24.2.2 直线和圆的位置关系 第2课时　课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册

第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定和性质 学习目标 1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线（重点）. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理（难点）. 3.能初步运用切线的判定定理和性质定理解决简单的几何问题（难点）. 复习引入 回顾直线与圆相切： .O 直线与圆相切 切线 . 切点 1.判断直线和圆相切有哪两种办法？ (1)定义法 和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线. (2)数量法（d=r ）： 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线. 2.切线的性质： (1)切线和圆只有一个公共点； (2)圆心到切线的距离等于半径 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 都是沿切线方向飞出的. 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？ 获取新知 思考 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线 l ⊥OA ，则直线l与⊙O的位置关系怎样？为什么？ 条件一：直线l 经过半径OA的外端点A. 条件二：直线l 垂直于半径OA. 显然，圆心到直线的距离d =半径 r 相切 l .O A ∵ OA ⊥ l ∴ l是⊙O的切线. 用几何语言表达： OA是半径， 于A l .O A 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ O. A O. A B A O (1) (2) (3) (1) 不是，因为没有垂直. (2) (3) 不是，因为没有经过半径的外端点 A. 注意：利用判定定理时，直线须具备以下两个条件，缺一不可. (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直. 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； 2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r)时，直线与圆相切； 3. 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d O O 切线的判定方法 例1 如图，线段 AB 是☉O 的直径，直线 AC 与 AB 交于点 A，∠ABC = 45°，且 AB = AC. 求证：AC 是☉O 的切线. 分析：直线 AC 经过半径的一端，因此只要证OA 垂直于 AC 即可. 证明：∵ AB = AC，∠ABC = 45°， ∴∠ACB =∠ABC = 45°. ∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°， 即 AB⊥AC. ∵ AB 是☉O 的直径， ∴ AC 是☉O 的切线. A O C B 例题讲解 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. ∵直线l切⊙O于点A， ∴OA⊥l 几何符号表达： l .O . A 反证法 思考 若改变切线判定定理的题设与结论： 如果直线l是⊙O的切线，切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？ 理由是：直径 AB 与直线CD 要么垂直，要么不垂直. （2）则 OM＜OA，即圆心到直线 CD 的 距离小于⊙O 的半径，因此，CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O 相切”相矛盾； C D B O A （3）所以假设不成立，故 AB 与 CD 垂直. M 证法：反证法 性质定理的证明 （1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作OM⊥CD，垂足为 M； 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线. 证明：连接OD,作OE⊥AC 于E . ∴∠OEC=90°. ∵ AB是⊙O的切线, ∴OD⊥AB. ∴∠ODB=90 ° =∠OEC. ∵AB=AC ,∴∠B=∠C. ∵O是BC的中点， ∴OB=OC . ∴△OBD≌△OCE(AAS), ∴OD=OE . ∴AC与⊙O相切. . O A D B C E 例题讲解 课堂小结 切线的 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 d=r，则相切 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的 性质 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 有1个公共点 d=r 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直. 1个公共点，则相切 课堂练习 知识点1　切线的判定 1. 如图，A，B是☉O上的两点，AC是过点A的一条直线.如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝______°时，AC才能成为☉O的切线. 60 2. 如图，在△AOB中，OA＝OB，∠A＝30°，以点O为圆心，2 cm为半径作☉O，当OA＝_____cm时，AB与☉O相切. 4 证明：如图，过点D作DF⊥OA于点F. ∵D是∠AOB的平分线OC上的任意一点， DE⊥OB，∴DF＝DE，即点D到直线OA 的距离等于☉D的半径DE， ∴OA是☉D的切线. 3. 如图，D是∠AOB的平分线OC上的任意一点，过点D作DE⊥OB于点E，以DE的长为半径作☉D.求证：OA是☉D的切线. 知识点2　切线的性质 4. 如图，AB是☉O的直径，BC是☉O的切线.若∠BAC＝35°，则∠ACB的度数为( ) A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° C [变式]如图，已知△ABC，以AB为直径的☉O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD.若∠AOD＝80°，则∠C的度数为( ) A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° D 5. 如图，AB为☉O的直径，直线CD与☉O相切于点C，连接AC.若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° B 6. 如图，AB是☉O的直径，点E，C在☉O上，A是 的中点，过点A作☉O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC，AC.若∠ADB＝58.5°，则∠ACE＝_______°. 31.5 7. 如图，AB是☉O的直径，C为☉O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交☉O于点E，已知AE＝3，CD＝2. (1)求证：AC平分∠DAB； 解：证明：如图，连接OC. ∵AD和过点C的切线互相垂直， 垂足为D，∴∠ADC＝90°. ∵CD是过点C的切线，∴CD⊥OC， ∴∠DCO＝90°， ∴∠DCO＋∠ADC＝90°＋90°＝180°， ∴CO∥AD，∴∠OCA＝∠DAC. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OAC， 即AC平分∠DAB. 7. 如图，AB是☉O的直径，C为☉O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交☉O于点E，已知AE＝3，CD＝2. (2)求☉O的半径. 解：如图，过点O作OF⊥AD， 垂足为F， 则∠DFO＝∠AFO＝90°， AF＝EF＝AE＝. 由(1)，知∠ADC＝90°，∠DCO＝90°， ∴四边形CDFO是矩形，∴OF＝CD＝2. 在Rt△AFO中，OA2＝AF2＋OF2＝()2＋22＝， ∴OA＝＝，即☉O的半径为. 8. 如图，OA是☉O的半径，BC是☉O的弦，OA⊥BC于点D，AE是☉O的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为______. 9. 如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径，点D在BC的延长线上，过点C的切线与OD相交于点E. (1)如图1，当∠OEC＝3∠A 时，求证：DO＝DB； 解：证明：如图，连接OC. ∵CE是☉O的切线，OC是 ☉O的半径， ∴CE⊥OC， ∴∠OCE＝90°，∴∠COE＝90°－∠OEC. ∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA. ∵∠COB＝∠A＋∠OCA，∴∠COB＝2∠A. ∵∠OEC＝3∠A，∴∠DOB＝∠COE＋∠COB ＝90°－∠OEC＋2∠A＝90°－3∠A＋2∠A＝90°－∠A. ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°－∠A，∴∠B＝∠DOB， ∴DO＝DB. 9. 如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径，点D在BC的延长线上，过点C的切线与OD相交于点E. (2)如图2，尺规作图：作关 于弦AC所在直线的对称图形 (保留作图痕迹，不写作法). 解：如图所示. 10. (2025·大连嘉汇中学月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径作☉O，交BC边于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F. (1)求证：EF为☉O的切线； 解：证明：如图，连接OE，DE. ∵CD是☉O的直径， ∴∠CED＝90°，即DE⊥BC. ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝BD，∴E是BC的中点. 又∵O是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE∥AB. ∵EF⊥AB，∴EF⊥OE. ∵OE是☉O的半径，∴EF是☉O的切线. 10. (2025·大连嘉汇中学月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径作☉O，交BC边于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F. (2)若AC＝6，CD＝5，求DF的长. 解：∵CD是Rt△ABC斜边上的中线， CD＝5，∴AB＝2CD＝10. ∵AC＝6，∴BC＝＝8. ∵E是BC的中点，∴BE＝BC＝4. ∴在Rt△BDE中，BD＝5，BE＝4， ∴DE＝＝3. ∵S△BDE＝DE·BE＝BD·EF， ∴EF＝. 在Rt△DEF中，DE＝3，EF＝， ∴DF＝＝. 11.如图，☉M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y＝x＋4上的一个动点，过点P作☉M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为_______. 2 $$