猜想04 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布的应用（考题猜想，9大题型）（期末复习专项训练）高二数学下学期人教B版

猜想04 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布的应用 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 两点分布问题 · 题型二 二项分布的均值与方差 · 题型三 二项分布的分布列 · 题型四 二项分布中的概率最值问题 · 题型五 超几何分布的概率、分布列 · 题型六 二项分布、超几何分布的综合 · 题型七 正态分布的概率计算 · 题型八 正态分布的性质应用 · 题型九 正态分布与其他分布的综合 题型一 两点分布问题 1．已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 2．已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．设随机变量服从两点分布，若，则 ， . 4．随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中： ①； ②； ③； ④. 正确结论的序号有 ． 题型二 二项分布的均值与方差 5．已知随机变量，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知随机变量， 且 ，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 7．某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮次，每罚进一球记分，不进记分，已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为（    ） A． B． C． D． 8．某同学在无人防守时的三分球命中率为0.6，每次投篮是否投中相互独立，若他在三分线外连续投篮10次，每投中一次得三分，记其最后得分为，则 . 9．某学生在上学 路上要经过4人路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是2分钟，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的期望为 ，方差为 . 10．为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，且满足，每局之间相互独立.记甲､乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（    ） A．17 B．22 C．27 D．32 题型三 二项分布的分布列 11．一枪手进行射击训练，共射击6次，每次命中概率相同，且每次射击相互独立，总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同，则其命中的概率为 . 12．在压力日益增大的当下，越来越多的人每日的休息时间无法满足缓解压力的需要．某研究小组随机调查了某地工作人员每日的休息时间，其中一周内（含周末）个人平均休息时长如下表所示，实际数据处理及分析中，认为工作日与周休日无差异： 休息时长/小时 5.75~6.25     6.25~6.75 6.75~7.25     7.25~7.75 7.75～8.25     8.25~8.75 人数 5 12 28 36 17 2 (1)估计该地内所有工作人员的平均休息时长（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)在被调查的100名工作人员中，有40人表示“近期内压力过大”．利用相应的统计学知识，设在该地的所有工作人员随机调查3人，合理估计表示“近期内压力过大”的人数为，求的分布列和期望． 13．甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．假设每局比赛结果互不影响． (1)求比赛进行四局且甲获胜的概率： (2)比赛结束时、甲、乙共进行了局比赛，求的分布列和期望． 14．D公司开发了两款AI图像检测模型（分别记为甲模型、乙模型），用于检测图像中的特定目标.已知甲模型在单张图像中检测到目标的概率为，乙模型在单张图像中检测到目标的概率为.假设每张图像在同一模型中的检测结果相互独立，现用甲、乙模型分别独立地检测3张图像，记甲模型检测到目标的图像张数为X，乙模型检测到目标的图像张数为Y. (1)写出随机变量X的分布列、均值及方差. (2)求事件“”的概率. 15．甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得-10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得分的分布列与数学期望； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 16．某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分．学生甲在两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 30 20 得分 40 30 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立． (1)试分别估计甲在区，区投篮命中的概率； (2)若甲在区投3个球，在区投2个球， （ⅰ）记甲在区投篮得分为，求的分布列及期望； （ⅱ）求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； (3)若甲在区，区一共投篮5次，投篮得分的期望值不低于7分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明） 17．五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文筛选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为，且各老师的审核互不影响． (1)已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率； (2)从投稿的征文中抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布列和数学期望． 题型四 二项分布中的概率最值问题 18．若随机变量服从二项分布，当且取得最大值时，则 ． 19．（多选）若随机变量，记为恰好发生k次（）的概率，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．当或6时，取得最大值 20．19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.若随机变量具有数学期望，方差，则切比雪夫定理可以概括为:对任意正数，不等式成立.已知在某通信设备中，信号是由密文“”和“”组成的序列，现连续发射信号次，记发射信号“”的次数为. (1)若每次发射信号“”和“”的可能性是相等的， ①当时，求； ②为了至少有的把握使发射信号“”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值； (2)若每次发射信号“”和“”的可能性是，已知在2024次发射中，信号“”发射次的概率最大，求的值. 21．某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图： (1)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望； (2)以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取且名学生，求证：当时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大. 22．中国哈尔滨冰雪大世界是由哈尔滨市政府为迎接千年庆典神州世纪游活动，凭借哈尔滨的冰雪时节优势，而推出的大型冰雪艺术精品工程，展示了北方名城哈尔滨冰雪文化和冰雪旅游的魅力．“南方小土豆”勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的追捧．某新闻媒体机构随机调查男、女性游客各100名，统计结果如下表所示： 男性游客 女性游客 合计 喜欢滑雪 60 35 95 不喜欢滑雪 40 65 105 合计 100 100 200 (1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关？ (2)冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个基本滑雪动作（起步、滑行、转弯、制动）进行指导．根据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，，，，且四个基本滑雪动作是否达到优秀相互独立．若这四个基本滑雪动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号． （ⅰ）求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率； （ⅱ）现有一个旅游团去哈尔滨冰雪大世界游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为滑雪初学者，每个人滑雪身体条件相当，令为荣获“优秀学员”称号的人数，求的数学期望，并求这30人中多少人荣获“优秀学员”称号的概率最大． 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 23．随着社会经济的发展和人们生活水平的提高，人们越来越重视生活品质，不少人渴望逃离城市的喧嚣，亲近大自然，体验乡村生活，享受阳光、空气和美景，乡村旅游的兴起正好满足了这一需求．为了了解中国乡村旅游游客群体的年龄分布，某传媒公司随机调查了300名中国乡村旅游者，统计他们的年龄（单位：岁），按照，，，，分组，得到如下频数分布表： 年龄分组 人数 20 120 100 40 20 (1)采用分层随机抽样法，从上面5组中国乡村旅游者中随机抽取n个人，且抽取的年龄在内的人比年龄在内的人多3人．若从这n个人中再随机列抽取4人，记抽到的年龄在内的人数为，抽到的年龄在内的人数为．设，求X的分布列与期望． (2)根据数据显示，中国乡村旅游的主力军是年龄在内的人．若把样本中乡村旅游者年龄在内的频率作为中国所有乡村旅游者年龄在内的概率，则从中国乡村旅游者中随机抽取20人，年龄在内的最有可能抽到多少人？ 题型五 超几何分布的概率、分布列 24．袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且，则Y的数学期望（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 25．某班有团员男生5名、女生3名，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则 . 26．已知圆周率，用四舍五入法把精确到的近似值分别为，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数为，则 . 27．为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 28．某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元．设一次抽奖随机取出的红球的个数为X． (1)求随机变量X的分布列，期望； (2)若参与一次需要花费60元，设每次抽奖的收益为Y元，求随机变量Y的分布列和期望． 29．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. 30．某超市举办有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有个红球，个白球的甲箱和装有个红球，个白球的乙箱中，各随机摸出个球，若都是红球，则可获得现金元；若只有个红球，则可获得现金元；若没有红球，则不获奖.球的大小重量完全相同，每次抽奖后都将球放回且搅拌均匀. (1)若某顾客有次抽奖机会，求该顾客获得现金元或元的概率； (2)若某顾客有次抽奖机会，求该顾客在次抽奖中一共获得现金元的概率. 题型六 二项分布、超几何分布的综合 31．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球；进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望方差分别为，；试验二：逐个有放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望和方差分别为，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．变量分布列是， 32．（多选）小明参加某次测试，已知试题分单选题和多选题两类．每道单选题选对得8分，选错得0分；每道多选题全部选对得12分，部分选对的或有选错的得0分．电脑题库中每一组题都有12道，其中单选题有7道，多选题有5道．小明抽中一组题后，电脑会从12道题中随机抽取10道让小明作答．已知小明每道单选题选对的概率均为，每道多选题全部选对的概率均为，且每道试题回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是（    ）． A．小明作答的试题中有且仅有4道多选题的概率为 B．在小明作答的试题中至少有6道单选题的条件下，试题恰有7道单选题、3道多选题的概率为 C．当小明作答的试题中有且仅有5道多选题时，其多选题总得分的期望为18 D．当小明作答的试题中有且仅有道多选题时，其单选题总得分的期望为 33．（多选）已知袋中有除颜色外其他都相同的小球9个，其中黑球6个，红球3个，从中摸4个球，方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为.下列说法中，正确的有（    ） A． B．，其中 C． D． 34．已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球． (1)求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差； (2)求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望． 35．贵妃芒，又名红金龙，是产于海南的一种芒果.该芒果按照等级可分为四类：等级､等级､等级和等级.某采购商打算订购一批该芒果销往省外，并从采购的这批芒果中随机抽取100箱，利用芒果的等级分类标准得到的数据如下表（将样本频率作为概率）： 等级 箱数 40 30 20 10 (1)从这100箱芒果中有放回地随机抽取4箱，记这4箱中等级的箱数为，求概率以及的方差； (2)利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考.方案一：不分等级出售，价格为30元/箱；方案二：分等级出售，芒果价格如下表， 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？ 等级 价格/（元/箱） 38 32 26 16 (3)用分层抽样的方法从这100箱芒果中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，用X表示抽取的B等级的箱数，请写出X的分布列. 36．推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．某社区开展有关垃圾分类的知识测试．已知测试中有A，B两组题，每组都有4道题目，甲对A组其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道题做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．甲对B组每道题做对的概率为0.6，甲可以选择从A组中任选2道题或从B组中任选2道题． (1)若甲选择从A组中任选2道题，设X表示甲答对题目的个数，求X的分布列和期望； (2)以答对题目数量的期望为依据，判断甲应该选择哪组题答题． 题型七 正态分布的概率计算 37．为了解教育改革制度出台后学生每周的段炼时长情况，从某市中小学抽取样本，经分析得到改革后学生每周的锻炼时长（单位：小时）近似服从正态分布，若，则（   ） A． B． C． D． 38．（多选）已知袋装食盐标准质量为400g，设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量X，Y，且，，则（   ） A． B． C． D． 39．（多选）某地区数学考试成绩数据分析，男生成绩X服从正态分布，女生成绩Y服从正态分布，其中男生数等于女生数，则（   ） A．男生成绩的平均分约为72分 B．男生的成绩比女生更为集中 C．80分以上的学生中，男生数约等于女生数 D．低于56分的学生中，女生数多于男生数 40．（多选）若随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 41．（多选）已知随机变量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．随机变量的密度曲线比随机变量的密度曲线更“瘦高” D． 42．在一次高二数学联考中，某校数学成绩X近似服从正态分布．已知，则从该校高二学生中任选一名学生，其数学成绩为120分以上的概率为 ． 题型八 正态分布的性质应用 43．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的正态曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 44．已知随机变量，且，则的最小值为 ． 45．已知随机变量X服从正态分布且，则下列选项中一定正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． （多选）46．（多选）某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A． B． C． D． 47．（多选）随机变量服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（   ） A． B．是增函数 C．是偶函数 D．的图象关于点中心对称 48．（多选）已知随机变是服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在上是增函数 D． 题型九 正态分布与其他分布的综合 49．已知，则.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间.若，试以使得最大的值作为的估计值，则为（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 50．（多选）在生物制药行业，药品的有效成分含量（单位：毫克/毫升）直接关系到药品的疗效．经过对生产的药品进行检测分析，某款药品的有效成分含量服从正态分布，已知．为了控制药品质量，从一批生产的药品中随机抽取3盒，记有效成分含量在区间的药品盒数为，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 51．（多选）已知上海某公司某种产品质量X服从正态分布，当产品质量在内时，产品为特级品，，随机从该公司生产的该种产品中随机抽取5件产品，这5件产品中特等品件数为Y，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．该公司该产品的特等品率为0.2 52．为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 53．某区域为了更好地了解某行业一线工作人员工作强度，以便为岗位调优或社会招员提供参考，特从该行业一线工作人员中随机抽取了100名，计100名一线工作人员工作强度指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格： 工作强度指数 人数 10 81 9 名称 无压力工作者 轻压力工作者 重压力工作者 (1)称为在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取1名工作人员，记事件为“该工作人员为有压力工作者（轻压力工作者和重压力工作者统称为有压力工作者）”，事件为“该工作人员为重压力工作者”，求事件发生的条件下事件发生的似然比； (2)若该区域所有某行业一线工作人员工作强度指数近似服从正态分布，且． ①若落在和落在内的概率相等，求的值； ②若从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数为，求的概率分布列及数学期望． 54．某地为推动乡村振兴，推广红富士苹果种植，经品种改良，果农的收入显著提高．为了解改良效果，工作人员从该地区的1000棵果树中抽取20棵测量果实平均直径（单位：cm），得到数据如下： 8.41  8.65  8.23  8.41  8.36  8.53  8.46  8.35  8.42  8.39 8.17  8.49  8.42  8.38  8.42  8.41  8.55  8.29  8.42  8.44 根据经验，果实的平均直径服从正态分布，以样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．为进一步提升红富土苹果质量，需要单独研究果实较小的果树，专家建议在每棵果树中抽取个测量果实直径，如果出现果实直径小于8.08cm的果实，则认为该果树果实较小，需要单独研究，经计算得，，若出现果实直径小于8.08cm的果实的概率为0.005，试估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数． 附：． $$猜想04 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布的应用 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 两点分布问题 · 题型二 二项分布的均值与方差 · 题型三 二项分布的分布列 · 题型四 二项分布中的概率最值问题 · 题型五 超几何分布的概率、分布列 · 题型六 二项分布、超几何分布的综合 · 题型七 正态分布的概率计算 · 题型八 正态分布的性质应用 · 题型九 正态分布与其他分布的综合 题型一 两点分布问题 1．已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以. . 整理得，解得，. 当时，，； 当时，，故不合题意. 综上，可得. 故选：A. 2．已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为随机变量X，Y均服从两点分布，且，， 所以，， 所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：A. 3．设随机变量服从两点分布，若，则 ， . 【答案】 0.6/ 0.6/ 【详解】随机变量服从两点分布，， 根据两点分布概率性质可知：， 解得，所以. 故答案为：0.6；0.6. 4．随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中： ①； ②； ③； ④. 正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【详解】因为随机变量服从两点分布，，所以， 故， 因此，， ， 所以正确的是①②④． 故答案为：①②④． 题型二 二项分布的均值与方差 5．已知随机变量，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为随机变量服从二项分布，， 所以. 因为，所以. 求得，. 对于选项A： ，所以选项A错误. 对于选项B： 由前面求得，所以B错误. 对于选项C： 由前面求得，所以C错误. 对于选项D： 因为随机变量，所以，所以D正确. 故选：D. 6．已知随机变量， 且 ，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，解得，故A不符合题意； 对于B，，故B不符合题意； 对于C，，故C符合题意； 对于D，由均值的性质可知，，故D不符合题意. 故选：C. 7．某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮次，每罚进一球记分，不进记分，已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记该同学罚球命中的次数为，则，， 该同学得分的数学期望为. 故选：D. 8．某同学在无人防守时的三分球命中率为0.6，每次投篮是否投中相互独立，若他在三分线外连续投篮10次，每投中一次得三分，记其最后得分为，则 . 【答案】18 【详解】设投篮投中的次数为Y，，由题意，. 故答案为：18. 9．某学生在上学 路上要经过4人路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是2分钟，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的期望为 ，方差为 . 【答案】 【详解】设变量为这名学生在上学路上因遇到红灯的次数，则， 由题意， 所以，， 所以，， 故答案为： 10．为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，且满足，每局之间相互独立.记甲､乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（    ） A．17 B．22 C．27 D．32 【答案】C 【详解】由题可知：甲乙两人每轮训练通过的概率为：. 因为，，，所以由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立. 所以，当，即时取得最大值. 又甲、乙在轮训练中训练过关的轮数服从二项分布，则期望为，结合，可得. 故选：C. 题型三 二项分布的分布列 11．一枪手进行射击训练，共射击6次，每次命中概率相同，且每次射击相互独立，总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同，则其命中的概率为 . 【答案】 【详解】设枪手命中的概率为p，因总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同， 则， 因，化简得：，解得. 故答案为：. 12．在压力日益增大的当下，越来越多的人每日的休息时间无法满足缓解压力的需要．某研究小组随机调查了某地工作人员每日的休息时间，其中一周内（含周末）个人平均休息时长如下表所示，实际数据处理及分析中，认为工作日与周休日无差异： 休息时长/小时 5.75~6.25     6.25~6.75 6.75~7.25     7.25~7.75 7.75～8.25     8.25~8.75 人数 5 12 28 36 17 2 (1)估计该地内所有工作人员的平均休息时长（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)在被调查的100名工作人员中，有40人表示“近期内压力过大”．利用相应的统计学知识，设在该地的所有工作人员随机调查3人，合理估计表示“近期内压力过大”的人数为，求的分布列和期望． 【答案】(1)7.27小时； (2)分布列见解析，数学期望为. 【详解】（1）记这100名工作人员平均每天的睡眠时长为小时， 则（小时）， 故估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长为7.27小时. （2）被调查的100名工作人员中有40名表示“近期压力过大”， 则表示“近期压力过大”的频率为， 由频率估计概率，在该地的所有工作人员中随机调查1名工作人员，表示“近期压力过大”的概率为，故， 则，， 则，， 故其分布列如下表所示： 0 1 2 3 故期望. 13．甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．假设每局比赛结果互不影响． (1)求比赛进行四局且甲获胜的概率： (2)比赛结束时、甲、乙共进行了局比赛，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【详解】（1）由题意可知前三局中，甲获胜两局，乙获胜一局，第四局甲获胜， 则所求概率 （2）由题意可知的所有可能取值分别是3，4，5． 则的分布列为 3 4 5 故． 14．D公司开发了两款AI图像检测模型（分别记为甲模型、乙模型），用于检测图像中的特定目标.已知甲模型在单张图像中检测到目标的概率为，乙模型在单张图像中检测到目标的概率为.假设每张图像在同一模型中的检测结果相互独立，现用甲、乙模型分别独立地检测3张图像，记甲模型检测到目标的图像张数为X，乙模型检测到目标的图像张数为Y. (1)写出随机变量X的分布列、均值及方差. (2)求事件“”的概率. 【答案】(1)分布列见解析，，. (2) 【详解】（1）由题可知随机变量服从二项分布：， ，， ，， 所以随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 均值为，； （2）由题可知“”的情况可分为四类： ①时，， ②时，， ③时，， ④时，， 所以. 15．甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得-10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得分的分布列与数学期望； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）在一局比赛中，甲得分的可能取值为，，10. 表示甲答错且乙答对的情况.根据独立事件的概率乘法公式，可得. 包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错. 甲、乙都答对的概率为，甲、乙都答错的概率为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得. 表示甲答对且乙答错的情况.根据独立事件概率乘法公式，可得.   的分布列为： 10 则的数学期望为：. （2）因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以. 则 ， .   的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望为：. （3）甲最终获胜有以下四种情况： ① 三局都得10分，其概率为 ② 两局得10分，一局得分，其概率为 ③ 两局得10分，一局得分，其概率为 ④ 一局得10分，两局得分，其概率为.   综上可得，甲最终获胜的概率为. 16．某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分．学生甲在两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 30 20 得分 40 30 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立． (1)试分别估计甲在区，区投篮命中的概率； (2)若甲在区投3个球，在区投2个球， （ⅰ）记甲在区投篮得分为，求的分布列及期望； （ⅱ）求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； (3)若甲在区，区一共投篮5次，投篮得分的期望值不低于7分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明） 【答案】(1)甲在区进球的概率估计为，在区投篮进球的概率估计为． (2)（ⅰ）分布列见解析，4；（ⅱ） (3)3次． 【详解】（1）甲在区投篮30次，投进20次，所以估计甲在区投篮进球的概率为， 甲在区投篮30次，投进15次，所以估计甲在区投篮进球的概率为. （2）据题意，甲在区进球的概率估计为，在区投篮进球的概率估计为． （ⅰ）所有可能的取值为， ，， ，， 的分布列为 0 2 4 6 的数学期望. （ⅱ）设事件为“甲在区投篮得分高于在区投篮得分” 甲在区投3个球，得分可能是，在区投2个球，得分可能是． 则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有： 区2分区0分，概率估计为， 区4分区0分，概率估计为， 区4分区3分，概率估计为， 区6分区0分，概率估计为， 区6分区3分，概率估计为， 则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率估计为 （3）甲在A区投篮一次得分的期望为：， 甲在B区投篮一次得分的期望为：， 设甲在A区投篮此，则在B区投篮次， 则总的期望值，解得， 所以甲选择在区投篮的次数最多是3次. 17．五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文筛选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为，且各老师的审核互不影响． (1)已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率； (2)从投稿的征文中抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【详解】（1）设事件老师审核通过，事件老师审核通过，事件老师审核通过， 事件征文通过筛选，事件征文经过复审，则， ， ，因此， 所以它经过了复审的概率为. （2）依题意，的可能取值为，显然， 则 ，， 所以的分布列如下： X 0 1 2 3 4 数学期望为. 题型四 二项分布中的概率最值问题 18．若随机变量服从二项分布，当且取得最大值时，则 ． 【答案】10 【详解】 ， 当时，． 显然当时，取得最大值． 故答案为：10 19．（多选）若随机变量，记为恰好发生k次（）的概率，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．当或6时，取得最大值 【答案】ABC 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，， 即，故B正确； 对于C，， ， ，两边求导数， ， 令，得， ，故C正确； 对于D，设最大，则，得， 即当时，取得最大值，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是C选项，需利用导数求系数的和. 20．19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.若随机变量具有数学期望，方差，则切比雪夫定理可以概括为:对任意正数，不等式成立.已知在某通信设备中，信号是由密文“”和“”组成的序列，现连续发射信号次，记发射信号“”的次数为. (1)若每次发射信号“”和“”的可能性是相等的， ①当时，求； ②为了至少有的把握使发射信号“”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值； (2)若每次发射信号“”和“”的可能性是，已知在2024次发射中，信号“”发射次的概率最大，求的值. 【答案】(1)①；②1250次； (2) 【详解】（1）①由题意， 所以. ； ②由题意，则，， 若，则， 所以， 又，解得，即发射次数至少为次. （2）依题意， 则， ， ，解得， ，解得， 又，所以当时，最大. 21．某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图： (1)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望； (2)以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取且名学生，求证：当时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大. 【答案】(1)分布列见解析， (2)证明见解析 【详解】（1）因为体育活动时间位于和的频率分别为0.28和0.2， 所以抽取的12名学生中位于的有人， 位于的有人， 所以随机变量所有可能取值为，且服从超几何分布， 故， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. （2）由频率分布直方图可知，每天的运动时间不低于40分钟的频率为： . 设“抽取的名学生中每天的运动时间不低于40分钟的人数”为，则， ， 设， 则当“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大时， 有， 即， 化简得，解得， 因为且，所以时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大. 22．中国哈尔滨冰雪大世界是由哈尔滨市政府为迎接千年庆典神州世纪游活动，凭借哈尔滨的冰雪时节优势，而推出的大型冰雪艺术精品工程，展示了北方名城哈尔滨冰雪文化和冰雪旅游的魅力．“南方小土豆”勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的追捧．某新闻媒体机构随机调查男、女性游客各100名，统计结果如下表所示： 男性游客 女性游客 合计 喜欢滑雪 60 35 95 不喜欢滑雪 40 65 105 合计 100 100 200 (1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关？ (2)冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个基本滑雪动作（起步、滑行、转弯、制动）进行指导．根据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，，，，且四个基本滑雪动作是否达到优秀相互独立．若这四个基本滑雪动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号． （ⅰ）求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率； （ⅱ）现有一个旅游团去哈尔滨冰雪大世界游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为滑雪初学者，每个人滑雪身体条件相当，令为荣获“优秀学员”称号的人数，求的数学期望，并求这30人中多少人荣获“优秀学员”称号的概率最大． 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)可以认为游客是否喜欢滑雪与性别有关 (2)（ⅰ）；（ⅱ），9人 【详解】（1）零假设为：游客是否喜欢滑雪与性别无关联． 由题可得． 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即可以认为游客是否喜欢滑雪与性别有关． （2）（ⅰ）令事件分别表示起步、滑行、转弯、制动达到优秀， 令滑雪初学者荣获“优秀学员”称号为事件，则事件之间相互独立， 事件包含四个基本滑雪动作均达到优秀和四个基本滑雪动作中有三个达到优秀， 所以滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率是． （ⅱ）由题意知，， 因此，． 设有人荣获“优秀学员”称号的概率最大， 则，解得． 因为，所以， 故9人荣获“优秀学员”称号的概率最大． 23．随着社会经济的发展和人们生活水平的提高，人们越来越重视生活品质，不少人渴望逃离城市的喧嚣，亲近大自然，体验乡村生活，享受阳光、空气和美景，乡村旅游的兴起正好满足了这一需求．为了了解中国乡村旅游游客群体的年龄分布，某传媒公司随机调查了300名中国乡村旅游者，统计他们的年龄（单位：岁），按照，，，，分组，得到如下频数分布表： 年龄分组 人数 20 120 100 40 20 (1)采用分层随机抽样法，从上面5组中国乡村旅游者中随机抽取n个人，且抽取的年龄在内的人比年龄在内的人多3人．若从这n个人中再随机列抽取4人，记抽到的年龄在内的人数为，抽到的年龄在内的人数为．设，求X的分布列与期望． (2)根据数据显示，中国乡村旅游的主力军是年龄在内的人．若把样本中乡村旅游者年龄在内的频率作为中国所有乡村旅游者年龄在内的概率，则从中国乡村旅游者中随机抽取20人，年龄在内的最有可能抽到多少人？ 【答案】(1)分布列见解析，； (2)15人． 【详解】（1）由题意，得，解得． 这15人中，年龄在内的有（人），年龄在内的有（人）， 则X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以， ， ， ， ， 则X的分布为 X 0 1 2 3 4 P 所以． （2）样本中年龄在内的频率为． 从中国乡村旅游者中随机抽取20人，设抽取到的乡村旅游者年龄在内的人数为Y，则． 所以． 由于， 故当时，，，则． 当时，，，则． 所以当时，最大，即从中国乡村旅游者中随机抽取20人，年龄在内的最有可能抽到15人． 题型五 超几何分布的概率、分布列 24．袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且，则Y的数学期望（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【详解】X的可能取值为0,1,2,3， ，，， ， 则， 所以． 故选：C 25．某班有团员男生5名、女生3名，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则 . 【答案】 【详解】根据超几何分布的概率公式，本题中， 将数值代入可得： . 故答案为：. 26．已知圆周率，用四舍五入法把精确到的近似值分别为，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数为，则 . 【答案】/ 【详解】由已知可得，. 所以，. 所以，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数可能为0，1，2， 显然服从超几何分布， 所以，，， 所以，， . 故答案为：. 27．为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【详解】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法， 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法， 则； （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望为. 28．某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元．设一次抽奖随机取出的红球的个数为X． (1)求随机变量X的分布列，期望； (2)若参与一次需要花费60元，设每次抽奖的收益为Y元，求随机变量Y的分布列和期望． 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析； 【详解】（1）根据题意，可以为：0,1,2 且，，. 所以的分布列为： 1 2 所以. （2）根据题意，，则的值可以为：，，. 结合（1），可得的分布列为： 所以. 29．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【详解】（1）由题意得，随机变量X可取的值为2，3，4， 易知，，， 则随机变量X的分布列如下： X 2 3 4 P （2）由（1）可知，参与者每轮得2分，3分，4分的概率依次为，，， 记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为， 若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得3分，则； 若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，有“”，“”的情形， 则； 若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为9分，有“”，“”的情形， 则. 记“甲能够领取纪念品”为事件A， 则. 30．某超市举办有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有个红球，个白球的甲箱和装有个红球，个白球的乙箱中，各随机摸出个球，若都是红球，则可获得现金元；若只有个红球，则可获得现金元；若没有红球，则不获奖.球的大小重量完全相同，每次抽奖后都将球放回且搅拌均匀. (1)若某顾客有次抽奖机会，求该顾客获得现金元或元的概率； (2)若某顾客有次抽奖机会，求该顾客在次抽奖中一共获得现金元的概率. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设“该顾客获得现金元或元”，为顾客抽一次奖所获奖金， 则，， 所以. 所以该顾客获得现金元或元的概率为. （2）设“该顾客在两次抽奖中一共获得现金元”， 由（1）知，，， 所以. 所以该顾客在次抽奖中一共获得现金元的概率. 题型六 二项分布、超几何分布的综合 31．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球；进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望方差分别为，；试验二：逐个有放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望和方差分别为，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．变量分布列是， 【答案】B 【详解】试验一：从袋子中逐个不放回地随机摸出20个球是超几何分布模型， 记取到黄球的个数为,, 则变量分布列是，， ，. 试验二：从袋子中逐个有放回地随机摸出20个球是二项分布模型； 记取到黄球的个数为，则,则期望和方差分别为，， 对于A,试验二是二项分布模型，A正确；对于B,，B错误； 对于C,，C正确；D正确； 故选：B. 32．（多选）小明参加某次测试，已知试题分单选题和多选题两类．每道单选题选对得8分，选错得0分；每道多选题全部选对得12分，部分选对的或有选错的得0分．电脑题库中每一组题都有12道，其中单选题有7道，多选题有5道．小明抽中一组题后，电脑会从12道题中随机抽取10道让小明作答．已知小明每道单选题选对的概率均为，每道多选题全部选对的概率均为，且每道试题回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是（    ）． A．小明作答的试题中有且仅有4道多选题的概率为 B．在小明作答的试题中至少有6道单选题的条件下，试题恰有7道单选题、3道多选题的概率为 C．当小明作答的试题中有且仅有5道多选题时，其多选题总得分的期望为18 D．当小明作答的试题中有且仅有道多选题时，其单选题总得分的期望为 【答案】ABD 【详解】对于选项A，可知从7道单选题、5道多选题中随机抽取出6道单选题、4道多选题， 其概率为，故A正确； 对于选项B，所求概率为，B正确； 对于选项C，设多选题全部选对的题数为，则， 所以，故多选题总得分的期望为，故C错误； 对于选项D，设单选题选对的题数为X， 因为单选题的题数为，所以，所以， 故单选题总得分的期望为，故D正确． 故选：ABD． 33．（多选）已知袋中有除颜色外其他都相同的小球9个，其中黑球6个，红球3个，从中摸4个球，方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为.下列说法中，正确的有（    ） A． B．，其中 C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A，方案一中，有放回地摸球，每次摸取到红球的概率为， 摸次球，则取得红球个数， 所以，故选项A正确. 选项B，方案一中，，. 方案二中，不放回地摸球，取得红球个数服从超几何分布，，，， 则，. 当时，，， 所以，故选项B错误. 选项C，，，所以，故选项C正确. 选项D，， . 可得，即，故选项D正确. 故选：ACD. 34．已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球． (1)求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差； (2)求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望． 【答案】(1)分布列见解析， (2)分布列见解析， 【详解】（1）有放回抽样时，取到白球的次数X可能的取值为0，1，2，3． 每次抽到白球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则， 所以，， ，， 则X分布列为： X 0 1 2 3 P 则 （2）不放回抽样时，则 ，，， 则Y的分布列为： Y 0 1 2 P 则 35．贵妃芒，又名红金龙，是产于海南的一种芒果.该芒果按照等级可分为四类：等级､等级､等级和等级.某采购商打算订购一批该芒果销往省外，并从采购的这批芒果中随机抽取100箱，利用芒果的等级分类标准得到的数据如下表（将样本频率作为概率）： 等级 箱数 40 30 20 10 (1)从这100箱芒果中有放回地随机抽取4箱，记这4箱中等级的箱数为，求概率以及的方差； (2)利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考.方案一：不分等级出售，价格为30元/箱；方案二：分等级出售，芒果价格如下表， 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？ 等级 价格/（元/箱） 38 32 26 16 (3)用分层抽样的方法从这100箱芒果中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，用X表示抽取的B等级的箱数，请写出X的分布列. 【答案】(1)，； (2)应该采用方案一 (3)分布列见解析 【详解】（1）依题意从这100箱中随机抽取1箱是等级的概率，所以， 所以，； （2）设方案二中芒果的价格为元/箱，其分布列为： 38 32 26 16 P 则. 因为， 所以从采购商的角度考虑，应该采用方案一. （3）用分层抽样的方法从这100箱芒果中抽取10箱，其中B等级3箱，非B等级7箱，现从中抽取3箱，则X服从超几何分布，X的所有可能取值为0，1，2，3： ，，，. 故分布列： 0 1 2 3 P 36．推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．某社区开展有关垃圾分类的知识测试．已知测试中有A，B两组题，每组都有4道题目，甲对A组其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道题做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．甲对B组每道题做对的概率为0.6，甲可以选择从A组中任选2道题或从B组中任选2道题． (1)若甲选择从A组中任选2道题，设X表示甲答对题目的个数，求X的分布列和期望； (2)以答对题目数量的期望为依据，判断甲应该选择哪组题答题． 【答案】(1)分布列见详解， (2)甲应选择B组 【详解】（1）由题意可知：X的可能取值为，则有： ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 故X的期望. （2）若甲选择从B组中任选2道题，设Y表示甲答对题目的个数，则， 所以Y的期望， 因为，所以甲应选择B组. 题型七 正态分布的概率计算 37．为了解教育改革制度出台后学生每周的段炼时长情况，从某市中小学抽取样本，经分析得到改革后学生每周的锻炼时长（单位：小时）近似服从正态分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设且， 所以. 故选：A. 38．（多选）已知袋装食盐标准质量为400g，设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量X，Y，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 对于A，作出随机变量的正态分布密度曲线草图，根据对称性，选项A正确； 对于B，，选项B错误； 对于C，，选项C错误； 对于D，对于正态分布，给定是一个只与有关的定值， 则，选项D正确． 故选：AD 39．（多选）某地区数学考试成绩数据分析，男生成绩X服从正态分布，女生成绩Y服从正态分布，其中男生数等于女生数，则（   ） A．男生成绩的平均分约为72分 B．男生的成绩比女生更为集中 C．80分以上的学生中，男生数约等于女生数 D．低于56分的学生中，女生数多于男生数 【答案】AC 【详解】由题意，男生成绩X服从正态分布， 则，即男生成绩的平均分约为72分，故A正确； 女生成绩Y服从正态分布，则， 由于，所以女生的成绩比男生更为集中，故B错误； 而，， 则，则80分以上的学生中，男生数约等于女生数，故C正确； 而，， 所以，则低于56分的学生中，女生数少于男生数，故D错误. 故选：AC. 40．（多选）若随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由随机变量服从正态分布，可得， 又由随机变量服从正态分布，可得， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，由正态分布曲线的性质，得，所以C正确； 对于D中，由， 又由正态分布曲线的对称性，可得， 所以. 故选：ACD. 41．（多选）已知随机变量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．随机变量的密度曲线比随机变量的密度曲线更“瘦高” D． 【答案】AD 【详解】选项A，根据正态分布曲线的对称性，可得，故A正确； 选项B，因为，这里，那么，而不是2，故错误. 选项C，由正态分布的概率性质可知，越大，则正态分布曲线越矮胖，故C错误； 选项D，因为随机变量，所以，， 因为， 又，所以，故D正确. 故选：AD. 42．在一次高二数学联考中，某校数学成绩X近似服从正态分布．已知，则从该校高二学生中任选一名学生，其数学成绩为120分以上的概率为 ． 【答案】 【详解】易知正态分布关于90对称， 所以， 可得. 故答案为：. 题型八 正态分布的性质应用 43．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的正态曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于，随机变量服从正态分布，且， 所以随机变量的方差，故错误； 对于，根据给定的正态分布密度曲线图象，可得，， 所以，故正确； 对于，根据正态分布密度曲线图象，可得时随机变量对应的曲线与轴围成的面积小于时随机变量对应的曲线与轴围成的面积， 所以，故错误； 对于，根据正态分布密度曲线图象，可得，， 即，所以D错误. 故选：. 44．已知随机变量，且，则的最小值为 ． 【答案】8 【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为， 又因为，所以，所以． 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为8． 故答案为：8. 45．已知随机变量X服从正态分布且，则下列选项中一定正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】AC 【详解】由题设，则，A对； 由及正态分布的对称性，有，可得，B错； 由，结合对称性，则， 所以，C对； 当，有，D错. （多选）：AC 46．（多选）某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，根据正态曲线可知甲类水果的平均质量，乙类水果的平均质量，则，A正确； 对于B，根据正态曲线可知，甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，所以，B错误； 对于C，D，根据正态曲线图象知，所以，C正确，D错误； 故选：AC. 47．（多选）随机变量服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（   ） A． B．是增函数 C．是偶函数 D．的图象关于点中心对称 【答案】AD 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，当增大时，减少， 所以在上是减函数，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，若的图象关于点中心对称，则， 因为服从正态分布，所以关于对称， 所以， 则，故D正确. 故选：AD. 48．（多选）已知随机变是服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在上是增函数 D． 【答案】ACD 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，， 当时，，则， 又，所以不成立，故B错误； 对于C：，当增大时，也增大，所以在上是增函数，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：ACD. 题型九 正态分布与其他分布的综合 49．已知，则.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间.若，试以使得最大的值作为的估计值，则为（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 【答案】B 【详解】由已知可得，. 又， 所以，则， 设， 则， 所以，所以. ， 所以，所以. 所以以使得最大的值作为的估计值，则为. 故选：B 50．（多选）在生物制药行业，药品的有效成分含量（单位：毫克/毫升）直接关系到药品的疗效．经过对生产的药品进行检测分析，某款药品的有效成分含量服从正态分布，已知．为了控制药品质量，从一批生产的药品中随机抽取3盒，记有效成分含量在区间的药品盒数为，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】已知服从正态分布，则正态曲线的对称轴为直线， 因为， 所以， 那么，故选项A正确； 从一批药品中随机抽取3盒，每盒药品有效成分含量在区间的概率为0.8，且各盒之间相互独立， 所以，所以，所以，故选项B正确； 所以，则，故选项C错误； ，故选项D错误． 故选AB． 51．（多选）已知上海某公司某种产品质量X服从正态分布，当产品质量在内时，产品为特级品，，随机从该公司生产的该种产品中随机抽取5件产品，这5件产品中特等品件数为Y，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．该公司该产品的特等品率为0.2 【答案】ACD 【详解】由题知，该公司该产品的特等品率为，故D正确； 由二项分布知识知，，，故A正确； ，故C正确； ，故B错误． 故选：ACD． 52．为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)51 (2)136家 (3)98家 【详解】（1）该市被调查的化工企业的污染情况得分的平均值为． （2）由（1）知化工企业的得分情况．因为， 所以 ． 可得所求企业大约有家． （3）由（2）得， 所以每家企业得分不低于19分的概率为0.9772， 则得分不低于19分的企业数． 其中恰有家企业得分不低于19分的概率为， 令，， 可得，解得， 故在走访的100家化工企业中，分数不低于19分的企业有98家时概率最大． 53．某区域为了更好地了解某行业一线工作人员工作强度，以便为岗位调优或社会招员提供参考，特从该行业一线工作人员中随机抽取了100名，计100名一线工作人员工作强度指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格： 工作强度指数 人数 10 81 9 名称 无压力工作者 轻压力工作者 重压力工作者 (1)称为在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取1名工作人员，记事件为“该工作人员为有压力工作者（轻压力工作者和重压力工作者统称为有压力工作者）”，事件为“该工作人员为重压力工作者”，求事件发生的条件下事件发生的似然比； (2)若该区域所有某行业一线工作人员工作强度指数近似服从正态分布，且． ①若落在和落在内的概率相等，求的值； ②若从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数为，求的概率分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)①；②分布列见解析，. 【详解】（1）由题意得：，，，， 所以，， 所以. 所以事件发生的条件下事件发生的似然比为. （2）①已知，且，落在和落在内的概率相等， 根据正态分布的对称性，. ②因为，所以从一线工作者中抽1人为轻压力工作者的概率为：. 所以从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数，即： 的可能取值为： 且，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 且. 54．某地为推动乡村振兴，推广红富士苹果种植，经品种改良，果农的收入显著提高．为了解改良效果，工作人员从该地区的1000棵果树中抽取20棵测量果实平均直径（单位：cm），得到数据如下： 8.41  8.65  8.23  8.41  8.36  8.53  8.46  8.35  8.42  8.39 8.17  8.49  8.42  8.38  8.42  8.41  8.55  8.29  8.42  8.44 根据经验，果实的平均直径服从正态分布，以样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．为进一步提升红富土苹果质量，需要单独研究果实较小的果树，专家建议在每棵果树中抽取个测量果实直径，如果出现果实直径小于8.08cm的果实，则认为该果树果实较小，需要单独研究，经计算得，，若出现果实直径小于8.08cm的果实的概率为0.005，试估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数． 附：． 【答案】4000 【详解】依题意，得 ， 故果实平均直径服从正态分布， ， 抽取个果实测量直径，出现直径小于8，08cm的果实的概率为： ， 则，即， 则，所以， 因为为整数，所以， 估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数为． $$