24.3 正多边形和圆 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册

第二十四章 圆 24.3 正多边形和圆 学习目标 1.了解正多边形的概念.（重点） 2.理解并会计算正多边形的半径、中心角、边心距、边长.（难点） 3.学会正多边形的画法.（重点） 复习引入 三条边相等， 三个角相等（60°） 四条边相等， 四个角相等（90°） 正三角形 正方形 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 正n边形：如果一个正多边形有n条边， 那么这个正多边形叫做正n边形. 获取新知 观察下列图形，请从这些图形中找出其相对应的正多边形. 想一想： 矩形是正多边形吗？为什么？ 菱形是正多边形吗？为什么？ 矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等； 菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等. 正多边形 各边相等 缺一不可 各角相等 注意： 正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心. 正多边形的特点： 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形. 想一想：圆与正多边形之间有什么关系呢？ 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆. · A B C D E O A B C D E ∴ AB=BC=CD=DE=EA, ∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上, ∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,⊙O是五边形ABCDE的外接圆. 我们以圆内接正五边形为例证明. 如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到正五边形ABCDE. ∵AB=BC=CD=DE=EA ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴BCE=CDA=3AB ⌒ ⌒ ⌒ 证明： · A B C D E O 把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形. 圆就是这个正多边形的外接圆. 归纳总结 E F C D . O 中心角 半径R 边心距r 正多边形的外接圆的圆心就是该正多边形的中心，如图中点O. 正多边形的外接圆的半径就是该正多边形的半径，如OA、OF、OE等. 正多边形的每一条边所对的圆心角就是该正多边形的中心角，如∠FOA. 中心到正多边形的一边的距离就是该正多边形的边心距，如OM. A B M 因此，亭子地基的周长 l =4×6=24(m). 解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径. 问题1 有一个亭子,它的地基半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1 m2). 利用勾股定理,可得边心距： 亭子地基的面积： 在Rt△OPC中，OC=4，PC= 正多边形边数 内角 中心角 外角 3 4 6 ... ... ... ... n 60° 120° 120° 90° 90° 90° 120° 60° 60° 完成以下表格， 想一想正多边形的内角、中心角、外角之间有什么关系？ 正n边形的一个内角的度数是 ; 中心角的度数是 ; 外角的度数是 . 正多边形的中心角与外角的大小关系是 . 相等 E D C B A O F 正多边形的内角与外角的大小关系是 . 互补 那么，如何在圆内画出一个正多边形呢？ 问题2 已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正六角形. 作法：已知同圆中相等的圆心角所对的圆心角相等.利用量角器画一个等于60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的六个等分点，顺次连接各分点，即可得出正六角形． O A B C D E F · 60° 还有其他方法可以画出正六角形吗？ 已知正六边形的边长等于半径，所以在圆上依次截出长度等于半径的弦，就可以将圆六等分. 顺次连接各分点，即可得到正六边形. 总结作正n边形的方法： 1.用量角器等分圆周作正n边形. 2.用尺规作弦作正n边形. 正多边形的性质 正多边形的特点 正多边形的画法 1.用量角器等分圆周作正n边形. 2.用尺规作弦作正n边形 正多边形都是轴对称图形 正多边形的概念 偶数边的正多边形同时也是中心对称图形，中心就是对称中心 中心角、内角、外角、边心距的计算 各边相等，各角也相等的多边形 课堂练习 知识点1　正多边形的概念 1. 下列说法正确的是( ) A. 各边相等的多边形是正多边形 B. 各内角分别相等的多边形是正多边形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形 D. 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形 D 知识点2　与正多边形有关的计算 2. 如果一个正多边形的中心角是40°，那么这个正多边形的边数是( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 D 3. (2025·盘锦大洼区二模)如图，正五边形ABCDE内接于☉O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝( ) A. 60° B. 54° C. 48° D. 36° D 4. 如图，在一次图书展会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，小华量得展台的一边与一对角线的夹角∠ACB＝12°，则这个正多边形的边数是( ) A. 10 B. 12 C. 15 D. 18 C 5.苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，人们发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图1)，组成了一个完美的六边形(正六边形)，图2是其平面示意图，则∠1的度数为( ) 130° B. 120° C. 110° D. 60° B 6. 如图，在正五边形ABCDE中，F是CD的中点，点G在线段AF上运动，连接EG，DG，当△DEG的周长最小时，∠EGD的度数为_______. 72° 解：如图，连接OA，OF， 过点O作OH⊥AF于点H. ∵☉O的周长为8π cm， ∴半径OA＝4 cm. ∵六边形ABCDEF是正六边形， 7. 如图，☉O的周长为8π cm，正六边形ABCDEF内接于☉O. (1)求圆心O到AF的距离； ∴∠AOF＝60°，∴∠AOH＝30°， ∴AH＝2 cm. 在Rt△AHO中，由勾股定理，得圆心 O到AF的距离OH＝＝2 cm. 7. 如图，☉O的周长为8π cm，正六边形ABCDEF内接于☉O. (2)求正六边形ABCDEF的面积. 解：正六边形ABCDEF的面积为 ×4×2×6＝24(cm2). 知识点3　正多边形的画法 8. 在下列各图中，试分别按要求画出圆的内接正多边形.(不写作法，保留作图痕迹) 9. (教材P108习题T5变式)如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3 cm，则螺帽的边长 a＝( ) A. cm B. 2 cm C. 2 cm D. cm A 10. (教材P106练习T3变式)如图，正方形ABCD和等边三角形AEF均内接于☉O，则的值为( ) A. 　 B. C. D. A 11. 如图，六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形.设正六边形 ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝____. 2 【解析】如图，连接OA，OC，OE. ∵六边形ABCDEF是☉O的内接正六 边形，∴AC＝AE＝CE， ∴△ACE是☉O的内接正三角形， ∴四边形ABCO是平行四边形， ∴S△BAC＝S△AOC. 同理，S△AFE＝S△AOE，S△CDE＝S△COE， ∴S1＝S△BAC＋S△AEF＋S△CDE＋S△OAC＋ S△OAE＋S△OCE＝2(S△OAC＋S△OAE＋S△OCE) ＝2S2， ∴＝2. 解：如图，连接OB，OC，OD. ∵等边三角形ABC内接于☉O， BD为☉O的内接正十二边形的一边， ∴∠BOC＝×360°＝120°， ∠BOD＝×360°＝30°， 12. 如图，已知等边三角形ABC内接于☉O，BD为☉O的内接正十二边形的一边，CD＝5 cm，求☉O的半径. ∴∠COD＝∠BOC－∠BOD＝90°. ∵OC＝OD，∴∠OCD＝45°. 在Rt△DOC中， ∵CD＝5 cm，∴OC＝5 cm， 即☉O的半径为5 cm. 13.【几何探究】如图，M，N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON. (1)求图1中∠MON的度数； 解：如图1，连接OB，OC. ∵正三角形ABC内接于☉O， ∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°. 在△OBM和△OCN中， ∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON， ∴∠MON＝∠BOC＝120°. 13.【几何探究】如图，M，N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON. (2)图2中∠MON的度数是_____，图3中∠MON的度数是____； 90° 72° 13.【几何探究】如图，M，N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON. (3)试探究∠MON的度数 与正n边形的边数n的关系 (直接写出答案). 解：∠MON＝. $$