBC = 50°. 例题讲解 如图，⊙O 的直径AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm. ∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长. 解：如图，连接 OD. 在 Rt△ABC 中， D C B A O ∴∠ACB =∠ADB = 90°. ∵ AB 是直径， ∵ CD 平分∠ACB， ∴ AD = BD. ∴∠AOD =∠BOD. ∴∠ACD =∠BCD. 在 Rt△ABD 中，AD2 + BD2 = AB2， D C B A O 课堂小结 圆周角 圆周角的定义： 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角. 圆周角定理及其推论： 定理: 推论 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． ①同弧或等弧所对的圆周角相等． ②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 课堂练习 知识点1　圆周角的概念 1. 下列选项中，∠APB是圆周角的是( ) D 知识点2　圆周角定理 2. 如图，点A，B，C在☉O上，若∠ACB＝55°，则∠AOB的度数为( ) A. 95° B. 100° C. 105° D. 110° D [变式1] 如图，A，B，C是☉O上的三点，若∠AOC＝90°，∠ACB＝25°，则∠BOC的度数是( ) A. 20° B. 25° C. 40° D. 50° C [变式2] 如图，在☉O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上.若∠ABC＝19°，则∠BAC的度数为( ) A. 23° B. 24° C. 25° D. 26° D 3. 如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为_______. 52.5° 知识点3　圆周角定理的推论 4. 如图，AB为☉O的直径，∠BAC＝50°，则∠D的度数为( ) A. 20° B. 40° C. 50° D. 80° B 5. 如图，把直角三角尺的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆形玻璃镜的半径是( ) A. cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm B 6. (2025·大连嘉汇中学月考)如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 80° B 7. 如图，D是的中点，弦CD与AB交于点E，AD＝AE，若∠D＝75°，则∠C的度数为______. 30° 证明：如图，连接AC. ∵AB为☉O的直径， ∴∠ACB＝90°，即AC⊥BP. ∵BC＝PC，∴AC为BP的垂直平分线， ∴AB＝AP，∴∠P＝∠B， ∴∠BAD＝∠P＋∠B＝2∠P. 8. 如图，AB为☉O的直径，弦DA，BC的延长线相交于点P，且BC＝PC.求证：∠BAD＝2∠P. 易错点　对圆周角及其推论的条件理解有误 9. 有下列说法：①同弧(或等弧)所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④圆周角的度数等于圆心角度数的一半.其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 A 10. 如图，点A，B，C在半径为2的☉O上，∠ACB＝60°， OD ⊥AB，垂足为E，交☉O于点D，连接OA，则OE的长为____. 1 11. (2025·营口站前区期中)如图，AB是☉O的直径，CD＝CB，CE⊥AB于点E，连接BD交CE于点F. (1)求证：CF＝BF； 解：证明：∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°－∠ABC. ∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°， ∴∠ECB＝90°－∠ABC，∴∠ECB＝∠A. ∵CD＝CB，∴＝，∴∠DBC＝∠A， ∴∠ECB＝∠DBC，∴CF＝BF. 解：如图，连接OC，交BD于点G. ∵BC＝CD，∴OC⊥BD，BD＝2BG. ∵∠ACB＝90°，BC＝CD＝4，AC＝8， ∴AB＝＝＝20， 11. (2025·营口站前区期中)如图，AB是☉O的直径，CD＝CB，CE⊥AB于点E，连接BD交CE于点F. (2)若CD＝4，AC＝8，求弦BD的长. ∴☉O的半径为10. 设OG＝x，则CG＝10－x. 由勾股定理，得BG2＝OB2－OG2＝BC2－CG2， ∴102－x2＝(4)2－(10－x)2， 解得x＝6，∴BG＝＝8，∴BD＝16. 12.【几何探究】(教材P90习题T14变式)如图，☉O的半径为1，A，P，B，C是☉O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°. (1)△ABC的形状为________三 角形，AB＝______. 等边 12.【几何探究】(教材P90习题T14变式)如图，☉O的半径为1，A，P，B，C是☉O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°. (2)试探究线段PA，PB，PC之间 的数量关系，并证明. 解：PC＝PB＋PA.证明如下： 如图1，在PC上截取PD＝PA， 连接AD. ∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形， ∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°， ∴∠ADC＝120°. ∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°， ∴∠ADC＝∠APB. 在△APB和△ADC中， ∴△APB≌△ADC(AAS)，∴BP＝CD. 又∵PD＝PA，∴PC＝PB＋PA. 12.【几何探究】(教材P90习题T14变式)如图，☉O的半径为1，A，P，B，C是☉O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°. (3)当点P位于的什么位置时， 四边形APBC的面积最大？请求 出最大面积. 解：当P为的中点时，四边形 APBC的面积最大. 如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F. ∵S△APB＝AB·PE，S△ABC＝AB·CF， ∴S四边形APBC＝S△APB＋S△ABC＝AB·(PE＋CF). 当P为的中点时，PE＋CF＝PC， PC为☉O的直径， ∴此时四边形APBC的面积最大. 由(1)，知AB＝. 又∵☉O的半径为1， ∴S四边形APBC＝×2×＝. $$