拓展05 三角形中范围（最值）问题4考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册）

【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 拓展05 三角形中范围（最值）问题 4考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，三角形中的范围（最值）问题是三角函数、解三角形与函数思想结合的典型题型。这类问题以三角形的边、角、面积等元素为载体，要求学生通过三角恒等变换、定理应用或函数性质，求解边长、角度、面积等变量的范围或最值。其核心难点在于如何将几何条件转化为代数表达式，并选择合适的函数工具（如三角函数、二次函数、对勾函数等）进行分析，综合考查学生的逻辑推理、数学运算及化归转化能力。 【处理角度】 1.三角恒等变换角度：利用正弦定理、余弦定理将边与角的关系相互转化，结合三角恒等变换（如和角公式、辅助角公式）将目标表达式化简为单一三角函数形式，利用三角函数的有界性求解。 2.函数与方程角度：通过引入变量（如角度、边长参数），将问题转化为二次函数、对勾函数等常见函数模型，利用函数的单调性、极值或不等式性质求最值。 3.几何直观角度：结合三角形的几何性质（如外接圆、中线、高）或图形运动（如点的轨迹），通过几何图形的直观分析确定变量的临界状态，进而求解范围。 【解法策略】 1. 用三角函数的性质求最值 适用题型：涉及三角形内角的三角函数表达式、边角关系可通过正弦定理转化为单一角的函数，或需利用三角函数有界性的问题。 策略分析： 利用正弦定理将边长比转化为角的正弦比，结合三角形内角和定理消元，将目标表达式转化为关于某一内角的三角函数，通过辅助角公式化简后，根据角的范围（如锐角三角形中角的限制）确定三角函数的取值范围，进而求得最值。 2. 用二次函数的性质求最值或范围 适用题型：目标表达式为边长的二次式，或可通过设参（如中线长、高）转化为二次函数的问题（如面积平方、边长平方和）。 策略分析： 设某一边长为变量，利用余弦定理或面积公式建立目标表达式，整理为二次函数形式，根据二次函数的开口方向、对称轴及变量取值范围（如三角形边长的正数限制、两边之和大于第三边），求函数的最值或值域。 3. 用基本不等式求最值 适用题型：目标表达式可分解为两个正数的和或积，或满足 “和定积最大”“积定和最小” 条件的问题（如面积与边长的关系、周长最值）。 策略分析： ①将目标表达式通过定理（如余弦定理、面积公式）转化为边或角的乘积、平方和形式，构造基本不等式的结构。 ②注意验证等号成立的条件（如边长相等、角度为特殊值），确保最值的可行性。 4. 用对勾函数的性质求最值或范围 适用题型：目标表达式为分式形式或可通过换元转化为 的问题，常见于边角关系复杂或需结合三角函数值域的题目。 策略分析： ①通过正弦定理或变量代换将表达式转化为对勾函数形式，利用其 单调性，结合变量范围求最值。 ②注意换元后变量的取值范围，确保函数单调性的正确应用。 考点1 用三角函数的性质求最值 1．（2025高三·湖北月考）在中，为边的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，取AM 中点为N，过N做AB垂线NO，使，以O为圆心，OA为半径做圆可得C点所在部分轨迹，后由平面几何知识结合正弦定理可得答案. 【解析】设，如图AM 中点为N，过N做AB垂线NO，使，以O为圆心， OA为半径做圆O.由题可得，则，即C点部分轨迹为优弧 （还有部分轨迹为优弧关于AM的对称优弧）.如图，设CB与圆O交于D，连接AD， 由外角定理，，当且仅当C与D重合，即CB与圆O相切时取等号. 由圆幂定理，当CB与圆O相切时可知， 由弦切角定理可知，设. 在中，由正弦定理可得， 又注意到， 则， 解得，结合图形可得，则此时． 故选：B    2．（2025高二·云南昭通·期中）的内角的对边分别为，若的面积，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式及余弦定理，结合辅助角公式和三角函数性质即可求解. 【解析】在中，由，得，由余弦定理得， 则，因此， 由知的边上的高为，则点在与平行，且距离为的直线上， 如图，以为直径画半圆，则该半圆与直线相切，当为切点时，，此时角最大， 即，，因此， 的取值范围是. 故选：C 3．（2025高一·北京·期末）已知在中， ，设， 记的最大值为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正弦定理、辅助角公式，结合正弦函数的性质求出，再求出最小值. 【解析】在中，令内角所对边分别为， 由正弦定理得，则 而，则 ，由，得， 锐角由确定，又，则， 因此当时，取得最大值，即， 显然函数在上单调递增，所以. 故选：B 【点睛】结论点睛：，其中. 4．（2025·福建莆田·模拟预测）在中，，的面积为3，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】设，则，根据三角形的面积公式可得，利用余弦定理计算可得，由辅助角公式和正弦函数的图象与性质可得，解不等式即可. 【解析】设，则， 由，得. 由余弦定理得， 令，则， 即（其中）， 所以，即， 得，解得或，即或（舍去）， 解得或（舍去），所以的最小值为4. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用余弦定理计算得到后，转化为，解不等式即可. 5．（2025高一·黑龙江大庆月考）在中，，，、两点分别在边，上．若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，，可得，进而结合正弦定理可得，再结合正弦函数及不等式的性质求解即可. 【解析】在中，，，、 两点分别在边，上要求的最大值，不妨设，，则， 由，知，在中， 由正弦定理得，， 即，由， 则，即，则， 则，则的最大值为. 故答案为：. 6．（2025高三·浙江月考）在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出，设，，在、分别利用正弦定理表示出、，由，利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出的最大值，即可求出三角形面积最大值. 【解析】因为，，，所以， 设，， 则，，， 在中由正弦定理，即， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以， 所以 （其中）， 所以， 则， 即三角形的面积的最大值是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是用含的式子表示出、，再利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出的最大值，进而求出三角形面积最大值. 7．（2025高三·河北沧州·期中）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设等式，利用正弦定理化边为角与和角公式化简计算，求得，利用正弦定理将所求式整理化成正弦型函数，借助于锐角三角形，求得角的范围，结合正弦函数的图象性质，即可求出其范围. 【解析】由和，可得， 由正弦定理，，即， 因，故得， 因是锐角三角形，故，则有，从而，. 又由正弦定理，， 即得 于是 ， 由可得， 则，故， 故的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正、余弦定理在求解三角形中的应用，属于难题. 解题关键是，首先要将代入已知等式，将其化成边的齐次型，为正弦定理化边为角创造条件，再次，要会将的范围通过定理转化为角的三角函数问题，利用正（余）弦型函数的值域求其范围即可. 考点2 用二次函数的性质求最值或范围 8．（2025高二·吉林四平月考）在中，，分别为，的中点，，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】分别在和中利用余弦定理可得，，再将面积表达式平方并利用二次函数性质即可求得面积的最大值. 【解析】如下图所示： 设角所对的边分别为， 在中，由利用余弦定理可得， 又，可得， 即； 同理在中,由利用余弦定理可得， 又，可得， 即； 联立，解得，； 由的面积为可得 因此可得，可得， 即面积的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用中线长结合余弦定理求得三边长之间的关系，再由面积表达式平方计算，根据二次函数性质可求得最值. 9．（2025高一·上海宝山·期末）锐角中，角、、的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理及三角恒等变换化简可得，据此再化简所求，利用二次函数的性质得解. 【解析】由，正弦定理得，即， 又，得； 又， 所以； 因为，因此，即，得， 由于为锐角三角形，则， 所以，解得， 又， 因为，所以， 由二次函数性质得，若存在最大值，则，解得. 故选：D 10．（2025高一·重庆九龙坡·期中）在中，角的对边分别为，其面积为，已知，则（1） ；（2）的最大值为 ． 【答案】 【分析】空1：由条件，结合正弦定理化边为角可得，结合内角和公式，诱导公式，两角和正弦公式化简可得结论， 空2：方法一：由条件化角为边可得，结合三角形面积公式及条件可得，再求其最值； 方法二：作垂直于点,设，，结合第一空结论可得，，结合三角形面积公式可得，结合基本不等式求最值. 【解析】设的外接圆半径为， 由正弦定理可得， 所以 又，故，因为， 所以， ∴， ∴， ∴， ∴； 第二空：方法一：因为， ∴   ∴， 又因为，∴ ∴ ， 当时，即时，取得最大值，最大值为． 方法二：作垂直于点, 由（1），∴    ∴， 设，，则，∴， ∴， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最大值为．    故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，先利用正弦定理，余弦定理将条件中的边角关系转化为角的关系或边的关系，再结合三角恒等变换或结合代数变形对相关式子进行变形求解. 考点3 用基本不等式求最值 11．（2025高三·山东潍坊·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，是上的点，平分，，且，则面积的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得到，求出，由三角形面积公式得，，，根据，求出，由基本不等式，得到，从而求出面积最小值. 【解析】，由正弦定理得， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 平分，故， 由三角形面积公式得， ，， 因为，所以， 即， 由基本不等式得， 故，解得，当且仅当时，等号成立， 故. 故选：B 12．（2025高三·广东月考）设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知条件化简可求得的值，再利用三角形面积的关系列出关于的等式，最后利用基本不等式即可求解. 【解析】， ，即， ，，， 为的平分线且与BC交于点，， ，即， 又，解得，当且仅当时等号成立， 的面积， 的面积的最小值为. 故选：B. 13．（2025高二·四川南充·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先弦化切结合正弦和角公式得出，再根据正弦定理与余弦定理得，利用基本不等式计算最值即可 【解析】因为 ， 又，所以， 所以，由正弦定理可得， 又余弦定理，即， 所以，则由余弦定理， 当且仅当时取得等号. 故选：D 【点睛】思路点睛：利用同角三角函数的商数关系切化弦，结合正余弦定理角化边再利用基本不等式计算最值. 14．（2025高三·福建泉州·期末）设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ） A． B． C． D．8 【答案】D 【分析】先由题中条件，结合余弦定理求出，再由是角平分线，利用求出，根据基本不等式求出最小值，再计算向量数量积即可. 【解析】因为在中，，所以，则 又角的内角平分线，则， 又， 则， 即， 化简得：，即，当且仅当时，等号成立， 因此，当且仅当时，等号成立. 故选：D. 15．（2025高一·河北月考）已知点为等腰外接圆上的一个动点，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分析可知，作出图形，设，，利用余弦定理求出的值，对点的位置进行分类讨论，求出的值，利用余弦定理结合基本不等式可求出的取值范围，再利用平面向量数量积的定义可求得的取值范围. 【解析】在等腰中，，则， 若，则，矛盾； 若，则，合乎题意. 由于余弦定理可得， 设，， 当点在优弧（不包括点、）上运动时，，则， 由余弦定理可得， 所以，，当且仅当点与点重合时，等号成立， 又因为，此时，， 此时，； 当点与点或点重合时，； 当点在劣弧（不包括点、）上运动时，， 此时，， 由余弦定理可得， 即，当且仅当点为劣弧的中点时，等号成立， 又因为，则， 此时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 16．（2025高三·广西柳州月考）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出； （2）由面积公式求出，由正弦定理得到，不妨设，，得到.延长至点, 使得, 连接，构造相似三角形，在中，由余弦定理得到，由基本不等式求出，得到角平分线长的最大值. 【解析】（1）由正弦定理，得，即， 故， 因为，所以， 所以； （2）由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 在中，由正弦定理，得， 在中，由正弦定理，得， 因为AD为角A的角平分线，所以， 又，所以，所以， 不妨设，，则，故， 延长至点E，使得，连接， 则，又， 所以，故，， 则，， 则，， 在中，由余弦定理，得， 即， 因为，所以， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故，故. 所以长的最大值为. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 考点4 用对勾函数的性质求最值或范围 17．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理结合面积公式，再应用同角三角函数关系求出，由正弦定理边角互化，再应用两角和差公式化简，最后应用基本不等式及对勾函数的单调性求解即得. 【解析】在锐角，由余弦定理可知， 由面积公式可得，代入到已知条件可得 ， 因为，化简可得， 根据恒等变换可得，因为锐角， 所以，所以可得， 所以， 则， 因为锐角，所以， 则，在单调递增， 则，令，所以， 所以，由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增， 当时，是极小值，当或时，最大值， 则. 故选：C 18．（2025高三·湖北月考）在锐角中，角所对的边分别是，满足. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正余弦定理化简得，再利用两角和差的正弦公式及三角形的性质得，得证；（2）弦切互化转化为正弦复合函数，先求角C的范围，然后换元，利用函数单调性求范围. 【解析】（1）由及余弦定理 得， 由正弦定理得：， 又， ， ， ， 都是锐角， ，即. （2）令 ， 由（1）得， 在锐角三角形中，，即， 解得，， 令，， 又函数在上单调递增， ， 故的取值范围是. 19．（2024·江苏淮安·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两角差的正弦及平方关系求出、的值，再用表示，求出的取值范围，利用对勾函数的性质即可求出的取值范围． 【解析】解：中，， 即，得， 又，， 所以， 化简得， 解得，或（不合题意，舍去），则， 所以， 由，且，，解得， 所以，所以， 所以， 设，其中， 所以， 由对勾函数在上单调递减， 可得：在单调递减； ，， 所以． 故选：A． 1．（2025高一·贵州贵阳月考）在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理结合辅助角公式和正弦函数的性质可求的取值范围. 【解析】因为，故， 由正弦定理可得，而为三角形内角，故， 故，而为三角形内角，故为锐角， 故，故，故即， 故（为外接圆半径），故， 因为，，所以，则. 故 ， 其中，且， 由锐角三角形可得，故， 故， 因为，且，故，则，， 所以时，，取得最大值. 当时，， 当时，， 故， 故选：C. 2．（2025高一·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围. 【解析】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C 3．（2025高一·山东枣庄·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式得到，再由正弦定理将边化角，转化为的三角函数，由的范围计算可得. 【解析】因为，则由正弦定理得， 又， 所以， 则， 又，，则 所以或，即或（舍去）， 所以，解得，则， 所以 因为， 所以 因为，所以，所以， 即的取值范围是． 故选：D． 4．（2025高一·河南南阳·期中）在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理及有两解，列不等式求边长范围. 【解析】因为且，有两解， 所以，得． 故选：C 5．（2025高三·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可得，再由余弦定理结合基本不等式即可得的最小值. 【解析】因为， 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以， 所以. 因为，所以，则． 由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B. 6．（2025高一·浙江·期中）中，若，，则的面积的取值范围 . 【答案】 【分析】由已知可求得，利用正弦定理可得，利用，结合边化角与三角恒等变换可求得的面积的取值范围. 【解析】由和余弦定理， 可得， 即，所以， 因为，所以， 又因为， 由正弦定理，， 则得， ， 因为，所以， 所以，则， 故的面积的取值范围. 故答案为：. 7．（2025高三·全国月考）已知锐角中，角的对边分别为，满足条件，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将边化为角，结合两角和与差的正弦公式可求得，利用正弦定理可得，进而可化简所求，再结合条件转化为关于角C的函数，进而求解范围. 【解析】由题可得，由正弦定理得， 因为 所以， 所以，即 而，， 则或，即或（舍去），故， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以的取值范围是， 由正弦定理可得：，则， 所以，所以， 因为，，所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是． 故答案为： 8．（2025高一·山东青岛·期中）已知的内角，，的对边分别为．若为锐角三角形，，且，则周长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求周长的取值范围. 【解析】由正弦定理得（为外接圆的半径）， 所以，， 因为，则， 所以 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，所以，故， 所以周长的取值范围. 故答案为： 9．（2025高一·吉林长春·期中）如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，，，则 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 / / 【分析】连接，由已知结合余弦定理可得，，可填第一空；设，在中，有，利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式化简求解可填第二空. 【解析】连接，中，，， 由余弦定理得， 则，所以是等腰三角形，所以， 所以； 设，在中，， 所以是等腰三角形，在中，有， 所以，在中，， 由余弦定理得：， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，， 所以的最大值是. 故答案为：；. 10．（2025高一·四川成都·期中）已知中，角的对边分别为，，.过点作的垂线，为上一点，若，且点在外部，则线段长的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，则，，由正弦定理可得，进而可求得，可求得其取值范围. 【解析】设，，则，， 在中，由正弦定理知，， ， 在中，由正弦定理知，， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以， 故线段长的取值范围为. 故答案为： 11．（2025高一·广东·期中）已知等腰中，，点D满足，且，则BD的最小值为 . 【答案】 【分析】作出辅助线，得到三角形全等，设，则，要使最小，应在同侧，在中，由余弦定理得到，从而得到当时，取得最小值. 【解析】取中点，连接， 因为，所以， 因为，所以， 又，故， 且，所以≌， 设， 则，，， 如图，要使最小，应在同侧， 故， 在中，由余弦定理知 ， 其中 ， 于是 ， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为： 12．（2025高一·重庆·期中）在中，内角的对边分别为，已知，且的外接圆直径为4，则周长的最大值为 . 【答案】 【分析】利用正弦定理将已知条件转化为角的关系，求出角，再结合正弦定理求出边，最后根据三角函数的性质求出周长的最大值． 【解析】在中，已知，由正弦定理得：. 因为，那么， 则，得. 因为，所以，两边同时除以可得， 又因为，所以. 已知的外接圆直径为4，即， 由正弦定理可得， .且， 则的周长. 所以 ， 因为，所以， 当，即时，取得最大值1， 此时周长的最大值为. 故答案为：. 13．（2025高二·湖南月考）锐角的内角的对边分别为，已知且． (1)求角C的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正弦定理进行角换边得，再利用余弦定理即可得到答案； （2）利用正弦定理得，则，再根据角的范围即可得到答案. 【解析】（1）已知， 由正弦定理，得， 所以．因为，所以． （2），由正弦定理，则， 可得 ， 又因为锐角，所以，所以， 所以， 所以． 14．（2025高一·山东济南·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由数量积坐标公式计算结合两角和正弦公式计算求解； （2）应用余弦定理结合三角形面积公式计算求解； （3）先应用正弦定理结合三角恒等变换计算，再应用正弦函数值域计算求解. 【解析】（1），， 即， ，， 又，，， （2），， ， ，， 的周长为． （3）在锐角三角形ABC中，， 因为根据正弦定理，所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即，所以， 即，， 所以. 15．（2025·河南·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若边上的中线长为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式得到，再利用正弦定理边化角即可得证； （2）利用平面向量加法的平行四边形法则将中线转化为向量表示，再利用基本不等式即可求解. 【解析】（1）由余弦定理，得， 故，即，当且仅当时等号成立， 由正弦定理可得， 又，故，即. （2） 设为的中点，则有， 两边平方得，， 即， 故，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为4. 16．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为，，， (1)求证：； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理得到，再结合，得到，进而可求证； （2）先确定，再结合正弦定理得到，，进而可求解. 【解析】（1）由得， 从而， 得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理得， 又在三角形中，， 所以． 所以，即． 所以或， 即或． 因为，，所以． （2）由得， 所以， 即，解得， 因为，由正弦定理得，所以， 由正弦定理得 ， 故的周长． 令，由（1）知，所以． 因为函数在上单调递增， 所以周长的取值范围为． 17．（2025高三·河北沧州月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由诱导公式和两角和的正弦公式转化条件等式，再结合正弦定理角化边和余弦定理即可求解角B； （2）由正弦定理进行边化角得到，再利用结合两角差的正弦公式和余弦函数性质即可求解. 【解析】（1）在中，有， 所以， 由正弦定理得， 由余弦定理得，所以， 因为，所以． （2）由正弦定理得， 所以， 因为，所以，故的取值范围为． 18．（2025高一·江苏·期中）在中，． (1)若的面积为，求； (2)若，且为锐角三角形，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于，先利用正弦定理将边化角，再利用和角的正弦公式展开，即可求出角，再由三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理即可； （2）先利用正弦定理表示出，即可得到周长的表达式，再由是锐角三角形得到角范围，即可借助三角函数求出周长的取值范围． 【解析】（1）因为，所以由正弦定理可得， ， 又因为在中，， 所以， 整理可得，又因为，， 所以，因为，所以. 因为，所以. 因为，所以由余弦定理可知，， 所以. （2）因为，又由（1）可知，所以， 由正弦定理可知， 所以， 所以的周长 . 因为为锐角三角形，所以， 解得，所以， 所以， 所以， 即周长的取值范围为. 19．（2025·江西新余·模拟预测）已知、、分别为斜中角、、的对边，． (1)求； (2)已知的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知，由已知条件及正弦定理化简得出，再利用正弦定理可求得的值； （2）由三角形的面积公式结合同角三角函数的基本关系可求出、的值，利用余弦定理可得出，然后利用基本不等式可求得的最小值. 【解析】（1）因为， 由正弦定理得，， 即， 因为为斜三角形，所以，故， 由正弦定理可得． （2）由（1）知，，所以， 所以， 即， 因为，则，故，所以， 所以，则， 所以， 当且仅当，即时，取最小值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 拓展05 三角形中范围（最值）问题 4考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，三角形中的范围（最值）问题是三角函数、解三角形与函数思想结合的典型题型。这类问题以三角形的边、角、面积等元素为载体，要求学生通过三角恒等变换、定理应用或函数性质，求解边长、角度、面积等变量的范围或最值。其核心难点在于如何将几何条件转化为代数表达式，并选择合适的函数工具（如三角函数、二次函数、对勾函数等）进行分析，综合考查学生的逻辑推理、数学运算及化归转化能力。 【处理角度】 1.三角恒等变换角度：利用正弦定理、余弦定理将边与角的关系相互转化，结合三角恒等变换（如和角公式、辅助角公式）将目标表达式化简为单一三角函数形式，利用三角函数的有界性求解。 2.函数与方程角度：通过引入变量（如角度、边长参数），将问题转化为二次函数、对勾函数等常见函数模型，利用函数的单调性、极值或不等式性质求最值。 3.几何直观角度：结合三角形的几何性质（如外接圆、中线、高）或图形运动（如点的轨迹），通过几何图形的直观分析确定变量的临界状态，进而求解范围。 【解法策略】 1. 用三角函数的性质求最值 适用题型：涉及三角形内角的三角函数表达式、边角关系可通过正弦定理转化为单一角的函数，或需利用三角函数有界性的问题。 策略分析： 利用正弦定理将边长比转化为角的正弦比，结合三角形内角和定理消元，将目标表达式转化为关于某一内角的三角函数，通过辅助角公式化简后，根据角的范围（如锐角三角形中角的限制）确定三角函数的取值范围，进而求得最值。 2. 用二次函数的性质求最值或范围 适用题型：目标表达式为边长的二次式，或可通过设参（如中线长、高）转化为二次函数的问题（如面积平方、边长平方和）。 策略分析： 设某一边长为变量，利用余弦定理或面积公式建立目标表达式，整理为二次函数形式，根据二次函数的开口方向、对称轴及变量取值范围（如三角形边长的正数限制、两边之和大于第三边），求函数的最值或值域。 3. 用基本不等式求最值 适用题型：目标表达式可分解为两个正数的和或积，或满足 “和定积最大”“积定和最小” 条件的问题（如面积与边长的关系、周长最值）。 策略分析： ①将目标表达式通过定理（如余弦定理、面积公式）转化为边或角的乘积、平方和形式，构造基本不等式的结构。 ②注意验证等号成立的条件（如边长相等、角度为特殊值），确保最值的可行性。 4. 用对勾函数的性质求最值或范围 适用题型：目标表达式为分式形式或可通过换元转化为 的问题，常见于边角关系复杂或需结合三角函数值域的题目。 策略分析： ①通过正弦定理或变量代换将表达式转化为对勾函数形式，利用其 单调性，结合变量范围求最值。 ②注意换元后变量的取值范围，确保函数单调性的正确应用。 考点1 用三角函数的性质求最值 1．（2025高三·湖北月考）在中，为边的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二·云南昭通·期中）的内角的对边分别为，若的面积，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·北京·期末）已知在中， ，设， 记的最大值为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 4．（2025·福建莆田·模拟预测）在中，，的面积为3，则的最小值为 ． 5．（2025高一·黑龙江大庆月考）在中，，，、两点分别在边，上．若，则的最大值为 ． 6．（2025高三·浙江月考）在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三·河北沧州·期中）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点2 用二次函数的性质求最值或范围 8．（2025高二·吉林四平月考）在中，，分别为，的中点，，，则面积的最大值为 ． 9．（2025高一·上海宝山·期末）锐角中，角、、的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2025高一·重庆九龙坡·期中）在中，角的对边分别为，其面积为，已知，则（1） ；（2）的最大值为 ． 考点3 用基本不等式求最值 11．（2025高三·山东潍坊·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，是上的点，平分，，且，则面积的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D． 12．（2025高三·广东月考）设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是（   ） A． B． C． D． 13．（2025高二·四川南充·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（2025高三·福建泉州·期末）设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ） A． B． C． D．8 15．（2025高一·河北月考）已知点为等腰外接圆上的一个动点，，则的取值范围为 . 16．（2025高三·广西柳州月考）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值． 考点4 用对勾函数的性质求最值或范围 17．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（2025高三·湖北月考）在锐角中，角所对的边分别是，满足. (1)求证：； (2)求的取值范围. 19．（2024·江苏淮安·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（2025高一·贵州贵阳月考）在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·山东枣庄·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（   ） A．B． C． D． 4．（2025高一·河南南阳·期中）在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2025高三·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 6．（2025高一·浙江·期中）中，若，，则的面积的取值范围 . 7．（2025高三·全国月考）已知锐角中，角的对边分别为，满足条件，则的取值范围为 ． 8．（2025高一·山东青岛·期中）已知的内角，，的对边分别为．若为锐角三角形，，且，则周长的取值范围是 ． 9．（2025高一·吉林长春·期中）如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，，，则 ；若，则的最大值为 ． 10．（2025高一·四川成都·期中）已知中，角的对边分别为，，.过点作的垂线，为上一点，若，且点在外部，则线段长的取值范围为 . 11．（2025高一·广东·期中）已知等腰中，，点D满足，且，则BD的最小值为 . 12．（2025高一·重庆·期中）在中，内角的对边分别为，已知，且的外接圆直径为4，则周长的最大值为 . 13．（2025高二·湖南月考）锐角的内角的对边分别为，已知且． (1)求角C的大小； (2)求的取值范围． 14．（2025高一·山东济南·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 15．（2025·河南·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若边上的中线长为，求的最大值. 16．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为，，， (1)求证：； (2)若，求周长的取值范围． 17．（2025高三·河北沧州月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围． 18．（2025高一·江苏·期中）在中，． (1)若的面积为，求； (2)若，且为锐角三角形，求周长的取值范围． 19．（2025·江西新余·模拟预测）已知、、分别为斜中角、、的对边，． (1)求； (2)已知的面积为，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$