24.4 弧长和扇形面积 第2课时 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册

第二十四章 圆 24.4 弧长和扇形面积 第2课时 圆锥的侧面积和全面积 学习目标 1.知道圆锥的母线是什么，知道圆锥的侧面展开图是扇形.（重点） 2.掌握圆锥的侧面积和全面积公式，并能应用公式进行计算.（难点） 复习导入 1.弧长计算公式 2.扇形面积计算公式 n° l O r S 或 生活中的圆锥 圆锥的再认识 1.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，它的底面是一个圆，侧面是一个曲面. 2.连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段叫做圆锥的母线. S A O B 3.从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． l r h 问题1 圆锥有几条母线？它们之间有什么关系？ 圆锥有无数条母线,且每条母线都是相等的. S A O B l r h 问题2 l、h、r之间有什么关系？ r2 + h2 = l2 观察右图，思考以下问题： 试一试 根据下列条件求值（其中 r、h、l 分别是圆锥的底面圆半径、高、母线长）. (1) 若 l = 2，r = 1，则 h = _______； (2) 若 h = 3，r = 4，则 l = _______； (3) 若 l = 10，h = 8，则 r = _______. 5 6 S A O B l r h 思考：圆锥的侧面展开图是什么图形？ 做一做： 沿一条母线将圆锥剪开并展平，观察圆锥的侧面展开图. 扇形 问题1 圆锥的侧面展开图是扇形，那扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？ A B O C l 圆锥侧面展开图的扇形的半径=母线的长l 问题2 扇形的弧长与哪条线段相等？ r B O C 侧面展开图扇形的弧长=底面周长 圆锥与侧面展开图之间的主要关系： l = R C =a A O r h l R B O C a 如何求出圆锥的侧面积？ 圆锥的侧面积=扇形的面积 公式一: A O r h a R B O C n l 练一练：一个圆锥形零件的高4cm，底面半径3cm，求这个圆锥形零件的侧面积. O P A B r h a 答:圆锥形零件的侧面积是15πcm2. 解： A O r h l R B O C n 还有其他的公式可以求出圆锥的侧面积吗？ 因为 所以, 所以， 公式二： 练一练：根据下列条件填空 . (1) R=2, r =1，则n =_______. (2) R=9, r =3，则n =______ . (3) n=90°, R =4，则r =____. (4) n=60°, r = 3，则R =_____ . 180° 120° 1 18 A O r h l R B O C n 想一想：圆锥的全面积由那几部分构成呢？ 圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积. A O r h l R B O C n 例1 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建 20 个底面积为 12 m2，高为 3.2 m，外围高为 1.8 m 的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（π 取3.142，结果取整数）？ 例题讲解 h1 r h2 解：如图是蒙古包的示意图. 根据题意，下面圆柱的底面积为 12 m2，高为 1.8 m；上面圆锥的高为3.2－1.8 = 1.4(m). 圆柱的底面圆半径为 圆锥的母线长为 侧面积为 侧面展开扇形的弧长为 圆锥的侧面积为 因此， 答：至少需要738 m2的毛毡. ， . 课堂小结 A O r h a R B O C n l r2 + h2 = l2 S圆锥侧 = πrl 1.圆锥侧面展开图扇形的半径 = 母线长 l 2.圆锥侧面展开图扇形的弧长 = 底面圆周长 S圆锥全 = S圆锥侧 + S圆锥底 = πrl + πr2 课堂训练 知识点　圆锥的有关计算 1. 若圆锥的侧面展开图是一个弧长为36π的扇形，则这个圆锥底面圆的半径为( ) A. 36 B. 18 C. 9 D. 6 B 2. 已知圆锥的底面圆的半径为2，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是( ) A. 12 B. 24 C. 12π D. 24π C 3. 若一个圆锥的底面圆的半径为3 cm，母线长为5 cm，则这个圆锥的全面积为( ) A. 15π cm2 B. 24π cm2 C. 39π cm2 D. 48π cm2 B 4. 若圆锥的底面圆的半径是1，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角的度数是( ) A. 90° B. 100° C. 120° D. 150° C [变式1] 如图，圆锥形烟囱帽的底面圆的半径为12 cm，侧面展开图为半圆，则它的母线长为( ) A. 10 cm B. 20 cm C. 5 cm D. 24 cm D [变式2] 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形.若母线长l为6 cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为_____cm. 2 5. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°，面积为12π cm2的扇形，则这个圆锥的高为_______cm. 4 6. 小明家收获一堆粮食，在门前操场上堆成圆锥形，如图所示.用皮尺测得底面圆的周长为8π m，粮食堆成的高度为3 m.为避免淋雨，小明至少需要多大面积的塑料薄膜才能将其盖住？(结果保留π) 解：如图，BC⊥AD，BC＝3 m. ∵底面圆的周长为8π m， ∴AC·2π＝8π， ∴AC＝4 m，∴AB＝＝5 m， ∴圆锥的侧面积为π·AC·AB＝π×4×5＝20π(m2)，即小明至少需要20π m2的塑料薄膜才能将其盖住. 7. 一个圆锥的高为3 cm，其侧面展开图为半圆.求： (1)圆锥的母线长与底面圆的半径的比； 解：设圆锥的母线长为l cm，底面圆的半径为r cm. 由题意，得2πr＝， ∴l＝2r，即圆锥的母线长与底面圆的半径的比为2∶1. 7. 一个圆锥的高为3 cm，其侧面展开图为半圆.求： (2)圆锥的全面积. 解：由勾股定理，得r2＋(3)2＝l2，即r2＋(3)2＝4r2，解得r＝3，∴l＝6， ∴圆锥的全面积为π×32＋π×3×6＝27π(cm2). 8. 若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是( ) A. 60° B. 90° C. 120° D. 180° C 9. 一个圆柱的高与一个圆锥的母线长都是10 cm，且它们的侧面积相等.若圆柱底面的直径为6 cm，则圆锥底面的直径为_____cm. 12 10. 如图，圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，则这个扇形的面积 为_______. 300π 11. 如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A(0，8)，B(－8，8)，C(－12，4)，该圆弧所在圆的圆心为点D，请解答下列各题. (1)点D的坐标为____________； (2)连接AD，CD，则☉D的半径 为_______(结果保留根号)； (－4，0) 4 11. 如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A(0，8)，B(－8，8)，C(－12，4)，该圆弧所在圆的圆心为点D，请解答下列各题. (3)若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开 图，则该圆锥底面圆的半径为______ (结果保留根号). 12. 如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的平分线，且AD＝6.以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F. (1)求图中阴影部分的面积； 解：∵在等腰三角形ABC中， ∠BAC＝120°，∴∠B＝30°. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝2AD＝12， ∴BD＝＝6，∴BC＝2BD＝12， ∴S阴影＝S△ABC－S扇形EAF＝×12×6－＝36－12π. 12. 如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的平分线，且AD＝6.以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F. (2)将阴影部分剪掉，余下扇形EAF，将扇形EAF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h. 解：设圆锥底面圆的半径为r. 根据题意，得2πr＝，解得r＝2， ∴这个圆锥的高h＝＝4. 13.【新考法·综合与实践】综合与实践. [主题]滤纸与漏斗. [素材]如图1所示. ①一张直径为10 cm的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤 漏斗. [实践操作] 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按图2所示的步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成一个圆锥； 步骤4：将围成圆锥的滤纸放入如图1所示的漏斗中. [实践探索] (1)滤纸能否紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明. 解：滤纸能紧贴此漏斗内壁.理由如下： 如图，由2πr＝，得＝. 设圆形滤纸折成的圆锥的圆心角为n1， 过滤漏斗圆锥的圆心角为n2. 图1中，n1＝90°×2＝180°. 图2中，由2πr＝，得＝. ∵＝＝，∴n2＝180°. ∵n1＝n2，∴滤纸能紧贴此漏斗内壁. [实践探索] (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成的圆锥的体积.(结果保留π) 解：如图. 由(1)，知CD＝DE＝CE＝5 cm， ∴∠CDE＝60°. 过点C作CF⊥DE于点F，则DF＝DE＝ cm. 在Rt△CDF中，CF＝＝ cm，∴V＝π·()2×＝(cm3). 答：滤纸围成的圆锥的体积是π cm3. $$