猜想03 条件概率、全概率公式及事件的独立性（考题猜想，8大题型）（期末复习专项训练）高二数学下学期人教B版

猜想03 条件概率、全概率公式及事件的独立性 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 条件概率的计算 · 题型二 条件概率的性质 · 题型三 全概率公式及其应用 · 题型四 贝叶斯公式及其应用 · 题型五 马尔科夫链 · 题型六 相互独立的判断 · 题型七 独立事件的概率计算 · 题型八 独立事件与条件概率的综合 题型一 条件概率的计算 1．为了把田园餐厅打造成“味蕾的乐园”，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为1:2:2，由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有的人投票给1号菜品，教工代表中有的人投票给2号菜品，从评委团中随机选一名代表、已知他投票给1号菜品那么他是学生代表的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据人数比例设家长代表、学生代表和教工代表人数分别是（为比例系数）， 由题意知：家长代表中有的人投给1号，人数为；学生代表中有的人投给1号，人数为；教工代表中有的人投给2号，那么教工代表中有的人投给1号，人数为. 所以投给1号的总人数为，学生代表中投给1号的人数为， 因此所求概率为. 故选：C. 2．学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选名不同的裁判员（一名主裁判，一名助理裁判，一名助理裁判，一名第四裁判），其中高一共个班，每个班各一名体育委员，共个女生，个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数，再确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数，最后根据条件概率公式得结果． 【详解】从个人中任取人，全部情况有种， 恰有一名两名男生的情况有， 故恰有一名男生参加AI人工智能学习的概率为； 有女生参加AI人工智能学习的情况有种， 恰有一名女生参加AI人工智能学习的情况有种， 故在至少有一名女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为. 故答案为：；. 4．在一场三局两胜制的羽毛球比赛中，每一局甲获胜的概率为0.6，且每局比赛结果互不影响，已知甲获胜，则最终比分为2：0的概率为 ． 【答案】 【详解】记事件A为甲获胜，由题意甲获胜的情况有2种： 打两局以甲乙比分为2：0结束比赛，记为事件B，此事件发生的概率为； 打三局以甲乙比分为2：1结束比赛，此时事件发生的概率为； 所以甲获胜的概率为，且， 所以已知甲获胜，则最终比分为2：0的概率为. 故答案为： 5．某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，已知甲同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 . 【答案】/ 【详解】设“整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建”这 5 个项目对应的编号分别为 ，则从五个项目中选三个的情况有： ，共 10 种情况， 其中甲选的项目中含 的有 ：6种情况 ， 其中再选择项目 的有 ：3种情况 ， 故甲参加的 3 个项目中有“整地做畦“，则他还参加“田间灌溉“项目的概率为 ． 故答案为：. 6．（多选）某工人对某产品进行质量检测有甲、乙两套工序，且完成检测至少需要甲、乙两套工序中的一套．记事件“该工人在检测过程中使用过甲套工序”，事件“该工人在检测过程中使用过乙套工序”，事件“该工人在检测过程中使用过甲、乙两套工序”，事件“该工人在检测过程中仅使用过甲、乙两套工序中的一套”，已知，则下列说法正确的是（    ） A．与为互斥事件 B．与互为对立事件 C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由，得，故A错误； 对于B，“该工人在检测过程中仅使用甲工序或仅使用乙工序或甲乙都用”，易知此为全事件，，故B正确； 对于C，由，得C正确； 对于D，由，则D正确． 故选：BCD. 题型二 条件概率的性质 7．（多选）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，，，所以，所以，B选项正确； ，C选项错误； ，A选项正确； ，D选项正确； 故选：ABD. 8．（多选）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】A.，所以，， 所以，故A错误； B.，故B错误； C.，故C正确； D.，， 所以，，故D正确. 故选：CD 9．（多选）一次“智力测试”活动，在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，测试时从备选的10道题中随机抽出3题由甲､乙分别作答，至少答对2题者评为“智答能手”.设甲评为“智答能手”为事件A，乙评为“智答能手”为事件B，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．甲､乙至多有一人评为“智答能手”的概率为 D．甲､乙至少有一人评为“智答能手”的概率为 【答案】ABD 【详解】由题意，可得，，由， 所以，事件A，B相互独立，所以，故A正确； ，由条件概率的性质得，故B正确； 因为事件A，B相互独立，所以A与，与，与也都相互独立.甲、乙都评为“智答能手”的概率， 所以甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为，故C错误； 甲､乙都没有被评为“智答能手”的概率， 所以甲､乙至少有一人评为“智答能手”的概率为，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选）记A，B为随机事件，下列说法正确的是（    ） A．若事件A，B互斥，，，则 B．若事件A，B相互独立，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】BC 【详解】 ，∴，A错. ，B对. 令，，，∴， ，∴， ，∴，C对. ，D错， 故选：BC. 11．已知事件A和B是互斥事件，，，，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意知，，， 则． 故答案为：． 题型三 全概率公式及其应用 12．某校选拔乒乓球队队员，选拔时选手与教练对局．若选手连胜两局则成功入选，若连负两局则落选．已知某选手每局测试中（无平局）获胜的概率为，则该选手成功入选的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】定义状态(最近一局赢)，(最近一局输)，成功入选的概率分别为和，初始状态成功入选的概率为. 建立方程组 将第二个方程代入第一个方程可得： 把代入可得： 又因为，将，代入可得： 该选手成功入选的概率是， 故选：A. 13．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.7，0.2，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看4只，若无残次品，则买下该箱，否则退回，则顾客买下该箱的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设箱中有只残次品，其中，顾客买下该箱玻璃杯， 则， 则， 由全概率公式，可得. 故选：D. 14．（多选）某位同学参加投篮比赛，第一次投篮投中的概率为．如果他第一次投中，那么在第二次投篮中更有自信，投中的概率为．如果他第一次未投中，那么在第二次投篮中会紧张，投中的概率为．下列说法正确的是（   ） A．连续投篮两次都投中的概率为 B．连续投篮两次都未投中的概率为 C．第二次投篮投中的概率为 D．若他第二次投中，则他第一次投中的概率为 【答案】ACD 【详解】设事件：第一次投篮投中，事件：第二次投篮投中， 则，，，，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，由条件概率得，故D正确. 故选：ACD. 15．（多选）已知一批乒乓球出厂的次品率为，乒乓球出厂时，要求检验员不放回地抽取两次，每次抽取一个，贴上验收标签.记“第一次抽到的乒乓球检测为次品”为事件，“第二次抽到的乒乓球检测为次品”为事件，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由于第一次抽样时，乒乓球的次品率为，所以，故A正确； 对于B选项，设出厂时的乒乓球总数为， 由全概率公式得，，故B错误； 对于C选项，， ，，， ，故C正确； 对于D选项，， ，，，， ，故D正确. 故选：ACD. 16．甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比是4：5：6，这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，现从三个盒子中各随机取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为 【答案】 / 【详解】设甲盒子中球总数为，则乙盒子中球总数为，丙盒子中球总数为 则从三个盒子中各随机取一个球， 该球为甲盒子中的概率为， 该球为乙盒子中的概率为， 该球为丙盒子中的概率为. 甲盒子取到黑球的概率， 乙盒子取到黑球的概率， 丙盒子取到黑球的概率， 显然相互独立， 所以从三个盒子中各随机取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为. 由全概率公式可知，将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为. 故答案为：；. 17．2025年这个寒假，国产AI助手DeepSeek在全球掀起一场科技风暴，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心.在测试DeepSeek时，如果输入问题没有语法错误DeepSeek的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，DeepSeek的回答被采纳的概率为50%.现已知输入的问题中出现语法错误的概率为10%. (1)求DeepSeek的回答被采纳的概率； (2)现已知DeepSeek的回答被采纳，求该问题的输入语法没有错误的概率. 【答案】(1)0.77 (2) 【详解】（1）记事件A：DeepSeek中输入的语法无错误； 事件B：DeepSeek中输入的语法有错误；事件C：DeepSeek的回答被采纳. 依题意：，，，， 所以； （2）. 题型四 贝叶斯公式及其应用 18．l8世纪英国数学数理统计学家托马斯·贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中是一组两两互斥的事件，，且，是中任意事件， ，称为事件B的全概率．现有一种医学检验方法，对患有X疾病的人化验结果呈阳性，对未患有X疾病的人化验呈阴性，我们称检测为阴性的人中患病的概率为漏诊率．现已知某地区X疾病的患病率为0.04，利用贝叶斯公式，则这种医学检验方法在该地区的漏诊率大约为（   ） A．0.001 B．0.002 C．0.003 D．0.004 【答案】D 【详解】设事件“患病”， “不患病”， “显阴性”， 根据题意，可得，且， 由贝叶斯公式， 可得 . 故选：D. 19．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设A=“视频是“AI”合成”，设B=“鉴定结果为“AI””， 则， 由贝叶斯公式得： ， 故选：B． 20．（多选）某商场在五一节开展促销抽奖活动，用编号分别为的三个箱子装了一定数量的红球和白球，总数之比为，三个箱子中白球所占的比例分别为，，，顾客从这三个箱子中任意摸取1球，取到红球获奖．记事件“此球来自编号为的箱子”，事件“顾客获奖”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由题意可知，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D正确； 故选：BCD． 21．假设一架坠毁的飞机掉在三个可能区域中的任何一个是等可能的．如果飞机坠落在区域i中，则由于地理环境的影响，经过快速检查后发现其残骸的概率为，，． (1)求快速检查三个区域后发现这架坠毁飞机残骸的概率； (2)现快速检查区域1，2之后未发现残骸，求飞机坠落在区域3的条件概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，飞机坠落在区域1，2，3的概率均为， 所以快速检查三个区域后发现这架坠毁飞机残骸的概率： . （2）设事件表示飞机坠落在区域3，事件表示检查区域1，2未发现残骸， 则，， 利用贝叶斯定理可得. 所以快速检查区域1，2之后未发现残骸，飞机坠落在区域3的概率为. 题型五 马尔科夫链 22．甲乙两人分别掷两枚骰子，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着掷．第一次掷由甲开始，设第次由甲掷的概率为，则与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】第次由甲掷应该有两种情况： ①第次由甲掷，第次继续由甲掷，此时概率为； ②第次由乙掷，第次由甲掷，此时概率为． 由于这两种情况是互斥的， 因此与之间的关系式是，其中． 故选：C． 23．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，⋯次状态无关.现有，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 由题意知，，， 因为，所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，. 故选：A. 24．中国农业大学被网评为“京城高校第一食堂”，“食堂届的天花板”仅东区食堂就有六个，大一新生每天在“公寓食堂”、“风味餐厅”、“清真食堂”三个方向艰难选择，某同学决定从“公寓食堂”开始就餐，下一次就餐再等可能地随机选择另外2个食堂中的1个，如此不停地品尝各个食堂的美食，记第次就餐去“公寓食堂”的概率为，第次就餐去“风味餐厅”的概率为，显然，．下列判断正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【详解】第次就餐去“公寓食堂”的概率为，第次就餐去“风味餐厅”的概率为， 第次就餐去“清真食堂”的概率为， 由全概率公式得， ，即， 当且仅当时等号成立. 故选：C． 25．ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”． (1)证明：； (2)若，，求和． 【答案】(1)证明见解析 (2), 【详解】（1）若第次为甲发球的条件下第次还是甲发球， 则第次甲没有发出ACE球，故此时， 若第次不是甲发球的条件下第次是甲发球， （1）乙发ACE球，则第次是甲发球； （2）乙没有发出ACE球，则有的概率第次是甲发球； 故， 故. （2） ，, 故，所以即， 所以， 故 而，故为等比数列， 故即. 26．某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值，并探究数列的通项公式； (2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 【答案】(1)， (2)第二次，证明见解析 【详解】（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A，依题意，， ． 因为，，， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故． （2）证明：当n为奇数时，， 当n为偶数时，，则随着n的增大而减小， 所以，． 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大． 题型六 相互独立的判断 27．有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（    ） A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立 C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立 【答案】C 【详解】， ， ，，，， ，，，， 对于A，，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 28．（多选）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是3”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与独立 【答案】ACD 【详解】试验的样本空间 ， 事件， ，， 对于A，事件与没有公共的基本事件，与互斥，A正确； 对于B，显然是中元素，也满足事件，即与可以同时发生，B错误； 对于C，，，，，与独立，C正确； 对于D，，，，与独立，D正确. 故选：ACD 29．（多选）先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，设事件“”，事件“”，事件“为奇数”，则（    ） A． B． C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】AD 【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为， 则基本事件总数有36种情况， 满足事件的情况有四种情况，故，故A正确； 满足事件的情况有两种情况，故，故B不正确； 事件不能同时发生，故与互斥而不相互独立，故C不正确； 满足的情况有 ，18种情况， 故，满足事件只有一种情况，， ，所以与相互独立，故D正确. 故选：AD 30．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），采用不放回简单随机抽样的方法从袋中依次摸出2个球．设事件“摸到的2个球颜色不相同”，事件“摸到的2个球的数字之和大于5”． (1)用集合的形式写出试验的样本空间，并求，； (2)求，并说明事件与是否相互独立． 【答案】(1)答案见解析 (2)，事件与事件不独立． 【详解】（1）试验的样本空间为，，共12个基本事件， 而事件包含的基本事件有，，，，，，，，共包含8个基本事件， 则可得， 事件包含的基本事件有，，，，共4个基本事件； 则． （2）因为事件与同时发生的基本事件有，， 所以． 又因为，可得， 所以事件与事件不独立． 题型七 独立事件的概率计算 31．甲､乙两人向同一飞碟射击，设击中的概率分别为，若只有1人击中，则飞碟被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞碟被击落的概率为0.6，那么飞碟被击落的概率为 . 【答案】0.34 【详解】设甲，乙两人击中飞碟为事件，依题意，，相互独立， 所以所求事件概率为 . 故答案为：0.34 32．甲、乙二人共同参与一场比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得200元奖金. 已知甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同.已知.当甲连赢两局，乙一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛.现将200元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则甲应该分得 元. 【答案】 【详解】由题意，如果比赛继续，乙要连赢三局才能获胜， 因为甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同， 则乙连赢三局的概率为， 甲获胜的概率为， 所以甲应该分得奖金的，乙应该分得奖金的， 所以元. 故答案为：. 33．在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示.假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是 . 【答案】/0.4375 【详解】由题意，知青蛙沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是. 青蛙跳三次要回到叶上只有两条途径： 第一条，按，此时停在叶上的概率； 第二条，按，此时停在A叶上的概率. 所以跳三次之后停在叶上的概率. 故答案为： 34．某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立． (1)已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率； (2)求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记甲两次抽到相同奖品为事件， 记甲在一次抽奖中抽到值为10元、20元、30元、40元分别为事件， 则， ， 所以甲两次抽到的奖品价值不同的概率为； （2）甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，所以其中一种奖品抽到两次，另一种抽到一次. 又获得的奖品价值总和不低于80元， 故可能两次抽到40元，一次抽到30元或两次抽到40元，一次抽到20元或两次抽到40元，一次抽到10元或两次抽到30元，一次抽到40元或两次抽到30元，一次抽到20元或两次抽到20元，一次抽到40元， 又两次抽到40元，一次抽到30元的概率， 两次抽到40元，一次抽到20元的概率， 两次抽到40元，一次抽到10元的概率， 两次抽到30元，一次抽到40元的概率， 两次抽到30元，一次抽到20元的概率， 两次抽到20元，一次抽到40元的概率， 所以获得的奖品价值总和不低于80元的概率为： . 35．单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对两个得4分，只要选出错误选项的就得0分）． (1)有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为，他便随机猜写答案（2个或3个选项），求考生乙本题刚好得4分的概率； (2)现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为．丙，丁二人答题互不影响，求这道多项选择题丙丁两位考生总分刚好是6分的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）样本空间，共有10个样本点， 设“猜对本题得4分”，，有3个样本点，故． （2）记丙得分的事件为，丁得分为，其中 由题意； 记丙丁两位考生总分刚好6分的事件为，易知 由题意 36．多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从，，，四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分． (1)考生甲有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率； (2)现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）甲同学所有可能的选择答案有14种：，，，，，，，，，，，，，， 设事件表示“猜对本题至少得2分”， 则，有7个样本点， 所以. （2）由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为，乙丙总分刚好得18分的情况包含： 事件E：乙得12分有一种情况，丙得6分有，，三种情况， 则， 事件F：乙得9分有，两种情况，丙得9分有，两种情况， 则 事件G：乙得6分有，，三种情况，丙得12分有一种情况， 则， 故乙丙总分刚好得18分的概率. 题型八 独立事件与条件概率的综合 37．（多选）甲袋中有红球，白球各3个，乙袋中有红球，白球，黑球各2个.先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球.事件表示从甲袋中取出的球是红球，事件表示从乙袋中取出的球白球，事件表示从乙袋中取出的球是黑球，则（    ） A． B． C．，相互独立 D．，相互独立 【答案】BD 【详解】依题意，，则， ，， 所以，故B正确； ，故A错误； 因为，所以，不相互独立，故C错误； ，，， 故，相互独立，D正确. 故选：BD 38．（多选）已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若，则与相互独立 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A：，A错； 对于B：，，B对， 对于C：由，，可得，所以与相互独立，所以与相互独立，C对， 对于D：由，可得， 所以，D错， 故选：BC 39．（多选）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A． B．事件与事件相互独立 C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意得可知，，是两两互斥的事件， ，，， ，故A正确； ， ，故事件与事件B不独立，故B错误，D正确； ，故C正确； 故选：ACD. 40．（多选）若一个样本空间所包含的样本点个数是有限的，其中事件与相互独立，与互斥，且，则下列正确的选项有（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 【答案】BCD 【详解】对于A，由与相互独立，得， 则，A错误； 对于B，由与互斥，得，则， ，因此，B正确； 对于C，，由与互斥，得发生则一定不发生， 则，，因此，C正确； 对于D，，即，由， 得，则，与互斥，D正确. 故选：BCD 41．某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立． (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元，求8局后比赛终止且棋手获奖万元的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第8局以分比赛终止，说明前7局中有负胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第8局以分比赛终止，说明前7局中有负胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“8局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率为 42．甲､乙两位同学进行轮流投篮比赛，为了增加趣味性，设计了如下方案：若投中，自己得1分，对方得0分；若投不中，自己得0分，对方得1分.已知甲投篮投中的概率为，乙投篮投中的概率为.由甲先投篮，无论谁投篮，每投一次为一轮比赛，规定当一人比另一人多2分或进行完5轮投篮后，活动结束，得分多的一人获胜，且两人投篮投中与否相互独立. (1)在结束时甲获胜的条件下，求甲比乙多2分的概率. (2)已知在改变比赛规则的条件下，乙获胜的概率大于在原规则的条件下乙获胜的概率.设事件“改变比赛规则”，事件“乙获胜”，已知，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）记甲投中为事件，乙投中为事件，设结束时甲获胜为事件，即2轮结束或4轮结束或5轮结束，即甲与乙的比分为或或结束比赛. 若甲与乙的比分为，则； 若甲与乙的比分为，则 若甲与乙的比分为，则 . 所以. 设结束时甲比乙多2分为事件，则， 所以， 即在结束时甲获胜的条件下，甲比乙多2分的概率为 （2）因为在改变比赛规则的条件下，乙获胜的概率大于在原规则的条件下乙获胜的概率， 所以，即. 因为，所以. 因为， 所以， 即得， 所以 即. 又因为， 所以. 因为， 所以，即得证. $$猜想03 条件概率、全概率公式及事件的独立性 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 条件概率的计算 · 题型二 条件概率的性质 · 题型三 全概率公式及其应用 · 题型四 贝叶斯公式及其应用 · 题型五 马尔科夫链 · 题型六 相互独立的判断 · 题型七 独立事件的概率计算 · 题型八 独立事件与条件概率的综合 题型一 条件概率的计算 1．为了把田园餐厅打造成“味蕾的乐园”，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为1:2:2，由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有的人投票给1号菜品，教工代表中有的人投票给2号菜品，从评委团中随机选一名代表、已知他投票给1号菜品那么他是学生代表的概率为（   ） A． B． C． D． 2．学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选名不同的裁判员（一名主裁判，一名助理裁判，一名助理裁判，一名第四裁判），其中高一共个班，每个班各一名体育委员，共个女生，个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 4．在一场三局两胜制的羽毛球比赛中，每一局甲获胜的概率为0.6，且每局比赛结果互不影响，已知甲获胜，则最终比分为2：0的概率为 ． 5．某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，已知甲同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 . 6．（多选）某工人对某产品进行质量检测有甲、乙两套工序，且完成检测至少需要甲、乙两套工序中的一套．记事件“该工人在检测过程中使用过甲套工序”，事件“该工人在检测过程中使用过乙套工序”，事件“该工人在检测过程中使用过甲、乙两套工序”，事件“该工人在检测过程中仅使用过甲、乙两套工序中的一套”，已知，则下列说法正确的是（    ） A．与为互斥事件 B．与互为对立事件 C． D． 题型二 条件概率的性质 7．（多选）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）一次“智力测试”活动，在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，测试时从备选的10道题中随机抽出3题由甲､乙分别作答，至少答对2题者评为“智答能手”.设甲评为“智答能手”为事件A，乙评为“智答能手”为事件B，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．甲､乙至多有一人评为“智答能手”的概率为 D．甲､乙至少有一人评为“智答能手”的概率为 10．（多选）记A，B为随机事件，下列说法正确的是（    ） A．若事件A，B互斥，，，则 B．若事件A，B相互独立，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 11．已知事件A和B是互斥事件，，，，则 ． 题型三 全概率公式及其应用 12．某校选拔乒乓球队队员，选拔时选手与教练对局．若选手连胜两局则成功入选，若连负两局则落选．已知某选手每局测试中（无平局）获胜的概率为，则该选手成功入选的概率是（   ） A． B． C． D． 13．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.7，0.2，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看4只，若无残次品，则买下该箱，否则退回，则顾客买下该箱的概率为（    ） A． B． C． D． 14．（多选）某位同学参加投篮比赛，第一次投篮投中的概率为．如果他第一次投中，那么在第二次投篮中更有自信，投中的概率为．如果他第一次未投中，那么在第二次投篮中会紧张，投中的概率为．下列说法正确的是（   ） A．连续投篮两次都投中的概率为 B．连续投篮两次都未投中的概率为 C．第二次投篮投中的概率为 D．若他第二次投中，则他第一次投中的概率为 15．（多选）已知一批乒乓球出厂的次品率为，乒乓球出厂时，要求检验员不放回地抽取两次，每次抽取一个，贴上验收标签.记“第一次抽到的乒乓球检测为次品”为事件，“第二次抽到的乒乓球检测为次品”为事件，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 16．甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比是4：5：6，这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，现从三个盒子中各随机取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为 17．2025年这个寒假，国产AI助手DeepSeek在全球掀起一场科技风暴，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心.在测试DeepSeek时，如果输入问题没有语法错误DeepSeek的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，DeepSeek的回答被采纳的概率为50%.现已知输入的问题中出现语法错误的概率为10%. (1)求DeepSeek的回答被采纳的概率； (2)现已知DeepSeek的回答被采纳，求该问题的输入语法没有错误的概率. 题型四 贝叶斯公式及其应用 18．l8世纪英国数学数理统计学家托马斯·贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中是一组两两互斥的事件，，且，是中任意事件， ，称为事件B的全概率．现有一种医学检验方法，对患有X疾病的人化验结果呈阳性，对未患有X疾病的人化验呈阴性，我们称检测为阴性的人中患病的概率为漏诊率．现已知某地区X疾病的患病率为0.04，利用贝叶斯公式，则这种医学检验方法在该地区的漏诊率大约为（   ） A．0.001 B．0.002 C．0.003 D．0.004 19．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 20．（多选）某商场在五一节开展促销抽奖活动，用编号分别为的三个箱子装了一定数量的红球和白球，总数之比为，三个箱子中白球所占的比例分别为，，，顾客从这三个箱子中任意摸取1球，取到红球获奖．记事件“此球来自编号为的箱子”，事件“顾客获奖”，则（    ） A． B． C． D． 21．假设一架坠毁的飞机掉在三个可能区域中的任何一个是等可能的．如果飞机坠落在区域i中，则由于地理环境的影响，经过快速检查后发现其残骸的概率为，，． (1)求快速检查三个区域后发现这架坠毁飞机残骸的概率； (2)现快速检查区域1，2之后未发现残骸，求飞机坠落在区域3的条件概率． 题型五 马尔科夫链 22．甲乙两人分别掷两枚骰子，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着掷．第一次掷由甲开始，设第次由甲掷的概率为，则与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 23．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，⋯次状态无关.现有，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（    ） A． B． C． D． 24．中国农业大学被网评为“京城高校第一食堂”，“食堂届的天花板”仅东区食堂就有六个，大一新生每天在“公寓食堂”、“风味餐厅”、“清真食堂”三个方向艰难选择，某同学决定从“公寓食堂”开始就餐，下一次就餐再等可能地随机选择另外2个食堂中的1个，如此不停地品尝各个食堂的美食，记第次就餐去“公寓食堂”的概率为，第次就餐去“风味餐厅”的概率为，显然，．下列判断正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 25．ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”． (1)证明：； (2)若，，求和． 26．某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值，并探究数列的通项公式； (2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 题型六 相互独立的判断 27．有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（    ） A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立 C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立 28．（多选）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是3”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与独立 29．（多选）先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，设事件“”，事件“”，事件“为奇数”，则（    ） A． B． C．与相互独立 D．与相互独立 30．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），采用不放回简单随机抽样的方法从袋中依次摸出2个球．设事件“摸到的2个球颜色不相同”，事件“摸到的2个球的数字之和大于5”． (1)用集合的形式写出试验的样本空间，并求，； (2)求，并说明事件与是否相互独立． 题型七 独立事件的概率计算 31．甲､乙两人向同一飞碟射击，设击中的概率分别为，若只有1人击中，则飞碟被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞碟被击落的概率为0.6，那么飞碟被击落的概率为 . 32．甲、乙二人共同参与一场比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得200元奖金. 已知甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同.已知.当甲连赢两局，乙一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛.现将200元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则甲应该分得 元. 33．在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示.假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是 . 34．某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立． (1)已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率； (2)求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率． 35．单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对两个得4分，只要选出错误选项的就得0分）． (1)有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为，他便随机猜写答案（2个或3个选项），求考生乙本题刚好得4分的概率； (2)现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为．丙，丁二人答题互不影响，求这道多项选择题丙丁两位考生总分刚好是6分的概率． 36．多项选择题是数学考试中常见的题型，它一般从，，，四个选项中选出所有正确的答案，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（如有两个正确选项的每选对一个得3分，三个正确选项的每选对一个得2分），有选错的得0分． (1)考生甲有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择一个或两个或三个选项，求他本题至少得2分的概率； (2)现有2道两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的根率为，得3分的概率为；每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙，丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙丙两位考生总分刚好得18分的概率． 题型八 独立事件与条件概率的综合 37．（多选）甲袋中有红球，白球各3个，乙袋中有红球，白球，黑球各2个.先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球.事件表示从甲袋中取出的球是红球，事件表示从乙袋中取出的球白球，事件表示从乙袋中取出的球是黑球，则（    ） A． B． C．，相互独立 D．，相互独立 38．（多选）已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若，则与相互独立 D．若，则 39．（多选）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A． B．事件与事件相互独立 C． D． 40．（多选）若一个样本空间所包含的样本点个数是有限的，其中事件与相互独立，与互斥，且，则下列正确的选项有（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 41．某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立． (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元，求8局后比赛终止且棋手获奖万元的概率． 42．甲､乙两位同学进行轮流投篮比赛，为了增加趣味性，设计了如下方案：若投中，自己得1分，对方得0分；若投不中，自己得0分，对方得1分.已知甲投篮投中的概率为，乙投篮投中的概率为.由甲先投篮，无论谁投篮，每投一次为一轮比赛，规定当一人比另一人多2分或进行完5轮投篮后，活动结束，得分多的一人获胜，且两人投篮投中与否相互独立. (1)在结束时甲获胜的条件下，求甲比乙多2分的概率. (2)已知在改变比赛规则的条件下，乙获胜的概率大于在原规则的条件下乙获胜的概率.设事件“改变比赛规则”，事件“乙获胜”，已知，证明：. $$