八下期末真题百题大通关（113题6题型）（压轴版）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（人教版）

八下期末真题百题大通关（113题6题型）（压轴版） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 选填小压轴 题型一 面积问题 题型二 多解问题 题型三 最值问题 题型四 多结论问题 解答压轴 题型五 几何证明与计算大综合 题型六 坐标系中的综合题 题型一 面积问题 1．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图1，四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿路线A-B-C-D运动.设点的运动时间为，的面积为，当运动到的中点时，的面积为（　　）      A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，中，．分别以为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为，则等于 ． 4．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，的面积为12，将沿方向平移到处，使点与C重合，连结交于点D，则的面积为 ． 5．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ． 6．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为 ． 7．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在正方形中，，，，则 ． 8．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在正方形中，E是边上一点，F是边延长线上一点，连接，，，若，， ，则的面积为 9．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，，射线交线段于点于点于点平分交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．若将点沿翻折，点刚好落在点处，此时，连接，则的面积为 ． 10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰在第一象限，且 轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，那么的面积为 11．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，点在直线上，过点作轴，交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于、两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，…，按此规律进行下去． （1）等腰直角的面积为 ， （2）等腰直角的面积为 ． 题型二 多解问题 12．（24-25八年级上·河南郑州·期末）在直角三角形中，，，，，点是边上的一点（不与、重合），连接，将沿折叠，使点落在点处．当是直角三角形时，的长为 ． 13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点P的坐标为 ． 14．（22-23八年级上·江西吉安·期末）如图，直线与轴和轴分别交与A、两点，射线于点A，若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以、、A为顶点的三角线与全等，则的长为 ． 15．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点A，直线与x轴交于点B，直线：过点，点C是横轴上任意一点，满足：是等腰三角形的点C坐标是 ．    16．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 ． 17．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点都在坐标轴上，其中，，对角线相交于原点，若一次函数的图象将菱形分成面积之比为的两个平行四边形，则直线的解析式为 ． 18．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点D是直线上一点，连接，，点E是线段的中点，连接，以为边作正方形（点C，E，F，G按逆时针方向排列），则的面积为 ． 题型三 最值问题 19．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点是轴上的一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，连接．则长度的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 21．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，，．如果D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（   ） A． B．5 C． D．6 24．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，点P的坐标为 ，此时的最小值为 ． 25．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N．点P在平面内．，点，则长度的最大值是 ． 26．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，等腰的底边，面积为189，点在边上，且，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为 ． 27．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）如图，在中，，，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是 ． 28．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为 ；的最大值为 ． 29．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为 ． 30．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在菱形中，，，E，F分别为边和的中点，连接，点P是上一动点，则的最小值为 ． 31．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 32．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 33．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，C为平面内一点且，连接，点P为的中点，则的最大值为 ． 34．（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，则的最小值是 ． 35．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，分别交轴于，两点．若的三个顶点分别在和轴三条直线上，且满足，，则线段的最大值为 ；当点在轴上时，取的中点，点的坐标为，连接，则的最小值为 ． 36．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，若点是某个正方形的两个对角顶点，则称 互为“正方形关联点”，这个正方形被称为 的“关联正方形”，已知点，点在直线上，正方形是点的“关联正方形”， 顶点到直线的距离分别为，则 的最小值为 ． 37．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图，在中，是的平分线．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 38．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，为等边三角形，点P为边上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，点是边的中点，连接．若，则的最小值为 ． 39．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，以为斜边作直角，以的各边为边分别向外作正方形，于M，于N，则图中阴影面积和的最大值为 ． 40．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，矩形中，，，为上一点，以为边构造等边（、、按逆时针方向排列），连接、，则的最小值为 ． 41．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，正方形边长为1，为对角线上的一个动点，过作的垂线并截取，连接，周长的最小值为 ． 42．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是 ． 43．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点A是y轴正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为 ． 44．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为 ．    45．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ． 题型四 多结论问题 46．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，对角线和相交于点O，点E在上，连接，过点E作的垂线交于点F，连接，过点E作垂足为点H，以为边作等边三角形，连接交于点M，下列四个命题或结论：①；②；③；④若，则四边形MEDG的面积是．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 47．（22-23八年级下·天津红桥·期末）关于函数（为常数），有下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若图像经过二、三、四象限，则的取值范围是；④若函数图像与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是．其中，正确结论的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 48．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进．此过程中，甲、乙两人离A地的路程s（）与甲出发的时间t（）之间的关系如图．下列说法：①A，B两地相距；②甲比乙晚到B地；③乙从A地刚出发时的速度为；④乙出发与甲第三次相遇．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 49．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 50．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，，，点在边上（与，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点坐标为，点坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点的坐标；⑤．其中正确的个数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 51．（23-24八年级下·重庆铜梁·期末）定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法： ； 的解集为 若点函数的图象上一点，则点到轴的距离最小值是． 以上说法中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 52．（23-24八年级下·重庆巫山·期末）关于的新函数定义如下： （1）当时， （2）当是正整数，是整数，，且，不含除1以外的公因数）时，； （3）当为无理数时，． 例：当时，；当时，． 以下结论：①当时，； ②若、是互不相等且不为0的有理数，当时，函数值记为，当时，函数值记为，当时，函数值记为，则一定有 ③若，则对应的自变量有且只有四种不同的取值； ④若，则满足的自变量的取值共有5个． 正确的个数有（      ） A．①③④ B．②④ C．①④ D．②③ 53．（23-24八年级下·浙江台州·期末）直线与的图象交于点，下列判断①关于的方程的解是②当时，关于的不等式的解集是③设直线，则直线一定经过定点④当原点到直线的距离最大时，则．正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 54．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）等腰中，，记，周长为y，定义为这个三角形的坐标，如图所示，直线将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，所有正确结论的序号是（     ） ①对于任意等腰，其坐标不可能位于区域Ⅰ中； ②对于任意等腰，其坐标可能位于区域Ⅳ中 ③若是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中； ④图中点M所对应的等腰三角形的底边比点N所对应的等腰三角形的底边要长． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①④ 55．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 56．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 57．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点C的直线翻折纸片，得到折痕，使点D落在上的点H处，连接与交于点I．则下列结论中正确的个数为（    ） ①；②为等边三角形；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 58．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，且，于点H，连接并延长，交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 59．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，连结、、，交于点．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 60．（22-23八年级上·四川达州·期末）如图，正方形中，在的延长线上取点E，F，使，，连接分别交于H，G下列结论，下列结论：①；②；③；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 61．（24-25八年级上·北京西城·期末）如图，于点D，交于点E，延长交于点F．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 62．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，平分，点是的中点，过点作的垂线与的延长线相交于点，则下列结论中正确的个数；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 63．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列结论：甲步行的速度为米/分；乙走完全程用了分钟；乙用分钟追上甲；乙到达终点时，甲离终点还需要走分钟．其中正确的结论有 ．（填序号）    64．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）公路旁依次有、、三个村庄，小明和小红骑自行车分别从村，村同时出发匀速前往村（到了村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，、分别表示小明和小红与村的距离和骑行时间之间的函数关系，下列结论：①，两村相距；②小明每小时比小红多骑行；③出发后两人相遇；④图中．其中正确的是 ．（填序号） 65．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小亮家、小刚家、体育馆顺次在同一条直线上，周末小亮从家匀速步行去体育馆打羽毛球．小亮出发4分钟经过小刚家时，小刚跟随小亮一起前往体育馆，两人走了4分钟后，小刚发现自己忘记带装备，于是小刚加速返回家，取了装备后（取装备用了一段时间）又以返回家时的速度赶往体育馆；小亮仍以原速度前行，结果小刚比小亮提前1分钟到达体育馆．若小亮与小刚两人和体育馆之间的距离（米）与小刚出发的时间（分钟）之间的函数图象如图所示，则以下说法正确的是 （填写序号）． ①小刚返回家的速度为250米/分钟；    ②小亮与小刚家相距600米； ③小亮用了24分钟到达体育馆；    ④小刚回家后用了0.6分钟取装备； ⑤小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家2725米． 66．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰中，，，是边上中线，点D、E分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积保持不变；③长度的最小值为2；④．其中正确结论的序号是 ． 67．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图，在中，，，是的中点，，分别是线段，上的动点（点不与点，重合），且满足，给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积为； ④点到点距离的最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 68．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，P是对角线上的一动点，则①；②；③若M为上的一个动点，则的最小值为；④若于点M，于点N，则． 其中正确的有 （填序号）． 69．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，．点E、F分别在边、上（点E不与A、D重合）且，于点P，交于点Q，于点M，交于点N．给出下面四个结论：①；②；③四边形是矩形；④平分四边形的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 70．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）直线为常数，，且与直线为常数，且交于点．下列四个结论： ①； ②关于的方程的解为； ③随着的增大而减小； ④直线沿轴平移后得到直线，直线交直线于点，若点的纵坐标为，则不等式的解集是． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 71．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）小明同学在研究函数（为常数）时，得到以下四个结论：①当时，随的增大而增大；②当时，有最小值0，没有最大值；③该函数的图象关于轴对称；④若该函数的图象与直线（为常数）至少有3个交点，则．其中正确的结论是 ．（请填写序号） 72．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，．  点是边上一动点，点在上，且．有下列结论： ①点的坐标为； ②；   ③四边形的面积为定值； ④当为的中点时，的面积和周长最小． 其中正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 73．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点与点重合时，；③的面积的取值范围是．其中所有正确结论的序号是 ． 74．（22-23八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，点是正方形的对角线上一个动点，于点，于点，连接，有下列5个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值等于．其中正确结论的序号是 ．    75．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，矩形中，，连接，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，直线分别交于点，连接． 下列四个结论： ①四边形是菱形；②；③；若， 则． 其中正确的结论是 ．（填序号） 题型五 几何证明与计算大综合 76．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 如图，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：如图，延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段，，之间的数量关系是________． （2）如图，在等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【结论应用】 如图，在四边形中，，，，在边和分别有一点和点，使的周长恰好是长的倍，求此时的度数． 77．（23-24八年级上·福建宁德·期末）验证勾股定理： 课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德（）利用图1验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？ (1)小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片（，，（），）拼出如图2能验证勾股定理的图形（顶点A，E重合，顶点F在边上，连接，） 解：用两种方法计算四边形的面积， 方法1：四边形的面积_______， 方法2：四边形的面积_______， 因为这两种方法都表示四边形的面积，可得等式：_______． 化简可得：． (2)请你仿造小明的思路，用两个全等的直角三角形纸片拼出一个不同于图1，图2的能验证勾股定理的图形，画出示意图，写出验证过程．如果你没有思路，请利用图1进行验证． 78．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）已知，点D在直线右侧． (1)如图1，若请直接写出和之间的数量关系：　　　　 (2)如图2，若则和有怎样的数量关系？证明你的结论． (3)如图3，若，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． ①若，求的长； ②，求的长． 79．（23-24八年级下·陕西安康·期末）【问题提出】 （1）如图，在中，，，，为边的中点，连接，则的长为____________． 【问题探究】 （2）如图，在四边形中，，，，，且为的中点，连接，求线段的最大值． 【问题解决】 （3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块四边形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图，是的中点，把四边形分成了两部分，其中四边形内种植油葵，内种植豌豆，是步行通道．为方便种植，要让步行通道最长．若米，，，且，修建步行通道每米花费元，则学校修建步行通道最多需要花费多少钱？（参考数据：）    80．（23-24八年级下·内蒙古通辽·期末）已知和都是等腰直角三角形，，绕着顶点A旋转． (1)如图1，若D点恰好落在边上，连接． ①求证：； ②若G为中点，连接，当点D在直线上运动时，若，求线段的最小值； (2)若D不在边上，交于点F，且，．当是直角三角形时，求长．（图2，图3是备用图） 81．（23-24八年级上·吉林长春·期末）解答 （1）方法原型：如图①点B、A、C在同一条直线上，，且，，则． （2）问题解决：（1）中的之间的数量关系为 ． （3）拓展延伸：如图②，中，，，点D为射线上一点，以为直角边在的右侧作等腰，使． i．如图②，连结，当时，求的面积． ii．如图③，当时，请直接写出点E到边的距离． 82．（23-24八年级上·四川成都·期末）在和中，点D在边上，，． (1)若． ⅰ）如图1，当时，连接，证明：； ⅱ）如图2，当时，过点A作的垂线，交边于点F，若，，求线段的长； (2)如图3，已知，作的角平分线交边于点H，若，，当时，求线段的长． 83．（23-24八年级上·四川成都·期末）在四边形中，，，点E是边上一点，连接，将沿直线翻折得到，射线交边于点G． (1)如图1，求证：； (2)当时． （i）如图2，若四边形的面积为24，且当点G与D重合时，，求的长； （ⅱ）在边上取一点H，连接，使得，若的面积是的面积的2倍，求的长． 84．（23-24八年级上·江西抚州·期末）的所对边分别是a，b，c，若满足，则称为类勾股三角形，边c称为该三角形的勾股边． 【特例感知】如图1，若是类勾股三角形，为勾股边，且，是中线，求的长； 【深入探究】如图2，是的中线，若是以为勾股边的类勾股三角形，①分别过A，B作的垂线，垂足分别为E，F，求证 ②试判断与的数量关系并证明； 【结论应用】如图3，在四边形中，与都是以为勾股边的类勾股三角形，M，N分别为的中点，求线段的长． 85．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知在，，点P在边上，连接． (1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； (2)过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 86．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，在中，，，点为内部一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，当点落在上时，求的度数； (3)如图3，若为的中点，，求的长． 87．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在四边形中，，点E在上，平分，平分，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，四边形对角线交于点O，连接， ①探究之间的等量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 88．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）问题背景： （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 尝试应用： （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，则的长为______； 深入思考： （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，求证：平分； 拓展创新： （4）如图4，和中，为锐角，点D在边上，点B在边上，，垂足为F，且，若，，，求的长． 89．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践 【性质探究】 （1）如图1，在四边形中，对角线，交于点，且，求证：． 【性质运用】 （2）如图2，在中，，，，分别以的边，为直角边向外作等腰和等腰．连接，，，与交于点，求线段的长． 【拓展迁移】 （3）如图3，在锐角三角形中，，，，分别以的边，为边向外作等边三角形和等边三角形．连接，，，与交于点．试通过计算写出与之间的等量关系．    90．（23-24八年级下·吉林长春·期末）教材呈现： 如图是华师版八年级下册数学教材第101页的部分内容， 如图，点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边长分别为8和15，求点到矩形的两条对角线和的距离之和． 问题解决： 如图①，过点分别作，分别交于点、，设与相交于点，连结，利用与的面积之和是矩形面积的，可知点到矩形的两条对角线和的距离之和(即)为______． 实践应用： （1）如图②，在中，为底边上的任意一点，过点作，垂足分别为，求的值． （2）如图③，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为上一动点(不与重合)，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点和，以为邻边作平行四边形．，直接写出的周长______． 91．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图1，在矩形中，，点，分别是，的中点，连结，交于点． (1)当且时，如图2，求的面积． (2)若，求此时的值． (3)连结，请问能否为等腰三角形，若能，求出的值，若不能，请说明理由． 92．（23-24八年级下·山西长治·期末）实践与探究 【问题情境】 数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是华东师大版八年级下册教材中我们研究过的图形，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形． 的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形 绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下： 证明：如图②，分别作 于点 ， ， 又 ， ， 又∵ ， 且， ， ， 【初步感知】 （）请你补全以上证明过程； （）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线经过正方形的对称中心，直线分别与 交于点，直线分别与交于点，且若正方形的面积是，则四边形的面积为______； 【深入探究】 （）受图③的启发，探究组做了图④，若 ，求四边形 的面积； 【拓展应用】 （）如图④，请写出线段 与之间的数量关系，并说明理由． 93．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是______． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 (2)如图1，在边长为4的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由； ②如图2，连接，求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，求的长． 94．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图是李老师在一节课中的例题内容． 已知：如图，在中，E、F是对角线上的两点，并且．求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ，． ． 又， ． ． 【结论应用】 如图①，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点，且，，连接、，请判断四边形的形状，并证明． 【拓展提升】 如图②，点G、H是正方形对角线上的两点，且，；E、F分别是、的中点，连接与相交于点O． （1）则四边形的形状为______； （2）若，则的面积为______． 95．（23-24八年级下·河南许昌·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展教学活动． 操作一：对折边长为6的正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平． 【数学思考】 （1）如图①，当点M落在上时，则的度数为_________. 【猜想证明】 （2）如图②，在（1）的条件下，延长交于点N，猜想与的数量关系为_________，并证明你的猜想； 【拓展延伸】 （3）小华在以上操作的基础上继续探究，连接，当点M落在上时（如图③），过点P作于点I，请直接写出的长． 96．（23-24八年级下·河南濮阳·期末）王老师带领同学们研究解决课本上的一个习题： 【课本再现】 人教版八年级下册． 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） （1）取的中点G，连接，证明如下： 在正方形中，∵E是边的中点，G是边的中点 ∴ ∴ ∵是正方形外角的平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴（ ）（填写全等的理由） ∴ 解决完这个问题后，王老师问同学们，若点E是边任意一点会如何呢？因此导出了下面的问题： 【问题解决】 （2）如图（1），四边形是正方形，点E是边的一点，，交正方形外角的平分线于点F，与是否仍然相等，请给出你的证明． 【拓展探究】 （3）如图（2），四边形是正方形，点E是直线上一点，，EF交正方形外角的平分线于点F．若，，直接写出的长． 97．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）已知：如图（1），在正方形中，点E为边上一点，把沿翻折，使点B落在点的位置，连接． (1)若点E是边的中点， ①求证：； ②如图（2），若点F为边的中点，沿将正方形纸片折叠，点D的对应点，与交于点H，与交于点G．求证：四边形为矩形； (2)某兴趣小组根据上面的结论，进行了如下的实践操作： 如图（3），正方形的边长为4，点E、点F分别为边上的点，将正方形纸片沿折叠，使得点B落在对角线上的点处，点D落在对角线上的点处，与对角线的交点为点M，与对角线的交点为点N，分别连接．则四边形的面积为________． 98．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在正方形中，点是线段上一个动点（与点、不重合），过点作线段于点，且，连接，过点作，交于点，交于点，连接． (1)求证： ①； ②四边形是平行四边形； (2)如图，点是延长线上一点，当点在线段上运动时，求证：点始终在的角平分线上． 99．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，M为正方形内一点，，连接，． (1)如图1，求的度数； (2)过点B作于点G，连接． ①如图2，试探究和的数量关系，并证明； ②如图3，连接交于点E，若，，请直接写出的长为________． 100．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图1，正方形的边长为4，点在上（不与重合），点在上（不与重合）且满足，连接并交于点． (1)请问：线段与满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (2)如图2，连结，若点为的中点，求的周长． (3)如图3，延长至点使，连结，．若，求的面积． 题型六 坐标系中的综合题 101．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，两边、在坐标轴上，为线段上一点，且，连接、． (1)点D的坐标为 ； (2)若点从点出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向运动，当与点重合时运动停止设点的运动时间为秒，连接，将的面积记为，请用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 102．（22-23八年级下·河北沧州·期末）如图，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点P是平行四边形边上的一个动点．    (1)点B的坐标为_________；点C的坐标为________； (2)点G是与y轴的交点，求点G的坐标； (3)若点P在上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标； (4)若点在折线上，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们交于点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点的坐标． 103．（23-24八年级下·云南普洱·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长（）是方程组的解，点C是直线与直线的交点，点在线段上，． (1)求点的坐标． (2)求直线的解析式． (3)当点P在直线上运动时，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 104．（23-24八年级下·吉林·期末）如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x，y轴分别交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．    (1)求n、k的值； (2)已知点D是直线：上的一个动点． ①过点D作轴，交直线于点P，当点D，P关于x轴对称时，则点D的横坐标为______； ②连接，当的面积是面积的2倍时，求点D的坐标； (3)如图②，设点E的坐标为，且，连接，以为边向下作正方形． ①用含t的式子表示点M的坐标为(______，______)； ②连接，若落在的内部（含边上），则t的取值范围是______． 105．（23-24八年级下·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，对于线段a，给出如下定义：直线：经过线段a的一个端点，直线：经过线段a的另一个端点．若直线与交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”． (1)如图，线段a的两个端点分别为和，则在点，，中，线段a的“双线关联点”是　　　　　； (2)，是直线上的两个动点． ①点P是线段的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标； ②正方形的四个顶点的坐标分别为、、、，其中，当点A，B在直线上运动时，不断产生线段的“双线关联点”，若所有线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上，直接写出t的取值范围． 106．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，当四边形周长最小时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由 107．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）定义：我们把一次函数（）与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为（，1）． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． (3)若直线（）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”． ①点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． ②点Q在直线（）上，若点Q与边上的三点能构成平行四边形，请直接写出n的取值范围． 108．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，点B是第二象限一次函数的图象上一点，且，点C的坐标为． (1)求A，B的坐标； (2)若点D是线段上一点，且三角形的面积是三角形的一半，求的面积和点D的坐标； (3)在（2）的条件下，x轴是否存在一点P，使得为等腰三角形．若存在，请求出点P的坐标．若不存在，请说明理由． 109．（23-24八年级下·广西玉林·期末）已知点O为原点，矩形的边、分别在y轴、x轴上，，，点B在第一象限，直线分别交线段及x轴、y轴于点D，E，F．      (1)求点D、E的坐标及三角形的面积； (2)如图1，P为线段（不包括端点）上一动点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)如图2，M是线段上一动点，点N在第一象限，且在直线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，求出点N的坐标． 110．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图1，平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是的中点，直线过定点，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，当时， 过点C作，交于点F，在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形，若存在，请求出所有满足条件的点P；若不存在，请说明理由． (3)点N在直线上，且，连接，点M为的中点，连接．求线段的长度的最大值，并直接写出此时点N的坐标． 111．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． (1)求直线的表达式； (2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，在直线上是否存在点Q，使以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 112．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图1，过点作轴于点，作轴于点，连接，点是线段上的一点，连接，过点作，交轴于点，点在射线上，且，连接，设点坐标为． (1)若点的坐标为，求所在直线的解析式； (2)求； (3)如图2，延长与直线交于点，当为等腰三角形时，求点坐标． 113．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为． (1)直接写出点A的坐标以及直线的解析式； (2)如图1，点D在x轴上，连接，使，求点D的坐标； (3)如图2，已知点在第四象限内，直线交y轴的负半轴于点P，过点A作直线，交y轴于点Q，当m的值发生改变时，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八下期末真题百题大通关（113题6题型）（压轴版） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 选填小压轴 题型一 面积问题 题型二 多解问题 题型三 最值问题 题型四 多结论问题 解答压轴 题型五 几何证明与计算大综合 题型六 坐标系中的综合题 题型一 面积问题 1．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图1，四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿路线A-B-C-D运动.设点的运动时间为，的面积为，当运动到的中点时，的面积为（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、(等腰)梯形的定义 【分析】首先结合图形和函数图像判断出的长和的长，进而可得的长，从而可得点坐标，然后再计算出当时直线解析式，然后再代入的值计算出即可． 【详解】解：四边形中，，， ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度， 当点从运动到处需要秒，则， 根据图像：当时，点运动到点，的面积为， ∴， ∴， 根据图像：当点运动到点时，面积为， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是梯形， 又∵， ∴四边形是直角梯形， ∵，点的速度是每秒个单位长度， ∴运动时间为秒， ∴， 设当时，函数解析式为， ∴， 解得：， ∴当时，函数解析式为， 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴当运动到的中点时的时间， ∴， ∴当运动到的中点时，的面积为． 故选：A．          【点睛】本题考查动点问题的函数图像，三角形面积公式，直角梯形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，用待定系数法确定一次函数的解析式，函数图像上的点的坐标特征．利用数形结合的思想方法是解题的关键． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，正确得出与的面积相等是解题关键．过点作于点，过点作，交延长线于点，先求出和，根据含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，根据三角形的面积公式可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求出，由此即可得． 【详解】解：如图②，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴，，，，， ∴， ∴在中，， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ， ∴在中，， ∴， ∴， 同理可得：， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可证：， ∴，， ∴， 又∵，， ∴是等边三角形， 如图②，过点作于点， 则， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，中，．分别以为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为，则等于 ． 【答案】12 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查正方形和直角三角形，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形判定和性质，矩形判定和性质，是解题关键． 过F作的垂线交于D，连接，证明得到，再证明，得到，进一步证明，，则可证明，由此求解即可． 【详解】解：过F作于点D，连接，则， 设和的交点为T，和的交点为K， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴． 由，可得：， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∴，， ∴ ． 故答案为：12． 4．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，的面积为12，将沿方向平移到处，使点与C重合，连结交于点D，则的面积为 ． 【答案】6 【知识点】根据三角形中线求面积、利用平行四边形的判定与性质求解、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质、与三角形中线有关的面积的计算，连接，由平移的性质可得：，，，从而得出四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图：连接， ， 由平移的性质可得：，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先证明四边形都是平行四边形，然后证明，根据，求出即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 6．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．连接交于G，交于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形和．易得．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积． 【详解】解：如图，连接交于G，交于H， 平行且等于，平行且等于， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ． ∴六边形的面积平行四边形的面积+三角形的面积三角形的面积 ， 故答案为： 7．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在正方形中，，，，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】设正方形的边长为x,由可得，由此可求出正方形的边长x，进而可求出，再根据即可求出的长． 本题主要考查了勾股定理和正方形的性质，根据，利用面积法求出正方形的边长是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为x, 则， ， ， ， 解得， ， ， 又， 解得． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在正方形中，E是边上一点，F是边延长线上一点，连接，，，若，， ，则的面积为 【答案】4 【知识点】利用二次根式的性质化简、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，由正方形的性质得出，证明，得出，由勾股定理得出，，得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ， ，即， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故答案为：4． 9．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，，射线交线段于点于点于点平分交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．若将点沿翻折，点刚好落在点处，此时，连接，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、翻折性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用等角对等边证明是解答的关键．先利用同角的余角相等得到，再证明得到，，然后证明，得到，进而利用等角对等边得到，设，，结合翻折性质得到，，，然后利用勾股定理求得，最后由求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分交的延长线于点， ∴，又，， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则， ∵将点沿翻折，点刚好落在点处， ∴，则,， 在中，，，， 由勾股定理得，则， 解得， ∴ ， 即的面积为． 故答案为：． 10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰在第一象限，且 轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，那么的面积为 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算、一次函数图象平移问题、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数图像的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，过点作于点，根据图形可得到，，由直线与轴的夹角为，得到，利用勾股定理即可求出，进而得到，再得到，根据三角形面积公式计算即可求解，从函数图像上获取信息，并掌握直线与轴的夹角为是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，则 由图可得，当直线经过点时，，， 当直线向右平移经过点时，与相交于点， 此时，由图可得，，， ∴，， ∵直线与轴的夹角为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，点在直线上，过点作轴，交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于、两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，…，按此规律进行下去． （1）等腰直角的面积为 ， （2）等腰直角的面积为 ． 【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题、一次函数与几何综合、等腰三角形的定义 【分析】先根据点的坐标及轴求出的坐标，进而得到的长及的面积，再根据的坐标及轴求出的坐标，进而得到的长及的面积，根据变换规律的长得到的面积，依次类推即可找出规律，进而可得到的面积． 【详解】解：(1)∵，轴，且点在直线上， ，， ， ， ∵是等腰直角三角形， ， ． 故答案为： （2）， ， ∵轴，且点在直线上， ， ， ， ， ， ∵轴，且点在直线上， ， ， ， ， ， ， 依次类推，． 故答案为：． 【点睛】此题考查一次函数的性质，图像上点的坐标特点，等腰直角三角形的性质，根据图像依次计算得到点的坐标规律是计算面积的关键. 题型二 多解问题 12．（24-25八年级上·河南郑州·期末）在直角三角形中，，，，，点是边上的一点（不与、重合），连接，将沿折叠，使点落在点处．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或2 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是根据勾股定理得到，根据已知条件得到当是直角三角形时或①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到，，，，推出点E在上，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在中，，， ∴， 点D是边上的一点， ∴， ∴当是直角三角形时，或， ①当时，则， 将沿AD折叠，使点C落在点E处， ∴， ∴， ②当时， 将沿AD折叠，使点C落在点E处， ∴，， ， ∴ ∴点E在上，如图， ∴，，， ∴， ∵ ∴，即 解得：， 综上所述，的长为或2 故答案为∶ 或2． 13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点P的坐标为 ． 【答案】或或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 利用正方形的性质得到，进而得到中点D的坐标为，再分当点P在上时、当点P在上时、当点P在上时三种情况，分别利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，点B的坐标是， ∴， ∴中点D的坐标为， 如图所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“完美三角形”， ∴， ∴，解得． ∴点P的坐标为． 如图2所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为， 如图3所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 14．（22-23八年级上·江西吉安·期末）如图，直线与轴和轴分别交与A、两点，射线于点A，若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以、、A为顶点的三角线与全等，则的长为 ． 【答案】3或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】根据一次函数解析式可求出A点和B点坐标，从而求出的两条直角边，并运用勾股定理求出．根据已知可得，分别从或时，即当时，，或时，，分别求得的值，即可得出结论． 【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别交与A、B两点， 当时，即， 解得：． 当时，， ∴． ∴． ∴． ∵，点C在射线上， ∴，即． ∵， ∴． 若以C、D、A为顶点的三角形与全等，则或，即或． 如图1所示，当时，， ∴； 如图2所示，当时，， ∴． 综上所述，的长为3或． 故答案为：3或． 【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 15．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点A，直线与x轴交于点B，直线：过点，点C是横轴上任意一点，满足：是等腰三角形的点C坐标是 ．    【答案】或或或 【知识点】已知两点坐标求两点距离、一次函数与几何综合、利用平方根解方程 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用，先求得两点的坐标，再根据是等腰三角形，分情况讨论求解即可． 【详解】解：由直线：过点可得： ，即， 直线：与x轴交于点B， 则时，，即， 联立直线：和直线：可得 ， 解得，即， 点C是横轴上任意一点，设， 由勾股定理可得：，， 是等腰三角形，则或或， 当时，即， 解得或（舍去）， 即； 当时，， 解得 即； 当时，， 解得或， 即或， 故答案为：或或或． 16．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】由平移方式确定点的坐标、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合、坐标与图形 【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，坐标与图形，设，根据平移规则，得到，进而得到点在直线上，根据是等腰三角形，分，两种情况讨论，求出点坐标，进而求出点坐标，本题的难度较大，掌握数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 设，则：， ∴点在直线上， 当是等腰三角形，分两种情况： ①当时，过点作，则：， ∵， ∴两点重合， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，过点作，则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴    故答案为：或． 17．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点都在坐标轴上，其中，，对角线相交于原点，若一次函数的图象将菱形分成面积之比为的两个平行四边形，则直线的解析式为 ． 【答案】或或或 【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一次函数的性质，解题关键是掌握菱形的性质及分类讨论．根据菱形的特征求出四个顶点坐标，及对角线长度，然后分别求出直线、直线的解析式，根据菱形分成面积之比为的两个平行四边形，得一次函数分别平行于或，然后分类讨论分别求出一次函数k，b，即可得出函数解析式 【详解】解：菱形的四个顶点都在坐标轴上，， ∴，， ，，， 设直线的解析式为，将，代入得 解得：， 设直线的解析式； 设直线的解析式为，将，代入得 解得：， 设直线的解析式； ∵一次比例函数的图象将菱形分成两个平行四边形， ∴一次函数的图象平行于或， 当一次函数图象平行于时，交、于点M，N交y轴于点Q， ， 菱形分成两个平行四边形， ，， ， ∴； 或， ， ， ， ∴； 当一次函数图象平行于时， 同理可知：或， 或， 综上所述一次函数解析式为、、或． 18．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点D是直线上一点，连接，，点E是线段的中点，连接，以为边作正方形（点C，E，F，G按逆时针方向排列），则的面积为 ． 【答案】或 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、二次根式的混合运算 【分析】分当点D在上时，当点D在延长线上时，两种情况分别过点E，G作的垂线，垂足分别为M、N，，再根据图形面积之间的关系求解即可． 【详解】解：如图所示，当点D在上时，分别过点E，G作的垂线，垂足分别为M、N， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴ 如图所示，当点D在延长线上时，分别过点E，G作的垂线，垂足分别为M、N， 同理可得， ∴ ； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 题型三 最值问题 19．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、垂线段最短、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，作点关于的对称点，连接，，过点作于，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，再利用等积法可求解． 【详解】解：∵一次函数分别交轴、轴于、两点， 当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于，    ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点，点三点共线时，有最小值，即有最小值， 此时，是等边三角形， ∵， ∴ ∴， ∴有最小值为， ∴的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点的位置是解题的关键． 20．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点是轴上的一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，连接．则长度的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、一次函数与几何综合 【分析】作轴且，连接，延长交轴于，求出点坐标为，点坐标为，得出，得出点，设点，则，证明得出，，得出，，三点共线，从而得到，得出，再由勾股定理表示出，即可得出答案． 【详解】解：如图，作轴且，连接，作轴于， ，直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则，解得，令，， 点坐标为，点坐标为， ， 轴， ，， 点坐标为， 设点，则， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，，三点横坐标相同，都为， ，，三点共线， ， ， 点是线段的中点， ， ， ， 当即时，最小，为， 的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合程度较高，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 21．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将容器侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求 高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜 ，，， 故选：D． 22．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、已知两点坐标求两点距离、利用平移的性质求解 【分析】如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，证明，得出，以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，勾股定理求得的长，进而转化为到和的距离的和，作关于轴的对称点，求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 依题意，，则， ，则， 设， ∵ ∴ ∴ 即到和的距离的和 如图所示，作关于轴的对称点 ∴ 的长为的最小值，最小值为． 故选：D ． 【点睛】本题考查了等腰三角的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质求线段和的最值问题，坐标与图形，转化线段的长为的长是解题的关键． 23．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，，．如果D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【知识点】垂线段最短、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】延长到点F，使得，则直线是线段的垂直平分线，连接，于是得到，，于是就变成了，根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高，过点F作于点G，求即可． 此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 【详解】解：延长到点F，使得， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， 连接， ∴，， ∴就变成了， 根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高， 过点F作于点G， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 24．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，点P的坐标为 ，此时的最小值为 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数与轴对称最短距离和问题，先根据点在直线上求出点的坐标，在根据对称性点B的对称点，求出解析式，即可求出点P及距离即可得到答案． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴点B关于x轴对称点的坐标为：， 连接交x轴于一点即为最小距离和点P， ， 设的解析式为：， ， 解得：， ∴， 当时， ， ∴， 此时最小，， 故答案为：，． 25．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N．点P在平面内．，点，则长度的最大值是 ． 【答案】5 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，一次函数的图象和性质，勾股定理； 取的中点E，连接，根据直角三角形斜边中线的性质可得，则点P在以点E为圆心，为半径的圆上，然后求出点M、N的坐标，利用中点坐标公式求得，利用勾股定理求出、，根据点C与点N重合可知，当P与M重合时，取最大值，最大值为即可求解． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， ∵点在平面内，， ∴在中，， ∴点P在以点E为圆心，为半径的圆上， 在直线中，当时，； 当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴点C与点N重合，取最大值，最大值为， ∴当P与M重合时，不成立， 故答案为：5． 26．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，等腰的底边，面积为189，点在边上，且，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查轴对称最短问题、线段的垂直平分线的性质、勾股定理的应用，等腰三角形的性质；如图作于，连接，．由垂直平分线段，推出，推出，可得当、、共线时，的值最小，最小值就是线段的长；进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图作于，连接，． 垂直平分线段， ， ， 当、、共线时，的值最小，最小值就是线段的长， ，， ∴， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 周长的最小值为； 故答案为． 27．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）如图，在中，，，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理,熟练掌握轴对称的性质及等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．作点N关于的对称点，连结，，过点B作于点H，则，所以，当与点H重合时，点M为与的交点，取最小值，再根据等腰三角形的三线合一性质，得到，，根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积，即可求得答案． 【详解】解：作点N关于的对称点，连结，，过点B作于点H， 则， ， 当与点H重合时，点M为与的交点，取最小值， ，平分， ，， ， ， ， 解得． 故答案为：． 28．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为 ；的最大值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理；过点作，使得，过点作于点，连接，证明得出，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长，延长至使得，连接，则进而勾股定理，即可求解； 【详解】解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接， 在中， ， ∴， ∴， ∴，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 如图所示，延长至使得，连接，则， ， ∴， 故答案为：，． 29．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为 ． 【答案】/7.2 【知识点】三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，则，根据轴对称得和，那么，周长为，当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为，利用勾股定理求得，等面积法求得，则有，在中求得即可． 【详解】解：作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，如图， 则四边形为平行四边形， ∴， ∵点C关于线段AB的对称点， ∴，， ∴， 则周长为， 当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， 则，周长最小为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质和三角形三边关系的应用，解题的关键是熟悉轴对称的性质和平行四边形的性质． 30．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在菱形中，，，E，F分别为边和的中点，连接，点P是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】最短路径问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质与判定、最短路径问题，熟练掌握以上知识点，利用等边三角形的性质证出是解题的关键．连接、，连接交于点，由菱形的性质和可得出是等边三角形，进而得出垂直平分，得到，则有，再证出，利用全等三角形的性质求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，连接、，连接交于点， 菱形，，， ，，，， 是等边三角形， ， 又E，F分别为边和的中点， ，垂直平分， 点P是上一动点， ， 在和中， ， ， ， ， 当三点共线时，有最小值4． 故答案为：4． 31．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、矩形与折叠问题 【分析】连接，由折叠的性质及题意易得，则有是等边三角形，进而可得；设，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得可得，则求得，，进而求得，根据对称性得到，当、Q、E共线时取等号，进而可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，，， ∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕， ∴，，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， 则在中，， ∴， ∴， ∵在中，，又 ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵点Q是折痕上的一个动点，点A与点关于对称， ∴连接，则， ∴，当、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及二次根式的运算、含30度角的直角三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最短路径是解题的关键． 32．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】连接，过点A作交于点M．即可得，结合图形可得当时最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过点A作交于点M． ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴是的中位线， ∵要使线段最小， ∴最小即可， 则当时最小， ∵， ∴， ∴， ， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，含的直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识点，添加辅助线构造中位线是解题的关键． 33．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，C为平面内一点且，连接，点P为的中点，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边中线，三角形中位线，连接，取中点，连接，，根据勾股定理求出，利用斜边中线得到，利用为中位线，得到，最后根据求最大值即可． 【详解】解：连接，取中点，连接，， ∵在平面直角坐标系中，点，， ∴，，， ∴， ∵为斜边中点， ∴， ∵点P为的中点， ∴为中位线， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，最大， 故答案为：． 34．（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点A作于N， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点P与点N重合时，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 35．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，分别交轴于，两点．若的三个顶点分别在和轴三条直线上，且满足，，则线段的最大值为 ；当点在轴上时，取的中点，点的坐标为，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、轴对称最短路线等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意知是等腰直角三角形，所以，再结合图形很容易发现当点在轴上，会有最大值，此时也最大，利用一线三垂直全等求解即可； （2）看见求线段和，优先考虑“将军饮马模型”，所以需要找点的运动轨迹，由题易得点在的直线上运动，因此作对称点，求解即可． 【详解】解：(1)由题意得是等腰直角三角形， ∴， ∴当有最大值时，则亦有最大值， 如图，当点在轴上，会有最大值， 过作轴于点，过作轴于点， ∵直线，分别交轴于，两点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴； 如图，设点在上，点在上， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴点在的直线上， 作点关于的对称点，则， ∴， 连接， ∴，当且仅当三点共线时取等， ∵， ∴， 在中，， ∴最小值为； 故答案为：，． 36．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，若点是某个正方形的两个对角顶点，则称 互为“正方形关联点”，这个正方形被称为 的“关联正方形”，已知点，点在直线上，正方形是点的“关联正方形”， 顶点到直线的距离分别为，则 的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】过作于点，于点，可得，证明，根据全等三角形的性质得，，则，求最小，则求最小，则，即求出最小值即可，求出直线解析式为，联立方程，得，然后用两点间的距离公式求出，从而得解． 【详解】如图，过作于点，于点， ∴ ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 求最小，则求最小， ∵， ∴求出最小值， 根据垂线段最短可知，当时，最小，即最小， 设此时直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，利用待定系数法求直线的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线的性质，两点间的距离公式，两条直线交点坐标的求法等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 37．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图，在中，是的平分线．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】三角形角平分线的定义、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】由题意知，，，如图，过作于，过作于，则，，，，可知当三点共线，且时，的值最小，为，由勾股定理得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 如图，过作于，过作于， ∴，， ∴，， ∴当三点共线，且时，的值最小，为， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，含的直角三角形，勾股定理等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 38．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，为等边三角形，点P为边上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，点是边的中点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确得出点的运动轨迹在射线上是解题关键．先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵点是边的中点，， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在点运动过程中，始终有， ∴在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ∴在 中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 39．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，以为斜边作直角，以的各边为边分别向外作正方形，于M，于N，则图中阴影面积和的最大值为 ． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，完全平方公式的应用． 向两端延长，交于点P，交于点Q，过点C作于点O，证明，得到，，同理得到，，从而．设，，则，根据完全平方公式可得，再根据的面积得到，即可解答． 【详解】解：向两端延长，交于点P，交于点Q，过点C作于点O， 由题意可得，，，，， ， ∵， ， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴，， 同理可证， ∴，， ∴ ∴当取得最大值时，阴影面积和为最大． 设，， ∵在中，， ∴， ∵，即， ∴ ∵， ∴， ∴的最大值为， 此时阴影面积的和最大为． 故答案为： 40．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，矩形中，，，为上一点，以为边构造等边（、、按逆时针方向排列），连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】先根据矩形的性质、勾股定理、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，证明是等边三角形，利用等边三角形性质即可证明，由全等三角形性质可得，推得是的垂直平分线，则有，推得当、、三点共线时，最小值为长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、， 矩形中，，，， ， 点是的中点，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 当点、点、点三点共线时，的最小值为的长， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、勾股定理、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，解题关键是证明三角形全等． 41．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，正方形边长为1，为对角线上的一个动点，过作的垂线并截取，连接，周长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】过作交于，连结、，证四边形为矩形，得，据此知，再求出，当时，取得最小值，此时，从而得出答案． 【详解】解：过作交于，连结、，如图所示： ，， ， ， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， 当时，取得最小值此时， 周长的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查轴对称最短路线问题，涉及等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、矩形的判定与性质、轴对称最短路线问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质及轴对称的性质． 42．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短等知识点，是确定出何时最短是解题的关键． 根据已知得出四边形是矩形得出，要使最小，只要最小即可，再根据勾股定理求得，最后根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵，于F，于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴要使最小，只要最小即可，即当时，最小， 在中，， 由勾股定理得：， 由三角形面积公式得：， ∴，即的最小值是． 故答案为：． 43．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点A是y轴正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长 【分析】取中点M，连接 ，，利用勾股定理，两点之间线段最短原理解答即可． 【详解】解：取中点M，连接 ，， ∵，，正方形， ∴，， 由勾股定理可得， ∵， 当O，M，C三点共线时，最大，且最大值为， 故答案为：. 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握相关知识是解题的关键． 44．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为 ．    【答案】// 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，正确作出辅助线是解题关键．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成求的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，最后利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、，   ，， ． 四边形是矩形， ， 四边形为矩形， ， 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ， 的长度最小为：． 故答案为：． 45．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，垂线段最短．解题的关键是理解两点之间线段最短，以及点到直线垂线段最短，添加辅助线构造特殊三角形． 过点作于点，连接过点作于点，，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，进而得到当当三点共线时，的值最小为的长，再根据点到直线，垂线段最短，得到当时， 最小，即点与点重合，再利用含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴， ∴， ∵将长方形沿对角线折叠，得， ∴， ∴， 过点作于点，连接过点作于点，则：， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵点到直线，垂线段最短， ∴当时， 最小，即点与点重合， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：的最小值为． 题型四 多结论问题 46．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，对角线和相交于点O，点E在上，连接，过点E作的垂线交于点F，连接，过点E作垂足为点H，以为边作等边三角形，连接交于点M，下列四个命题或结论：①；②；③；④若，则四边形MEDG的面积是．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】一次函数与几何综合、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】如图所示，过点E作于N，证明四边形是正方形，得到，则，证明得到，即可判断①；证明，推出，由三线合一定理即可判断②；设交于T，证明四边形是矩形，再证明，同理可得，得到，再由，即可得到，即可判断③；如图所示，以B为原点，以所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，先求出直线的解析式为；再求出，，则，进一步求出，再根据求解即可判断④． 【详解】解：如图所示，过点E作于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 设交于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 又∵， ∴，故③正确； 如图所示，以B为原点，以所在的直线为x轴，y轴建立坐标系， ∵，四边形是正方形， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得， ∴， ∴ ，故④正确； 故选D．    【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 47．（22-23八年级下·天津红桥·期末）关于函数（为常数），有下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若图像经过二、三、四象限，则的取值范围是；④若函数图像与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是．其中，正确结论的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】①根据一次函数定义即可求解；②，即可求解；③图像经过二、三、四象限，则，，解关于的不等式组即可；④函数图像与轴的交点始终在正半轴，则，即可求解． 【详解】解：①根据一次函数定义：形如的函数为一次函数， ， ， 故①正确； ②， 无论取何值，函数图像必经过点， 故②正确； ③图像经过二、三、四象限， ， 解不等式组得：， 故③正确； ④令，则， 函数图像与轴的交点始终在正半轴， ， ， 经分析知：， 解这个不等式组得， 故④正确． ①②③④都正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点．解答此题的关键是熟知一次函数图像上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系． 48．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进．此过程中，甲、乙两人离A地的路程s（）与甲出发的时间t（）之间的关系如图．下列说法：①A，B两地相距；②甲比乙晚到B地；③乙从A地刚出发时的速度为；④乙出发与甲第三次相遇．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)、分式方程的行程问题 【分析】本题考查一次函数的实际应用，以及分式方程的实际应用，根据函数与图象中的信息，结合时间、路程、速度三者之间的关系和追击问题的等量关系，对上述说法一一分析，即可解题． 【详解】解：由图知甲、乙两位同学最终停下来时，离A地的路程s（）最大为， ①正确， 由图知乙到B地时，甲到B地时，（）， ②正确， 乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进． 设乙从A地刚出发时的速度为，则停留后的速度为， 由图知乙在中途停留前已走，则停留后行驶路程为（），总的行驶时间为（）， 有，解得， 乙从A地刚出发时的速度为（）， ③正确， 根据图象可知，甲的速度为 乙在途中停留后，二者第三次相遇， 乙中途停留前运动时间为 乙的第二个拐点时间为（）， 由图知第三次相遇在第二个拐点之后，即第三次相遇时间大于第二个拐点时间， 设乙继续前进t小时后二者相遇， 根据题意得： 解得 故第三次相遇为乙出发后 ④正确． 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 49．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题主要考查函数图象问题，涉及平行四边形的性质，由点的速度和路程可知，时，点和点重合，过点作于点，求出的长，进而求出的长，得出点的速度；由图2可得当时，点和点重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键． 【详解】解：，点的速度为， 当点从点到点，用时， 当时，过点作于点， ， ， 在中，， ，， ， 点的运动速度是；故①正确； 点从到，用时， 由图2可知，点从到用时， ，故②正确； ，故③正确； 当点未到点时，过点作于点， ， 解得，负值舍去； 当点在上时，过点作交延长线于点， 此时， ， ， 解得， 当时，的值为或9．故④错误； 故选：C． 50．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，，，点在边上（与，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点坐标为，点坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点的坐标；⑤．其中正确的个数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、已知两点坐标求两点距离、根据正方形的性质证明 【分析】由正方形的性质得到，，证明，得到，，再证明，即可证明四边形是矩形，故①正确；则，再由，可得，故②错误；在中，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，，故③正确；如图所示，过点E作轴于T，同理可证明，可得；求出直线解析式为，可得，故④错误；则，故⑤正确． 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为， ∴； 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形，故①正确； ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③正确； 如图所示，过点E作轴于T， 同理可证明， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴，故④错误； ∴，故⑤正确； ∴正确的有3个， 故选B．    【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正确利用一线三垂直模型证明三角形全等是解题的关键． 51．（23-24八年级下·重庆铜梁·期末）定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法： ； 的解集为 若点函数的图象上一点，则点到轴的距离最小值是． 以上说法中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】新定义下的实数运算、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据新定义运算法则并结合一次函数的性质即可判断求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，故正确； 当，即时， 由得，， 解得， ∴不等式无解，该情况不存在； 当，即时， 由得，， 解得， ∴，故正确； 当，即时， ， 当时，， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴点到到轴的距离大于； 当，即时， ， 当时，， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴点到到轴的距离大于； ∴点到到轴的距离大于，故正确； ∴说法中正确的个数为个， 故选：． 52．（23-24八年级下·重庆巫山·期末）关于的新函数定义如下： （1）当时， （2）当是正整数，是整数，，且，不含除1以外的公因数）时，； （3）当为无理数时，． 例：当时，；当时，． 以下结论：①当时，； ②若、是互不相等且不为0的有理数，当时，函数值记为，当时，函数值记为，当时，函数值记为，则一定有 ③若，则对应的自变量有且只有四种不同的取值； ④若，则满足的自变量的取值共有5个． 正确的个数有（      ） A．①③④ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【知识点】不等式的性质、函数解析式、求自变量的取值范围 【分析】本题考查函数的概念，弄清所给的函数的概念，结合不等式的知识进行推断是解题的关键． ①根据函数的定义求值即可； ②举一个反例说明即可； ③根据定义，由的值求出相应的值即可； ④根据的范围，设，求出，再由的可能取值，确定的所有可能取值即可． 【详解】解：①是无理数， 当时，； 故①符合题意； ②、是互不相等且不为0的有理数， 设，则， 设，则， ，则， 故②不符合题意； ③时，或或， 故③不符合题意； ④， 一定是有理数，且， 设，则， ， ， 的可能取值为1，2，3， 当时，可以取2023，2024，共2个， 当时，可以取4047，共1个， 当时，可以取6070，6071，共2个， 的自变量的取值共有5个， 故④符合题意； 故选：C 53．（23-24八年级下·浙江台州·期末）直线与的图象交于点，下列判断①关于的方程的解是②当时，关于的不等式的解集是③设直线，则直线一定经过定点④当原点到直线的距离最大时，则．正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】A 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数、根据两条直线的交点求不等式的解集、用勾股定理解三角形 【分析】根据两条直线交点与对应方程组的关系可判断①；把点代入两个函数关系式，可求出，结合可求出的范围，进而可判断②③；当时，原点到直线的距离最大，结合勾股定理即可判断④． 【详解】解：∵直线与的图象交于点， 当时，， ∴当时，， ∴关于的方程的解是，故①正确； ∵直线与的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴过一、二、三象限，随的增大而增大， 由直线与的图象交于点，作图如下： 由图可知，不等式的解集是，故②正确； ∵与的图象交于点， ∴当时，， ∴直线一定经过定点，故③正确； 如图，当时，原点到直线的距离最大 ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得；故④错误； 综上，正确的结论是①②③； 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，一次函数与不等式，一次函数的图象和性质，坐标与图形，属于常考题型，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 54．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）等腰中，，记，周长为y，定义为这个三角形的坐标，如图所示，直线将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，所有正确结论的序号是（     ） ①对于任意等腰，其坐标不可能位于区域Ⅰ中； ②对于任意等腰，其坐标可能位于区域Ⅳ中 ③若是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中； ④图中点M所对应的等腰三角形的底边比点N所对应的等腰三角形的底边要长． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①④ 【答案】A 【知识点】不等式的性质、一次函数与几何综合、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】设，则．根据，利用不等式的性质得出，即可判断①；根据三角形任意两边之和大于第三边，得出，利用不等式的性质得到，即可判断②；③根据等腰直角三角形的性质、不等式的性质得出，即可判断③；分别求出点、点所对应等腰三角形的底边范围，即可判断④． 【详解】解：如图，等腰三角形中，，记，周长为， 设，则， ①∵， ， ∴对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的上方，不可能位于区域I中，故结论①正确，符合题意； ②∵三角形任意两边之和大于第三边， ，即， ， ∴对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的下方，不可能位于区域IV中，故结论②错误，不符合题意； ③若三角形是等腰直角三角形，则， ， ， ， 即， ∴若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域III中，故结论③正确，符合题意； ④由图可知，点位于区域III中，此时， ， ， 点N位于区域Ⅱ中，此时， ， ， ∴点所对应等腰三角形的底边比点所对应等腰三角形的底边长，故结论④正确，符合题意． 故选：A． 【点睛】本题是一次函数综合题，涉及到一次函数的图象与性质，三角形三边关系定理，等腰三角形、等腰直角三角形的性质，不等式的性质，难度适中．理解三角形的坐标的意义，利用数形结合思想是解题的关键． 55．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】化为最简二次根式、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，作于，由等边三角形的性质可判断①；证明，是等边三角形，可得，求解，可得判断③，可得，可判断②，可得，如图，过作于点，则，进一步可判断④⑤不符合题意． 【详解】解：连接，作于， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意， ∵，，， ∴，故②符合题意， ∴， 如图，过作于点，则， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴， 而，， ∴， ∴；故⑤不符合题意， 综上①②③符合题意，共个， 故选：B． 56．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、判断三边能否构成直角三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②③正确；然后由平行四边形的性质得，则④错误；最后求出，故⑤错误；即可得出答案． 【详解】解：，，， 是直角三角形， ，故①正确； ，都是等边三角形 和都是等边三角形 ，， 在与中 ，故②正确； 同理可证： 四边形是平行四边形，故③正确； ，故④错误； 过作于，如图所示：    则 四边形是平行四边形 ，故⑤错误． 综上所述，正确的是①②③，共3个． 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 57．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点C的直线翻折纸片，得到折痕，使点D落在上的点H处，连接与交于点I．则下列结论中正确的个数为（    ） ①；②为等边三角形；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】由折叠得：，垂直平分，，故，那么为等边三角形，即可判断①②；由四边形是正方形得到，那么，由三角形内角和定理可得，故③正确；对于和，通过勾股定理计算说明不相等即可． 【详解】解：由折叠得：，垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故①②正确， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵为等边三角形，，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴在中，， 而， ∴，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，综合性较强，难度较大． 58．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，且，于点H，连接并延长，交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】证明为等腰直角三角形，得到，根据，判断①；根据等边对等角，结合角的和差关系，三角形的内角和定理，推出，判断②；证明判断③；角平分线的性质，得到，根据线段的和差关系，推出，判断④即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，；故①正确； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，；故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，理清角度，线段之间的关系，是解题的关键． 59．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，连结、、，交于点．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】连接，，证明，由等腰三角形的性质得出，再由直角三角形的性质得出，可判定①；证明四边形是菱形，由菱形的性质得出，可判定②；四边形为平行四边形，是对角线，所以不一定平分，可判定③；证明四边形是平行四边形，得出，可判定④． 【详解】解：①连接， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴，故①错误； ②连接， ∵E是的中点，F是的中点， ∴，， ∴，即， ∴ ∵G是的中点， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故②正确； ∵四边形为平行四边形，是对角线， ∴不一定平分，故③错误； ④∵， ∴ ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确； ∴正确的有②④关，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角 三角形的性质，三角形中位线的性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键． 60．（22-23八年级上·四川达州·期末）如图，正方形中，在的延长线上取点E，F，使，，连接分别交于H，G下列结论，下列结论：①；②；③；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质证明、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 根据正方形的性质和已知推出四边形是平行四边形，得到，无法证出G为的中点；，推出，求出，得到，求出即可；根据三角形的面积公式推出和四边形的面积相等；可得有9个等腰三角形． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 要使，只要G为的中点即可， 但， ∴， 即和不全等， ∴G不是中点， ∴①错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴②正确； ∵， ， ∴， ∴， 要使和四边形的面积相等，只要和的面积相等即可，根据已知条件， ∴③；正确， 等腰三角形有； ∴④错误； 故选：D． 61．（24-25八年级上·北京西城·期末）如图，于点D，交于点E，延长交于点F．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】根据平行线的性质结合题意可证，即得出，故①正确；由平行线的性质结合题意可证，又可求出，即得出，结合勾股定理即可求出，故②错误；过点C作于点G，根据角平分线的性质定理得出，再由，即得出，故③正确；由题意可求，即得出，根据，即，可证，故④错误． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，即． ∵， ∴， ∴，故②错误； 如图，过点C作于点G， ∵， ∴． ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴，故④错误． 综上可知正确结论是①③ 故选B． 【点睛】本题考查平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握上述知识是解题关键． 62．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，平分，点是的中点，过点作的垂线与的延长线相交于点，则下列结论中正确的个数；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、三角形角平分线的定义 【分析】由，，得，由平分得，所以，则，而，所以，可证明，得，可判断正确；由，可判断正确；求得，可证明，可判断错误；由，且，推导出，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，平分， ，， ， ， ， 点是的中点， ， ， 交的延长线于点， ， ， 在和中， ， ， ，故正确； ，， ，故正确； ，， ， 不是等腰直角三角形， ，故错误； ， ， ， ，故正确； 故选：C． 【点睛】此题考查直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 63．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列结论：甲步行的速度为米/分；乙走完全程用了分钟；乙用分钟追上甲；乙到达终点时，甲离终点还需要走分钟．其中正确的结论有 ．（填序号）    【答案】 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题所需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得：甲步行速度（米/分），故正确； 设乙速度为：米/分， 由题意得：， 解得：， 乙的速度为米/分， 乙走完全程的时间（分），故正确； 由图可知，乙追上甲的时间为：（分），故错误； 乙到达终点时，甲离终点的距离是：（米）,甲离终点还需要走：（分钟），故正确； 正确的结论有， 故答案为：． 64．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）公路旁依次有、、三个村庄，小明和小红骑自行车分别从村，村同时出发匀速前往村（到了村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，、分别表示小明和小红与村的距离和骑行时间之间的函数关系，下列结论：①，两村相距；②小明每小时比小红多骑行；③出发后两人相遇；④图中．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③ 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一元一次方程的应用，根据函数图象即可判断①；求出小明、小红的速度即可判断②；设二人出发后相遇，根据题意列出一元一次方程，解方程即可判断③；求出小明到达村所用时间即可判断④；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，，两村相距，故①正确； 小明的骑行速度为：， 小红的骑行速度为：， 小明每小时比小红多骑行，故②错误； 设二人出发后相遇， 由题意可得：， 解得：， 故出发后两人相遇，故③正确； 小明到达村所用时间为， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③； 故答案为：①③． 65．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小亮家、小刚家、体育馆顺次在同一条直线上，周末小亮从家匀速步行去体育馆打羽毛球．小亮出发4分钟经过小刚家时，小刚跟随小亮一起前往体育馆，两人走了4分钟后，小刚发现自己忘记带装备，于是小刚加速返回家，取了装备后（取装备用了一段时间）又以返回家时的速度赶往体育馆；小亮仍以原速度前行，结果小刚比小亮提前1分钟到达体育馆．若小亮与小刚两人和体育馆之间的距离（米）与小刚出发的时间（分钟）之间的函数图象如图所示，则以下说法正确的是 （填写序号）． ①小刚返回家的速度为250米/分钟；    ②小亮与小刚家相距600米； ③小亮用了24分钟到达体育馆；    ④小刚回家后用了0.6分钟取装备； ⑤小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家2725米． 【答案】①②③④ 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象 【分析】本题考查从函数图象获取信息，根据题意和图象中的数据，可以分别计算出各个小题中的说法是否正确，从而可以判断哪个小题符合题意． 【详解】解：由图象可得， 小刚返回家的速度为： （米/分钟）， 故①正确，符合题意； 小亮与小刚家相距为： （米）， 故②正确，符合题意； 小亮到体育馆用的时间为：（分）， 故③正确，符合题意； 小刚从家到体育馆用的时间为： （分）， 小刚回家后取装备用的时间为： （分）， 故④正确，符合题意； 小刚取了装备后追上小亮时用的时间为分钟， ， 解得， ∴小刚取了装备后追上小亮时距离小亮家距离为： （米）， 故⑤错误，不符合题意； 故答案为：①②③④． 66．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰中，，，是边上中线，点D、E分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积保持不变；③长度的最小值为2；④．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质．①连接，证明，可以得出结论正确；②根据两三角形全等时面积也相等得：，利用割补法知：，是定点，所以△的面积是定值，即四边形的面积保持不变；③由于是等腰直角三角形，因此当最小时，也最小，可以得出结论正确；④根据，判断即可． 【详解】解：连接， ，， ， 是边上的中点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， 是等腰直角三角形；故①正确； ∴， ， ， ． 四边形的面积保持不变；故②正确； ∵是等腰直角三角形， ∴， 当时，的值最小，此时的值最小， ∵，，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为，故③错误； ④∵，且， ∴．故④正确； 故答案为：①②④． 67．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图，在中，，，是的中点，，分别是线段，上的动点（点不与点，重合），且满足，给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积为； ④点到点距离的最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 取、中点、，连接，，利用可证得，然后根据全等三角形的性质即可判断结论①；根据是的中点，得到，进而可推出，据此即可判断结论②；根据，可求出四边形的面积，于是可判断结论③；根据，即可求得点到点距离的最小值，进而可判断结论④；综上，即可得出答案． 【详解】解：取、中点、，连接，， ，为的中位线， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ，，， ， ，故结论①正确； 四边形为正方形， ， 是的中点，， ， ，故结论②正确； ， ，故结论③错误； ，， 当点移动到，移动到点时，达到最小值， ， ，故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 68．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，P是对角线上的一动点，则①；②；③若M为上的一个动点，则的最小值为；④若于点M，于点N，则． 其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③④ 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明 【分析】利用菱形的性质可证明为等边三角形，以及，则可得到，再利用等边三角形的性质可判断①；利用勾股定理可判断②；在上截取，连接，可证明得到，则可推出当三点共线，且时有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此可判断③；根据含30度角的直角三角形的性质得到，，据此可得判断④；． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③正确； ∵，， ∴， ∴，， ∴，故④正确， ∴正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 69．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，．点E、F分别在边、上（点E不与A、D重合）且，于点P，交于点Q，于点M，交于点N．给出下面四个结论：①；②；③四边形是矩形；④平分四边形的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．由勾股定理判断①，由反证法判断②，由矩形定义判断③，由三角形全等判断④即可． 【详解】解：①，故①正确； ②若， ∵，，， ∴， 又∵是矩形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴，与已知矛盾，故②错误； ③∵， ∴是矩形，故③正确； ④∵，， ∴， 在矩形中，，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，设、分别交于点J、K， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴平分四边形的周长， 故④正确； 正确的序号为①③④． 故答案为：①③④． 70．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）直线为常数，，且与直线为常数，且交于点．下列四个结论： ①； ②关于的方程的解为； ③随着的增大而减小； ④直线沿轴平移后得到直线，直线交直线于点，若点的纵坐标为，则不等式的解集是． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解、一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】根据一次函数的图象性质，一次函数与方程，一次函数与不等式，对每一项判断即可解答． 【详解】解：∵直线为常数，且经过点， ∴， 故①正确； ∵交点为， ∴关于的方程的解为， 故②错误； ∵直线过和， ∴随着的增大而减小，    故③正确； ∵，， ∴， ∴由图象可知：不等式的解集是， 故④正确； 故答案为：①③④．      【点睛】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与方程，一次函数与不等式，掌握一次函数图象及性质是解题的关键． 71．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）小明同学在研究函数（为常数）时，得到以下四个结论：①当时，随的增大而增大；②当时，有最小值0，没有最大值；③该函数的图象关于轴对称；④若该函数的图象与直线（为常数）至少有3个交点，则．其中正确的结论是 ．（请填写序号） 【答案】①③④ 【知识点】判断一次函数的增减性、求一次函数解析式 【分析】由题意知，当时，，随的增大而减小，当时，，随的增大而增大，当时，，随的增大而减小，当时，，随的增大而增大，画出函数图象如图所示，然后对各选项进行判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，随的增大而减小， 当时，，随的增大而增大， 当时，，随的增大而减小， 当时，，随的增大而增大， ∴函数图象如下：    ∴当时，随的增大而增大；①正确，故符合要求； 当时，有最大值，②错误，故不符合要求； 函数的图象关于轴对称，③正确，故符合要求； 当时，， ∴函数图象与轴的交点坐标为， 由图象可知，若该函数的图象与直线（为常数）至少有3个交点，则，④正确，故符合要求； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数解析式．解题的关键在于正确的去绝对值得到函数的解析式． 72．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，．  点是边上一动点，点在上，且．有下列结论： ①点的坐标为； ②；   ③四边形的面积为定值； ④当为的中点时，的面积和周长最小． 其中正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②③ 【知识点】利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，过点作，垂足为点，由菱形的性质可得，，即得，可得，即可得，进而可得，，即可判断①；证明可得，可得，即可判断②；由全等三角形的性质得，可得，即可判断③；由全等三角形的性质可得为等边三角形，当为的中点时，可得，此时最小，则最小， 进而可得最大，由的周长，可得此时的周长最小，即可判断④；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：①过点作，垂足为点，则， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为，故①正确； ②连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，故②正确； ③∵， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 当为的中点时， ∵， ∴，此时最小，则最小， 由③知定值，可得最大， ∵，最小， ∴最小， ∵的周长， ∴此时的周长最小，故④不正确； 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 73．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点与点重合时，；③的面积的取值范围是．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题． 先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确； 点与点重合时，设表示出利用勾股定理列出方程求解得的值，进而用勾股定理求得，判断出②错误； 当过点时，求得四边形的最小面积，进而得的最小值，当与重合时，的值最大，求得最大值，即可判断③正确． 【详解】∵， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形，故①正确； ， ， 点与点重合时，如图1所示： 设则， 在中， 即， 解得 ， ， ， ，故②错误； 当过点时，如图所示： 此时，最短，四边形的面积最小，则最小为 当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为， ∴故③正确． 故答案为： ①③． 74．（22-23八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，点是正方形的对角线上一个动点，于点，于点，连接，有下列5个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值等于．其中正确结论的序号是 ．    【答案】①②④⑤ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定证明 【分析】延长交于点N，延长交于点M，证明得到，即可判断①④；根据三角形的内角和定理即可判断②；根据P的任意性可以判断③；根据，当最小时，有最小值，即可判断⑤． 【详解】解：延长交于点N，延长交于点M，    ∵四边形是正方形． ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形，，四边形是矩形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故①④正确； 在与中，， ∴， ∴，故②正确； ∵P是上任意一点， ∴的长不确定，即是等腰三角形不一定成立，故③错误； ∵， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∵， ∴此时P为的中点， 又∵， ∴，即的最小值为，故⑤正确； 故正确的是：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，正确证明，以及理解P的任意性是解决本题的关键． 75．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，矩形中，，连接，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，直线分别交于点，连接． 下列四个结论： ①四边形是菱形；②；③；若， 则． 其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①④/④① 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用矩形的性质证明、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形 【分析】利用矩形的性质和线段垂直平分线证明，进而可得出四边形是菱形，无法证明或是平分线，即不可得出，由菱形的面积公式可得出，由菱形和矩形的性质即可证明，则过点E作交于点H，利用勾股定理即可求得，则为等边三角形，即可判定． 【详解】解： 根据作图可得是线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确． ∵无法证明或是平分线， ∴无法确定，故②错误． 由菱形的面积可得，故③错误． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴ 过点E作交于点H，如图， 则， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 则．故正确． 综上：①④正确． 故答案为：①④． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定以及性质，矩形的性质，全等三角形的判定以及性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 题型五 几何证明与计算大综合 76．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 如图，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：如图，延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段，，之间的数量关系是________． （2）如图，在等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【结论应用】 如图，在四边形中，，，，在边和分别有一点和点，使的周长恰好是长的倍，求此时的度数． 【答案】 【 初步探索 】 （1） （2），理由见解析 【 结论应用 】 的度数是 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL）、利用勾股定理证明线段平方关系、多边形内角和问题 【分析】【 初步探索 】 （1）延长到点，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可得到线段，，之间的数量关系； （2）过点作，取，连接，，即可证明，可得，再证明，可得，又可证明为直角三角形，则利用勾股定理即可得出，，之间的关系． 【 结论应用 】 连接，延长至点，使，连接，证明，，，从而最终得出的度数． 【详解】解：【 初步探索 】 （1），理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2），，之间的关系是：，理由如下： 如图，过点作，取，连接，， ， ， ， 即， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【 结论应用 】 如图，连接，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 的周长恰好是长的倍， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 且，， ， ， 所以，的度数是． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，四边形的内角和定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，运用类比的方法作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 77．（23-24八年级上·福建宁德·期末）验证勾股定理： 课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德（）利用图1验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？ (1)小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片（，，（），）拼出如图2能验证勾股定理的图形（顶点A，E重合，顶点F在边上，连接，） 解：用两种方法计算四边形的面积， 方法1：四边形的面积_______， 方法2：四边形的面积_______， 因为这两种方法都表示四边形的面积，可得等式：_______． 化简可得：． (2)请你仿造小明的思路，用两个全等的直角三角形纸片拼出一个不同于图1，图2的能验证勾股定理的图形，画出示意图，写出验证过程．如果你没有思路，请利用图1进行验证． 【答案】(1)，， (2)见解析 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法的探究，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）根据三角形的面积公式直接解答即可； （2）先构建图形，如图所示，由全等的性质推出，，，求得；可得；结合且，可得，即可证明勾股定理． 【详解】（1）解：用两种方法计算四边形的面积， 方法1：四边形的面积， 方法2：四边形的面积， 因为这两种方法都表示四边形的面积，可得等式：． 化简可得：． （2）如图，将两个全等的直角三角形和，如图所示那样摆放，且．点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接． 求证：， 证明：由题意得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． ∵， 即且， ∴ = ， ∴，即． 78．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）已知，点D在直线右侧． (1)如图1，若请直接写出和之间的数量关系：　　　　 (2)如图2，若则和有怎样的数量关系？证明你的结论． (3)如图3，若，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． ①若，求的长； ②，求的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析； (3)①，② 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的判定、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先证明，，再证明，从而可得结论； （2）如图，记的交点为，设，求解，证明，可得，，从而可得结论； （3）①如图，过作于，作于，求解，证明是的垂直平分线，可得，证明，为等腰直角三角形，可得，再进一步求解即可； ②如图，过作于，交于，设，而，，，可得，证明，，可得，而，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下：如图，记的交点为， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图，过作于，作于， ∵，， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②如图，过作于，交于， 设，而，，， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 79．（23-24八年级下·陕西安康·期末）【问题提出】 （1）如图，在中，，，，为边的中点，连接，则的长为____________． 【问题探究】 （2）如图，在四边形中，，，，，且为的中点，连接，求线段的最大值． 【问题解决】 （3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块四边形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图，是的中点，把四边形分成了两部分，其中四边形内种植油葵，内种植豌豆，是步行通道．为方便种植，要让步行通道最长．若米，，，且，修建步行通道每米花费元，则学校修建步行通道最多需要花费多少钱？（参考数据：）    【答案】（1）；（2）；（3）元 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）用勾股定理可得，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得； （2）连接，取中点为点，连接，，用勾股定理可得，用中位线定理和直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，的值，根据图象即可得出的最大值为． （3）连接，，延长交于点H，根据，得；证明，得，根据，，，，又因为，所处的位置为的垂直平分线，此时取最大值；设，根据勾股定理可得，，，在直角中由勾股定理求得，在直角中，由勾股定理建立方程求得，代入中可求出，从而得出最长为米，则求出学校修建步行通道最多需要花费的钱数． 【详解】解：（1）∵，，， ， ∵为边的中点， ∴， ∴， 故答案为． （2）连接，取中点为点，连接，，    ∵，，， ∴， ∵中点为点，且点为的中点，， ∴， ∵，中点为点， ∴， 由图象可得，的最大值为， 故线段的最大值为． （3）如图，连接，，延长，相交于H点， ∵，E为中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， 即当时，最大，从而最大，此时垂直平分， 故； 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，    ∵， 即， 化简可得， ∴， ∴最长为米， ∴则学校修建步行通道最多需要花费（元）． 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 80．（23-24八年级下·内蒙古通辽·期末）已知和都是等腰直角三角形，，绕着顶点A旋转． (1)如图1，若D点恰好落在边上，连接． ①求证：； ②若G为中点，连接，当点D在直线上运动时，若，求线段的最小值； (2)若D不在边上，交于点F，且，．当是直角三角形时，求长．（图2，图3是备用图） 【答案】(1)①见解析；② (2)或2 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）①由，得，根据全等三角形的判定，即可证得结论； ②由，得，即知点E的运动路径是过点C与垂直的一条直线，故当时，最小，此时是等腰直角三角形，从而得到答案； （2）先证明，可得，然后分两种情况： ①当时，证明是等腰直角三角形，可得，从而，即可求得答案； ②当时，过点A作于点H，证明B、D、F三点共线，求出，，根据勾股定理求得， 即得答案． 【详解】（1）①证明：， ， ，， ， ； ②如图， 由①知， ， ， ， 点 E的运动路径是过点C与垂直的一条直线， 当时，最小，此时是等腰直角三角形， ， G为中点，， ， ， 最小值为； （2）, , ,, , , ①当时，如图， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； ②当时，过点A作于点H，如图， ， ， ， ， ， ， B，D，F三点共线， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ； 综上所述，BD的长为或2． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，二次根式的化简，勾股定理及应用等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 81．（23-24八年级上·吉林长春·期末）解答 （1）方法原型：如图①点B、A、C在同一条直线上，，且，，则． （2）问题解决：（1）中的之间的数量关系为 ． （3）拓展延伸：如图②，中，，，点D为射线上一点，以为直角边在的右侧作等腰，使． i．如图②，连结，当时，求的面积． ii．如图③，当时，请直接写出点E到边的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）i．；ii． 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由，，得到，由得到，又由已知，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，则，又由，即可证明结论； （3）i．作于点M，交的延长线于点N，依次求出，，则，由是等腰直角三角形，且，得到，由（1）可得，则根据三角形面积公式即可得到答案； ii．连接，作于点G，交的延长线于点H，依次求出，，由（1）可得，，则得到，则，即可证明是等腰直角三角形，进一步得到，即可，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：如图①，∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）如图①，∵， ∴ ∴ ∵， ∴， 故答案为： （3）i．如图②，作于点M，交的延长线于点N， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， 由（1）可得， ∴ ∴， 即的面积为． ii．如图③，作于点G，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点E到边的距离为． 82．（23-24八年级上·四川成都·期末）在和中，点D在边上，，． (1)若． ⅰ）如图1，当时，连接，证明：； ⅱ）如图2，当时，过点A作的垂线，交边于点F，若，，求线段的长； (2)如图3，已知，作的角平分线交边于点H，若，，当时，求线段的长． 【答案】(1)ⅰ）证明过程见详解；ⅱ）； (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）ⅰ）用证明，进而证得是直角三角形，即可得结论； ⅱ）连接，作交的延长线于点G，用证明，得，都是等边三角形，再利用等边三角形的性质及勾股定理建立方程即可求解； （2）延长至N，使，连接，交的延长线于点M，连接， 作于P，用证明，再利用等腰三角形的性质及勾股定理建立方程即可求解； 【详解】（1）ⅰ）证明：， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； ⅱ）解：连接，作交的延长线于点G， ，，， ，都是等边三角形， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即线段的长为． （2）解：延长至N，使，连接，交的延长线于点M，连接， 作于P， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 中，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线，， 是线段的垂直平分线， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得，， 所以线段的长为． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 83．（23-24八年级上·四川成都·期末）在四边形中，，，点E是边上一点，连接，将沿直线翻折得到，射线交边于点G． (1)如图1，求证：； (2)当时． （i）如图2，若四边形的面积为24，且当点G与D重合时，，求的长； （ⅱ）在边上取一点H，连接，使得，若的面积是的面积的2倍，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)（i）；（ⅱ） 或 【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）根据折叠得出，根据平行线的性质得出，证明，根据等腰三角形的判定得出； （2）（i）根据四边形的面积为24得出，求出，设，则，，根据勾股定理得出，即，求出即可得出答案． （ⅱ）证明，得出，根据的面积是的面积的2倍，，，得出，设，则，分两种情况：当点H在点E的左侧时，当点H在点E的右侧时，画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）证明：根据折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（i）∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 设，则， ∴， 根据折叠可知，，， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． （ⅱ）根据题意得：，，， 由（1）得：， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵的面积是的面积的2倍，，， ∴， 设，则， 当点H在点E的左侧时，如图所示： ∴， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴； 当点H在点E的右侧时，如图所示： ∴， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴； 综上分析可知，当的面积是的面积的2倍时，或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意分类讨论． 84．（23-24八年级上·江西抚州·期末）的所对边分别是a，b，c，若满足，则称为类勾股三角形，边c称为该三角形的勾股边． 【特例感知】如图1，若是类勾股三角形，为勾股边，且，是中线，求的长； 【深入探究】如图2，是的中线，若是以为勾股边的类勾股三角形，①分别过A，B作的垂线，垂足分别为E，F，求证 ②试判断与的数量关系并证明； 【结论应用】如图3，在四边形中，与都是以为勾股边的类勾股三角形，M，N分别为的中点，求线段的长． 【答案】【特例感知】CM的长为6；【深入探究】①证明见解析；②AB与CM相等，理由见解析；【结论应用】MN的长为5． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据是类勾股三角形，为勾股边，有，得到，根据，是中线，可得，即可求解； （2）①根据，得到，再根据即可求证；②根据，可得，，再根据，可得，进而得到，最后根据，，可得； （3）连接，由【深入探究】可得：，进而得到，根据为的中点，可得，进而求解. 【详解】（1）解：是类勾股三角形，为勾股边， ， ， ， ， ，是中线， ，                                       （2）①证明：， ， ， ．                                        ②与相等，理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，                                （3）解：连接， 与都是以为勾股边的类勾股三角形， 为的中点， 由【深入探究】可得：， ， 为的中点， ， ， 【点睛】本题考查的是类勾股三角形的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，正确理解类勾股三角形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键． 85．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知在，，点P在边上，连接． (1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； (2)过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，则，再证，得，即可得出结论； （2）①取的中点E，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得，再证，得，则，即可解决问题； ②分两种情况，a、时，b、时，由直角三角形的性质和勾股定理分别求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2，取的中点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，点P是线段的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即的度数为； ②∵，，， ∴， 分两种情况： a、如图3，时， 由（1）可知，， 过点P作于点M， 则， ∴， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； b、如图4，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 综上所述，的长等于或， 故答案为：或． 　　　　 【点睛】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 86．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，在中，，，点为内部一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，当点落在上时，求的度数； (3)如图3，若为的中点，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）利用等腰三角形性质，结合全等三角形的判定定理，即可得证； （2）过点作于点，连接，过点作，交于点，如图所示，利用三角形全等的判定得到、，再由（1）中，利用全等性质，结合三角形内角和定理即可得到，设，列方程求解即可得到答案； （3）过点作，交于点，如图所示，由三角形全等的判定得到、，再由（1）中，利用全等性质，结合等腰直角三角形判定与性质及勾股定理求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点作于点，连接，过点作，交于点，如图所示： 在和中，构成了“”字形，由于，对顶角，则， ，， ，则， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵由（1）中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作，交于点，如图所示： 则，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵由（1）中， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， ∴． 【点睛】本题考查全等综合，涉及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 87．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在四边形中，，点E在上，平分，平分，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，四边形对角线交于点O，连接， ①探究之间的等量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；理由见解析；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的判定与性质求解、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据，即可证明结论； （2）①延长交于点F，证明，得出，，证明，，得出，根据直角三角形的性质得出，，证明，即可证明结论； ②过点E作于点M，过点O作于点N，根据中位线性质得出，，证明，得出，求出，证明四边形为平行四边形，得出，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，，根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：①；理由如下： 延长交于点F，如图所示： ∵四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点F为的中点， ∵为直角三角形， ∴，， ∴， ∴； ②过点E作于点M，过点O作于点N，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理得：， ∴在中，根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴，负值舍去． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 88．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）问题背景： （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 尝试应用： （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，则的长为______； 深入思考： （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，求证：平分； 拓展创新： （4）如图4，和中，为锐角，点D在边上，点B在边上，，垂足为F，且，若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）；（3）见解析；（4） 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）过点E作于点F，根据题意得到；，进而求解即可； （2）过点D作，连接，首先证明出四边形是矩形，得到，然后利用勾股定理求出，设，则，然后利用列方程求解即可． （3）连接，，过点A作于M，作于N，得到，，得到，进而求解即可； （4）作，连接，过点H作于点G，于点Q，过点E作于M，由（3）知平分，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：过点E作于点F ∴；； ∴ （2）如图所示，过点D作，连接 ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴，， ∴设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）连接，，过点A作于M，作于N， 由（1）知 ∴，即 ∵ ∴ ∴点A在的平分线上，即平分； （4）作，连接，过点H作于点G，于点Q，过点E作于M， ∵， ∴由（3）知平分 ∵， ∴ ∴， ∵，，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴在中，由可得， ∴ 在中，∵，， ∴， 在中， ∵ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造平行四边形． 89．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践 【性质探究】 （1）如图1，在四边形中，对角线，交于点，且，求证：． 【性质运用】 （2）如图2，在中，，，，分别以的边，为直角边向外作等腰和等腰．连接，，，与交于点，求线段的长． 【拓展迁移】 （3）如图3，在锐角三角形中，，，，分别以的边，为边向外作等边三角形和等边三角形．连接，，，与交于点．试通过计算写出与之间的等量关系．    【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【知识点】二次根式的乘法、等腰三角形的性质和判定、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）由勾股定理得，，，，即可得出结论； （2）连接、交于点，交于，先证，得，再证，则，然后求出，，，代入计算即可求出的长； （3）过点作，过点作，垂足分别为，连接，过点作，交于点，交于点，过点作于点，交于点，证明，四边形是矩形，则，分别求得，进而即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，，，， ，， ． 解：和是等腰直角三角形， ，，， ， 即， ， ， ，， ， ， ， 由（1）得：， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，，， ， 解得：； （3）如图所示，过点作，过点作，垂足分别为，连接，过点作，交于点，交于点，过点作于点，交于点，    ∴ ∵，等边三角形和等边三角形 ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴ ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴，， ∵， ∴四边形是矩形，则， 在中，，则 ∴， ∴， 在中，； ∵， ∴四边形是矩形，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，对角线互相垂直的四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 90．（23-24八年级下·吉林长春·期末）教材呈现： 如图是华师版八年级下册数学教材第101页的部分内容， 如图，点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边长分别为8和15，求点到矩形的两条对角线和的距离之和． 问题解决： 如图①，过点分别作，分别交于点、，设与相交于点，连结，利用与的面积之和是矩形面积的，可知点到矩形的两条对角线和的距离之和(即)为______． 实践应用： （1）如图②，在中，为底边上的任意一点，过点作，垂足分别为，求的值． （2）如图③，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为上一动点(不与重合)，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点和，以为邻边作平行四边形．，直接写出的周长______． 【答案】问题解决：；（1）；（2）8 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、矩形与折叠问题 【分析】问题解决：根据勾股定理求得，利用“与的面积之和是矩形面积的”列出方程，即可求解； （1）作于D，利用三线合一性质求出、再用勾股定理求出，再用等面积法求解即可； （2）证明是等腰三角形，，再用等面积法得到，从而求出，继而得解． 【详解】解：问题解决： ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵与的面积之和是矩形面积的，即 ∴， ∴； （1）作于D，连接， 又∵在中，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， （2）8，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合， ∴， ∴ ∴是等腰三角形，， 连接， 与（1）同理得：， 即 ∵， ∴， ∴平行四边形的周长为． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握题中给定的方法是解题的关键． 91．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图1，在矩形中，，点，分别是，的中点，连结，交于点． (1)当且时，如图2，求的面积． (2)若，求此时的值． (3)连结，请问能否为等腰三角形，若能，求出的值，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，的值为或 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）连接，根据中点、矩形的性质、三角形的面积公式，推出，，根据，当且时，则，得出，计算，计算，最后根据，计算得出答案即可； （2）过点作于点，和相交，连接，根据矩形的性质、等腰三角形三线合一的性质，证明是的中位线，是的中位线，是的中位线，根据中位线的性质，得出，，推出，证明三角形是等边三角形，根据等边三角形的性质，推出，根据含角的直角三角形的性质，得出，结合勾股定理计算，根据，计算得出答案即可； （3）分“当时”、“当时”和“当时”三种情况讨论．情况一，当时，在（2）辅助线基础下，过点作于点，交于点，根据矩形的性质与判定，证明四边形是矩形，由（2）得：点是中点，直线和相交于点，，，推出是的中位线，得出，推出，结合勾股定理计算，得出，根据，计算得出答案即可；情况二，当时，在（2）辅助线基础下，过点作于点，由（2）得：，推出，由情况一得：，，推出，结合勾股定理计算，根据，计算得出答案即可；情况三，当时，根据矩形的性质、等腰三角形三线合一的性质，推出，根据当时，推出点是的中点，得出此时是的中位线，则，，根据点是和相交所得，故和平行的情况不存在，故的情况不存在． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵在矩形中，，点，分别是，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当且时，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点，和相交，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点是中点，平分， ∵和是对顶角， ∴直线平分， ∴直线和相交于点， ∵点，分别是，的中点， ∴，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：能， 情况一，如图，当时，在（2）辅助线基础下，过点作于点，交于点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵由（2）得：点是中点，直线和相交于点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴点是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 情况二，如图，当时，在（2）辅助线基础下，过点作于点， ∴，， ∵由（2）得：， ∴， ∴， ∴， ∵由情况一得：，， ∴， ∴， ∴， ∴； 情况三，当时， 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴，即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点是和相交所得， ∴和平行的情况不存在， ∴的情况不存在； 综上所述，能为等腰三角形，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、三角形中位线的定义与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，灵活运用知识点推理证明、数形结合、分类讨论是解题的关键． 92．（23-24八年级下·山西长治·期末）实践与探究 【问题情境】 数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是华东师大版八年级下册教材中我们研究过的图形，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形． 的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形 绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下： 证明：如图②，分别作 于点 ， ， 又 ， ， 又∵ ， 且， ， ， 【初步感知】 （）请你补全以上证明过程； （）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线经过正方形的对称中心，直线分别与 交于点，直线分别与交于点，且若正方形的面积是，则四边形的面积为______； 【深入探究】 （）受图③的启发，探究组做了图④，若 ，求四边形 的面积； 【拓展应用】 （）如图④，请写出线段 与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（）证明见解析；（）；（）；（），理由见解析． 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（）根据题意补全证明过程即可； （）根据（）的结论即可求解； （）如图，构造正方形，点为正方形对角线的交点，可得，即得，由即可根据（）的结论求解； （）证明可得，即得，在中利用勾股定理即可求解； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】（）证明：如图②，分别作 于点 ， ， 又 ， ， 又∵ ， 且， ， ∴， ∴， 即正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一； （）由（）的结论可得，， 故答案为：； （）如图，构造正方形，点为正方形对角线的交点， 则， ∴， ∵， ∴， 由（）可得，； （），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 93．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是______． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 (2)如图1，在边长为4的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由； ②如图2，连接，求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，求的长． 【答案】(1)D (2)①四边形是等补四边形，见解析；②；③或者 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案； （2）①先证A、B、H、F四点共圆，利用圆周角定理可得，进而求出，利用等角对等边得出，最后利用“等补四边形”的定义即可证明； ②将绕A点逆时针旋转得到，证明，再证，得出，即可求出的周长； ③根据，四边形是“等补四边形”可得四边形有一组邻边相等，然后分、、、四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故选：D． （2）解：①四边形是“等补四边形”，理由如下： ∵为正方形的对角线， ∴， 又，， ∴A、B、H、F四点共圆， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是“等补四边形”． ②将绕A点逆时针旋转得到， ∴，， ∴E、D、L三点共线， 由①得， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴的周长； ③∵，四边形是“等补四边形”， ∴还需要一组邻边相等，分以下四种情况讨论： 情况1：， 连接， 由题意知∶，， 又， ∴， ∴， 则为正三角形， ∴， ∴， ∴，； 情况2：，则， ∴， 同情况1，； 情况3：，由②得的周长． 设，则，有， ∴， 即； 情况4：， 连接， 则， 则HF垂直平分AE， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，这不可能，故这种情况不存在． 综上：或者． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，目前题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 94．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图是李老师在一节课中的例题内容． 已知：如图，在中，E、F是对角线上的两点，并且．求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ，． ． 又， ． ． 【结论应用】 如图①，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点，且，，连接、，请判断四边形的形状，并证明． 【拓展提升】 如图②，点G、H是正方形对角线上的两点，且，；E、F分别是、的中点，连接与相交于点O． （1）则四边形的形状为______； （2）若，则的面积为______． 【答案】【结论应用】见解析；【拓展提升】（1）矩形，（2） 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】[结论应用]先证，则可得，进而可得，则∥，再结合，即可得四边形是平行四边形． [拓展提升] （1）先证四边形是平行四边形，再证，则可得四边形是矩形． （2）过E点作于M点．由（1）得，，，则可得．又由，可得，则可得．再求出的长，则可求出的面积． 【详解】［结论应用］ 解 ：四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ， 又，， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ［拓展提升］ （1）∵四边形是正方形， ，， ， ∵E、F分别是、的中点， ∴， 又， ， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，，且E、F分别是、的中点， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ， ， 又， ， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形 （2）过E点作于M点， 由（1）知， 又∵E点是的中点， ， ∵四边形是矩形， ∴，， ， 由（1）四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 95．（23-24八年级下·河南许昌·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展教学活动． 操作一：对折边长为6的正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平． 【数学思考】 （1）如图①，当点M落在上时，则的度数为_________. 【猜想证明】 （2）如图②，在（1）的条件下，延长交于点N，猜想与的数量关系为_________，并证明你的猜想； 【拓展延伸】 （3）小华在以上操作的基础上继续探究，连接，当点M落在上时（如图③），过点P作于点I，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、折叠问题 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）证明是等边三角形，即可得到答案； （2）连接，证明，即可证明结论； （3）连接，设，则，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）由题意得，点是的中点，且， 又， 故是等边三角形， 是角平分线，， ； （2）连接， ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ； （3）连接， 正方形纸片，， 则， 四边形是矩形， ， 在中，， 设，则， 由折叠得， ，， 在中，， 在中，， ， 解得， ． ． 96．（23-24八年级下·河南濮阳·期末）王老师带领同学们研究解决课本上的一个习题： 【课本再现】 人教版八年级下册． 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） （1）取的中点G，连接，证明如下： 在正方形中，∵E是边的中点，G是边的中点 ∴ ∴ ∵是正方形外角的平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴（ ）（填写全等的理由） ∴ 解决完这个问题后，王老师问同学们，若点E是边任意一点会如何呢？因此导出了下面的问题： 【问题解决】 （2）如图（1），四边形是正方形，点E是边的一点，，交正方形外角的平分线于点F，与是否仍然相等，请给出你的证明． 【拓展探究】 （3）如图（2），四边形是正方形，点E是直线上一点，，EF交正方形外角的平分线于点F．若，，直接写出的长． 【答案】（1）135，；（2），见解析；（3）5或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）取的中点G，连接，求出，根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得； （2）在上取一点，使，连接，同（2）根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得． （3）分两种情况：当点在边上时，当点是线段上的一点时，根据（）问的结论，当是边延长线上的任意一点，连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，证明，得即可．利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）取的中点G，连接， 证明如下： 在正方形中，∵E是边的中点，G是边的中点 ∴ ∴， ∵是正方形外角的平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：成立． 证明：如图，在上截取，连接，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴． ∵是正方形的外角平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）解：分两种情况：当点在边上时，如图1，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由勾股定理，得 ， 由（2）知，； 当点是直线上的一点时，如图4，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由勾股定理，得 ， 连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，如图，      ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是正方形的外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 综上，的长为5或． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．注意分类讨论思想的应用． 97．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）已知：如图（1），在正方形中，点E为边上一点，把沿翻折，使点B落在点的位置，连接． (1)若点E是边的中点， ①求证：； ②如图（2），若点F为边的中点，沿将正方形纸片折叠，点D的对应点，与交于点H，与交于点G．求证：四边形为矩形； (2)某兴趣小组根据上面的结论，进行了如下的实践操作： 如图（3），正方形的边长为4，点E、点F分别为边上的点，将正方形纸片沿折叠，使得点B落在对角线上的点处，点D落在对角线上的点处，与对角线的交点为点M，与对角线的交点为点N，分别连接．则四边形的面积为________． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明、折叠问题 【分析】题目主要考查折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理解三角形，全等三角形的判定和性质等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据折叠的性质得出，再由等量代换及等边对等角确定，结合图形即可证明；②根据正方形的性质及全等三角形的判定得出，再由其性质及各角之间的关系确定，即可证明； （2）连接，则，根据正方形的性质及全等三角形的判定确定，，得出，，，确定四边形是正方形，再由菱形的判定和正方形的性质得出四边形为菱形，设，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：①：∵与关于对称， ， ， ， ， ， ， ∴； ②∵正方形， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴四边形为矩形； （2）连接，则， ∵正方形， ， ，， ， ， ， ∴，同理， ，， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， 设, ∵，， ∴， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 98．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在正方形中，点是线段上一个动点（与点、不重合），过点作线段于点，且，连接，过点作，交于点，交于点，连接． (1)求证： ①； ②四边形是平行四边形； (2)如图，点是延长线上一点，当点在线段上运动时，求证：点始终在的角平分线上． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①先根据正方形的性质得，证明；②由①得出，结合以及，即可证明四边形是平行四边形； （2）过点作于点，于点，证明四边形是矩形．然后根据证明，得出，证明四边形是正方形，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． ，， ， ， ， ． 由，可知． ， ． ， 四边形是平行四边形． （2）解：如图，过点作于点，于点，则， ， 四边形是矩形． ， ， ， ． ，， ，． ， ， ， ， ∵四边形是矩形． ∴四边形是正方形 点始终在的角平分线上． 99．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，M为正方形内一点，，连接，． (1)如图1，求的度数； (2)过点B作于点G，连接． ①如图2，试探究和的数量关系，并证明； ②如图3，连接交于点E，若，，请直接写出的长为________． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② 【知识点】二次根式的除法、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形性质和判定证明、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据四边形为正方形，得出，得出，设，在四边形中，根据四边形内角和即可解得，即可求解； （2）①过作， 且， 连接交于点， 连接．根据四边形为正方形，得出结合， 且，证出四边形为平行四边形，得出， 且，由（1）知，得出，证明，得出，即，在等腰中 ，根据勾股定理得出，即可证出； ②根据题意以及①可得，得出，根据勾股定理得出，根据，得出垂直平分线段，根据等面积法得出，根据直角三角形的性质得出，勾股定理算出，再算出，由①得，证明，根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ， ， ， ∴可设， 在四边形中，， 解得：， 则：； （2）解：①过作， 且， 连接交于点， 连接． ∵四边形为正方形， ∴ ∵， 且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 且， ，， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， 即， 在等腰中 ，， ； ②根据题意以及①可得， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①得， ∴， 由①得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点并正确作出辅助线． 100．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图1，正方形的边长为4，点在上（不与重合），点在上（不与重合）且满足，连接并交于点． (1)请问：线段与满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (2)如图2，连结，若点为的中点，求的周长． (3)如图3，延长至点使，连结，．若，求的面积． 【答案】(1)线段与的数量关系是、位置关系是，理由见解析 (2) (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）由正方形性质及三角形全等的判定与性质即可得到线段与的数量关系是，再由，，即可得到线段与的位置关系是； （2）过点作，如图所示，利用正方形性质、勾股定理及等面积法分别求出即可得到的周长； （3）连接，过作，如图所示，由中垂线的判定与性质得到，进而由等腰三角形的判定与性质，结合勾股定理求出，过点作，延长，过作于，如图所示，运用等面积法及勾股定理求出，进而利用梯形面积公式、三角形面积公式求出面积，数形结合，由的面积为代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：线段与的数量关系是、位置关系是， 理由如下： 在正方形中，，， 在和中， ， ， ， ， ， ，则； （2）解：过点作，如图所示： 正方形的边长为4， ，且， 由（1）知， 在中，，， 点为的中点， ，则由勾股定理可得， 在中，由等面积法可知，则， 在中，，，则由勾股定理可得， 在中，由等面积法可知，则， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ， ，， ， 的周长为； （3）解：连接，过作，如图所示： 由（1）知， ， 是线段的垂直平分线，则， ，即是等腰三角形， ，则由勾股定理可得， 过点作，延长，过作于，如图所示： 在中，由等面积法可得，则， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ；， 的面积为． 【点睛】本题考查几何综合，综合性强，难度较大，涉及正方形性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等面积法求线段长、三角形周长公式、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、梯形面积公式等知识，熟记相关几何判定与性质，灵活运用勾股定理及等面积法求线段长，准确作出辅助线求解是解决问题的关键． 题型六 坐标系中的综合题 101．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，两边、在坐标轴上，为线段上一点，且，连接、． (1)点D的坐标为 ； (2)若点从点出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向运动，当与点重合时运动停止设点的运动时间为秒，连接，将的面积记为，请用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【知识点】化为最简二次根式、函数解析式、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据正方形的边长为6，得到，结合，得到，结合点在y轴的正半轴，计算坐标即可． （2）根据题意，得，分点M在上运动和在上运动，两种情况解答即可． （3）根据题意，分，，三种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为6， ∴， ∵， ∴， ∵点在y轴的正半轴， ∴． （2）解：根据题意，得， 当点M在上运动时， ；        当点M在上运动时， ； 故． （3）解：∵正方形的边长为6， ∴，， ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 当时，点M一定在上，此时点M记作， 此时， 根据勾股定理，得， ∴， 故； 当时，点M一定在上，此时点M记作， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 解得， 此时；      当时，点M可能在上，也可能在上，当点M在上记作，当点M在上记作， 过点D作于点G， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 此时； 根据题意，得， 此时；    综上所述，符合题意的M的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形与坐标，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的分类计算，勾股定理的应用，直角三角形的性质，化为最简二次根式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 102．（22-23八年级下·河北沧州·期末）如图，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点P是平行四边形边上的一个动点．    (1)点B的坐标为_________；点C的坐标为________； (2)点G是与y轴的交点，求点G的坐标； (3)若点P在上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标； (4)若点在折线上，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们交于点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)或 【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、利用平行四边形的性质求解、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，正方形的性质与判定，折叠的性质，等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形变化—轴对称等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质对边平行且相等进行求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点D的坐标即可； （3）设出点P的坐标，然后分P、Q关于x轴对称和关于y轴对称两种情况，分别求出点Q的坐标，再根据点Q在直线进行求解即可； （4）分两种情况讨论：当点P在上时，由折叠的性质可得，，证明是等腰直角三角形，进而证明四边形是正方形，从而得到三点共线，则，即可求出．当点P在上时，证明，再利用两点距离公式求出点M坐标即可解题． 【详解】（1）解：∵轴，，点A的坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴轴， ∵D的坐标为， ∴， 故答案为：，； （2）解：设直线的解析式为， 把，带入中得， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点G的坐标为； （3）解：设，且， 若点P关于x轴的对称点在直线上， ∴， 解得， 此时． 若点P关于y轴的对称点在直线上时， ∴，解得， 此时 综上所述，点P的坐标为或． （4）解：当点P在AB上时，如解图1 由折叠的性质可得，， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，即轴， ∴三点共线， ∴， ∴． 当点在上时，设直线的解析式为与x轴交点为，则， 如解图2，点落在轴上， 由折叠的性质可得，， ∵轴， ∴ ∴， ∴， 设点且，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴点 综上所述：点的坐标或 103．（23-24八年级下·云南普洱·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长（）是方程组的解，点C是直线与直线的交点，点在线段上，． (1)求点的坐标． (2)求直线的解析式． (3)当点P在直线上运动时，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或； 【知识点】化为最简二次根式、一次函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据解方程组，可得A、B的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据解方程组，可得点C的坐标； （2）根据D在上，求解，利用勾股定理建立方程，可得D点坐标，根据待定系数法，可得的函数解析式； （3）结合菱形的性质，分情况讨论：若P在x轴上方，若P在x轴下方，进行讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，即， 解得， ∴， 即、． 设直线的解析式， 把A、B点的坐标代入函数解析式，得， 解得． 直线的解析式， 由点C是直线与直线的交点， 得， 解得， ∴C点的坐标是； （2）解：由点D在线段上，C点的坐标是 ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 解得（不符合题意的根舍去）， 即D点坐标是； 设的函数解析式为， 把A、D点的坐标代入，得， 解得． ∴的函数解析式为； （3）解：过D作轴，由（2）中D，A的坐标可知，， ∴， ∵以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，分情况讨论如下： 若P在x轴上方，是菱形， 则，， 如图所示， 过P作轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 结合平移的性质可得：； 当是菱形，记对角线的交点为， ∴，，， 由可得， ∴， ∴； 如图，当四边形为菱形时， 此时，， ∴为与轴的交点， ∴，四边形是正方形， ∴； 当在轴下方，四边形为菱形时，则，．过P作轴， 如图所示， 同理可得：， ∴， 结合平移可得：， 综上：或或或； 【点睛】本题考查一次函数、利用了待定系数法求函数解析式、利用平方根的含义解方程，菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，清晰的分类讨论，数形结合的方法的运用是解题的关键． 104．（23-24八年级下·吉林·期末）如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x，y轴分别交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．    (1)求n、k的值； (2)已知点D是直线：上的一个动点． ①过点D作轴，交直线于点P，当点D，P关于x轴对称时，则点D的横坐标为______； ②连接，当的面积是面积的2倍时，求点D的坐标； (3)如图②，设点E的坐标为，且，连接，以为边向下作正方形． ①用含t的式子表示点M的坐标为(______，______)； ②连接，若落在的内部（含边上），则t的取值范围是______． 【答案】(1)n、k的值分别为、； (2)①；②或 (3)①；② 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）把点分别代入函数解析式即可得到答案； （2）①由（1）可知，直线：，直线：，设点D的坐标为，得到点P的坐标是，点D，P关于x轴对称，则，解得，即可得到答案；②求出点A的坐标是，点B的坐标是，设点D的坐标为，则，，根据的面积是面积的2倍得到，解得值，即可得到答案； （3）①点C作轴于点F，过点M作于点H，则，证明，则，得到，则，即可得到点M的坐标为；②连接，相交于点K，则点K是的中点，也是的中点，根据中点坐标公式求出点的坐标是，求出，当时，即时，，此时满足题意，当时，即时，，此时无解，即可得到答案． 【详解】（1）把点代入得， ， 解得，， 把点代入得，， 解得， 即n、k的值分别为、； （2）①由（1）可知，直线：，直线：， 设点D的坐标为， ∵过点D作轴，交直线于点P， ∴点P的坐标是， ∵点D，P关于x轴对称， ∴ 解得， ∴， ∴点D的坐标为 故答案为： ②当时， 当时，，解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， 设点D的坐标为，则 ， ， ∵的面积是面积的2倍 ∴， 解得， ∴当时，， 当时，， ∴点D的坐标为或 （3）①点C作轴于点F，过点M作于点H，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E的坐标为， ∴ ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 故答案为： ②连接，相交于点K，则点K是的中点，也是的中点，    ∵．点E的坐标为，点M的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴，解得， 当时，即时，，此时满足题意， 当时，即时，，此时无解， 综上可知， 故答案为： 105．（23-24八年级下·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，对于线段a，给出如下定义：直线：经过线段a的一个端点，直线：经过线段a的另一个端点．若直线与交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”． (1)如图，线段a的两个端点分别为和，则在点，，中，线段a的“双线关联点”是　　　　　； (2)，是直线上的两个动点． ①点P是线段的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标； ②正方形的四个顶点的坐标分别为、、、，其中，当点A，B在直线上运动时，不断产生线段的“双线关联点”，若所有线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2)①点P的横坐标为或；② 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了新定义，一次函数与图形的运动，待定系数法求一次函数解析式，两条直线的交点，熟练掌握知识点，正确理解新定义，运用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）分类讨论：若直线经过点，直线经过点，求得直线：，直线：，联立得：，解得：，故点是线段a的“双线关联点”； 若直线经过点，直线经过点，同上可求点是线段a的“双线关联点”； （2）①：将点A、B代入得，，则，当直线经过点，直线经过点时，求得直线：，直线：，联立得：，解得：，故，解得：，因此；当直线经过点，直线经过点时，同上可求，综上所述，点P的横坐标为或； ②：设线段的“双线关联点”为M，N，则，由①得：，消去m可得：，则点M在直线上运动，同理可求点N在直线上运动，将问题转化为正方形与直线和直线恰有2个交点，当且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，随着t增大，当点E落在直线上， 则，解得：，当t继续增大，此时，则直线与正方形有2个交点，当t继续增大，直至点落在直线，则，解得，此时有3个交点，因此满足2个交点，则，当时，此时有4个交点，不符合题意， 综上所述：． 【详解】（1）解：若直线经过点，直线经过点， 则代入得：， ∴直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴点是线段a的“双线关联点”； 若直线经过点，直线经过点， 则同理可求：直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴点是线段a的“双线关联点”， 故答案为：，； （2）解：①将点A、B代入得，， ∴， 当直线经过点，直线经过点时， 则代入得：，， 解得：，， ∴直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴，解得：， ∴； 当直线经过点，直线经过点时， 同上可求：：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴，解得：， ∴， 综上所述，点P的横坐标为或； ②设线段的“双线关联点”为M，N，则， 由①得：， 消去m可得：， ∴点M在直线p：上运动， 同理可求点N在直线l：上运动， ∵线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上， ∴正方形与直线和直线恰有2个交点， 当且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，不符合题意，如图： 随着t增大，当点E落在直线上，此时1个交点，不符合题意，如图： 则，解得：， 当t继续增大，此时，则直线与正方形有2个交点，符合题意，如图： 当t继续增大，直至点落在直线，则，解得，此时有3个交点，不符合题意，如图： ∴满足2个交点，则， 当时，此时有4个交点，不符合题意，如图： 综上所述：． 106．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，当四边形周长最小时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)直线的解析式为，点C的坐标为 (2) (3)、、 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）根据直线的关系，设直线的解析式为，代入点的坐标即可求得，联立直线与直线，即可求得点的坐标； （2）求出点P坐标，将四边形周长转化为线段的长度，构造等量线段，进行求解即可； （3）分别以为边或对角线进行讨论，根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：直线与直线平行， 设直线解析式为， 将代入得：， 解得： 直线的解析式为 联立直线与直线得： ，解得 点C的坐标为； （2）解：设点P， 由得： 解得：， 则点 由题意可知，， 作点D关于x轴的对称点E，再将E向右平移两个单位，得到点F，连接，如下图： 则，，， 由题意可知：， ∴四边形为平行四边形， ∴ 四边形周长为 ∵定长 ∴四边形周长最小，即最小，也就是最小 得到：P、N、F三点共线时最小， 设直线所在直线的解析式为 将、代入得 ，解得 ，令， 解得，即 ∴； （3）解：，绕O点顺时针旋转得到， 过点作于点，如下图： 则， ∴ ∴， G点坐标为， 设直线的解析式为：， 则解得：， 直线的解析式为：， ∴，， 以为邻边时，则，如下图： 又∵，F是直线上的一个动点 ∴点E为直线上，即点E与点D重合， 点M到点G是向上平移个单位，再向右平移一个单位，则将点E向上平移个单位，再向右平移一个单位，即得点F坐标为； 以为邻边时，如下图： 由上述可得，点E为直线上，即点E与点D重合， 点G到点M是向下平移个单位，再向左平移一个单位，则将点E向下平移个单位，再向左平移一个单位，即得点F坐标为 以为对角线时，则的中点， 设， 由平行四边形的性质可得：点E、F关于点N对称， 则，解得 点F的坐标为； 综上所述、点F的坐标为、、． 【点睛】此题主要考查了一次函数与几何的综合应用，熟练掌握一次函数、平行四边形等有关性质是解题的关键． 107．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）定义：我们把一次函数（）与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为（，1）． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． (3)若直线（）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”． ①点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． ②点Q在直线（）上，若点Q与边上的三点能构成平行四边形，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或；②或； 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数与几何综合、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）①根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可．②由点Q与边上的三点能构成平行四边形，如图，的临界位置为：，，再由直线（）过临界点求解的值即可得到答案； 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即 解得， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， 点又在上， ， 又， ， 解得， ； （3）①直线上没有“亮点”， 直线与平行， ， ，令，， 令，则， ， ， 设， ， ， ， ， 即或， 解得或， 或； ②由①得：， 而点Q与边上的三点能构成平行四边形， 如图，的临界位置为：，， ∵点Q在直线（）上， ∴当过时， ∴， 解得：； 当过时， ∴， 解得：， ∴的取值范围为：或； 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，平行四边形的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 108．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，点B是第二象限一次函数的图象上一点，且，点C的坐标为． (1)求A，B的坐标； (2)若点D是线段上一点，且三角形的面积是三角形的一半，求的面积和点D的坐标； (3)在（2）的条件下，x轴是否存在一点P，使得为等腰三角形．若存在，请求出点P的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为： (2)的面积是12；点的坐标为 (3)或或或或 【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义 【分析】（1）先求点A的坐标，根据三角形面积公式可知：，可得的横坐标为：，因为点是第二象限一次函数的图象上一点，可得的坐标； （2）根据可得面积；利用三角形中线的性质：将面积分为相等的两部分，反之，可知：D是的中点，利用中点坐标公式或构建直角三角形得点的坐标； （3）分为三种情况分类讨论即可求解； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是第二象限一次函数的图象上一点， ∴的横坐标为：， 则， ∴点的坐标为：； （2）解：如图，过点作轴，过点作轴于点，交于点， ∵点的坐标为， ， ， ∵点是线段上一点，且三角形的面积是三角形的一半， ∴点是的中点， ∴点的坐标为：； （3）解：设， ∵，， ∴， ∵为等腰三角形， 当时，，解得：或， 则或； 当时，，解得：或， 则或； 当时，，解得： 则； 综上，或或或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点、三角形面积、等腰三角形的性质、勾股定理、中点坐标公式，第三问有难度，利用分类讨论的思想，与方程相结合，是解决问题的关键． 109．（23-24八年级下·广西玉林·期末）已知点O为原点，矩形的边、分别在y轴、x轴上，，，点B在第一象限，直线分别交线段及x轴、y轴于点D，E，F．      (1)求点D、E的坐标及三角形的面积； (2)如图1，P为线段（不包括端点）上一动点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)如图2，M是线段上一动点，点N在第一象限，且在直线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，求出点N的坐标． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)或或． 【知识点】坐标与图形、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点进行求点的坐标，再计算三角形面积即可. （2）过点P作于点H，设点，然后根据三角形的面积公式，进一步即可得出t的取值 （３）设，，然后分当以M为直角顶点时和当以N为直角顶点时，二种情况讨论 .分别画图图形，结合等腰三角形的性质得出全等三角形，有全等三角形的性质得出对应边相等，列出关于m,n的二元一次方程组，求解即可得出答案. 【详解】（1）解：∵直线分别交线段及x轴、y轴于点D，E，F， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， ∴，，， 三角形的面积； （2）过点P作于点H，如图1， ∵点P在直线上， ∴设点， 则， ∵， ∴， ∵点P在线段DF上，且不包括端点， ∴． （3）设，，且，， ①当以M为直角顶点时，如图2，过点M作轴交y轴于点G，过点N作于点H， 则，，，，， ∵是以MN为直角边的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴； ②当以N为直角顶点时，如图3，过点N作轴交y轴于点G，交BC于点H， 则，，，， ， ∵是以MN为直角边的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴或， 解得：或， ∴或； 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题,考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的特征，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积以及二元一次方程组的应用等，添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想是解题关键. 110．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图1，平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是的中点，直线过定点，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，当时， 过点C作，交于点F，在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形，若存在，请求出所有满足条件的点P；若不存在，请说明理由． (3)点N在直线上，且，连接，点M为的中点，连接．求线段的长度的最大值，并直接写出此时点N的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)， 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）根据，得到直线过定点，即可； （2）先求出点的坐标、正方形的边长，过点作，证明，推出为等腰直角三角形，得到当点与点重合时，满足题意，再根据对称性求出点在点上方时，点的坐标即可； （3）取点，连接，易得为的中点，得到，进而得到最大时，最大，根据，得到三点共线时，有最大值为的长，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴直线过定点， ∴； （2）存在： 当时，直线为：， 当时，， ∴， ∵正方形的边在轴上，点是的中点，， ∴，， ∴， 过点作，则：，， ∵过点C作，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵点在直线上，且是等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，满足题意， 此时：； 当点在点上方时，则：时，满足题意， 即点为的中点， ∴， 综上：或； （3）取点，连接， 则：， ∴为的中点，， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，即在的延长线上时，有最大值为的长，此时的值最大，如图： ∵， ∴的最大值为， ∴的最大值为：； 过点作轴，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 111．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． (1)求直线的表达式； (2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，在直线上是否存在点Q，使以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的定义 【分析】（1）由直线：经过点，再利用待定系数法可得答案； （2）设，先求解，可得，，，结合是等腰三角形，再分类讨论即可； （3）如图，设，，当为对角线时，如图，当为对角线时，如图，当为对角线时，再利用平行四边形的性质建立方程求解即可； 【详解】（1）解：∵直线：经过点， ∴， 解得：， ∴直线为； （2）解：如图，设， ∵， 解得：， ∴， ∴，，， ∵是等腰三角形， 当时，， 解得：， ∴或， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：（舍去），， ∴， 综上：或或或； （3）解：如图，∵点P在直线上，Q在直线上， ∴设，， 当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴， 综上：或； 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，一次函数的几何应用，清晰的分类讨论是解本题的关键. 112．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图1，过点作轴于点，作轴于点，连接，点是线段上的一点，连接，过点作，交轴于点，点在射线上，且，连接，设点坐标为． (1)若点的坐标为，求所在直线的解析式； (2)求； (3)如图2，延长与直线交于点，当为等腰三角形时，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）过点作于点，根据题意易得，根据等腰三角形的性质可得，进而可得，设所在直线的解析式为，利用待定系数法，求解直线的表达式即可； （2）过点作于点，作，交于点，交轴于点，由题意得，，，，证明为等腰三角形，可得，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：当点在边上时，解得，进而可得，即可确定点坐标；当点在的延长线上时，同理可得，进而确定，的值，即可确定点坐标． 【详解】（1）解：如下图，过点作于点， ∵，且过点作轴于点，作轴于点， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设所在直线的解析式为， 将点，代入， 可得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：过点作于点，作，交于点，交轴于点， 由题意得，四边形为正方形，为矩形， ∵，， ∴，，， 根据正方形的对称性，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）当点在边上时，如下图， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 即， ∴， 则， 则点； 当点在的延长线上时，如下图， 同理可得：， ∴在中，， ∴， ∴， 则． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，综合运用相关知识是解题关键． 113．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为． (1)直接写出点A的坐标以及直线的解析式； (2)如图1，点D在x轴上，连接，使，求点D的坐标； (3)如图2，已知点在第四象限内，直线交y轴的负半轴于点P，过点A作直线，交y轴于点Q，当m的值发生改变时，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)不变， 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等三角形综合问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了一次函数的综合运用，全等三角形的判定以及性质，点的对称轴等知识． （1）先分别求出点A，B的坐标，再根据，即可求出k值，则可求出直线的解析式． （2）先得出，然后分两种情况①当点D在点A的左边处，作交于点E，作轴于点F，证明，利用全等的性质得出，进一步可求出点E，然后用待定系数法求出直线的解析式，然后另，求出x，即可求出．②当点D在点A的右边处，连接并延长交于点G，得出，根据等角对等边可得出，则，根据对称性求出点G的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，进一步即可得出． （3）用待定系数法求出直线的解析式，再求出点P的坐标，再求出CM的解析式，根据平行的性质再求出的解析式，进而求出点Q的坐标，根据两点之间的距离即可得出的值． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）由（1）知：，， ∴， ∵， ∴． ①当点D在点A的左边处， ∵， ∴， 作交于点E，作轴于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 设直线的解析式为， 则， 解得： ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． ②当点D在点A的右边处， 连接并延长交于点G， ∵，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G与点E关于点A对称， ∴， ∵， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴的解析式为， 当时，， ∴． 综上所述，点D的坐标为或． （3）不变． ∵，， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， 同理求出直线CM的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， ∴， ∴． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$