拓展06 解三角形的实际模型问题探究5考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册）

【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 拓展06 解三角形的实际模型问题探究 5考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，解三角形的实际模型问题以现实场景为载体，将几何测量、路径规划等实际需求转化为数学问题。这类题目融合了解三角形的核心知识（正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等），要求学生从实际情境中抽象出三角形模型，通过分析边、角、面积的关系求解未知量（如距离、高度、角度等）。其核心考查学生的数学建模能力、几何直观能力和运算求解能力，体现了数学在解决实际问题中的工具性作用。 【处理角度】 1. 几何建模角度：将实际场景中的点、线、角转化为三角形的顶点、边、内角，明确已知量与未知量，构建解三角形的基本模型（如测量距离的三角形、测量高度的直角三角形等）。 2. 数据处理角度：根据题意提取角度（仰角、俯角、方位角）、距离等关键数据，分析其在三角形中的位置关系，确定使用正弦定理或余弦定理的条件。 3. 多模型联动角度：当问题涉及多个三角形时，通过公共边、共享角等建立三角形之间的联系，逐步推导求解（如通过中间量传递信息）。 【解法策略】 1. 测量距离问题 适用题型：求不可直接测量的两点间距离（如海岛间距、建筑间距等），通常已知三角形的部分边和角，需通过正弦定理或余弦定理求解。 策略分析： ①若已知两角及一边，利用三角形内角和求出第三角，再用正弦定理求其他边。 ②若已知两边及夹角，直接利用余弦定理求第三边；若已知三边，利用余弦定理求角后再进一步分析。 2. 测量高度问题 适用题型：求物体高度（如塔高、山高），常结合仰角、俯角构造直角三角形或斜三角形。 策略分析： ①若为直角三角形，直接利用锐角三角函数（正切、正弦）建立高度与水平距离的关系。 ②若为斜三角形，通过作高将其转化为两个直角三角形，或利用正弦定理、余弦定理结合角度关系求解。 3. 测量角度问题 适用题型：求方位角、视角等角度值，通常需在三角形中利用边角关系反推角度。 策略分析： ①利用正弦定理或余弦定理求出角的正弦值或余弦值，结合角的范围确定角度大小。 ②涉及多个角度时，通过三角形外角性质、内角和定理或诱导公式建立角度间的联系。 4. 几何问题 适用题型：与三角形相关的几何图形（如四边形、圆内接三角形）中的边、角、面积问题，常需结合几何性质（如圆的性质、四边形内角和）求解。 策略分析： ①利用圆的性质（如圆周角定理、弦长公式）将几何条件转化为三角形的边或角。 ②对于四边形，通过对角线将其拆分为两个三角形，分别应用解三角形方法求解。 5. 其他实际问题 适用题型：路径优化、面积最值、费用最小化等综合问题，需结合函数思想、不等式性质求解。 策略分析： ①建立目标函数（如路程、费用关于某变量的表达式），利用二次函数、三角函数或基本不等式求最值。 ②通过几何直观分析临界状态（如路径最短、视角最大），结合解三角形确定最优解。 考点1 测量距离问题 1．（2024高三·全国月考）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为（    ）    A． B．80 C．160 D． 2．（2025高一·重庆九龙坡·期中）阿蓬，土家语为“雄奇秀美”之意.阿蓬江为长江二级支流，乌江一级支流，阿蓬江国家湿地公园以河流湿地为主，跨黔江、酉阳两区县，黔江境内自古石城经官渡峡到神龟峡，还有丰富的支流水系，湿地生态系统完整，贯穿黔江境内多个A级景区，有着一江两岸秀美的湿地风光.如图为了测量湿地内A、B两点间的距离，观察者在同一平面内找到在同一条直线上的三点C、D、E，从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，，则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·湖南邵阳·期中）一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行2到达海岛C. (1)求AC的长； (2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少？ 4．（2025高三·安徽六安月考）如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（    ）      A． B． C． D． 5．（2025高一·重庆·期末）某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 6．（2025高二·贵州遵义月考）如图，一艘客船在处测得灯塔在它的南偏东方向，测得灯塔在它的南偏东方向.该客船向正东方向行驶后到达处，此时客船测得灯塔在它的南偏西方向，测得灯塔在它的南偏西方向，则灯塔与灯塔之间的距离（   ）    A． B． C． D． 7．（2025高一·湖南月考）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，若部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 考点2 测量高度问题 8．（2025高二·四川广安月考）一电线杆位于某人的正东方向上，某人在点测得电线杆顶端的仰角为，此人往电线杆方向走了10米到达点，测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为（    ）米（，忽路人的身高） A．23.66 B．24.66 C．25.66 D．26.66 9．（2025高一·江苏南京月考）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则该铁塔的高度约为（    ）（参考数据：，，，）    A．米 B．米 C．米 D．米 10．（2025高一·辽宁大连·期中）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA，NB均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离AC，BC的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中一定能唯一确定M，N之间的距离的有（    ） ①；②；③；④. A．②④ B．①③ C．③④ D．①③④ 11．（2025高一·浙江·期中）如图，2024年元宵节在浙江桐乡凤凰湖举行“放孔明灯”活动.为了测量孔明灯的高度，在地上测量了一根长为200米的基线，在点处测量这个孔明灯的仰角为，在处测量这个孔明灯的仰角为，在基线上靠近的四等分点处有一点，在处测量这个孔明灯的仰角为，则这个孔明灯的高度 . 12．（2025高一·安徽合肥·期末）2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，三点在同一水平面上的投影，满足，．由点测得点的仰角为，由点测得A点的仰角为，则的高度为 ． 13．（2025高三·四川乐山·期末）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 考点3 测量角度问题 14．（2025高一·江苏月考）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 15．（2025高二·浙江温州月考）如图，在直角中，，为上的点，为上的点，若，，，，则 ． 16．（2025高一·山东淄博·期中）在海岸A处，发现北偏东方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 小时.（注：） 17．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期中）某景区有一座山峰，山顶有一个端坐在天然石峰上的少女石像，石峰与石像的高度均为50m，游客从山底A处向山顶C处爬山，在P处观赏石像的视角为，坡长. (1)设，用表示； (2)已知在A处观赏石像的视角为，， （i）求坡度的大小； （ii）若在山腰P处建一座凉亭，使最大，求凉亭P与山底A的距离. 18．（2025高一·上海月考）如图，某公司要在 、 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长 35 米， 长 80 米. 设 、 在同一水平面上，从 、 看 的仰角分别为 、 .    (1)设计中 是铅垂方向，若要求 ， 求 的长 (结果精确到 0.01 米): (2)施工完成后 与铅垂方向有偏差，现实际测得 ，求 的长和 的大小 (结果精确到 0.01 米和 ). 19．（2024高一·全国月考）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 20．（2025高一·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 考点4 几何问题 21．（2025·上海浦东新·模拟预测）凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．如图，在凸四边形中，，，，当变化时，对角线的最大值为 22．（2025·山西临汾·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，，且，.若点与点在两侧，，且，，，四点共圆，则四边形的面积为 . 23．（2025高一·辽宁·期末）某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则 ；若，则的值为 . 24．（2025高一·广东·期中）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在中，已知，且，现以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为 . 考点5 其他实际问题 25．（2025高一·上海月考）假期间，小致同学临时起意想去电影院看电影，他想选择一个视角最好的座位．由于电影的观众比较多，当他打开订票软件时，只剩下第1至15排最边上的15个座位． (1)电影院的剖面图如上左图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛离地高度为1.20米，影院前后两排座位高度差为0.50米，如果小致想要得到更好的直方向视角（即眼睛与屏幕中点的连线尽可能保持水平，不考虑水平方向视角），你建议他选择哪一排的座位?请通过计算说明理由． (2)电影院的俯视图如上右图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛与屏幕墙面的垂直距离为3.00米，影院前后两排观众间距1.00米，如果小致想得到最好的水平方向视角（即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大，不考虑前后排高度差与竖直方向视角），你建议他选择哪一排的座位？请通过计算说明理由． 26．（2025高三·湖北武汉·期中）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设. (1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）； (2)求修建道路的总费用的最小值. 27．（2025高一·重庆沙坪坝·期末）重庆市某区政府计划在一处栀子花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.    (1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (2)金沙天街的“奇遇集市”凭借其地理优势及花样百出的“小摊摊”，吸引了众多周围的游客、学生以及上班族；该区政府决定效仿金沙天街的做法，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“偶遇集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值.（参考数据：） 28．（2025高一·江苏南京·期中）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上．设． （1）现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大； （2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若BC＝CD，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）． 1．（2025高一·江苏盐城·期中）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ） A．200 m B．400 m C． D． 2．（2025高一·山东·期中）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，，在同一个铅垂平面内．在点测得的俯角分别为，在点测得的俯角分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025高一·重庆·期中）文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，并成为广益中学的标志性景观之，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其建筑特色和地理位置（南山之巅）使其成为俯瞰山城的重要观景点. 我校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则文峰塔的高约为（ ） （参考数据：） A． B． C． D． 4．（2025高一·福建厦门·期中）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，其中B是AC的中点.如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为米，则该建筑的高度（    ） A．米 B．10米 C．米 D．米 5．（2025高一·江西·期中）如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025高一·山东青岛·期中）“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点A和，现测得，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高OT为（   ） A．15m B． C． D． 7．（2025高二·云南玉溪·期中）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（   ）    A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时 8．（2025高一·广东江门·期中）奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（   ） A． B． C． D． 9．（2025高一·福建莆田月考）如图所示，福建莆田广化寺东侧的释迦文佛塔是一座古老的五层石塔.某数学兴趣小组成员为测量释迦文佛塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则根据该测量方案可测得释迦文佛塔的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．（2025高一·浙江台州·期中）为测量某建筑物的总高度CD，选取与塔底C在同一水平面内的两个测量基点A与B，某人在C的正西方向点A处测得塔顶的仰角为60°，C在B的西偏北75°方向，A在B的西偏北30°方向，，则这幢建筑物的总高度为（    ） A． B． C． D． 11．（2025高一·贵州黔东南·期中）某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图，这是要测量的一建筑物的高度，选择与该建筑物底部在同一水平面上的，两点，测得米，，，，则该建筑物的高度 米. 12．（2025高三·上海月考）某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为 （精确到）.    13．（2025高一·辽宁丹东月考）甲、乙骑自行车同时从地出发，甲沿北偏东54.5°方向做匀速直线运动，去往地，乙沿南偏东50°方向做匀速直线运动，去往地，甲、乙同时达到目的地，甲的速度是乙的速度的两倍，且地与地相距10km，则地与地相距 km．（参考数据：取） 14．（2025高一·黑龙江哈尔滨月考）某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选两处作为测量点，测得的距离为，，在处测得大楼楼顶的仰角为.则大楼的高度为 . 15．（2025高一·广西·期中）一艘轮船从地出发，沿东偏南的方向以每小时20千米的速度匀速航行2小时，到达地，再沿北偏东的方向以每小时20千米的速度匀速航行1小时，到达地，则两地之间的距离是 千米. 16．（2025高一·湖南·期中）2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点处放置机器狗，在的中点处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为米/秒，设机器狗在点处捕捉到足球，若点在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别，． (1)当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？ (2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为，长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值； (3)当机器狗的速度为米/秒时，若无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功，则的长度至少为多少米？ 17．（2025高一·吉林松原·期中）如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向.观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号.此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. (1)求处到观测塔的距离； (2)处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？ 18．（2025高一·辽宁沈阳·期中）为了测绘海面上一座活火山顶点的高度，测绘船围绕活火山展开测量，如图为测绘活动的俯视图，测绘船的路线中，三个观测点、、恰好构成正三角形，点为火山口在俯视图中的位置．已知从、、三点测量点的仰角正切值分别为、、． (1)求的正弦值； (2)若正三角形的边长为，求火山顶点的高度． 19．（2025高一·广东广州·期中）已知B地在A地的东北方向，且A，B两地之间的距离是，C地在A地的北偏西方向，A，C两地之间的距离是，现要在B地的北偏东方向建一个高铁站D，高铁站D到C地的距离恰好是到B地的距离的倍． (1)求B、C两地之间的距离； (2)求高铁站D到C地的距离． 20．（2025高一·海南省直辖县级单位·期中）海军某舰队在一未知海域向正西方向行驶（如图），在A处测得北侧一岛屿的顶端D的底部C在西偏北的方向上，行驶4千米到达B处后，测得该岛屿的顶端D的底部C在西偏北方向上，山顶D的仰角为，求此岛屿露出海平面的部分CD的高度. 21．（2025高一·北京·期中）如图，游客从某旅游景区的景点A处到C处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到C，现有甲，乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度，在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留1min，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，. (1)求索道的长. (2)问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应该控制在什么范围内？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 拓展06 解三角形的实际模型问题探究 5考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，解三角形的实际模型问题以现实场景为载体，将几何测量、路径规划等实际需求转化为数学问题。这类题目融合了解三角形的核心知识（正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等），要求学生从实际情境中抽象出三角形模型，通过分析边、角、面积的关系求解未知量（如距离、高度、角度等）。其核心考查学生的数学建模能力、几何直观能力和运算求解能力，体现了数学在解决实际问题中的工具性作用。 【处理角度】 1. 几何建模角度：将实际场景中的点、线、角转化为三角形的顶点、边、内角，明确已知量与未知量，构建解三角形的基本模型（如测量距离的三角形、测量高度的直角三角形等）。 2. 数据处理角度：根据题意提取角度（仰角、俯角、方位角）、距离等关键数据，分析其在三角形中的位置关系，确定使用正弦定理或余弦定理的条件。 3. 多模型联动角度：当问题涉及多个三角形时，通过公共边、共享角等建立三角形之间的联系，逐步推导求解（如通过中间量传递信息）。 【解法策略】 1. 测量距离问题 适用题型：求不可直接测量的两点间距离（如海岛间距、建筑间距等），通常已知三角形的部分边和角，需通过正弦定理或余弦定理求解。 策略分析： ①若已知两角及一边，利用三角形内角和求出第三角，再用正弦定理求其他边。 ②若已知两边及夹角，直接利用余弦定理求第三边；若已知三边，利用余弦定理求角后再进一步分析。 2. 测量高度问题 适用题型：求物体高度（如塔高、山高），常结合仰角、俯角构造直角三角形或斜三角形。 策略分析： ①若为直角三角形，直接利用锐角三角函数（正切、正弦）建立高度与水平距离的关系。 ②若为斜三角形，通过作高将其转化为两个直角三角形，或利用正弦定理、余弦定理结合角度关系求解。 3. 测量角度问题 适用题型：求方位角、视角等角度值，通常需在三角形中利用边角关系反推角度。 策略分析： ①利用正弦定理或余弦定理求出角的正弦值或余弦值，结合角的范围确定角度大小。 ②涉及多个角度时，通过三角形外角性质、内角和定理或诱导公式建立角度间的联系。 4. 几何问题 适用题型：与三角形相关的几何图形（如四边形、圆内接三角形）中的边、角、面积问题，常需结合几何性质（如圆的性质、四边形内角和）求解。 策略分析： ①利用圆的性质（如圆周角定理、弦长公式）将几何条件转化为三角形的边或角。 ②对于四边形，通过对角线将其拆分为两个三角形，分别应用解三角形方法求解。 5. 其他实际问题 适用题型：路径优化、面积最值、费用最小化等综合问题，需结合函数思想、不等式性质求解。 策略分析： ①建立目标函数（如路程、费用关于某变量的表达式），利用二次函数、三角函数或基本不等式求最值。 ②通过几何直观分析临界状态（如路径最短、视角最大），结合解三角形确定最优解。 考点1 测量距离问题 1．（2024高三·全国月考）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为（    ）    A． B．80 C．160 D． 【答案】D 【分析】首先利用正弦定理求出的值，再利用余弦定理求解即可. 【解析】如图所示：    在△中，，，， ，由正弦定理，得，解得， 在△中，，， ， ，则， 在△中，由余弦定理，得 ，解得， 即,两点间的距离为， 故选：． 2．（2025高一·重庆九龙坡·期中）阿蓬，土家语为“雄奇秀美”之意.阿蓬江为长江二级支流，乌江一级支流，阿蓬江国家湿地公园以河流湿地为主，跨黔江、酉阳两区县，黔江境内自古石城经官渡峡到神龟峡，还有丰富的支流水系，湿地生态系统完整，贯穿黔江境内多个A级景区，有着一江两岸秀美的湿地风光.如图为了测量湿地内A、B两点间的距离，观察者在同一平面内找到在同一条直线上的三点C、D、E，从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，，则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理和余弦定理以及角度和距离之间的关系计算可得答案. 【解析】在中，因为，， 所以，则． 在中，因为，， 所以， 由正弦定理得，可得． 在中，因为，，， 所以由余弦定理得， 得， 故选：B． 3．（2025高一·湖南邵阳·期中）一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行2到达海岛C. (1)求AC的长； (2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少？ 【答案】(1) (2)沿北偏东方向航行即可到达C处 【分析】（1）先计算出，由余弦定理求出； （2）由余弦定理求出，从而得到答案. 【解析】（1）在中，，， 由余弦定理得： ，解得 （2）在中，由余弦定理得： ， 所以，又， 因此应沿北偏东方向航行即可到达C处. 4．（2025高三·安徽六安月考）如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在和中应用正弦定理求得BC与BD，然后在中应用余弦定理求得CD. 【解析】在中，由正弦定理得， 即，得， 在中，，是等边三角形，， 在中，，由余弦定理， ， 所以． 故选：C. 5．（2025高一·重庆·期末）某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据锐角三角函数可得，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出，即可得解． 【解析】设，， 则， 在中，， 在中， 所以当时，，， 所以最大值为． 故选：C． 6．（2025高二·贵州遵义月考）如图，一艘客船在处测得灯塔在它的南偏东方向，测得灯塔在它的南偏东方向.该客船向正东方向行驶后到达处，此时客船测得灯塔在它的南偏西方向，测得灯塔在它的南偏西方向，则灯塔与灯塔之间的距离（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两角和与差的正弦、余弦公式结合正弦定理、余弦定理求解即可. 【解析】由题意可知，， 所以在中， 因为， ， 由正弦定理可得：，则， 解得：， 在中，所以， 所以在，由余弦定理可得： ， 所以. 故选：A. 7．（2025高一·湖南月考）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，若部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【分析】使用余弦定理及基本不等式，得到，使用正弦定理及三角恒等变换得到，进而求得AB的最短距离. 【解析】 在中，， 设， 则， 当且仅当时取等号， 设，则， 又到的距离为20千米，所以，， 故（时取等号）， 所以，得， 故选：D 考点2 测量高度问题 8．（2025高二·四川广安月考）一电线杆位于某人的正东方向上，某人在点测得电线杆顶端的仰角为，此人往电线杆方向走了10米到达点，测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为（    ）米（，忽路人的身高） A．23.66 B．24.66 C．25.66 D．26.66 【答案】A 【分析】根据题意，利用锐角三角函数的定义，将，用表示出来，结合，列式求解即可. 【解析】根据题意设，则在中，， 所以， 在中，， 所以， 因为，所以， 所以米，即电线杆的高度约为23.66米. 故选：A. 9．（2025高一·江苏南京月考）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则该铁塔的高度约为（    ）（参考数据：，，，）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】在中，由两角和的正弦得到，由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到，在中，，代入数值即可得到答案. 【解析】在中，， 则， ， 由正弦定理，可得， 在中，可得. 所以该铁塔的高度约为米． 故选：C. 10．（2025高一·辽宁大连·期中）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA，NB均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离AC，BC的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中一定能唯一确定M，N之间的距离的有（    ） ①；②；③；④. A．②④ B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】记，，，，，，，，，，，，，再利用正余弦定理逐一分析判断和举反例判断即可. 【解析】记，，，，，， ，，，，，，． 先从③入手：已知，在中，由，可确定； 同理，在中，可确定； 在中，由及余弦定理，可确定，故③正确； 再考察④：已知，在中，由及余弦定理，可确定； 在中，由，可确定；同理，在中，可确定， 由，（1） 可确定，故④正确； 对于①：已知，可确定， 在中，已知，解三角形知可能有两解， 例如若，则，解得或2， 代入（1）使也有两个值，故①错误； 对于②：已知，同③④，可确定， 在中，由勾股定理，得， 在中，由余弦定理，得，（2） 联立（1）、（2），得， 解此关于的二元方程组，可得，但此二元二次方程组可能有两解， 例如若，得， 解得或，故②错误. 故选：C 【点睛】方法点睛：已知三角形的两边及一角解三角形的方法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解思路有两种： （1）利用余弦定理求出其它角； （2）利用正弦定理（已知两边和其中一边的对角）求解. 若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这个问题（在上，余弦值所对的角是唯一的），故用余弦定理较好. 11．（2025高一·浙江·期中）如图，2024年元宵节在浙江桐乡凤凰湖举行“放孔明灯”活动.为了测量孔明灯的高度，在地上测量了一根长为200米的基线，在点处测量这个孔明灯的仰角为，在处测量这个孔明灯的仰角为，在基线上靠近的四等分点处有一点，在处测量这个孔明灯的仰角为，则这个孔明灯的高度 . 【答案】/ 【分析】通过三个仰角解三个直角三角形可得三边与高的关系，再利用余弦定理建立一个方程，就可以解得高. 【解析】 设孔明灯的高度，通过解直角三角形得： 在点处测量这个孔明灯的仰角为，则， 在点处测量这个孔明灯的仰角为，则， 在点处测量这个孔明灯的仰角为，则， 由基线上靠近的四等分点处有一点，且，则， 由余弦定理得： ， ， 又因为，所以， 即，可得， 所以由，得， 故答案为：. 12．（2025高一·安徽合肥·期末）2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，三点在同一水平面上的投影，满足，．由点测得点的仰角为，由点测得A点的仰角为，则的高度为 ． 【答案】 【分析】在中，利用正弦定理求，，再根据直角三角形结合相应角度运算求解. 【解析】因为， ， 分别过做，垂足分别为， 在中，则， 由正弦定理， 可得，， 在，， 则， 在中，， 则， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：1.对于特殊角三角函数值常借助于三角恒等变换求解； 2.高度测量问题，要注意利用相应的角度和高度，通过做辅助线转化运算. 13．（2025高三·四川乐山·期末）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】设，由，结合余弦定理可得，求解即可. 【解析】设，则可得， 由，可得B是AC的中点，所以， 而，则， ，中，由余弦定理可得：， 解得：，所以该建筑的高度米. 故选：B. 考点3 测量角度问题 14．（2025高一·江苏月考）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【解析】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 15．（2025高二·浙江温州月考）如图，在直角中，，为上的点，为上的点，若，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】由三角形外角性质结合已知条件首先求出，再在中运用正弦定理求出的长度，进一步在中运用正弦定理求出，最终结合三角形外角性质以及诱导公式即可求解. 【解析】由题意，， 所以有， 一方面在中运用正弦定理得，即， 另一方面由以及， 得，又， 所以; 又在中运用正弦定理得， 即，所以； 注意到， 所以有. 故答案为： 16．（2025高一·山东淄博·期中）在海岸A处，发现北偏东方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 小时.（注：） 【答案】/ 【分析】由已知条件，先解，利用正余弦定理得及为东西走向，再解，利用正弦定理得，进而得到，利用路程与速度的比即可求时间. 【解析】设缉私船最快在处追上走私船，追上走私船需小时， 则，， 在中，已知， 由余弦定理得，， ，即， 由正弦定理得，则， ， 为东西走向，， 在中，由正弦定理得，则，且为锐角， ，， ，即，小时. 故答案为：. 17．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期中）某景区有一座山峰，山顶有一个端坐在天然石峰上的少女石像，石峰与石像的高度均为50m，游客从山底A处向山顶C处爬山，在P处观赏石像的视角为，坡长. (1)设，用表示； (2)已知在A处观赏石像的视角为，， （i）求坡度的大小； （ii）若在山腰P处建一座凉亭，使最大，求凉亭P与山底A的距离. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用直角三角形边角关系求出关系式. （2）（i）由（1）的结论，利用差角的正切求解；（ii）利用差角的正切、基本不等式及正切函数的性质求解. 【解析】（1）在中，，， 连接，， 所以. （2）（i）连接，由（1）知，， 两边取平方，化简得：， 即，因为锐角， 故，则. （ii）过作于，由（i）得，设， 则， 则 ，当且仅当时取等号，此时， 因函数在上单调递增，又是锐角，故最大时，也最大， 即当，时，最大，此时凉亭P与山底A的距离为. 18．（2025高一·上海月考）如图，某公司要在 、 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长 35 米， 长 80 米. 设 、 在同一水平面上，从 、 看 的仰角分别为 、 .    (1)设计中 是铅垂方向，若要求 ， 求 的长 (结果精确到 0.01 米): (2)施工完成后 与铅垂方向有偏差，现实际测得 ，求 的长和 的大小 (结果精确到 0.01 米和 ). 【答案】(1)的长为米. (2)的长为米，. 【分析】（1）设的长为米，利用三角函数的关系式建立等式关系，求解即可得到结论； （2）利用正弦定理和余弦定理，建立方程关系，即可得到结论. 【解析】（1）设的长为米，则 ，， 因为，所以，则， 即，解得：米. 故的长为米. （2）由题设， 由正弦定理得，即米， 所以，则米， 又，则， 故的长为米，. 19．（2024高一·全国月考）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【答案】(1)159米 (2)米 【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，结合图形列方程可求出结果. （2）由图，将表示为，设米，对取正切并化简，结合均值不等式可求得最大值. 【解析】（1）在中，，得， 在中，，得， 因为， 所以， 解得米. （2）由图可知，设米， 则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然， 显然，可得最大时最大. 答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 20．（2025高一·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 【答案】(1)缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 (2)缉毒船的行驶方向为北偏东 【分析】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，可知，利用余弦定理运算求解； （2）根据（1）中结果，利用正弦定理可得，进而可得结果. 【解析】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 考点4 几何问题 21．（2025·上海浦东新·模拟预测）凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．如图，在凸四边形中，，，，当变化时，对角线的最大值为 【答案】 【分析】设，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，利用余弦定理求得对角线，根据三角恒等变换求出的最大值即可． 【解析】设，在中 由余弦定理，可得， 即， 因为，所以， 在中， ， 因为，所以可以取到最大值， 所以． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题． 22．（2025·山西临汾·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，，且，.若点与点在两侧，，且，，，四点共圆，则四边形的面积为 . 【答案】 【分析】先利用正弦定理对题设条件进行边角互化可解得，由，且，，，四点共圆，可知四边形为等腰梯形，圆心为 中点，由计算即可得出结论. 【解析】根据题意，， 所以， 由正弦定理可得：， 所以, 又因为，， 所以，即，解得； 因为，，则,且，，，四点共圆， 根据圆内接四边形对角互补，可知 ， 设DC的终点为O，连接，则为等边三角形， 则, 所以中点即为圆心，，四边形为等腰梯形，如图所示： 则也为等边三角形，所以 在 中，由余弦定理得， 即，解得， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：通过题设条件以及，，，四点共圆，得出圆心为 中点，四边形为等腰梯形，并画出图象，数形结合求四边形的面积是解题关键. 23．（2025高一·辽宁·期末）某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则 ；若，则的值为 . 【答案】 /5.75 【分析】第一空，由正弦定理求得，可得，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得，即得答案； 第二空，设，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出，即可求得答案. 【解析】设外接圆半径为，则， 由正弦定理，可知， 即，由于是锐角，故， 又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故， 所以； 设， 则， 由于，不妨假设， 由余弦定理知， 设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 , 故 , 则得， 所以， 同理可得， 所以, 故答案为：； 【点睛】本题重要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题. 24．（2025高一·广东·期中）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在中，已知，且，现以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为 . 【答案】/ 【分析】连接，则，由等边三角形的性质可求出，从而可求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式可得，从而可求出的面积最大值 【解析】设的三个内角的对边分别为. 连接，则由题设得，， 因为以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，， 所以，， 所以， 在中，由余弦定理可得， 即， 又， ∴， 即（当且仅当时等号成立）， 由题意可得为等边三角形， 故 故答案为： 考点5 其他实际问题 25．（2025高一·上海月考）假期间，小致同学临时起意想去电影院看电影，他想选择一个视角最好的座位．由于电影的观众比较多，当他打开订票软件时，只剩下第1至15排最边上的15个座位． (1)电影院的剖面图如上左图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛离地高度为1.20米，影院前后两排座位高度差为0.50米，如果小致想要得到更好的直方向视角（即眼睛与屏幕中点的连线尽可能保持水平，不考虑水平方向视角），你建议他选择哪一排的座位?请通过计算说明理由． (2)电影院的俯视图如上右图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛与屏幕墙面的垂直距离为3.00米，影院前后两排观众间距1.00米，如果小致想得到最好的水平方向视角（即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大，不考虑前后排高度差与竖直方向视角），你建议他选择哪一排的座位？请通过计算说明理由． 【答案】(1)第10排；理由见解析 (2)第4排，理由见解析 【分析】（1）设表示第排座位眼睛离地高度，求出眼睛离地高度接近的值即可. （2）先由题设表示第n排座位的位置、表示第n排座位的水平方向视角，则在中利用勾股定理求出即可利用余弦定理去研究水平视角与n的关系，进而得到最好的水平视角. 【解析】（1）设表示第排座位眼睛离地高度， 则由题意，接下来的每一排座位与前一排作为高度均相差 ， 所以， 令即，， 所以小致想要得到更好的直方向视角建议小致坐第10排的座位. （2）如图，表示屏幕长，C、D分别表示第1排和第15排座位位置， 设表示第n排座位的位置， 则由题可设表示第n排座位的水平方向视角， 则， 故 所以 ， 令，且， 则 ， 令，任取， 则， 因为，故， 所以，即， 所以在上单调递减，同理可得在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，当时，，此时； 时，，此时， 所以当时，最小，因为， 所以此时最大，即此时是最好的水平方向视角， 故建议他选择第4排的座位能得到最好的水平方向视角. 【点睛】思路点睛：解决本题的思路是依据三角模型图，将第n排座位T的水平方向视角设为，接着利用勾股定理将用n表示起来，再在中利用余弦定理即可去研究水平视角与n的关系，进而得到最好的水平视角对应的n值. 26．（2025高三·湖北武汉·期中）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设. (1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）； (2)求修建道路的总费用的最小值. 【答案】(1) (2)80万元 【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得，，进而可得解析式； （2）利用三角恒等变换整理可得，换元令，结合函数单调性求最值. 【解析】（1）在中，因为，可得， 在中，可知， 由正弦定理，可得， 所以. （2）由（1）可知： ， 因为，则， 令，则， 且在上单调递增，可知在上单调递增， 所以在上单调递减， 当，即时，修建道路的总费用取到最小值万元. 27．（2025高一·重庆沙坪坝·期末）重庆市某区政府计划在一处栀子花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.    (1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (2)金沙天街的“奇遇集市”凭借其地理优势及花样百出的“小摊摊”，吸引了众多周围的游客、学生以及上班族；该区政府决定效仿金沙天街的做法，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“偶遇集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值.（参考数据：） 【答案】(1)是，且定值为米 (2)元 【分析】（1）求出，结合正弦定理可求得的长； （2）利用余弦定理结合（1）中的结论求出的最小值，再结合题意可求得建设步道总花费的最小值. 【解析】（1）解：因为四边形为等腰梯形，则， 在中，，，则， 由正弦定理可得，则， 同理可得， 因此， （米）. （2）解：在中，， 由余弦定理可得 ， 所以，， 当且仅当米，即当为的中点时，等号成立， 因此，建设步道总花费的最小值为（元）. 28．（2025高一·江苏南京·期中）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上．设． （1）现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大； （2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若BC＝CD，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）． 【答案】（1）当时，郁金香种植面积最大；（1）当为时，栈道的总长l最长，l的最大值为6百米. 【分析】(1)求出利用三角形的面积公式可得四边形ABCD关于的函数，利用三角函数的恒等变换可以得到“一角一函”的形式,然后根据角的范围利用正弦函数的性质可求得面积最大值； (2)利用余弦定理求得关于的三角函数，相加可求出关于的三角函数表达式，利用二倍角公式和换元思想转化为二次函数的最值，进而求解. 【解析】解：(1) ∵线段AB长为4百米，所以圆的半径为2百米，即, 当时，由三角形的面积公式得： ， ，则， ，当，即时取等号， ∴当时，取得最大值， 当时，郁金香种植面积最大； (2)由余弦定理得： ，， ， 令，∵，∴， ， ，即时，的最大值为6. 故当为时，栈道的总长l最长，l的最大值为6百米. 1．（2025高一·江苏盐城·期中）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ） A．200 m B．400 m C． D． 【答案】C 【分析】在、中利用锐角三角函数求出、，再在中利用余弦定理计算可得. 【解析】在中， 在中， 在中 ． 故选：C 2．（2025高一·山东·期中）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，，在同一个铅垂平面内．在点测得的俯角分别为，在点测得的俯角分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求. 【解析】因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 在中，已知， 由正弦定理得， 所以； 因为，则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 在中，由余弦定理得：， 故，所以， 故选：B. 3．（2025高一·重庆·期中）文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，并成为广益中学的标志性景观之，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其建筑特色和地理位置（南山之巅）使其成为俯瞰山城的重要观景点. 我校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则文峰塔的高约为（ ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，两者相等即可解出答案. 【解析】由题知，设， 则， 又， 所以在中，，① 在中，，② 联立①②，解得 故选：B. 4．（2025高一·福建厦门·期中）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，其中B是AC的中点.如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为米，则该建筑的高度（    ） A．米 B．10米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据三角形余弦定理求解即可． 【解析】设米，在中， 已知所以在 中 已知所以在 中 已知所以因为B是的中点，且米， 所以米．又因为所以 在中，由余弦定理可得： 解得所以米． 故选： 5．（2025高一·江西·期中）如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，利用正弦定理可得结果. 【解析】在中，则，即． 在中，则，， 由正弦定理得，，所以． 故选：D． 6．（2025高一·山东青岛·期中）“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点A和，现测得，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高OT为（   ） A．15m B． C． D． 【答案】D 【分析】先在中利用正弦定理求，再在中求即可. 【解析】依题意，中，， ，即，解得. 在中，， 即. 故选：D 7．（2025高二·云南玉溪·期中）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（   ）    A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时 【答案】B 【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果. 【解析】由题意，在中，，，，所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：B. 8．（2025高一·广东江门·期中）奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如解析中图形，可在中，利用正弦定理求出，然后在中求出直角边即旗杆的高度，最后可得速度． 【解析】如图，由题意可得，， ∴， 在中由正弦定理，，即，解得． ∴，则（）． 故选：B． 9．（2025高一·福建莆田月考）如图所示，福建莆田广化寺东侧的释迦文佛塔是一座古老的五层石塔.某数学兴趣小组成员为测量释迦文佛塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则根据该测量方案可测得释迦文佛塔的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】结合题意先分析出图形中的具体角度，设，然后表示出其余所有边长，最后利用余弦定理求解. 【解析】在直角三角形中，，，可设； 在直角三角形中，，，可得； 在直角三角形中，，，可得. 在中，根据余弦定理，， 在中，根据余弦定理，， 又，则，即， 解得，即. 故选：B 10．（2025高一·浙江台州·期中）为测量某建筑物的总高度CD，选取与塔底C在同一水平面内的两个测量基点A与B，某人在C的正西方向点A处测得塔顶的仰角为60°，C在B的西偏北75°方向，A在B的西偏北30°方向，，则这幢建筑物的总高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意建立几何图形，再根据正弦定理，即可求解. 【解析】由题意可知，，，，且， 所以，，， 设，则， 中，，， 解得：. 故选：A 11．（2025高一·贵州黔东南·期中）某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图，这是要测量的一建筑物的高度，选择与该建筑物底部在同一水平面上的，两点，测得米，，，，则该建筑物的高度 米. 【答案】20 【分析】设米，在和中，分别表示出和的长，在中，由余弦定理即可求出建筑物的高度. 【解析】设米，在中，因为，则米. 在中，因为，所以米. 在中，由余弦定理可得， 因为米，则， 即，解得，所以米. 故答案为：20 12．（2025高三·上海月考）某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为 （精确到）.    【答案】 【分析】利用两角一边结合正弦定理求边，再利用余弦定理求边即可. 【解析】在Rt中，，则 因为，所以 因为，所以， 在中，由正弦定理得，， 所以， 在中， 由余弦定理得 所以米． 故答案为：4.25米． 13．（2025高一·辽宁丹东月考）甲、乙骑自行车同时从地出发，甲沿北偏东54.5°方向做匀速直线运动，去往地，乙沿南偏东50°方向做匀速直线运动，去往地，甲、乙同时达到目的地，甲的速度是乙的速度的两倍，且地与地相距10km，则地与地相距 km．（参考数据：取） 【答案】 【分析】画出示意图，由余弦定理即可求解. 【解析】 由题意可设，， 由余弦定理可得：， 解得，所以. 故答案为：. 14．（2025高一·黑龙江哈尔滨月考）某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选两处作为测量点，测得的距离为，，在处测得大楼楼顶的仰角为.则大楼的高度为 . 【答案】 【分析】根据题意，先求出，然后利用正弦定理计算直接求出，然后利用两角和的正切公式计算即可. 【解析】由已知得， 在中， 因为， 即，所以， 所以两点间的距离为m. 在中， 因为， 所以， 又因为， ， 所以. 故答案为： 15．（2025高一·广西·期中）一艘轮船从地出发，沿东偏南的方向以每小时20千米的速度匀速航行2小时，到达地，再沿北偏东的方向以每小时20千米的速度匀速航行1小时，到达地，则两地之间的距离是 千米. 【答案】 【分析】根据给定条件，画出图形，再利用余弦定理解三角形作答. 【解析】依题意，如图，在中， 从地出发，沿东偏南的方向到达地，再沿北偏东的方向到达地， ，则千米，千米， 由余弦定理得，因此千米, 所以两点间的距离是 千米． 故答案为： 16．（2025高一·湖南·期中）2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点处放置机器狗，在的中点处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为米/秒，设机器狗在点处捕捉到足球，若点在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别，． (1)当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？ (2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为，长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值； (3)当机器狗的速度为米/秒时，若无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功，则的长度至少为多少米？ 【答案】(1) (2)8米 (3)1.5米 【分析】（1）首先根据正弦定理和的关系可求出的值. （2）方法一：首先根据余弦定理求出的关系式，然后根据不等式的性质求出的最大值；方法二：首先根据正弦定理求出的关系式，然后根据正弦函数的性质求出的最大值. （3）首先作出辅助线画出图像，然后利用余弦定理求出的纵向分量的最大值，从而确定长度的最小值. 【解析】（1）在中，由正弦定理知，即， 因为，，所以， 解得，因为，所以， 此时，因为，所有点在矩形内，捕捉成功． （2）法一：在中，由余弦定理知， 故， 整理得， 即，当且仅当时等号成立，此时， ，点在矩形内，捕捉成功． 故机器狗与足球运动的总路程的最大值为8米． 法二：在中，由正弦定理知， 所以． 当，即当时，有最大值为8， 此时，，点在矩形内，捕捉成功． 故机器狗与足球运动的总路程的最大值为8米． （3）如图，过作的垂线，垂足为 设，则，由题可知所以， 在中，由余弦定理知， 则，整理得， 所以， 又因为，， 当，即当时，有最大值为， 由题知恒成立，所以，此时， 故当的长度至少为米时，无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功． 17．（2025高一·吉林松原·期中）如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向.观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号.此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. (1)求处到观测塔的距离； (2)处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？ 【答案】(1)海里 (2)北偏东的方向， 2小时 【分析】（1）由条件确定，，，再结合，即可求解； （2）在中，由余弦定理先求得，再由，求得，即可求解. 【解析】（1）由在的南偏东，在的北偏东方向， 得在中，，，， 由正弦定理，得，所以， 又， 所以海里，即处到观测塔的距离为海里. （2）在中，，，， 由余弦定理，得， 所以海里，航行时间至少为小时. 又， 且，所以，所以在的北偏东方向. 故处的救援船应该朝北偏东的方向沿直线前往处救援，至少航行2小时才能到达处. 18．（2025高一·辽宁沈阳·期中）为了测绘海面上一座活火山顶点的高度，测绘船围绕活火山展开测量，如图为测绘活动的俯视图，测绘船的路线中，三个观测点、、恰好构成正三角形，点为火山口在俯视图中的位置．已知从、、三点测量点的仰角正切值分别为、、． (1)求的正弦值； (2)若正三角形的边长为，求火山顶点的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取线段的中点为，由题意可得，则可得，即可借助正弦定理计算得到，再利用同角三角函数基本关系与两角和的正弦公式计算得到的正弦值； （2）利用正弦定理计算即可得解. 【解析】（1）取线段的中点为，连接，设火山顶点的高度为， 则依题意可知， ∵，∴，且平分， ∴三点共线，∴， 由正弦定理可知， ∴， ∴ ； （2）在中，由正弦定理可知，， ∴， 即，∴． 19．（2025高一·广东广州·期中）已知B地在A地的东北方向，且A，B两地之间的距离是，C地在A地的北偏西方向，A，C两地之间的距离是，现要在B地的北偏东方向建一个高铁站D，高铁站D到C地的距离恰好是到B地的距离的倍． (1)求B、C两地之间的距离； (2)求高铁站D到C地的距离． 【答案】(1)干米； (2)千米. 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理列式计算即得. （2）由正弦定理确定地在地的正西方向，再在中利用余弦定理列出方程求解. 【解析】（1）依题意，在中，，，， 由余弦定理得， 则，解得， 即村庄，之间的距离为干米； （2）在中，由正弦定理得， 则，从而， 则地在地的正西方向，由高铁站在地的北偏东的方向，得， 在中，由余弦定理得， 而，则，解得， 所以高铁站D到C地的距离千米. 20．（2025高一·海南省直辖县级单位·期中）海军某舰队在一未知海域向正西方向行驶（如图），在A处测得北侧一岛屿的顶端D的底部C在西偏北的方向上，行驶4千米到达B处后，测得该岛屿的顶端D的底部C在西偏北方向上，山顶D的仰角为，求此岛屿露出海平面的部分CD的高度. 【答案】千米 【分析】先在中，根据已知角度求出，再利用正弦定理求出BC的长度，最后在直角三角形中，根据正切函数求出岛屿露出海平面部分CD的高度. 【解析】已知舰队从处行驶到处，在处测得在西偏北方向上， 在处测得在西偏北方向上，所以，. 根据三角形内角和为，可得. 在中，已知千米，，， 由正弦定理可得：（千米）. 在中，因为测得山顶的仰角为，即，且. 所以（千米）. 则岛屿露出海平面的部分CD的高度为千米. 21．（2025高一·北京·期中）如图，游客从某旅游景区的景点A处到C处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到C，现有甲，乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度，在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留1min，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，. (1)求索道的长. (2)问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应该控制在什么范围内？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两角和的正弦公式求出，再结合正弦定理求解即可. （2）设乙出发后，甲、乙两游客距离为，利用余弦定理表示出，再结合二次函数的性质求解即可. （3）利用正弦定理求出，再结合给定条件建立不等式，求解速度范围即可. 【解析】（1）在中，因为，， 所以，，从而， ， 由正弦定理，得. （2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为， 此时甲行走了，乙距离处， 则由余弦定理得 ，由于，即， 故由二次函数性质得当时，甲，乙两游客距离最短． （3）由正弦定理得， 则， 而乙从出发时，甲已走了，还需走710才能到达． 设乙步行的速度为，由题意得，解得， 为使两位游客在处互相等待的时间不超过， 乙步行的速度应控制在范围内． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$