上海市八下期末真题百题大通关（102题7题型）（压轴版）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版）

八下期末真题百题大通关（102题7题型）（压轴版） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 填空小压轴（图形的翻折） 题型二 填空小压轴（图形的旋转） 题型三 填空小压轴（新定义问题） 题型四 填空小压轴（一次函数与几何综合） 题型五 填空小压轴（梯形作辅助线方法） 题型六 解答压轴（一次函数综合题） 题型七 解答压轴（四边形综合题） 题型一 填空小压轴（图形的翻折） 1．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题考查正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握正方形与折叠的性质是解题的关键． 连接，先由勾股定理求出，再由折叠的性质可知：，，则，设，则，由勾股定理得：，即，解得：，即可求解． 【详解】解：连接， ∴正方形中，， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·上海金山·期中）如图，在中，，，．点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，连接．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】5或2 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、折叠问题 【分析】本题考查勾股定理，折叠问题，正方形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】①当时，则在上，如图， ∵，，， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴，即：； ②当，如图，则：， ∵翻折， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴； 故答案为：5或2． 3．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，一张矩形纸片的长，宽，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则折痕的长是 ． 【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据题意，证明四边形是平行四边形，作于，设，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：如图所示，作于，连接； 由翻折可知，，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 设， 在中，则有， 解得：， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 故答案为： 4．（22-23八年级下·上海宝山·期末）已知矩形，把矩形沿直线翻折，点A落在点E处，如果的长度等于该矩形的一条边长，那么 ． 【答案】6或 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】分两种情况：①当时，利用矩形的性质和全等三角形的判定与性质证明是等边三角形，得出，然后根据30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解；②当时，同理可求． 【详解】解：如图，当时， ∵四边形是矩形， ∴，， 根据翻折的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， 解得：；    当时，如图， 同理可得是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：6或．    【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、数形结合是解题的关键． 5．（22-23八年级下·上海黄浦·期末）如图，在边长为6的正方形中，点M、N分别是边、的中点，Q是边上的一点．连接、，将沿着直线翻折，若点C恰好与线段上的点P重合，则的长等于 ．    【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、勾股定理与折叠问题、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】先证明是等边三角形，得到，从而由折叠的性质得到，，设，则，在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意，画图如下：    在边长为6的正方形中，点M、N分别是边、的中点， ∴，垂直平分，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 在中，，即， 解得：， 即：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，根据题意画出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 6．（22-23八年级下·上海松江·期末）已知：如图，在矩形中，．点P是边上一点，且．连接，将四边形沿所在直线翻折，点A、B的对应点分别为点E、F，边与边的交点为点G．则 ；    【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】设,则，在RT△DGC中，CG=a,DG=3-a,CD=2，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：由题意得：四边形与四边形全等． ∴．, ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设,则， 则在中，，且， ∴，解得：． 故答案为．    【点睛】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 7．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，矩形中，将沿折叠，使得点A落在对角线上，若，，则＝ ．    【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】根据折叠的性质及勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，    矩形ABCD中， 由折叠性质可得，， ∴ 设，则 在Rt中，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质、勾股定理是解题的关键． 8．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）如图，把一张长方形的纸片折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若长为，长为，其不重合部分的面积是 ． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】设，则，根据矩形的性质和折叠的性质可证明，再由勾股定理求出，继而表示出的面积，即可求解． 【详解】四边形是矩形，长为，长为， ， ， 设，则， 把一张长方形的纸片折叠起来，使其对角顶点A、C重合， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ， 其不重合部分的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，直角三角形的全等判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 9．（21-22八年级下·上海闵行·期中）在平行四边形中，和交于点O，，，如果将沿直线翻折后，点B落在点E处，那么的面积等于 ． 【答案】 【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】连接OE，过点O作OF⊥DE于点F．利用翻折的性质可得出△DOE为等边三角形，进而可得AC∥DE，故S△ADE＝S△DOE，直接求三角形DOE的面积即可得出答案． 【详解】解：连接OE，过点O作OF⊥DE于点F． 由翻折可知，∠AOB＝∠AOE＝60°，OB＝OD＝OE＝BD＝5， ∵∠DOE＝180°−∠AOB−∠AOE＝60°， ∴△DOE为等边三角形， ∴∠EDO＝∠AOB＝60°，EF＝DF， ∴AC∥DE， ∴S△ADE＝S△DOE， ∵，DE＝OD＝5， ∴S△ADE＝S△DOE＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折的性质、平行四边形的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是准确作出辅助线，利用数形结合思想求解． 10．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知矩形，，将沿着直线翻折，点D落在点E处，如果点E到直线的距离是6，那么的长是 ． 【答案】或 【知识点】点到直线的距离、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】分为两种情况分别画图计算．①如图，当时，交于点，过点E作交于点H，则，根据四边形是矩形，得出，根据折叠的性质得，，证明，得出，设，根据等面积法得出，从而得出，在中，根据勾股定理求出，即可求解； ②如图，时，过点E作交的延长线于点H，过点E作交于点F，则，根据四边形是矩形，得出，证出四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质得，，，在中，根据勾股定理算出，设，，在中，根据勾股定理求出，即可求解； 【详解】解：①如图，当时，交于点，过点E作交于点H，则， ∵四边形是矩形， ， 根据折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， 即， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴； ②如图，时，过点E作交的延长线于点H，过点E作交于点F，则， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得，，， 在中，， 设，， 在中，， 即， 解得：， ∴， 综上，或； 故答案为：或． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定、三角形面积等知识点，熟练掌握折叠的性质，正确作出图形并分类讨论是解题的关键． 11．（22-23八年级下·上海·期末）如图，已知矩形的长，，将其折叠，使点D与点B重合，求折叠后折痕的长是 ； 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、勾股定理与折叠问题、根据等角对等边求边长、两直线平行内错角相等 【分析】过点E作于点G，则，根据矩形的性质和判定可得，由折叠的性质可得，，设，则，利用勾股定理列方程求解，，由平行线的性质和等腰三角形的判定可得，从而求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点E作于点G，则， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得，，， 设，则， 在中，， 解得， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上（点E与点A、D不重合），将沿直线翻折，点D的对应点为点G，连接，的延长线交边于点F，如果，那么的长为 ． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等积转换；由勾股定理得 ，由三角形的面积得，即可求解；掌握性质，能用三角形面积转化求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ， ， ， 由翻折得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案：． 13．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在，，，，点D在边上，连接，将沿着翻折，点C的对应点为点E，连接，如果，那么的长等于 ．    【答案】 【知识点】两直线平行同旁内角互补、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、折叠问题 【分析】由，，，根据勾股定理求得，由翻折得，由，得，，可证明四边形是正方形，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 由翻折得， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、平行线的性质、正方形的判定与性质等知识，求得是解题的关键． 14．（24-25八年级下·上海·期中）已知四边形是矩形，点是边的中点，以直线为对称轴将翻折至，联结，那么图中与相等的角（除外）的个数为 ． 【答案】4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了解析的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是由等腰三角形的性质得出．由折叠的性质和等腰三角形的性质可得，，由平行线的性质，可得，进而得出结论． 【详解】解：由折叠知，，， 点是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 15．（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质及翻折变换，由折叠性得，， 根据题意可得，， 则，再根据平行四边形的性质可得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠性得，， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴的周长的周长平行四边形的周长， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 16．（21-22八年级下·上海·期中）在平行四边形中，，，，为边上的高，将沿所在直线翻折后得，那么与四边形重叠部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识． 由折叠特点可知，则，设与相交于点P，根据平行四边形的性质推出为等腰直角三角形，与四边形重叠部分的面积是与的面积之差． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 根据沿直线折叠特点，， ∴， 在中，，，则，， ， ， 设与相交于点P， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴为等腰直角三角形，底边，高为， ∴． 故答案为：． 17．（22-23八年级下·上海普陀·期中）如图，在中，与相交于点O，，，，将沿直线翻折后，点B落在点E处，联结、，那么四边形的周长 ．    【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】过点作于点，连接，先根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，然后根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，最后根据四边形的周长公式即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，    ∵在中，，， ， ∵在中，，， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， 是等边三角形， ， 则四边形的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题关键． 18．（22-23八年级下·上海长宁·期中）如图，在边长为2的正方形中，E为边的中点，点Р在边上．如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处．那么的长为 ．    【答案】/ 【知识点】正方形折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可证明，可得，，利用等积法求出，然后计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：．    【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 19．（21-22八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，，，E为边上一点，将沿翻折，点B落在点F处．当为直角三角形时， ．    【答案】2或5/5或2 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】分三种情形计算． 【详解】解：当时，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，    ∵， ∴， ∴三点共线， 根据折叠的性质，得， ∴， 设，则， 根据勾股定理，得， 解得， 故； 当时， ∵四边形是矩形，，， ∴，，    ∵， ∴四边形是矩形， 根据折叠的性质，得， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故； 当时，    ∵， ∴点不可能落到上， 故不成立， 故或， 故答案为：2或5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，分类思想，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 20．（20-21八年级下·上海徐汇·期中）平行四边形的对角线相交于点，，，将平行四边形沿翻折后，点落在点处，那么 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】根据题意，正确画出几何图形，结合平行四边形性质以及折叠的性质进行分析，即可求得的值． 【详解】如图： 根据翻折的性质； ∵ ∴ 又∵∠AOB=∠COD=30° ∴ 在中，OB=OD ∴ 又∵ ∴=30° 过点O做 ∵BD=8 ∴OD=BD=×8=4 ∵=30° ∴OE=2 ∴ ∴DE=2 ∴ 故正确答案：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，图形折叠的性质，及勾股定理；根据题意正确构图以及了解平行四边形的性质是解题的关键． 21．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形中，点E、F分别为边的中点，点P在边上，如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处，线段的长为1，那么正方形的边长为 ． 【答案】/ 【知识点】公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、折叠问题 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握正方形的性质和折叠的不变性． 先得到四边形为矩形，根据正方形的性质以及折叠的性质得到可设，，，在中由勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】解：如图： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵点E、F分别为边的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵翻折， ∴， 设正方形的边长为，则，，， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：或（舍）， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 22．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设与相交于点，若的面积为，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．当点，重合时，，的面积最小，过点作交的延长线于点，利用度角的性质及勾股定理求出，，得到；当点与点重合时，，此时的面积最大，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，根据折叠的性质和平行四边形的性质可推出，，设，则，，推出，根据列方程求出，即可求出得到，最后根据三角形的面积公式可求出面积的最大值，进而可得的取值范围． 【详解】解：当点，重合时，， 此时的面积最小， 过点作交的延长线于点， 在中，， ， ， ， ， 由折叠可得：， ， 的最小值为； 当点与点重合时，， 此时的面积最大， 过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， 在中，，， ，， 由折叠可得：，，，， ，， ，， 设，则， ， ， ， ， ， 解得：，即， ，即； 取值范围是， 故答案为：． 23．（23-24八年级下·上海青浦·期末）已知中，，，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，若是直角三角形，那么边 ． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】由平行四边形的性质可得，，，， 由折叠的性质可得：，，分两种情况：当时，延长交于；当时；分别求解即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 由折叠的性质可得：，， 如图，当时，延长交于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点是的中点， 在中，， ∴， ∴； 如图，当时， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点、、在同一直线上， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴，， 综上所述，当是直角三角形时，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、含的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 24．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，是矩形的对角线，已知，，点E在边上，将矩形沿直线翻折，如果点B恰好落在对角线上，那么的长是 ． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查矩形折叠问题，勾股定理，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题的关键． 先由勾股定理，求得，再根据折叠的性质得，，，设，则，在中由勾股定理，得，解之即可求得x值，从而求解． 【详解】解：如图，设点B恰好落在对角线上的点为， 四边形是矩形， ∴， 由勾股定理，得， 由折叠可得：，，， ∴， 设，则， 在中由勾股定理，得 解得：， ∴， 故答案为：5． 25．（21-22八年级下·上海杨浦·期末）如图， 的对角线与相交于点，将翻折使点与点重合，点落在点，已知（是锐角），那么的度数为 ．（用的代数式表示） 【答案】/ 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】先画出图形，由折叠的性质证明≌，继而可得是直角三角形，，根据，可求的度数． 【详解】解：如图所示： 由折叠的性质可得：，， 在和中， ， ≌（SAS）， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质以及平行四边形的性质，解决问题的关键是掌握：翻折前后对应边相等、对应角相等，解题时注意：平行四边形的对角线互相平分． 题型二 填空小压轴（图形的旋转） 26．（24-25八年级下·上海松江·期中）直线与轴、轴分别交于、两点，为线段上一点，将绕点顺时针旋转得到，若点，那么点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、根据旋转的性质求解 【分析】此题考查了一次函数与几何综合，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 设，根据题意得到，然后代入求解即可． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于、两点，为线段上一点 ∴设 ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ ∴ 解得 ∴． 故答案为：． 27．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）如图，在平行四边形中，边，对角线，将平行四边形绕着点逆时针旋转，点的对应点恰好落在对角线上，那么边的长为 ．    【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质求解 【分析】过点作交的延长线于点，根据题意，得出是等腰直角三角形，进而求得，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，    依题意，，则是等腰直角三角形， ∴， ∵，则， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28．（22-23八年级下·上海长宁·期末）如图，菱形的边长为，，连接，将菱形绕点旋转，使点的对应点落在对角线上，连接，那么的面积是 ．    【答案】/ 【知识点】根据旋转的性质求解、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】过点作，根据已知条件得出是等腰直角三角形，设，则，根据，列出方程，解得进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作    依题意， ∵菱形的边长为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得：， 则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 29．（24-25八年级下·上海·期中）直角三角形的斜边在轴的正半轴上，点与原点重合，点的坐标是且，若将绕着点旋转，点和点分别落在点和点处，那么直线的解析式是 ． 【答案】或或或 【知识点】求一次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解 【分析】分点C在第一象限和第四象限讨论，然后每种情况分顺时针和逆时针旋转讨论，根据等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等求出点E、F的坐标，然后根据待定系数法求解即可． 【详解】解∶当点C在第一象限时， 若按顺时针旋转，如图，过C作于G，过E作于H， ∵，是直角三角形， ∴是直角三角形， ∴ ∵A、O重合， ， ∴， ∴， ∵绕着点旋转，点和点分别落在点和点处， ∴，，， ∴点F在y的负半轴上， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 若按照逆时针旋转，如图 同理可求，，直线解析式为； 当点C在第四象限时， 若按顺时针旋转，如图， 同理可求，，直线解析式为； 若按逆时针旋转，如图， 同理可求，，直线解析式为； 综上，直线解析式为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，明确题意，灵活应用以上知识，合理分类讨论是解题的关键． 30．（21-22八年级下·上海浦东新·期中）如图，直线与坐标轴分别交于，两点，于点C，是线段上一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为 ．    【答案】2/ 【知识点】用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合 【分析】由点的运动确定的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段, 当线段与垂直时，线段的值最小． 【详解】解：由已知可得，， ∴三角形是等腰直角三角形，， ∵， ∴， 又∵是线段上动点，将线段绕点逆时针旋转， ∵在线段上运动，所以的运动轨迹也是线段， 当在点时和在C点时分别确定的起点与终点， ∴的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段， ∴当线段与垂直时，线段的值最小， 在中，，， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查了勾股定理、一次函数图象上点 的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短， 熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 31．（20-21八年级下·上海静安·期中）如图，在直角坐标平面内，△ABC的顶点，点B与点A关于原点对称，AB＝BC，∠CAB＝30°，将△ABC绕点C旋转，使点A落在x轴上的点D处，点B落在点E处，那么BE所在直线的解析式为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解、求关于原点对称的点的坐标 【分析】如图，过点C作CF⊥x轴于点F，根据关于原点对称的点的坐标特征可得点B坐标，根据等腰三角形的性质可得AB＝BC=2，利用外角性质可得∠CBF=60°，利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可得CF、BF的长，利用旋转的性质可得AB＝CE＝2，AC=CD，∠ECD=∠ACB=30°，根据等腰三角形的性质可得∠CDA=∠CAD=30°，可得CE//AD，可得点E坐标，利用待定系数法即可得答案． 【详解】如图，过点C作CF⊥x轴于点F， ∵△ABC的顶点，点B与点A关于原点对称， ∴， ∴AB＝BC=2． ∵∠CAB＝30°， ∴∠ACB=∠CAB=30°， ∴∠CBF=∠CAB+∠ACB=60°，∠BCF=30°， ∴BF=BC=1，CF=， ∴． ∵将△ABC绕点C旋转，使点A落在x轴上的点D处，点B落在点E处， ∴AB＝CE＝2，AC=CD，∠CDA=∠CAD=30°，∠ECD=∠ACB=30°， ∴CE//AD， ∴． 设直线BE的解析式为， ∴， 解得：， ∴BE所在直线的解析式为：． 故答案为： 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，旋转的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，30°角所对的直角边等于斜边的一半；图形旋转前后的对应边相等、对应角相等；熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 32．（20-21八年级下·上海徐汇·期中）一次函数的图像分别于x轴，y轴交于A、B，将线段AB绕点A顺时针旋转90度得到线段AC，则B、C两点的直线解析式为 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】先分别求出点的坐标，再根据旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质求出点的坐标，然后利用待定系数法即可得． 【详解】解：由题意，画图如下： 对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即， 过点作轴于点， 由旋转的性质得：， ， 轴轴， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、旋转的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 33．（21-22八年级下·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、均在轴上，点在轴上，将绕着顶点旋转后，点的对应点落在轴上，点A的对应点落在反比例函数在第一象限的图象上．如果点、的坐标分别是、，那么点的坐标是 ． 【答案】/(2.5，3) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数与几何综合 【分析】设与轴的交点为，根据题意由旋转的性质易求得点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式，再与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得的坐标． 【详解】由题意可知． 如图，设与轴的交点为， 由旋转的性质可知， 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∵B， ∴可设直线的解析式为， 把代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题．利用旋转的性质证明出，进而求出直线的解析式是解题关键． 题型三 填空小压轴（新定义问题） 34．（24-25八年级下·上海闵行·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为 ． 【答案】或 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查了正比例函数的图象，以及图象上点的坐标特征，正确理解新定义是解题的关键． 根据相关函数的定义求出正比例函数的相关函数为，再分类讨论：当、时，分别把点代入相应的函数求解即可． 【详解】解：由题意可得，正比例函数的相关函数为， ∵点在这个函数的相关函数的图象上， 当时，把点代入得，， ∴， 当时，把点代入得，， ∴， ∴或． 故答案为：或． 35．（23-24八年级下·上海青浦·期末）定义：在平面直角坐标系中，距离为1的两条直线叫做“互为伴随线”．如果直线与直线互为伴随线，那么直线的函数解析式为 ． 【答案】或 【知识点】求一次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，由题意得：，，，，为等腰直角三角形，由勾股定理结合等腰直角三角形的性质求出，得到，即可得出解析式，同理计算即可得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： 由题意得：，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， 同理可得：，即， ∴直线的函数解析式为或， 故答案为：或． 36．（23-24八年级下·上海静安·期末）如果一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图像的“等值点”，比如：点是函数图像上的“等值点”．已知点，点B是函数图像上的“等值点”，点C是函数图像上的“等值点”，如果四边形是等腰梯形，那么点D的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题在新定义下考查了两个函数图象交点，根据等值点定义得等值点在直线图象上，联立方程组，，求解方程组可求出点B，C的坐标，再根据等腰梯形的定义可得点D的坐标． 【详解】解：根据等值点定义得等值点在直线图象上， ∴联立方程组， 解得，， ∴， 联立， 解得，， ∴； 如图， ∴ ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴点的坐标为，或 故答案为：或． 37．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）已知直线与直线，如果满足，，那么直线与直线称为“互为交换直线”如果直线与其交换直线分别与轴交于点、，且，那么 ． 【答案】或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】根据新定义得出的交换直线为，得出，，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，的交换直线为， 中，当时，，则， 中，当时，，则， ∵， ∴或 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴交点问题，理解新定义是解题的关键． 38．（22-23八年级下·上海长宁·期末）已知函数满足当时，对应的函数值y的范围是，我们称该函数为关于和的方块函数．如果一次函数、为常数，是关于和的方块函数，且它的图像不经过原点，那么该一次函数的解析式为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、判断一次函数的增减性 【分析】根据新定义，分与分别讨论，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】解：∵一次函数、为常数，是关于和的方块函数，且它的图像不经过原点， ∴当时， 当时，； ∴ 解得：，（舍去） 当时，； ∴ 解得：， ∴解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，一次函数的性质，待定系数法解，理解新定义是解题的关键． 39．（23-24八年级下·上海普陀·期中）“方胜”是中国古代的一种首饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，如果将边长为1厘米的正方形沿对角线向右平移厘米得到正方形，形成一个“方胜”图案，那么“方胜”图案的周长为 厘米． 【答案】6 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、利用平移的性质求解 【分析】本题考查正方形的性质，平移的性质，勾股定理．掌握正方形和平移的性质是解题关键．由正方形和平移的性质可求出厘米，，．进而由勾股定理可求出厘米，即得出厘米．同理可求厘米．最后求其周长即可． 【详解】解：∵正方形的边长为1厘米， ∴厘米，． 由平移可知厘米，， ∴厘米，，． ∵， ∴厘米， ∴厘米． 同理可求厘米． ∴“方胜”图案的周长为厘米． 故答案为：6． 40．（23-24八年级下·上海·期末）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“友好菱形”．问题：如图，在中， ，且的面积为S．如果存在“友好菱形”为菱形，那么S的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】由的面积为S可得的高为，然后再分三角形的高取最小值和最大值两种情况求解即可． 【详解】解：∵的面积为S， ∴， ∴边上的高为， 如图：当高取最小值时，为等边三角形，A与M或N或上重合， 如图：过A作，垂足为D， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 如图：当高取最大值时，菱形为正方形， ∴A在中点， ∴，即 ∴． 故填：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理，考查知识点较多，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 41．（23-24八年级下·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴正半轴上的点与y轴正半轴上的点，如果坐标平面内存在一点N，使得，且，那么称点N为M关于P的“垂转点”．例如图1，已知点和点，以为腰作等腰直角三角形，可以得到M关于P的其中一个垂转点．如图2，如果关于y轴上一点P的垂转点N在一次函数的图象上，那么垂转点N的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】坐标与图形、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，坐标与图形，一次函数的性质；分两种情况讨论，将，分别绕点顺时针和逆时针旋转，点在上，进而根据全等三角形的性质求得点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转，点在上时， 过点作轴于点， 依题意， 又 ∴ ∴ ∴ ∵，则 设，则， ∴ 又∵在上， ∴ 解得： ∴； 如图所示，将绕点顺时针旋转，点在上时， 同理可得， ∴ 又∵在上， ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 故答案为：或． 42．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）新定义：在平面直角坐标系中，到坐标轴的距离相等的点称为“等距离点”．例如：、都是等距离点．请写出直线上的等距离点 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】新定义下的实数运算、求点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查新定义、点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值，取x值求一次函数图形上点的坐标，再根据新定义进行判断即可． 【详解】解：把代入得，， ∵点到坐标轴的距离是， ∴点是直线上的等距离点， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查新定义、点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值，理解新定义，求一次函数图象上点的坐标是解题的关键． 43．（22-23八年级下·上海静安·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：如果点P到x、y轴的距离中的最小值等于点Q到x、y轴的距离中的最小值，那么称P、Q两点为“坐标轴等距点”，例如点与点为“坐标轴等距点”．已知点A的坐标为，如果点B在直线上，且A，B两点为“坐标轴等距点”，那么点B的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】求点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值 【分析】设，由等距点的定义列方程计算即可，注意分类讨论，求出不同情况下的值即可． 【详解】∵点B在直线上， ∴设， 点到x、y轴的距离中的最小值为， 当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为， 由A，B两点为“坐标轴等距点”可得，，解得或（舍去）， 此时； 当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为， 由A，B两点为“坐标轴等距点”可得，，解得或（舍去）， 此时； 当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为， A，B两点不是“坐标轴等距点”； 综上所述，点B的坐标为或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“坐标轴等距点”． 44．（24-25八年级下·上海·期中）我们把直角坐标平面内到轴距离是到轴距离2倍的点称为“特殊点”．那么一次函数的图象上的“特殊点”坐标为 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．设一次函数的图象上的“特殊点”坐标为，根据题意可得，，解方程即可求出答案． 【详解】解：设一次函数的图象上的“特殊点”坐标为，根据题意可得， ， 则或 解得， 即一次函数的图象上的“特殊点”坐标为， 故答案为： 45．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，被平行于边的直线l分成梯形和小，当为直角三角形，且时，我们叫梯形是“余角梯形”．如果一个“余角梯形”较短底边长5，两腰长分别是3和4，那么它的中位线长是 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、梯形中位线定理 【分析】如图，过作交于，结合梯形，，证明四边形为平行四边形，，利用勾股定理求解，可得，再利用梯形的中位线的性质可得答案． 【详解】解：如图，过作交于，结合梯形，， ∴四边形为平行四边形，，    ∴，，而， ∴， ∴， ∴梯形的中位线长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，梯形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 46．（21-22八年级下·上海杨浦·期中）如果把对角线与一边垂直的平行四边形成为“联想平行四边形”，现有一个“联想平行四边形”的一组邻边长为4和2，那么它的最小内角为 度． 【答案】30 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=，BC=4时，∠B最小，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】如图所示： 在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=，BC=4时，∠B最小， 由勾股定理得：， ∴， ∴在Rt△ABC中，∠B=30°， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、“联想平行四边形”、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握“联想平行四边形”的性质，根据含30°角的直角三角形的性质求出∠B＝30°，是解题的关键． 47．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）定义：有一组对角相等，且另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．已知在等对角四边形中，，，，，那么的长是 ． 【答案】或 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】分两种情况：①当时，延长，相交于点，先用含角的直角三角形的性质求出，得出、，再利用勾股定理求出，即可求出；②当时，过点作于点，于点，则，四边形是矩形，先求出、，再由矩形的性质得出，，再根据直角三角形的性质求出，即可求出． 【详解】分两种情况： ①当时，延长，相交于点，如图1所示：   ，， ， ， ， ， ， ，， ∴， ∵， ∴， ， ； ②当时， 过点作于点，于点，如图2所示：    则，四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了新定义、勾股定理、含30度角的直角三角形性质、矩形的判定与性质等知识，正确分类、熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 题型四 填空小压轴（一次函数与几何综合） 48．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）已知：如图所示，直线交轴于点，交轴于点．若点从点出发，沿射线作匀速运动，点从点出发，沿射线作匀速运动，两点同时出发，运动速度也相同，当为直角三角形时，则点的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，根据题意表示出的三边长， 分 ，，三种情况，根据勾股定理计算即可求出点的坐标，灵活运用分情况讨论思想、掌握两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】由直线得： 当时，即， 解得， 当时，， ∴，， 由勾股定理得， 设，运动的速度为，时间为，则，， 则点的坐标为：，点的坐标为：， ∴ 当时，有，即， 解得，， 当，点与重合，舍去 ∴点的坐标为， 当 时，，即， 解得（舍去），，则点的坐标为， 当时，，即 解得，，点与重合，不符合题意， 综上所示，点的坐标为 或 故答案为：或 ． 49．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与轴、轴分别交于，两点，点为内一点，且，，则点坐标为 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、根据旋转的性质说明线段或角相等、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由一次函数与轴、轴分别交于，两点，则，，故有，由，从而得出，绕点顺时针时针旋转至，连接，所以，，，，则有，，通过三角形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质得，，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵一次函数与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，绕点顺时针旋转至，连接， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 50．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，直线与x轴交于点B，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，以此类推…，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、等边三角形的性质、二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形 【分析】根据求出点B的坐标，得到，根据等边三角形的性质，分别求得的纵坐标，进而得到的纵坐标，可得点的纵坐标．本题主要考查了图形规律题，结合一次函数的性质，等边三角形的性质求解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与x轴交于点B， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 同理得， 把代入得，， ∴， ∴， ∴同理得， ……， ∴的纵坐标为， ∴点的纵坐标是． 故答案为：． 51．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、根据图形面积求比例系数（解析式）、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，对称的性质，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 先求出一次函数解析式为，作于，于，由反比例函数，一次函数都是关于直线对称，则，，，记面积为，则面积为，四边形面积为，和面积都是，面积为，又由对称性可知：，，，，通过性质求出点坐标，然后代入，最后解方程即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，且点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，即点的坐标为， 令一次函数中，则， ∴，即， ∴一次函数解析式为， 作于，于，如下图所示， ∵反比例函数，一次函数都是关于直线对称， ∴，，， 记面积为，则面积为，四边形面积为，和面积都是，面积为， ∴， 由对称性可知：，，，， ∴， ∴， ∴点坐标，代入直线得， 整理得， ∴或， ∵， ∴， 故答案为：． 52．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，已知矩形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，已知点在第一象限且是直线上的一点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】(4,14) 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、写出直角坐标系中点的坐标、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质，通过构造全等，求出点的纵坐标（即的长）是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，则，由为等腰直角三角形，可得出，，利用等角的余角相等，可得出，由，利用平行线的性质，可得出，即，进而可证出，利用全等三角形的性质，可求出的长，结合的长，可得出的长，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点的坐标． 【详解】解：当时，， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点，则，如图所示， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 在矩形中，， ， ， 在和中， ， ，，， 当时，， 解得：， 点的坐标是． 故答案为：． 题型四 填空小压轴（梯形作辅助线方法） 53．（22-23八年级下·上海·期末）如图，梯形中，，是梯形的中位线，若的面积为，则梯形的面积为 ． 【答案】 【知识点】梯形中位线定理 【分析】本题考查了梯形的中位线，根据梯形的中位线得出，根据已知三角形的面积求出, 即可求出答案. 【详解】过作于, 交于, ∵是梯形的中位线, ∴, ∴, ∵的面积为 ， ∴, ∴梯形的面积为 故答案为：. 54．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，在等腰梯形中，，，于O，E、F分别是、的中点，梯形的面积为24，那么 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、斜边的中线等于斜边的一半、等腰梯形的性质定理、梯形中位线定理 【分析】本题主要考查了等腰梯形．熟练掌握等腰梯形性质，等腰直角三角形性质，三角形面积公式，是解决问题的关键． 根据等腰梯形性质得到，，过C作交延长线G，于点H，得到四边形是平行四边形，得到，，得到，，根据，得到，推出，得到，，即得． 【详解】如图，过C作交延长线G，作于点H， ∵等腰梯形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ E、F分别是、的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 55．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在梯形中，，，．如果梯形的中位线长为6，那么的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰梯形的性质定理、梯形中位线定理 【分析】以为边在右侧作平行四边形，过点D作，垂足为H，由梯形中位线的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的特征及等腰三角形的性质，得到，，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：以为边在右侧作平行四边形，过点D作，垂足为H， ， 三点共线， 梯形的中位线长为6， ， ， ， ， ， 在梯形中，， 梯形是等腰梯形， ， ， ， ， ，即， （负值舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，梯形中位线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的特征，勾股定理，熟练掌握梯形的性质是解题的关键． 56．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在等腰梯形中，，对角线与互相垂直，，那么梯形的中位线长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、等腰梯形的性质定理、梯形中位线定理 【分析】本题考查的知识比较全面，需要用到梯形和三角形中位线定理以及平行四边形的性质． 作，从而得到四边形为平行四边形，将两底的和转化为线段的长，利用梯形的中位线定理求得答案即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∵是等腰梯形， ∴， ∴， ∴梯形的中位线为：， 故答案为：． 57．（22-23八年级下·上海宝山·期末）如图，已知梯形，，，那么 ．      【答案】 【知识点】等腰梯形的性质定理、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】过点E作交于点E，首先得到四边形是等腰梯形，然后利用平行线的性质得到，利用勾股定理得到，然后利用角的直角三角形的性质得到，最后利用梯形面积公式求解即可． 【详解】如图所示，过点E作交于点E，      ∵梯形，， ∴四边形是等腰梯形 ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰梯形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的综合应用，掌握等腰梯形的性质，直角三角形勾股定理，及含角的直角三角形的性质是解题的关键． 58．（22-23八年级下·上海闵行·期末）如图，在梯形中，，，，那么边的长为 ．    【答案】8 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的判定与性质求解、(等腰)梯形的定义 【分析】过点A作交于点，可得四边形是平行四边形，是等边三角形，进一步得出，从而可求出边的长． 【详解】解：过点A作交于点，如图，    ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴ 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了梯形，正确作出辅助线，构造平行四边形和等边三角形是解答本题的关键． 59．（21-22八年级下·上海·期末）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝10cm，DC＝13cm，BC＝15cm，则AB＝ cm． 【答案】12 【知识点】用勾股定理解三角形、梯形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】过D作DE⊥BC于E，求出四边形ABED是矩形，根据矩形的性质求出AB＝DE， AD=BE=10cm，根据勾股定理求出DE即可． 【详解】解：如图，作DE⊥BC于E， 则∠DEC＝∠DEB＝90°， ∵AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠B＝180°﹣∠A＝90°， 即∠A＝∠B＝∠DEB＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴AD＝BE，AB＝DE， ∵AD＝10cm，DC＝13cm， ∴BE＝10（cm）， ∵BC＝15cm， ∴EC＝BC﹣BE＝5（cm）， ∵DC＝13cm， ∴AB＝DE＝＝＝12（cm）， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了直角梯形，矩形的性质和判定，勾股定理等知识点，能把直角梯形转化成矩形和直角三角形是解此题的关键． 题型六 解答压轴（一次函数综合题） 60．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知点，点，将直线绕点顺时针旋转，点落在点处， (1)求点坐标． (2)已知点是内一点，求的取值范围． (3)点是轴上一动点（不与原点重合），直线与的夹角和相等，请直接写出点坐标． 【答案】(1)点坐标为； (2)； (3)点坐标为． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，全等三角的判定与性质，求一次函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作轴于点，则，由旋转性质可知：，，证明，然后根据全等三角形的性质可得，，再由线段和差求解即可； （）先求出解析式为，解析式为，由点是内一点，列出不等式组，然后解不等式组即可； （）设交轴于点，如图，当时，过作轴于点，证明四边形是矩形，，则，同上理可得直线解析式为，当时，，即有，则，然后利用线段和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作轴于点，则， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点，点， ∴，， ∴，， ∴， ∴点坐标为； （2）解：设解析式为，解析式为， ∴，， 解得：，， ∴设解析式为，解析式为， ∵点是内一点， ∴，即， 解得：； （3）解：设交轴于点， 如图，当时，过作轴于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵点，点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同上理可得：直线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 综上可知：点坐标为． 61．（24-25八年级下·上海·期中）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D．过B作于点E，则． 【迁移应用】如图2，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)当直线上存在一点F，且点F在第一象限，使得为等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标及相应的k的值； (2)点H为第一象限内的一点，且，，连接，求的面积（用含有k的代数式来表示）； (3)如图3，当时，直线l经过点A，与y轴负半轴交于点C，且，求直线l的表达式． 【答案】(1)，或，或， (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键在于构造“一线三等角”的全等． （1）先求出，即，然后分三种情况讨论，利用“一线三等角”的全等进行求解即可； （2）先求出，则，过点作轴于点H，同上可证明：，，再由即可求解； （3）当时，，则可求，过点B作交直线于点P，过点作轴的垂线，分别过点A，P作垂线的垂线，垂足为点M，N，可得，同上可证明：，即可得到，再由待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：当， ∴，即， ①当，记直线交y轴于点D，如图： ∵直线与轴垂直， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； ②，过点F作轴于点D，如图： 同理可证明：， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； 当，记直线交y轴于点D，过点A作直线的垂线，垂足为点H，如图： 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； 综上所述：，或，或，； （2）解：当，， 解得：， ∴， ∴， 过点作轴于点H， 同上可证明：， ∴， ∴； （3）解：当时，， 令，则， 解得， ∴， 过点B作交直线于点P，过点作轴的垂线，分别过点A，P作垂线的垂线，垂足为点M，N， ∵，， ∴， ∴， 同上可证明：， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入，得：, 解得：， ∴直线表达式为． 62．（24-25八年级下·上海黄浦·期中）探究活动 【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】    （1）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第一象限内构造等腰直角，直接写出第三个点的坐标是 ； （2）如图1，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图2，点在轴负半轴上，，过点作轴交直线于点，是直线上的动点，是轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或或或． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数与几何综合 【分析】（1）过点C作y轴的垂线，垂足为D，先求出A、B坐标得到的长，再证明推出的长即可得到答案； （2）先证可得，进而得到，最后根据待定系数法即可解答； （3）分，点P在x轴上方或下方和点P在x轴上方或下方，四种情况，分别运用全等三角形的判定与性质和二元一次方程组解答即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点C作y轴的垂线，垂足为D， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴； ∵是以B为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点B作交直线l于点C，过点C作轴于D，    ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在中，当时，， ∴． 当时，， ∴， ∴， ∴； 设直线l对应的函数表达式为， 将和代入得    解得 ∴直线l解析式为． （3）当，，P在x轴的上方， 如图：过P作轴，交于M，交y轴于N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ①②联立解得：， ∴； 当，，P在x轴的下方， 如图：    同理可得， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ③④联立解得：， ∴； 当，，P在x轴的上方，如图 同理可证明， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ⑤⑥联立解得：， ∴；    当，，P在x轴的下方， 如图： 同理可证明， ∴； ∵直线l：， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ①②联立解得：， ∴．    综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质与判定、、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键． 63．（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于A，B两点，过点B的直线交x轴正半轴于点M，且直线把分成面积之比为的两部分． (1)求点A，B的坐标； (2)求直线的表达式； (3)当时，试在直线上找一点P，使得，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的综合应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）对于，分别令和，求出y值和x值，即得出答案； （2）结合（1）可求出，由题意可知或．设，直线的解析式为，即得出．分类讨论：当时和当时，分别列方程求出t的值，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意结合（2）可知直线的解析式为．过点作x轴垂线，交直线于点C．设，则，即可求出，再根据三角形面积公式可求出，可求得，再分别求出即可． 【详解】（1）解：对于，令，则， ∴； 令，则， 解得：， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． ∵过点B的直线交x轴正半轴于点M，且直线把分成面积之比为的两部分， ∴或． 设，直线的解析式为， ∴． 当时，即， 解得：． ∴，即． 将，代入， 得：，解得：， ∴此时直线的解析式为； 当时，即， 解得：． ∴，即． 将，代入， 得：，解得：， ∴此时直线的解析式为． 综上可知直线的表达式为或； （3）解：∵， ∴由（2）可知，即此时直线的解析式为． 如图，过点作x轴垂线，交直线于点C． 设，则， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， 解得：． 当时，，即； 当时，，即． 综上可知点P的坐标为或． 64．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，． (1)分别求点A和点B的坐标； (2)求y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，勾股定理，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用一次函数与x轴、y轴的交点坐标即可求解； （2）根据勾股定理求出的长，解得，再进一步求出，即可求解； （3）连接，先证明四边形为菱形，再通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴轴交于，与轴交于， ∴令，则， ∴ 令，则， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ， ∴， 在上运动与重合时，与重合则， ∵与不重合， ∴． （3）解：连接，如图： ∶垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 且在上 ∴当与重合时， 如图： 当在A上方与重合时， ，， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 综上，为或． 65．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，设的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，4或或或8 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）在中，当时，；当时，；即可得出答案；求出点，代入直线即可得出答案； （2）求出，则，；①设，则，过作于，由三角形面积S与t之间的函数关系式； ②过作于，则，，由勾股定理求出；分三种情况：当时；当时；当时；分别求出的值即可． 【详解】（1）解在中，当时，； 当时，； ，； 点在直线上， ， 又点也在直线上， ， 解得：； （2）解：在中，当时，， ， ， ， ， ； ①设，则，过作于，如图1所示： 则， ∴， ②存在，理由如下： 过作于，如图1所示： 则，， ， ； 、当时，， ， ； 、当时，如图2所示： 则， ，， ，或； 、当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， 与重合，， ， ； 综上所述，存在的值，使为等腰三角形，的值为4或或或8． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数的应用、坐标与图形性质、三角形面积、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握一次函数的应用和等腰三角形的性质是解题的关键． 66．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 【答案】(1)点B的坐标为，点E的坐标为 (2) (3)是等腰三角形 (4)，定义域为 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的有关计算、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合，勾股定理，三角形的面积，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用勾股定理求出长，再利用解题即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）设点F的坐标为，利用勾股定理得到，求出点F的坐标，然后判断三角形的形状即可； （4）先利用勾股定理得到长，然后根据解题计算即可． 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴点B的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 过点E作于点H， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为； （2）设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （3）设点F的坐标为， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴点F的坐标为， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）解：由勾股定理可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵点是线段上的一个动点， ∴． 67．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和的坐标； (2)求点的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、一次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形 【分析】（1）令，求得；令，求得，即可得出点A、B坐标； （2）过点P作于C，设，则，，根据，得，求出值即可求解． （3）设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F，根据题意可求得，，再利用等积法求，，则，由点Q在第四象限，即可写出点Q坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ∴， 令，则， ∴． （2）解：如图，过点P作于C， ∵点P在直线上， ∴设， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， 解得：， ∴． （3）解：如图，设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F， 把代入，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点Q在第四象限， ∴． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴交点问题，直线与坐标轴围成的三角形面积问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，三角形的面积．熟练掌握利用等积法求高是解题的关键． 68．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． (1)如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． (2)将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)正确，直线过定点 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解 【分析】（1）①将点代入，求出m的值，进而得到直线的表达式，联立直线、的表达式，即可求出的坐标；②根据四边形是等腰梯形，且，得到点在平行于直线过点B的直线上，且，求出直线的解析式，设，根据，利用两点间距离公式建立方程求解即可； （2）根据题意得到直线的表达式为：，求出，联立直线、的表达式，求出，如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，得到，根据点落在与直线平行的直线上，求出直线的解析式为：，当时，，即可得出直线过定点． 【详解】（1）解：①将点代入，则， ， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， ②如图， 四边形是等腰梯形，且， 点在平行于直线过点B的直线上，且， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点， 由图形可得， ， ， 解得：或， 当时，，此时，， ， 四边形是平行四边形， ， 则四边形不是梯形，故舍去， 当，， 同理：，， ，与不平行， 四边形是等腰梯形， 故，则； （2）解：根据题意：直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， 如图，过点作轴的垂线，垂足分别为， 则，， ， 由旋转的旋转得：，， ， ， ， ， ， 点落在与直线平行的直线上， 设直线的解析式为：，则， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 直线过定点． 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，旋转的性质，需要掌握待定系数法确定函数关系式,函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，两条直线平行及交点等相关知识，属新定义型题目． 69．（24-25八年级下·上海·期中）如果直线与直线相交于点，且夹角为，则称为为的半直交线，点为半直交点，这个的角为半直角． (1)若直线为轴，直线的解析式为，当为的半直交线时，的值为______； (2)直线分别与轴，轴交于，两点，点是轴上点右侧的一点，且，点在直线上，其横坐标为，判断是否为半直角，并说明理由； (3)直线的解析式为，与轴交于点，与轴交于点，点是轴上的一个动点，直线是直线的半直交线，求点的坐标． 【答案】(1)或 (2)是半直角，理由见解析 (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）易得直线与直线相交于点，分两种情况：当时，当时，根据半直交线的定义，求出与轴的交点，即可求出值； （2）根据题意，画出图象，过点作轴于点，证明，推出，进行判断即可； （3）分点在点的左侧和右侧，两种情况，进行讨论求解． 【详解】（1）解：直线的解析式为， 当时，，即直线必过； 直线为轴，直线的解析式为，为的半直交线， 点，直线与轴的夹角为， ， 当时：如图，， 则：， ， ， 将代入得：， 解得：； 当时：如图， 同法可得：， 将代入得：， 解得：； 综上：的值为或， 故答案为：或； （2）是半直角，理由如下： ，当时，，当时，， ，， ， 点是轴上点右侧的一点，且， ， ， 点在直线上，其横坐标为， ， 过点作轴于点， ， 则，， ，， 又， ， ， ， ， ， 是半直角； （3），当时，；当时，， ，， ，； 当点在点左侧时，过点作，过点作轴于点， 则：， ， ， 直线是直线的半直交线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为：，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 解得：， ； 当点在点右侧时，过点作，交直线于点，过点作轴于点， 同法可证：， ，， ， ， 设直线的解析式为：，将、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 解得： ； 综上：或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形，解题的关键是掌握相关知识并分类讨论． 70．（24-25八年级下·上海金山·期中）已知直线的图像与轴，轴分别交于，两点，以为边在第二象限作等边三角形． (1)求直线的解析式； (2)求点的坐标； (3)点，在直线上是否存在一点使得三角形为等腰三角形？若存在直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【知识点】公式法解一元二次方程、求一次函数解析式、一次函数与几何综合、等边三角形的性质 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、等腰三角形的定义、解一元二次方程、全等三角形的判定与性质等知识，分类讨论求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求直线解析式即可； （2）过点B作于点G，如图，先利用等边三角形的性质求得，，再证明推导出轴，进而可求解； （3）由题意，设，分、、三种情况，利用两点坐标距离公式和一元二次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：∵直线的图像与轴，轴分别交于，两点， ∴，解得 ∴直线的解析式为； （2）解：由，得，，， ∵是等边三角形， ∴， 过点B作于点G，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴点C坐标为； （3）解：存在．由题意，设， ∵， ∴， ， ， 当时，即， 则， 解得：或 ∴点P的坐标为或； 当时，即， 则， 解得：， ∴点P的坐标为； 当时，即， 则， 解得：或（与点A重合，舍去）， ∴点P的坐标为； 综上，满足条件的点P的坐标为或或或． 71．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． (1)求点、坐标和度数； (2)点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； (3)若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 【答案】(1)点的坐标为；点的坐标为， (2) (3)当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标及，的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度，由取的中点，连接，可得是等边三角形，进而求出的度数； （2）过点作轴，垂足为点，由，的长度可得出，由，，可得出为等边三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理可得出的长度，再利用三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式； （3）分，及三种情况考虑：①当时，点与点重合或点与点重合，进而可得出点的坐标；②当时，由可求出的长度，结合是等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标；③当时，过点作直线，垂足为点，通过解直角三角形可求出的长度，由等腰三角形的性质及的长度可求出的长度，结合为等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标．综上，此题得解． 【详解】（1）解：当时， ，点的坐标为； 当时， 解得： 点的坐标为， 在中，， 如图，取的中点，连接， 是等边三角形， （2）在图中，过点作轴，垂足为点． ，， ， ，， 为等边三角形， （3）∵以、、、为顶点的四边形为菱形， 分三种情况考虑，如图所示． ①当时，点与点重合， 点的坐标为； ②当时， 是等边三角形， ③当时，过点作直线，垂足为点， 在中，，， ， ， ． 为等边三角形， ， ， 点的坐标为． 综上所述：当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、解含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，掌握以上知识分类讨论，是解题的关键． 72．（23-24八年级下·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中（如图），直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上． (1)求点A和点B的坐标； (2)当点C的横坐标是时，如果在y轴上存在点P，使得，求点P的坐标； (3)当点C的横坐标是m时，在平面直角坐标系中存在点Q，使得以O、C、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．（用含m的代数式表示） 【答案】(1) (2)点或 (3)或或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题为一次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键． （1）对于，当时，，令，则，即可求解； （2）由，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：对于，当时，， 令，则， 即点的坐标分别为：； （2）设点， 则， 解得：或8， 即点或； （3）设点，点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， 则点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或或． 73．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、，将点B向左平移2个单位后落在y轴上的点P处． (1)求m的值； (2)将线段绕点P逆时针旋转，点A落在点C处，求直线的表达式； (3)设（2）中的直线与x轴交于点D，在直角坐标平面内找点Q，使得以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标． 【答案】(1)0 (2) (3)或或 【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、由平移方式确定点的坐标、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据坐标平移规律“左减右加”以及坐标轴上点坐标特征即可求解； （2）根据旋转的性质求得，再利用待定系数法即可求解； （3）先求得，根据平行四边形的性质进行分类讨论，利用平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵将点B向左平移2个单位后落在y轴上 ∴ 解得 （2）由（1）可得， ∴ ∴ 如图，根据旋转可得， ∴ 设直线的表达式为（） ∵直线经过点， ∴ 解得 ∴直线的表达式为． （3）由（2）知直线的表达式为， ∴ 连接，如图， ①由平移得直线， 此时即为所求， ∵四边形为平行四边形 ∴ ∵，， ∴ ②由平移得直线， 此时即为所求， ∵四边形为平行四边形 ∴ ∵，， ∴ ③由平移得直线轴， 此时即为所求， ∵四边形为平行四边形 ∴ ∵，， ∴     综上所述，Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与坐标轴的交点，旋转的性质，平移的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质与判定，坐标平移规律以及坐标轴上点坐标特征等，根据平移求对应点坐标是解题的关键． 74．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，以线段为一边向上作等边三角形．    (1)求出A，B，C的坐标； (2)已知在y轴上有一点P，且，求出符合条件的P点坐标； (3)平面直角坐标系内有一点Q，使得以A，C，O，Q为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)， 【知识点】等腰梯形的判定定理、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、一次函数与几何综合 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求点A，B的坐标，结合等边三角形和含30°直角三角形的性质求得C点坐标； （2）结合三角形面积公式，利用方程思想计算求解； （3）根据等腰三角形的性质分情况讨论求解． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴，， 过点C作轴，交轴于点D，    ∵，， ∴，， 在Rt中，， ∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 在Rt中，，， ∴， ∴； （2）解：由（1）已证， ∴， ∴四边形为梯形， 设y轴上一点 当时，， 解得，， ∴或； （3）解：当，且时，四边形是等腰梯形，    由（1）已证， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 当，且时，四边形是等腰梯形，    过点作轴， 由（1）已证， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 综上，，． 【点睛】本题考查一次函数与几何图形综合应用，等边三角形的性质，等腰梯形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 75．（24-25八年级下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点关于点的对称点为点，四边形是平行四边形． (1)求点、点的坐标． (2)过线段的中点作直线，直线把平行四边形分成面积为的两部分，求直线的解析式： (3)在（2）的条件下，直线与轴交于点（当点在点的下方），点在直线上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）首先求出，，然后根据中心对称的性质求出，然后根据平行四边形的性质求出； （2）如图所示，点E为的中点，连接，，首先得出，然后分两种情况讨论，分别根据题意求出点F和点G的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （3）首先求出，然后分两种情况讨论，当点Q在y轴左边时，求出，得到所在直线表达式为，然后求出；当点Q在y轴右边时，作点Q关于y轴的对称点，根据对称性求解即可． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴、轴于、两点 ∴当时， ∴； 当时， 解得 ∴ ∵点关于点的对称点为点， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为16 ∴； （2）解：如图所示，点E为的中点，连接，， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵点E为的中点 ∴ ∴ ∵直线把平行四边形分成面积为的两部分，如图交于点F ∴当时， ∴ ∴ ∵， ∴点F的纵坐标为 ∴将代入得， 解得 ∴ 设表达式为 根据题意得， 解得 ∴的表达式为； ∴当时，如图交于点G ∴ ∵， ∴点G的纵坐标为 ∴将代入得， 解得 ∴ 同理利用待定系数法求出表达式为 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：如图所示， ∵直线与轴交于点（当点在点的下方）， ∴点M为直线直线与y轴的交点 ∴当时， ∴ 当点Q在y轴左边时， ∵， ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∴将代入得， 解得 ∴； 当点Q在y轴右边时，作点Q关于y轴的对称点 ∴ ∴ ∴ 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，等边对等角，平行四边形的性质，平行线的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 76．（23-24八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点是线段的中点，点，点为轴上一动点． (1)求直线的表达式，并直接写出点的坐标； (2)连接，以为边作的顶点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)设点是直线上一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为；点的坐标为 (2) (3)，， ． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了一次函数表达式的确定以及一次函数和平行四边形的判定的综合运用． （1）利用待定系数法求出直线的表达式． （2）由于以为边的四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质，对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论； （3）①为平行四边形的对角线也是这个平行四边形的对角线，平行四边形的对角线的交点是同一个点，把点E，M的坐标设出，利用中点坐标的确定方法，求出的中点和得中点，是同一个点，即可，②为以C、D、E、M为顶点的四边形为平行四边形的边，利用且，即可求出． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， ∵直线与x轴，y轴分别相交于点、点， ∴， 解得，， 即：直线的表达式为． 由中点坐标公式得，，即； （2）解：如图1， ∵，）， 又以为边的平行四边形交x轴于E，交y轴于F，设， ∴，， ∴， ∴． （3）解：第一种情况：为平行四边形的对角线， ∵，， ∴的中点坐标为， ∵点M在直线的图象上， 设， ∴中点坐标为， ∵为平行四边形的对角线， ∴，， ∴，， 即； 第二种情况：为平行四边形的边，则也为边， 即，， ∵，， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得，， ∴直线的表达式可设为为， 当时，， ∴， 设， ∴①， 又点M在直线的图象上， ∴②， 由①②有或， ∴ ， 故符合条件的点的坐标为， ． 77．（23-24八年级下·上海闵行·期中）已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于、两点，点、分别在线段、上，． (1)求、两点的坐标； (2)求的度数； (3)如果的面积是面积的，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）将，分别代入，即可求解， （2）计算的边长，求出，由，根据等边对等角，三角形外角定理，即可求解， （3）作，设，由“的面积是面积的”列出等量关系式，求出的长度，即可求解， 本题考查了，一次函数图像上的点，含角的直角三角形，勾股定理，三角形外角定理，解题的关键是：根据题意列出等量关系． 【详解】（1）解：当时，，解得：， ∴点， 当时，，解得：， ∴点； （2）解：∵，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点作，垂足为点， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：，解得：，， ∵、分别在线段、上， ∴，即：，解得：， ∴， .∴点． 78．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线分别与x轴、y轴交于点A、B，直线与x轴交于点，点D在第四象限，． (1)求直线的解析式； (2)当，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，已知点E在x轴上，点F在直线上．如果以C、D、F、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】（1）先求出点的坐标，然后设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴于点，根据、、三点的坐标，得出，，由勾股定理得到，再结合，求出，证明是等腰直角三角形，推出，即可得出点的坐标； （3）分三种情况讨论：①四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，得到点的纵坐标为，进而得到点的坐标，再根据，得到点的坐标；②四边形为平行四边形时，同①理求解；③四边形为平行四边形时，结合平行四边形的性质，进而的得到点的坐标，进而求解即可． 【详解】（1）解：直线分别与x轴、y轴交于点A、B， 令，则， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴于点， 直线分别与轴交于点， 令，则，解得：， ， ， ，， ，， ， ， ，， ∵， ， ， ， ， ，， ， 轴， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 点的坐标为； （3）解：以点为顶点的四边形是平行四边形， ①如图，四边形为平行四边形时，   轴，， 点F的纵坐标为， 点F在直线上， 令，则，解得：， ， ， ； ②如图，四边形为平行四边形时， 同①理可得，，， ， ； ③如图，四边形为平行四边形时，   ， ∵，，设， ∴，解得 ∴ ∴， 综上可知，以点为顶点的四边形是平行四边形，或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象的性质，求一次函数解析式，平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 题型七 解答压轴（四边形综合题） 79．（22-23八年级下·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，且与直线交于点，直线与x轴、y轴分别交于点D、C，点C的坐标为．    (1)求的面积； (2)过点A作的平行线交x轴于点E， ①求点E的坐标； ②点P是直线上一动点且在x轴的上方，Q为直角坐标平面内一点，如果以点D，E，P，Q为顶点，且以为边的平行四边形的面积等于的面积，请求出点P的坐标，并直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)6 (2)①②，或 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）先求出的坐标，利用面积公式进行求解即可； （2）①待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标；②分为对角线和为对角线，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，当时，， ∴， ∵直线与y轴交于点A，且与直线交于点， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； （2）解：①设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴ 直线的解析式为：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，当时，， ∴； ②设， ∵，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵以点D，E，P，Q为顶点，且以为边的平行四边形的面积等于的面积， ∴，即：，， ∴或（不合题意，舍去） ∴ 当为对角线时， 当为对角线时， 综上：时，或．    【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 80．（24-25八年级下·上海·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，将直线向右平移个单位，交反比例函数在第一象限的图像于C、D两点，联结． (1)求点A坐标； (2)如果，且满足，求k的值； (3)延长交x轴于点E，如果，且四边形为等腰梯形，求m的值． 【答案】(1) (2)4 (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、已知两点坐标求两点距离、一次函数与反比例函数的交点问题、等腰梯形的性质定理 【分析】（1）先由待定系数法求出函数解析式，再令，解方程即可； （2）先根据平移求出直线表达式，设出点C的参数坐标，再由，根据两点间距离公式建立方程求解； （3）延长交轴于点，由等腰梯形的性质结合平行线导角得到，设，则，求得，求出直线表达式为，与反比例函数解析式联立求出，再直线表达式为：，则，那么． 【详解】（1）解：由题意得，将代入得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴； （2）解：由题意得将向右平移2个单位后的点为，， ∴设直线表达式为：， 代入得，， 解得：， ∴直线表达式为， 设， ∵， ∴， 解得：（舍）或， ∴， 将代入得，， 反比例函数解析式为：； （3）解：延长交轴于点 ∵四边形是等腰梯形， ∴，, ∴， ∴， ∴， 设， 则， 解得：， ∴， 设直线表达式为：， 代入，得：， 解得：， ∴直线表达式为， 与反比例函数解析式联立：， 解得：或（舍）， ∴， 将代入得，， 解得：， ∴直线表达式为：， 当，， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数的平移问题，解一元二次方程，两点间距离公式，等腰梯形的性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 81．（23-24八年级下·上海·期末）如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形，且，，点在轴正半轴上，点B、C在x轴上（点B在点C的左侧），点D在第一象限，，，梯形的高为2，双曲线经过点，直线经过、两点． (1)求双曲线和直线的解析式； (2)已知点在双曲线上，点在轴上，如果四边形是平行四边形，直接与出点N的坐标； (3)点是第三象限双曲线上的一点，设的横坐标为，直线与直线交于点，；连接，设的面积为，的面积为，用含t的代数式表示的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、全等三角形综合问题、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）首先过点作轴于点，由，，易得四边形是矩形，证得，又由，梯形的高为2，即可求得；由双曲线过点，直线过点，直接利用待定系数法求解即可求得答案； （2）由四边形是平行四边形，可得点的横坐标为，继而求得点的坐标，又由，求得答案． （3）设点，求出直线解析式和直线解析式，求出点坐标和点坐标，表示出，，即可求解； 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点． ∵，， ∴四边形是等腰梯形， ∵轴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴， ∵梯形的高为2， ∴． ， ， ， ∵双曲线经过点， ， ∴双曲线的解析式为：， ∵直线经过、两点， 得：， ∴解得：． ∴直线的解析式为：； （2）解：如图，四边形是平行四边形． ∴且． ∵点在轴上， ∴过点作轴的垂线与双曲线的交点即为点． ∴点的坐标为， ∴． ∴， ∴， ∴点的坐标为． （3）解：根据（1）可得，双曲线的解析式为：， 设直线解析式为， 即可得， 解得：， 故直线解析式为． 设点， 设直线解析式为， 即可得， 解得：， 故直线解析式为． 令，则，故． 联立可得：， 故， ∴， ， ∴． 【点睛】此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 82．（24-25八年级下·上海静安·期中）如图1， 在四边形中， ， ， 点P在边上． (1)判断四边形的形状并加以证明； (2)以过点P的直线为轴，将四边形折叠，使点B，C分别落在点上，且经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q； ①在图2中作出四边形（保留作图痕迹，不必说明作法和理由） （提示：为使折叠后经过点D，可以先考虑边上与点D对应的点）； ②如图3， 如果， 且， 试求的值： ③如图4， 如果， 且， 请直接写出的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形；证明见解析 (2)①见解析；②；③ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据菱形的性质与判定求角度、折叠问题 【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断； （2）①过点P作的垂线，交于点E，截取，在上截取，交于点，再以为圆心，适当长度为半径画弧交于一点，连接点P与该点作射线交于点Q，过点Q作的垂线，作射线，交的垂线于点，连接即可；②先根据折叠得出一些对应边相等，对应角相等，并推导出，再设，，利用解直角三角形将和长用含的代数式表示出来，最后根据列出关于、的关系式，求得、的比值即可；③连接，易得平行四边形是菱形，推出，由折叠的性质得到，再求出，推出四点共线，得到点在上，是等腰直角三角形，得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形； 证明：在四边形中，， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：①作图如下： ②当时，平行四边形是菱形， 由折叠可得，，，，， 当时，由 ，可得， ，， ∵， ∴， ， 设，，则直角三角形中， ，且，， ， ， 直角三角形中，， ∴， ， ， 整理得， ，即； ③连接， 当时，平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四点共线， ∴点在上， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形以及菱形，解题的关键是掌握平行四边形的判定以及菱形的判定与性质．在解题时注意，菱形的四条边都相等，此外在折叠问题中，需要抓住对应边相等，对应角相等这些等量关系，折叠问题的实质是轴对称的性质． 83．（24-25八年级下·上海青浦·期中）如图，已知梯形中，，，，点是射线上一点，，垂足为点，交线段于点，，，． (1)求梯形的面积； (2)当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式及自变量的取值范围； (3)若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)174 (2) (3)的长为5或11.9 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、等腰三角形的定义 【分析】（1）先判断出四边形是矩形，进而求出，，利用勾股定理求出，即可得出结论； （2）过点作，交于点，先判断出四边形是平行四边形，进而判断出，即可判断出，进而判断出，即可得出结论； （3）分两种情况：当时，当时，利用（2）的结论和勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，又， ∴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，则， ∵，， ∴， ∴； （2）如图，过点作，交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 又，由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）由（2）知， 即：， ∴ 当时，过点作，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， 在中，， ， ∴， ∴是以为腰的等腰三角形，的长为5或11.9． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，得出是解本题的关键． 84．（24-25八年级下·上海·期中）如图，正方形中，点E、F分别为射线、射线上的点，且满足，联结，点G为的中点，射线交于点H． (1)如图，当点E在线段上时， ①证明：； ②联结，当时，求：四边形的面积与正方形的面积之比． (2)当，时，求：的值． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【知识点】含30度角的直角三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质证明 【分析】（1）①先证明，，由直角三角形斜边中线得到，则，那么，由，可得，即可求证； ②延长交于点K ，可得，设正方形边长为，则，而为的中位线，则，那么，最后由即可求解； （2）当点在线段上时，在上截取，则为的中位线，那么，则，即，可得，根据角直角三角形的性质逆定理可得，导角得到，在上取点，连接，使得，则，那么，设，则，则,有，得，即可求解；当点线段延长线上时，在上截取，同理可得：，，则，在上取点，连接，使得，同理可得：，同理可得，，那么． 【详解】（1）证明：①如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②延长交于点K， ∵， ∴， 即， ∵， ∴点为中点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 设正方形边长为，则， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点在线段上时，在上截取， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在上取点，连接，使得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴, ∵， ∴， 解得：， ∴； 当点线段延长线上时，在上截取， 同理可得：，， ∴， 在上取点，连接，使得， 同理可得：， ∴同理可得，， ∴， ∴， 综上：的值或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质及其逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，难度较大，解题的关键在于正确构造辅助线． 85．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在正方形中，，点是边上一点（不与点、重合），连接交于点，延长交的外角角平分线于点，连接．    (1)当时，求的面积； (2)求证：； (3)连接，当时，求的长． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3) 【知识点】根据正方形的性质证明、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）如图1，作于点，延长，延长线交于点，得四边形是矩形，然后证明是等腰直角三角形，得，进而可以解决问题； （2）如图2，延长，交于点，证明是等腰直角三角形，，作交于M，则四边形是平行四边形，证明，进而可得结论； （3）如图3，证明四边形是平行四边形，可得，，，根据正方形的性质，结合（2）利用勾股定理可得，设，则，得，，再利用勾股定理列出方程求出的值，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 如图1，作于点，延长，延长线交于点， ， 四边形是矩形， ， 是的外角的平分线， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积；    （2）证明：如图2，延长，交于点， 是的外角的平分线， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 作交于M， 则四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ；    （3）解：如图3，由（2）知：， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， 设，则， ，， 在中，根据勾股定理得：， ， 整理得， ，， （舍去）或． 的长为．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解决问题的关键． 86．（24-25八年级下·上海·期中）我们知道平行四边形是中心对称图形．已知四边形是平行四边形，如图所示，请只用一把无刻度的直尺，按要求作出相应的图形．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，点E是边的中点，作出边的中点F； (2)如图2，在平行四边形的四边上各作一点，分别记为M、N、P、Q，使得四边形是平行四边形； (3)如图3，若四边形为正方形，点G在对角线上一点，作一个菱形，使得为菱形的一边． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形、证明四边形是菱形、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，正方形的性质，菱形的判定，无刻度直尺作图： （1）连接，连接和线段的交点，并延长，交于点即可，根据平行四边形的性质，易证，得到，即可； （2）连接交于点，分别过点作线段，交平行四边形的四边于，同（1）可得全等三角形，进而推出互相平分，进而得到四边形是平行四边形； （3）连接交于点，延长交于一点，连接该点于点并延长，交于一点，连接该点和点交于点，连接并延长交于一点，连接并延长于一点，同（2）可得两个平行四边形，进而得到四边形的两组对边平行，得到四边形是平行四边形，易得，得到，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得到四边形为菱形． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，四边形即为所求； （3）如图，菱形即为所求； 87．（23-24八年级下·上海普陀·期中）小普同学在折叠平行四边形纸片的过程中发现：如果把平行四边形沿指它的一条对角线翻折，会得到很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，可以得到． (1)如图1，如果与相交于点O，求证； (2)如图2，如果，当为顶点的四边形是矩形时，求出的长； (3)如图3，如果，当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)或2 (3)或或或 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质求线段长、折叠问题 【分析】（1）由平行四边形的定义可得，，，由折叠的性质可得，，于是可得、是等腰三角形，利用对顶角相等求得和即可证明； （2）分类讨论：①当四边形为矩形时和②当四边形为矩形时求解即可； （3）分类讨论：①当时， ②当时和③当时，根据含直角三角形的边长关系和勾股定理计算求值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴． 由折叠可知，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵，即， ∴， ∴； （2）解：分类讨论：①当四边形为矩形时，如图， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴； ②当四边形为矩形时，如图， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上可知当为顶点的四边形是矩形时，的长为或2； （3）解：如果，当是直角三角形时，直接写出的长． 解：分类讨论：①当时，如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴； ③当时，如图，作于点H， 由折叠可知， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴．　 ④当时，如图， 在平行四边形中，， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴； 综上可知的长为或或或． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，勾股定理等知识．正确作出图形并利用分类讨论的思想是解题关键． 88．（24-25八年级下·上海·期中）如图，等腰中，，O为边的中点，射线交的延长线于点C，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，点E、F分别在射线、射线上，且，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，若为直角三角形，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的长为1． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形 【分析】（1）证明，推出，，得到是线段的垂直平分线，再得到，即可推出四边形为菱形； （2）在上取点，使，作交的延长线于点，作交的延长线于点，证明，推出，，再证明，得到，然后利用三角形的外角性质即可求得； （3）证明、和都是等边三角形，分两种情况讨论，根据等边三角形的性质结合直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵等腰中，，O为边的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）证明：在上取点，使，作交的延长线于点，作交的延长线于点， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由三角形的外角性质知， 又， ∴； （3）解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴， 当即时，此时， ∴， ∴， ∴； 当即时，此时， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； ∵恒小于， ∴不存在的情况， 综上，的长为1． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 89．（23-24八年级下·上海静安·期末）在等腰中，，直线垂直平分，交于点，点在直线上，且点与点关于点对称，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图1，当平分时，求菱形的周长； (3)当四边形为正方形时，请在图2中画出符合题意的正方形，再连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理； （1）根据垂直平分线的性质可得，根据轴对称的性质可得进而得出，即可得证； （2）延长交于点，当平分时，，进而勾股定理求得，设，则，，在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质，即可求解； （3）过点分别作和的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，根据等面积法求得，进而求得，勾股定理求得，进而求得，即的长，中，勾股定理，即可求解；当在的下方时，同理可求． 【详解】（1）证明：∵直线垂直平分，点在直线上， ∴， ∵点与点关于点对称， ∴， 又，即垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图所示，延长交于点， ∵， 当平分时， ∴，， 在中，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴菱形的周长为， （3）解：如图所示，过点分别作和的垂线，垂足分别为，过点作于点， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形为正方形 ∴， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 如图所示，当在的下方时， 同理可得：， ， 在中，， 综上所述，或． 90．（23-24八年级下·上海松江·期末）已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． (1)当点E在线段上时， ①如图1，求证：； ②连接交于点H，当时，求的长． (2)当时，求的长．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析，② (2)或 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明 【分析】（1）①连接，利用菱形的性质，证明为等边三角形，得到，进而证明，利用全等三角形性质即可证明； ②连接交于点，利用菱形的性质和等边三角形性质得到，利用勾股定理得到，证明，利用等腰三角形性质得到，最后根据求解，即可解题； （2）根据与射线交于点E，分以下两种情况讨论，①当在线段上时，作于点，作于点，②当在延长线上时，作于点，以上两种情况分别结合勾股定理和直角三角形性质，以及角平分线性质求解，即可解题． 【详解】（1）①证明：连接， 四边形是菱形，， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ． ②解：连接交于点， 四边形是菱形， 于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：①当在线段上时， 作于点，作于点， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ； ②当在延长线上时，作于点， ，， ， ， ，， 由①同理可知，，， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，勾股定理，直角三角形性质，角平分线性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理并灵活运用． 91．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，梯形，，，，，的平分线交边于点E． (1)如果，，求的长； (2)如果，设，四边形的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)设F是的中点，连接，如果，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）过点D作交于点M，可证四边形是矩形，根据，平分，得到，然后利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理求出，然后表示出、的长即可求解； （3）延长交于点N，即可证明四边形是平行四边形，则，再证明，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点D作交于点M，如图， ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∵，平分， ∴ ∴ 由勾股定理可得， ∴． （2）由（1）可知， ∵ ∴ ∴ 由勾股定理可得， ∴ ∴ ∵， ∴ 解得 ∴． （3）延长交于点N，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵， ∴ ∵，平分， ∴ ∴ ∴ ∵F是的中点， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴ 由勾股定理得，， 即， 解得 ∵ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定和勾股定理是解题的关键． 92．（23-24八年级下·上海长宁·期末）定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” (1)如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， (2)在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；②或 【知识点】利用菱形的性质证明、根据矩形的性质与判定求线段长、含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据四边形为菱形，得出，结合点为边中点，得出，，即可得到，即可证明； （2）①根据是梯形，，得到，结合“加和角梯形”中，为“加和角”，即可求出，分别过点、作、，垂足分别为点G，H，则，证出四边形为矩形，得到，证明，得到，求出，，，证明，根据勾股定理求出，在中，根据直角三角形的性质得出，，从而求出，，即可求解； ②由为“加和角”，可得，过点作于点，可得四边形为矩形，得出，由点为中点，，可得，分为当时和当时，分别作图求解即可； 【详解】（1）∵四边形为菱形， ∴， ∵点为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴梯形为“加和角梯形”． （2）①∵梯形中，， ∴， ∵“加和角梯形”中，为“加和角”， ∴， ∴， ∴， 分别过点、作、，垂足分别为点G，H， ∴， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ； ②，， ，， 由为“加和角”， 可得， ， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 由点为中点，， 则， ， I．当时， ∵ 则， 则， ∵， ∴中，， ∵， ， ∴； II．当时，过点G作于点Q，交延长线于点P，作于点R，设， 由I知， 则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ． 综上，或． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，梯形的性质，矩形的性质和判定，菱形的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，掌握以上知识点． 93．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图．矩形中，，点E是延长线上的一点，且，连结，取的中点F，联结、． (1)求证：； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)， (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）连接，证明，进而推出，即可得证； （2）连接，利用矩形的性质和勾股定理进行求解即可； （3）根据，推出，利用（2）中的结论，列出无理方程，进行求解即可． 【详解】（1）见详解 解：连接， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接，则， ∵， ∴， 在中，，即， 在中，， 由（1）知：，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，； （3） 当时， 又， ∴， 由（2）知：，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）； 经检验是原方程的解， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用函数关系式表示变量之间的关系，解无理方程等知识点，综合性强，难度较大，计算量大，属于压轴题，掌握相关知识点，正确的计算，是解题的关键． 94．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数关系式：（不写定义域） ②如果，．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【知识点】根据旋转的性质求解、利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】（1）先证明，得到，再根据菱形，得到，又，即可证得，从而得出结论； （2）①先证明，得到，，再根据菱形，得到，，从而得，然后证明，得到，从而得到，整理即可得出答案； ②延长至点，使得，连接．先由①求得，过点A作交延长线于G，过点H作于Q，设，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理求得，，根据，求得，，，从面得到，再证明，得到，然后利用等腰三角形与直角三角形性质，勾股定理求得，，，，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图， 由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴ ∵菱形， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， （2）解：如图，延长至点，使得，连接． ①由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴，， ∵菱形， ∴， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ②∵，， ∴ 过点A作交延长线于G，过点H作于Q，如图， ∵菱形， ∴，，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．此题属四边形综合题目，难较大．熟练掌握相关知识和正确作出辅助线是解题的关键． 95．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）在梯形中，，，，，．    (1)若梯形是直角梯形，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出其定义域； (3)当梯形是等腰梯形时，在直线上取一点P，使得是以为腰的等腰三角形，直按写出此时的底边长． 【答案】(1) (2) (3)6或或8． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、四边形其他综合问题、(等腰)梯形的定义 【分析】（1）先说明与不可能垂直，只有，如图：过B作、过A作，然后运用等面积法可求得， 再说明四边形是矩形，最后根据矩形的性质得到即可解答； （2）如图：过点A作，过点D作，根据勾股定理可得，进而得到，再在中利用勾股定理即可得到关系式； （3）分点P在C、D之间、点D与点P重合、点P在射线上三种情况，分别画出图形，然后根据图形解答即可． 【详解】（1）解：∵． ∴不可能是直角三角形，即与不可能垂直， ∵梯形是直角梯形， ∴， 如图：过B作， ∵， ∴ ∴， 过A作， 则，即，解得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴．   ； （2）解：如图：过点A作，过点D作，    由（1）可知，， ∴， ∵, ∴, ∴，即 在中，， ∴，整理得：． （3）解： ①当点P在C、D之间时，是以为腰的等腰三角形，则，如图：    过点A作，过点B作， 由题意知， 又∵， ∴， ∴， ∴底边； ②如图：当点D与点P重合时，，是以为腰的等腰三角形，    此时底边； ③如图：当点P在射线上时，是以为腰的等腰三角形，则，连接，    ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 综上所述，底边的长为6或或8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的面积、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、掌数握形结合和分类讨论思想是解题关键． 96．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中．    (1)如图1，M、N分别是中点，当四边形是矩形时，求t的值； (2)若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，则t的值是______． 【答案】(1)或 (2)①；② 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）先证明，则，，可得，则，得四边形是平行四边形，连接，证明四边形是矩形，则，，当时，四边形是矩形，则或，解方程即可得到答案； （2）①由（1）知：，连接，由四边形为菱形得到，，则，则，由勾股定理得到，则，求得，则，则，即可得到； ②连接，由①同理得，，由①知，则，可证明，则，同理可证，得到四边形是平行四边形，由四边形的面积是矩形面积的得到，则，即，求得，得到． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图1，连接，    ∵四边形是矩形，M，N分别是中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵矩形中，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∴或， 解得：或； （2）①由（1）知：， 如图2，连接，    ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，连接，    由①同理得：，， 由①知：， ∴， ∵G、H分别从点A、C沿折线，运动， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的判定和性质是解题的关键． 97．（22-23八年级下·上海松江·期末）正方形中，边长为，点在对角线上，连接，过点作，交直线于点．    (1)如图，当点在边上时，求证：； (2)当点在的延长线上时，设，面积为，求关于的解析式，并写出定义域； (3)若，求BM的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求角度、根据正方形的性质证明 【分析】（1）过点作于点，于点，通过正方形性质可得，通过证明，可得出最后结论； （2）过点作于点，交于点，可证得四边形为矩形，通过矩形性质可得，在中，，由勾股定理可得，可得出，进一步证明，所以，，可求出； （3）当点在边上时，连接，交于，过作于，由正方形性质得到，由等腰三角形的性质可求得，由三角形面积关系得到，可证明，所以，当点在的延长线上时，同理可得． 【详解】（1）过点作于点，于点，   ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于点，交于点．   ， 在正方形中，，， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ； （3）当点在边上时，连接，交于，过作于，    在正方形中，，， ， 在中，，则， ，，且， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 当点在的延长线上时，同理可得． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，勾股定理，三角形面积等知识，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键． 98．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．    (1)证明：； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，根据三线合一可得，进而根据矩形的性质得出，即可得出，等量代换得出，根据等边对等角即可得证； （2）根据已知条件，得出，根据含度角的直角三角形的性质，在中，设，则，勾股定理求得，根据等边三角形的性质，可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）在中，，勾股定理求得，延长，使得，则是是中位线，，，根据全等三角形的性质与判定，以及中位线的性质求得，进而求得，，过点作，则四边形是矩形，在中，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， 又 ∴， ∵ ∴， ∴， 由（1）可得 则是等边三角形， 在中，设，则， ∵， ∴， ∴， 解得，则，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴的面积为 （3）∵，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：，则， 如图所示，延长，使得，则是是中位线，，， ∴，    在中，，， ∴ ∴ ∴，， 则， ∴， 如图所示，过点作，则四边形是矩形，    ∴，， 在中，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 99．（22-23八年级下·上海长宁·期末）已知在四边形中，，，平分，交边于点．    (1)如图1，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； (2)如果，， ①如图2，当时，求的度数； ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的长为或． 【知识点】证明四边形是正方形、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、角平分线的性质定理 【分析】（1）根据已知条件得出，根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，则，得出四边形是矩形，根据，即可得出四边形是正方形； （2）①解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形，中，勾股定理求得，取的中点，则，得出是等边三角形，则，根据角平分线的定义，即可求解； ②当时，如图所示，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，设，则，在中，勾股定理求得，∴中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解；当时，如图所示，过点作于点，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形； （2）①解：如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∵， ∴ 在中，， 取的中点，则 ∴ ∴是等边三角形， ∵ ∴ ∵平分， ∴； ②当时，如图所示，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，    ∵， ∴， ∵平分， ∴ 在和中， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴ ∴中， 即 解得： ∴； 当时，如图所示，过点作于点，    设，则, ∴ ∵ ∴，， ∴， ∴是的角平分线 ∴ 在和中， ∴ ∴ 又是的角平分线， ∴ ∴ 综上所述当是直角三角形时，的长为或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及性质，正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质与判定是解题的关键． 100．（22-23八年级下·上海静安·期末）如图1，梯形中，，，，，．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)若点是直线上的一点，直线交直线于点． ①当点在线段的延长线上时（如图2），设，，求关于的函数解析式并写出定义域； ②如果是等腰三角形，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、等腰梯形的判定定理 【分析】（1）如图所示，过点D作交于E，则，证明四边形是平行四边形，得到，进而推出，可证明是等边三角形，得到，即可证明，即四边形是等腰梯形； （2）①过点D作交延长线于F，求出，得到，则，由勾股定理即可得到；②求出，则当点M在点A下方时，只存在这一种情况，可得，如图3所示，过点B作于H，求出，得到，，则，即可得到；当点M在点A上方时，如图4所示，可证明是等边三角形，得到，进而可证明三点共线，则点N与点C重合，即可证明是等边三角形，过点M作于H，得到，则，可得． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作交于E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形． （2）解：①如图所示，过点D作交延长线于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴当点M在点A下方时，只存在这一种情况， ∴， 如图3所示，过点B作于H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点M在点A上方时，如图4所示， ∵是等腰三角形，且 ， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）可得四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴点N与点C重合， ∴是等边三角形， 如图所示，过点M作于H， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了等腰梯形的判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 101．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线相交于点C，点C在第二象限且的面积为20．点在双曲线上．    (1)求点C的坐标以及k的值； (2)联结，直线l向上平移交直线于点P，点Q为平面内任意一点，如果四边形为菱形，求点P的坐标； (3)点E为y轴上一动点，联结，以为边向右侧作正方形，在点E运动的过程中，当顶点F落在直线上时，求点E的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质求线段长、正方形性质理解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先求出点坐标，根据，求出点纵坐标，然后代入，即可求出点横坐标，最后将点坐标代入，求得； （2）先求出点D坐标，再求出直线表达式为，设点，根据四边形是菱形，得出，列出方程求解即可得出点P坐标； （3）设点，分两种情况①当点E在点D的下方时，②当点E在点D的上方时，分别求解即可． 【详解】（1）把代入，得， ∴点A坐标是， ∵， ∴， ∵点C在第二象限， ∴， 把代入，得， ∴点C坐标是． 把代入，得． （2）由（1）可知，双曲线为． 把D坐标，代入，得， ∴点D坐标是． 设直线表达式为：， 把，代入，得， 解得， ∴直线表达式为：． ∵四边形是菱形， ∴， ∵点P在直线上， ∴设点， 则， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴点P坐标是， （3）设点， ①当点E在点D的下方时， 如图，过点E作轴，过点D作，垂足为M， 过点F作，垂足为N，则， ∵点D坐标是， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴，， ∴点F坐标是， 把代入直线：，得， 解得：， ∴点； ②当点E在点D的上方时，同理可得点F坐标是， 代入直线：，可得， ∴点． 综上所述，点或    【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，两点间距离公式等知识，综合性较强，熟练掌握相关性质并灵活运用，正确作出图形添加辅助线构建全等三角形是解题的关键． 102．（24-25八年级下·上海青浦·期中）已知直线与x轴、y轴分别相交于、两点，点在线段上，过点作轴，交轴于点，再过作，交轴于点， (1)求直线的解析式； (2)已知点的横坐标为4，求四边形的面积； (3)联结、，当点C在线段上移动时，问与是否有可能互相垂直？如有可能，试求出点的坐标；如不可能，请简要说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)当点的坐标为时，与互相垂直 【知识点】公式法解一元二次方程、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（1）将、代入，利用待定系数法即可求解； （2）当时，，可知点的坐标为，由题意可知四边形为平行四边形，且，再根据平行四边形的面积公式即可求解； （3）由题意可知，设点的坐标为，其中，由（2）可知四边形为平行四边形，得，，，当时，四边形为菱形，此时与互相垂直，在中，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将、代入， 得，解得：， ∴； （2）当时，， ∴点的坐标为， ∵轴，， ∴四边形为平行四边形，且， 则四边形的面积为； （3）当点的坐标为时，与互相垂直，理由如下： ∵， ∴， 设点的坐标为，其中， 由（2）可知四边形为平行四边形， ∴，，， 当时，四边形为菱形，此时与互相垂直， 在中，，即， 解得：（舍去）， 则， 此时点的坐标为， 综上，当点的坐标为时，与互相垂直． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理等知识点，理解相关图形的性质是解决问题的关键． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八下期末真题百题大通关（102题7题型）（压轴版） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 填空小压轴（图形的翻折） 题型二 填空小压轴（图形的旋转） 题型三 填空小压轴（新定义问题） 题型四 填空小压轴（一次函数与几何综合） 题型五 填空小压轴（梯形作辅助线方法） 题型六 解答压轴（一次函数综合题） 题型七 解答压轴（四边形综合题） 题型一 填空小压轴（图形的翻折） 1．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为 ． 2．（24-25八年级下·上海金山·期中）如图，在中，，，．点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，连接．当是直角三角形时，的长为 ． 3．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，一张矩形纸片的长，宽，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则折痕的长是 ． 4．（22-23八年级下·上海宝山·期末）已知矩形，把矩形沿直线翻折，点A落在点E处，如果的长度等于该矩形的一条边长，那么 ． 5．（22-23八年级下·上海黄浦·期末）如图，在边长为6的正方形中，点M、N分别是边、的中点，Q是边上的一点．连接、，将沿着直线翻折，若点C恰好与线段上的点P重合，则的长等于 ．    6．（22-23八年级下·上海松江·期末）已知：如图，在矩形中，．点P是边上一点，且．连接，将四边形沿所在直线翻折，点A、B的对应点分别为点E、F，边与边的交点为点G．则 ；    7．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，矩形中，将沿折叠，使得点A落在对角线上，若，，则＝ ．    8．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）如图，把一张长方形的纸片折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若长为，长为，其不重合部分的面积是 ． 9．（21-22八年级下·上海闵行·期中）在平行四边形中，和交于点O，，，如果将沿直线翻折后，点B落在点E处，那么的面积等于 ． 10．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知矩形，，将沿着直线翻折，点D落在点E处，如果点E到直线的距离是6，那么的长是 ． 11．（22-23八年级下·上海·期末）如图，已知矩形的长，，将其折叠，使点D与点B重合，求折叠后折痕的长是 ； 12．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上（点E与点A、D不重合），将沿直线翻折，点D的对应点为点G，连接，的延长线交边于点F，如果，那么的长为 ． 13．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在，，，，点D在边上，连接，将沿着翻折，点C的对应点为点E，连接，如果，那么的长等于 ．    14．（24-25八年级下·上海·期中）已知四边形是矩形，点是边的中点，以直线为对称轴将翻折至，联结，那么图中与相等的角（除外）的个数为 ． 15．（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 16．（21-22八年级下·上海·期中）在平行四边形中，，，，为边上的高，将沿所在直线翻折后得，那么与四边形重叠部分的面积是 ． 17．（22-23八年级下·上海普陀·期中）如图，在中，与相交于点O，，，，将沿直线翻折后，点B落在点E处，联结、，那么四边形的周长 ．    18．（22-23八年级下·上海长宁·期中）如图，在边长为2的正方形中，E为边的中点，点Р在边上．如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处．那么的长为 ．    19．（21-22八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，，，E为边上一点，将沿翻折，点B落在点F处．当为直角三角形时， ．    20．（20-21八年级下·上海徐汇·期中）平行四边形的对角线相交于点，，，将平行四边形沿翻折后，点落在点处，那么 ． 21．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形中，点E、F分别为边的中点，点P在边上，如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处，线段的长为1，那么正方形的边长为 ． 22．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设与相交于点，若的面积为，则的取值范围是 ． 23．（23-24八年级下·上海青浦·期末）已知中，，，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，若是直角三角形，那么边 ． 24．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，是矩形的对角线，已知，，点E在边上，将矩形沿直线翻折，如果点B恰好落在对角线上，那么的长是 ． 25．（21-22八年级下·上海杨浦·期末）如图， 的对角线与相交于点，将翻折使点与点重合，点落在点，已知（是锐角），那么的度数为 ．（用的代数式表示） 题型二 填空小压轴（图形的旋转） 26．（24-25八年级下·上海松江·期中）直线与轴、轴分别交于、两点，为线段上一点，将绕点顺时针旋转得到，若点，那么点的坐标为 ． 27．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）如图，在平行四边形中，边，对角线，将平行四边形绕着点逆时针旋转，点的对应点恰好落在对角线上，那么边的长为 ．    28．（22-23八年级下·上海长宁·期末）如图，菱形的边长为，，连接，将菱形绕点旋转，使点的对应点落在对角线上，连接，那么的面积是 ．    29．（24-25八年级下·上海·期中）直角三角形的斜边在轴的正半轴上，点与原点重合，点的坐标是且，若将绕着点旋转，点和点分别落在点和点处，那么直线的解析式是 ． 30．（21-22八年级下·上海浦东新·期中）如图，直线与坐标轴分别交于，两点，于点C，是线段上一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为 ．    31．（20-21八年级下·上海静安·期中）如图，在直角坐标平面内，△ABC的顶点，点B与点A关于原点对称，AB＝BC，∠CAB＝30°，将△ABC绕点C旋转，使点A落在x轴上的点D处，点B落在点E处，那么BE所在直线的解析式为 ． 32．（20-21八年级下·上海徐汇·期中）一次函数的图像分别于x轴，y轴交于A、B，将线段AB绕点A顺时针旋转90度得到线段AC，则B、C两点的直线解析式为 33．（21-22八年级下·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、均在轴上，点在轴上，将绕着顶点旋转后，点的对应点落在轴上，点A的对应点落在反比例函数在第一象限的图象上．如果点、的坐标分别是、，那么点的坐标是 ． 题型三 填空小压轴（新定义问题） 34．（24-25八年级下·上海闵行·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为 ． 35．（23-24八年级下·上海青浦·期末）定义：在平面直角坐标系中，距离为1的两条直线叫做“互为伴随线”．如果直线与直线互为伴随线，那么直线的函数解析式为 ． 36．（23-24八年级下·上海静安·期末）如果一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图像的“等值点”，比如：点是函数图像上的“等值点”．已知点，点B是函数图像上的“等值点”，点C是函数图像上的“等值点”，如果四边形是等腰梯形，那么点D的坐标是 ． 37．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）已知直线与直线，如果满足，，那么直线与直线称为“互为交换直线”如果直线与其交换直线分别与轴交于点、，且，那么 ． 38．（22-23八年级下·上海长宁·期末）已知函数满足当时，对应的函数值y的范围是，我们称该函数为关于和的方块函数．如果一次函数、为常数，是关于和的方块函数，且它的图像不经过原点，那么该一次函数的解析式为 ． 39．（23-24八年级下·上海普陀·期中）“方胜”是中国古代的一种首饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，如果将边长为1厘米的正方形沿对角线向右平移厘米得到正方形，形成一个“方胜”图案，那么“方胜”图案的周长为 厘米． 40．（23-24八年级下·上海·期末）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“友好菱形”．问题：如图，在中， ，且的面积为S．如果存在“友好菱形”为菱形，那么S的取值范围是 ． 41．（23-24八年级下·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴正半轴上的点与y轴正半轴上的点，如果坐标平面内存在一点N，使得，且，那么称点N为M关于P的“垂转点”．例如图1，已知点和点，以为腰作等腰直角三角形，可以得到M关于P的其中一个垂转点．如图2，如果关于y轴上一点P的垂转点N在一次函数的图象上，那么垂转点N的坐标为 ． 42．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）新定义：在平面直角坐标系中，到坐标轴的距离相等的点称为“等距离点”．例如：、都是等距离点．请写出直线上的等距离点 （写出一个即可）． 43．（22-23八年级下·上海静安·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：如果点P到x、y轴的距离中的最小值等于点Q到x、y轴的距离中的最小值，那么称P、Q两点为“坐标轴等距点”，例如点与点为“坐标轴等距点”．已知点A的坐标为，如果点B在直线上，且A，B两点为“坐标轴等距点”，那么点B的坐标为 ． 44．（24-25八年级下·上海·期中）我们把直角坐标平面内到轴距离是到轴距离2倍的点称为“特殊点”．那么一次函数的图象上的“特殊点”坐标为 ． 45．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，被平行于边的直线l分成梯形和小，当为直角三角形，且时，我们叫梯形是“余角梯形”．如果一个“余角梯形”较短底边长5，两腰长分别是3和4，那么它的中位线长是 ．    46．（21-22八年级下·上海杨浦·期中）如果把对角线与一边垂直的平行四边形成为“联想平行四边形”，现有一个“联想平行四边形”的一组邻边长为4和2，那么它的最小内角为 度． 47．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）定义：有一组对角相等，且另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．已知在等对角四边形中，，，，，那么的长是 ． 题型四 填空小压轴（一次函数与几何综合） 48．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）已知：如图所示，直线交轴于点，交轴于点．若点从点出发，沿射线作匀速运动，点从点出发，沿射线作匀速运动，两点同时出发，运动速度也相同，当为直角三角形时，则点的坐标为 ． 49．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与轴、轴分别交于，两点，点为内一点，且，，则点坐标为 ． 50．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，直线与x轴交于点B，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，以此类推…，则点的纵坐标是 ． 51．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是 ． 52．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，已知矩形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，已知点在第一象限且是直线上的一点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 题型四 填空小压轴（梯形作辅助线方法） 53．（22-23八年级下·上海·期末）如图，梯形中，，是梯形的中位线，若的面积为，则梯形的面积为 ． 54．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，在等腰梯形中，，，于O，E、F分别是、的中点，梯形的面积为24，那么 ． 55．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在梯形中，，，．如果梯形的中位线长为6，那么的长为 ． 56．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在等腰梯形中，，对角线与互相垂直，，那么梯形的中位线长为 ． 57．（22-23八年级下·上海宝山·期末）如图，已知梯形，，，那么 ．      58．（22-23八年级下·上海闵行·期末）如图，在梯形中，，，，那么边的长为 ．    59．（21-22八年级下·上海·期末）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝10cm，DC＝13cm，BC＝15cm，则AB＝ cm． 题型六 解答压轴（一次函数综合题） 60．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知点，点，将直线绕点顺时针旋转，点落在点处， (1)求点坐标． (2)已知点是内一点，求的取值范围． (3)点是轴上一动点（不与原点重合），直线与的夹角和相等，请直接写出点坐标． 61．（24-25八年级下·上海·期中）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D．过B作于点E，则． 【迁移应用】如图2，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)当直线上存在一点F，且点F在第一象限，使得为等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标及相应的k的值； (2)点H为第一象限内的一点，且，，连接，求的面积（用含有k的代数式来表示）； (3)如图3，当时，直线l经过点A，与y轴负半轴交于点C，且，求直线l的表达式． 62．（24-25八年级下·上海黄浦·期中）探究活动 【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】    （1）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第一象限内构造等腰直角，直接写出第三个点的坐标是 ； （2）如图1，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图2，点在轴负半轴上，，过点作轴交直线于点，是直线上的动点，是轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 63．（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于A，B两点，过点B的直线交x轴正半轴于点M，且直线把分成面积之比为的两部分． (1)求点A，B的坐标； (2)求直线的表达式； (3)当时，试在直线上找一点P，使得，直接写出点P的坐标． 64．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，． (1)分别求点A和点B的坐标； (2)求y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 65．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，设的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值：若不存在，请说明理由． 66．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 67．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和的坐标； (2)求点的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标． 68．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． (1)如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． (2)将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 69．（24-25八年级下·上海·期中）如果直线与直线相交于点，且夹角为，则称为为的半直交线，点为半直交点，这个的角为半直角． (1)若直线为轴，直线的解析式为，当为的半直交线时，的值为______； (2)直线分别与轴，轴交于，两点，点是轴上点右侧的一点，且，点在直线上，其横坐标为，判断是否为半直角，并说明理由； (3)直线的解析式为，与轴交于点，与轴交于点，点是轴上的一个动点，直线是直线的半直交线，求点的坐标． 70．（24-25八年级下·上海金山·期中）已知直线的图像与轴，轴分别交于，两点，以为边在第二象限作等边三角形． (1)求直线的解析式； (2)求点的坐标； (3)点，在直线上是否存在一点使得三角形为等腰三角形？若存在直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 71．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． (1)求点、坐标和度数； (2)点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； (3)若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 72．（23-24八年级下·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中（如图），直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上． (1)求点A和点B的坐标； (2)当点C的横坐标是时，如果在y轴上存在点P，使得，求点P的坐标； (3)当点C的横坐标是m时，在平面直角坐标系中存在点Q，使得以O、C、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．（用含m的代数式表示） 73．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、，将点B向左平移2个单位后落在y轴上的点P处． (1)求m的值； (2)将线段绕点P逆时针旋转，点A落在点C处，求直线的表达式； (3)设（2）中的直线与x轴交于点D，在直角坐标平面内找点Q，使得以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标． 74．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，以线段为一边向上作等边三角形．    (1)求出A，B，C的坐标； (2)已知在y轴上有一点P，且，求出符合条件的P点坐标； (3)平面直角坐标系内有一点Q，使得以A，C，O，Q为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 75．（24-25八年级下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点关于点的对称点为点，四边形是平行四边形． (1)求点、点的坐标． (2)过线段的中点作直线，直线把平行四边形分成面积为的两部分，求直线的解析式： (3)在（2）的条件下，直线与轴交于点（当点在点的下方），点在直线上，且，请直接写出点的坐标． 76．（23-24八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点是线段的中点，点，点为轴上一动点． (1)求直线的表达式，并直接写出点的坐标； (2)连接，以为边作的顶点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)设点是直线上一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 77．（23-24八年级下·上海闵行·期中）已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于、两点，点、分别在线段、上，． (1)求、两点的坐标； (2)求的度数； (3)如果的面积是面积的，求点的坐标． 78．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线分别与x轴、y轴交于点A、B，直线与x轴交于点，点D在第四象限，． (1)求直线的解析式； (2)当，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，已知点E在x轴上，点F在直线上．如果以C、D、F、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出线段的长． 题型七 解答压轴（四边形综合题） 79．（22-23八年级下·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，且与直线交于点，直线与x轴、y轴分别交于点D、C，点C的坐标为．    (1)求的面积； (2)过点A作的平行线交x轴于点E， ①求点E的坐标； ②点P是直线上一动点且在x轴的上方，Q为直角坐标平面内一点，如果以点D，E，P，Q为顶点，且以为边的平行四边形的面积等于的面积，请求出点P的坐标，并直接写出点Q的坐标． 80．（24-25八年级下·上海·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，将直线向右平移个单位，交反比例函数在第一象限的图像于C、D两点，联结． (1)求点A坐标； (2)如果，且满足，求k的值； (3)延长交x轴于点E，如果，且四边形为等腰梯形，求m的值． 81．（23-24八年级下·上海·期末）如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形，且，，点在轴正半轴上，点B、C在x轴上（点B在点C的左侧），点D在第一象限，，，梯形的高为2，双曲线经过点，直线经过、两点． (1)求双曲线和直线的解析式； (2)已知点在双曲线上，点在轴上，如果四边形是平行四边形，直接与出点N的坐标； (3)点是第三象限双曲线上的一点，设的横坐标为，直线与直线交于点，；连接，设的面积为，的面积为，用含t的代数式表示的值． 82．（24-25八年级下·上海静安·期中）如图1， 在四边形中， ， ， 点P在边上． (1)判断四边形的形状并加以证明； (2)以过点P的直线为轴，将四边形折叠，使点B，C分别落在点上，且经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q； ①在图2中作出四边形（保留作图痕迹，不必说明作法和理由） （提示：为使折叠后经过点D，可以先考虑边上与点D对应的点）； ②如图3， 如果， 且， 试求的值： ③如图4， 如果， 且， 请直接写出的值． 83．（24-25八年级下·上海青浦·期中）如图，已知梯形中，，，，点是射线上一点，，垂足为点，交线段于点，，，． (1)求梯形的面积； (2)当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式及自变量的取值范围； (3)若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长． 84．（24-25八年级下·上海·期中）如图，正方形中，点E、F分别为射线、射线上的点，且满足，联结，点G为的中点，射线交于点H． (1)如图，当点E在线段上时， ①证明：； ②联结，当时，求：四边形的面积与正方形的面积之比． (2)当，时，求：的值． 85．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在正方形中，，点是边上一点（不与点、重合），连接交于点，延长交的外角角平分线于点，连接．    (1)当时，求的面积； (2)求证：； (3)连接，当时，求的长． 86．（24-25八年级下·上海·期中）我们知道平行四边形是中心对称图形．已知四边形是平行四边形，如图所示，请只用一把无刻度的直尺，按要求作出相应的图形．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，点E是边的中点，作出边的中点F； (2)如图2，在平行四边形的四边上各作一点，分别记为M、N、P、Q，使得四边形是平行四边形； (3)如图3，若四边形为正方形，点G在对角线上一点，作一个菱形，使得为菱形的一边． 87．（23-24八年级下·上海普陀·期中）小普同学在折叠平行四边形纸片的过程中发现：如果把平行四边形沿指它的一条对角线翻折，会得到很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，可以得到． (1)如图1，如果与相交于点O，求证； (2)如图2，如果，当为顶点的四边形是矩形时，求出的长； (3)如图3，如果，当是直角三角形时，直接写出的长． 88．（24-25八年级下·上海·期中）如图，等腰中，，O为边的中点，射线交的延长线于点C，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，点E、F分别在射线、射线上，且，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，若为直角三角形，，直接写出的长． 89．（23-24八年级下·上海静安·期末）在等腰中，，直线垂直平分，交于点，点在直线上，且点与点关于点对称，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图1，当平分时，求菱形的周长； (3)当四边形为正方形时，请在图2中画出符合题意的正方形，再连接，求的长． 90．（23-24八年级下·上海松江·期末）已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． (1)当点E在线段上时， ①如图1，求证：； ②连接交于点H，当时，求的长． (2)当时，求的长．（直接写出答案） 91．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，梯形，，，，，的平分线交边于点E． (1)如果，，求的长； (2)如果，设，四边形的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)设F是的中点，连接，如果，且，求的长． 92．（23-24八年级下·上海长宁·期末）定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” (1)如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， (2)在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 93．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图．矩形中，，点E是延长线上的一点，且，连结，取的中点F，联结、． (1)求证：； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 94．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数关系式：（不写定义域） ②如果，．求证：． 95．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）在梯形中，，，，，．    (1)若梯形是直角梯形，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出其定义域； (3)当梯形是等腰梯形时，在直线上取一点P，使得是以为腰的等腰三角形，直按写出此时的底边长． 96．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中．    (1)如图1，M、N分别是中点，当四边形是矩形时，求t的值； (2)若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，则t的值是______． 97．（22-23八年级下·上海松江·期末）正方形中，边长为，点在对角线上，连接，过点作，交直线于点．    (1)如图，当点在边上时，求证：； (2)当点在的延长线上时，设，面积为，求关于的解析式，并写出定义域； (3)若，求BM的长． 98．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．    (1)证明：； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的长． 99．（22-23八年级下·上海长宁·期末）已知在四边形中，，，平分，交边于点．    (1)如图1，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； (2)如果，， ①如图2，当时，求的度数； ②当是直角三角形时，求的长． 100．（22-23八年级下·上海静安·期末）如图1，梯形中，，，，，．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)若点是直线上的一点，直线交直线于点． ①当点在线段的延长线上时（如图2），设，，求关于的函数解析式并写出定义域； ②如果是等腰三角形，求的面积． 101．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线相交于点C，点C在第二象限且的面积为20．点在双曲线上．    (1)求点C的坐标以及k的值； (2)联结，直线l向上平移交直线于点P，点Q为平面内任意一点，如果四边形为菱形，求点P的坐标； (3)点E为y轴上一动点，联结，以为边向右侧作正方形，在点E运动的过程中，当顶点F落在直线上时，求点E的坐标． 102．（24-25八年级下·上海青浦·期中）已知直线与x轴、y轴分别相交于、两点，点在线段上，过点作轴，交轴于点，再过作，交轴于点， (1)求直线的解析式； (2)已知点的横坐标为4，求四边形的面积； (3)联结、，当点C在线段上移动时，问与是否有可能互相垂直？如有可能，试求出点的坐标；如不可能，请简要说明理由． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$