24.2.2 直线和圆的位置关系 第1课时 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册

第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系 第1课时 直线和圆的位置关系 学习目标 1.掌握直线和圆相交、相切、相离等概念（重点）. 2.掌握从公共点的个数判定直线和圆的位置关系（重点）. 3. 掌握d和r的数量关系判定直线和圆的位置关系（难点）. 复习引入 1.点和圆的位置关系有哪几种？我们如何进行判断？ 设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d.则： d < r d = r d > r (设 OP = d ) (1) 点在圆内 (2) 点在圆上 (3) 点在圆外 r d r r P P P O O O d d 2.如何定义直线外一点到这条直线的距离? 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 获取新知 问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？ 问题2 把钥匙环看作一个圆,把直尺边缘看成一条直线. 固定圆,平移直尺.直线和圆分别有几个公共点? ●O ●O ●O 两个公共点 没有公共点 一个公共点 0个公共点 .O 1个公共点 .O 2个公共点 .O 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 切线 . 切点 割线 . . 交点 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有3种，分别是相离、相切 、相交. A l O 直线和圆有唯一的公共点(即直线和圆相切)时，这条直线叫做圆的切线(如图中的直线l)，这个唯一的公共点叫做切点(如图中的点A). 从直线与圆公共点的个数可以判断出直线与圆的位置关系. 还可以怎么判断直线和圆的位置关系？ 直线与⊙O相离 直线l上的点都在圆外 O r l 对于直线l上任意一点P,都有OP＞r P A OA⊥l于A, OA为圆心到直线的距离记为d OA= d, d＞r 直线与⊙O相离 d＞r 直线与⊙O相离 d＞r 直线与⊙O相切 d=r 直线与⊙O相交 d＜r 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 图 形 公共点个数 2个 1个 0个 公共点名称 _ 切点 _ 直线名称 割线 切线 _ 距离d与半径r的关系 d＜r d=r d＞r 例题讲解 例1 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心，r 为半径的圆与直线 AB 有怎样的位置关系？为什么？ (1) r = 2 cm； (2) r = 2.4 cm； （3） r = 3 cm． B C A 4 3 分析：要判定 AB 与⊙C 的位置关系，只要知道圆心 C 到 AB 的距离 d 与 r 的大小关系.已知 r，只需求出 C 到 AB ·d. D 解：过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D. 在△ABC 中， 根据三角形的面积公式有 即圆心 C 到 AB 的距离 d = 2.4 cm. (1) 当 r = 2 cm 时，有 d > r， 因此⊙C 和 AB 相离； B C A 4 3 D d (2) 当 r = 2.4 cm 时，有 d = r， 因此⊙C 和 AB 相切； B C A 4 3 D d (3) 当 r = 3 cm 时，有 d < r， 因此⊙C 和 AB 相交. B C A 4 3 D d 拓展探究 已知⊙O 的半径 r = 7 cm，直线 l1∥l2，且 l1 与⊙O 相切，圆心 O 到 l2 的距离为 9 cm. 求 l1与 l2 的距离. O l1 l2 A B l2 （1）当 l2 与 l1 在圆的同侧时， m = 9 - 7 = 2 (cm)； （2）当 l2 与 l1 在圆的异侧时， m = 9 + 7 = 16 (cm). 解：设 l2 与 l1 的距离为 m，则 C 课堂小结 直线与圆的位置关系 定义 性质 判定 相离 相切 相交 公共点的个数 d 与 r 的数量关系 定义法 性质法 特别提醒：若图中没有 d 要先作出该垂线段 相离:0 个;相切:1 个;相交:2 个 相离：d > r 相切：d = r 相交：d < r 0个：相离；1个：相切；2个：相交 d > r：相离；d = r：相切；d < r：相交 课堂练习 知识点1　直线和圆的位置关系的判断 1. ☉O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与☉O的位置关系是( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 C [变式] 如图，若☉O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是( ) A. l1 B. l2 C. l3 D. l4 D 2. 在平面直角坐标系中，以点P(－2，3)为圆心，2为半径的☉P与x轴的位置关系是_______，与y轴的位置关系是________. 相离 相切 3. (教材P101习题T2变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝16 cm，判断以点C为圆心，下列r为半径的☉C与AB的位置关系： (1)r＝9 cm； 解：如图，作CD⊥AB于点D. ∵∠ACB＝90°，AC＝12 cm，BC＝16 cm， ∴AB＝＝20(cm). ∵BC·AC＝AB·CD， ∴CD＝9.6 cm. ∵9 cm＜9.6 cm， ∴☉C与AB相离. 3. (教材P101习题T2变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝16 cm，判断以点C为圆心，下列r为半径的☉C与AB的位置关系： (2)r＝10 cm； 解：如图，作CD⊥AB于点D. ∵∠ACB＝90°，AC＝12 cm，BC＝16 cm， ∴AB＝＝20(cm). ∵BC·AC＝AB·CD， ∴CD＝9.6 cm. ∵10 cm＞9.6 cm， ∴☉C与AB相交. 3.(教材P101习题T2变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝16 cm，判断以点C为圆心，下列r为半径的☉C与AB的位置关系： (3)r＝9.6 cm. 解：如图，作CD⊥AB于点D. ∵∠ACB＝90°，AC＝12 cm，BC＝16 cm， ∴AB＝＝20(cm). ∵BC·AC＝AB·CD， ∴CD＝9.6 cm. ∵9.6 cm＝9.6 cm，∴☉C与AB相切. 知识点2　直线和圆的位置关系的应用 4. 已知☉O的半径为3，圆心O到直线l的距离为d.若直线l与☉O没有公共点，则( ) A. d＞3 B. d＜3 C. d≤3 D. d＝3 A [变式1] 已知☉O的半径是r，点O到直线l的距离是d.若☉O与直线l有公共点，则r与d之间的关系是( ) A. d＞r B. d＝r C. d＜r D. d≤r D [变式2] 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么☉C的半径r的取值范围是( ) 0≤r≤ B. ≤r≤3 C. ≤r≤4 D. 3≤r≤4 C 5.【新情境·生活情境】如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆与和它在同一平面内的地面(看作一条直线)的位置关系是( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 A 6. (2025·盘锦辽河油田实验中学月考)已知☉O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x＋m＝0的两个根.当直线l与☉O相切时，m的值为____. 4 易错点　考虑问题不全面而致错 7. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的☉P的圆心P的坐标为(－3，0)，将☉P沿x轴正方向平移，使☉P与y轴相切，则平移的距离为________. 1或5 8. (教材P101习题T5变式)如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为5，小圆的半径为3.若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是( ) A. 8≤AB≤10 B. 8＜AB≤10 C. 4≤AB≤5 D. 4＜AB≤5 A 9. 如图，已知☉P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2－1上运动.当☉P与x轴相切时，圆心P的坐标为____________________. (，2)或(－，2) 10. 已知在平面直角坐标系中，以点P(－3，4)为圆心，r为半径画圆，☉P与坐标轴恰好有三个交点，则r的值是__________. 4或5 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，O为AB上一点，BO＝x，☉O的半径为2. (1)当x为何值时，直线BC与☉O相切？ 解：如图，过点O作OD⊥BC于点D. ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°，∴∠DOB＝30°. ∵BO＝x，OD＝2，∴BD＝x. 在Rt△OBD中，由勾股定理，得x2－(x)2＝4，解得x＝，即当x＝时，直线BC与☉O相切. 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，O为AB上一点，BO＝x，☉O的半径为2. (2)当x在什么范围内取值时，直线BC 与☉O相离、相交？ 解：若☉O与直线BC相离，则x＞； 若☉O与直线BC相交，则0≤x＜. 12. [新知]19世纪英国著名文学家和历史 学家卡莱尔给出了一元二次方程x2＋bx ＋c＝0的几何解法：如图1，在平面直角 坐标系中，已知点A(0，1)，B(－b， c)， 以AB为直径作☉P.若☉P交x轴于点M(m， 0)，N(n，0)，则m，n为方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根. [探究](1)由勾股定理，得AM2＝12＋m2，BM2＝c2＋(－b－m)2，AB2＝(1－c)2＋b2.在Rt△ABM中，AM2＋BM2＝AB2，所以12＋m2＋c2＋(－b－m)2＝(1－c)2＋b2.化简，得m2＋bm＋c＝0.同理可得_______________， 所以m，n为方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根. n2＋bn＋c＝0 [运用](2)在图2中的x轴上画出以方程 x2－3x－2＝0的两根为横坐标的点M，N. 解：如图2，先在坐标系内找到A(0，1)，B(3，－2)，连接AB， 分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，连接两弧的交点与AB交于点P， 以P为圆心，以AB为直径画圆， 圆与x轴的交点即为M，N. [运用](3)已知点A(0，1)，B(6，9).若AB为☉C的直径，判断☉C与x轴的位置关系，并说明理由. 解：☉C与x轴相切.理由如下： 由题意，得x2－6x＋9＝0. ∵Δ＝(－6)2－4×1×9＝0，∴方程 x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根， ∴☉C与x轴只有一个交点， ∴☉C与x轴相切. [拓展](4)在平面直角坐标系中，已知点A(0，a)，B(－b，c).若以AB为直径的圆与x轴有M，N两个交点，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是___________________. x2＋bx＋ac＝0 $$