第四章 第4讲 万有引力定律及其应用-【勤径学升】2026年高考物理一轮总复习教师用书word（人教版2019）

第4讲　万有引力定律及其应用 1．理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。 2．掌握计算天体质量和密度的方法。 [对应学生用书P82] 【微点辨析】 (1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。(√) (2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(×) (3)只有天体之间才存在万有引力。(×) (4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力。(×) (5)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。(√) (6)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(×) [对应学生用书P83] 考点 开普勒三定律的理解和应用(互动共研) 1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。 2．由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比等于到太阳的距离倒数之比，近日点速度最大，远日点速度最小。 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 [例1]　(2023·浙江卷)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”，已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表： 行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 则相邻两次“冲日”时间间隔约为(　　) A．火星365天 B．火星800天 C．天王星365天 D．天王星800天 解析　根据开普勒第三定律有＝解得T＝T地。设相邻两次“冲日”时间间隔为t，则2π＝t，解得t＝＝。由表格中的数据可得t火＝≈800天，t天＝≈369天，故选B。 答案　B 1．某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点。若行星运动周期为T，则该行星(　　) A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间 B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间 C．a到b的时间tab＞ D．c至d的时间tcd＞ 解析　据开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度最大，在远日点的速度最小，行星由a到b运动时的平均速率大于由c到d运动时的平均速率，而弧长ab等于弧长cd，故从a到b的运动时间小于从c到d的运动时间，同理可知，从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的运动时间，A、B错误；从a经b到c的时间和从c经d到a的时间均为，可得tab＝tda＜；tbc＝tcd＞，C错误，D正确。 答案　D 2．国产科幻巨作《流浪地球》开创了中国科幻电影的新纪元，引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈讨论。其中有一种思路是不断加速地球使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系。假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R，最远距离为7R(R为加速前地球与太阳间的距离)，则在该轨道上地球公转周期将变为(　　) A．8年 B．6年 C．4年 D．2年 解析　由开普勒第三定律得：＝，解得T1＝8年，选项A正确。 答案　A 考点 万有引力定律的理解(互动共研) 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。 在赤道上 G＝mg1＋mω2R 在两极上 G＝mg0 在一般位置 万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和 说明：越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg 2.不同位置处重力加速度的比较 地面 地下 天上 两极(或不计自转) 赤道 g＝＝(R－h) g＝＝ g＝ g＝－Rω自2 [例2]　火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　) A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5 解析　万有引力表达式为F＝G，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为＝＝0.4，选项 B 正确。 答案　B 3．某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为(　　) A． B． C． D． 解析　在“极点”处mg2＝；在其表面“赤道”处－mg1＝mR；解得R＝，故选C。 答案　C 4.中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像。若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是(　　) 解析　设地球的质量为M，地球的半径为R，“海斗一号”下潜h深度后，以地心为球心、以R－h为半径的球体的质量为M′，则根据密度相等有＝，由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引力定律有G＝mg，联立以上两式并整理可得g＝(R－h)，由该表达式可知D正确，A、B、C错误。 答案　D 考点 天体质量密度的计算(方法模型) 使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注 天体质量的计算 利用运行天体 r、T G＝mr m中＝ 只能得到中心天体的质量 r、v G＝m m中＝ v、T G＝m G＝mr m中＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ m中＝ 天体密度的计算 利用运行天体 r、T、R G＝mr m中＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ m中＝ρ·πR3 ρ＝ 类型1　利用“重力加速度法”计算天体质量和密度 [例3]　宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响) (1)月球表面的自由落体加速度大小g月。 (2)月球的质量M。 (3)月球的密度ρ。 解析　(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝g月t2， 月球表面的自由落体加速度大小g月＝。 (2)不考虑月球自转的影响，有G＝mg月， 得月球的质量M＝。 (3)月球的密度ρ＝＝＝。 答案　(1)　(2)　(3) 类型2　利用“环绕法”计算天体质量和密度 [例4]　(多选)已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2。你能计算出(　　) A．地球的质量m地＝ B．太阳的质量m太＝ C．月球的质量m月＝ D．太阳的平均密度ρ＝ 解析　对地球表面的一个物体m0来说，应有m0g＝，所以地球质量m地＝，故A项正确；地球绕太阳运动，有＝m地，则m太＝，故B项正确；同理，月球绕地球运动，能求出地球质量。无法求出月球的质量，故C项错误；由于不知道太阳的半径，不能求出太阳的平均密度，故D项错误。 答案　AB 5.(2024·黑吉辽)如图(a)，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图(b)所示(不考虑自转影响)。设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。的值为(　　) A.2n B. C. D. 解析　在地球表面，小球处于平衡位置时有m0g1＝k·2A，在该天体表面，小球处于平衡位置时有m0g2＝kA，联立解得＝，在星球表面有G＝mg，星球的密度ρ＝，又V＝πR3，解得ρ＝，则＝＝，C正确。 答案　C 6．(2023·辽宁卷)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为(　　) A．k3()2 B．k3()2 C．()2 D．()2 解析　设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据G＝ mr 可得G＝ m月r1，G＝ m地r2，其中＝＝，ρ＝，联立可得＝()2，故选D。 答案　D [对应学生用书P85] “填补法”求解万有引力 运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。 [例]　有一质量为M、半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为3R的地方有一质量为m的质点。先从M中挖去一半径为的球体，如图所示，已知引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力大小为(　　) A.G B.G C.G D.G 解析　半径为R且密度均匀的完整球体对距离球心O为3R且质量为m的质点的万有引力大小为F＝G＝G，挖去部分的质量为M′＝×π＝M，挖去部分对质点的万有引力大小为F1＝G＝G＝G，则剩余部分对质点的万有引力大小为F2＝F－F1，解得F2＝G，故选C。 答案　C 1．如图所示，两个质量均为M的球分别位于半圆环和圆环的圆心，半圆环和圆环分别是由相同的圆环截去一半和所得，环的粗细忽略不计，若图甲中环对球的万有引力为F，则图乙中环对球的万有引力大小为(　　) A．F B．F C．F D．F 解析　题图甲中半圆环对球的引力为F，得到圆环对球的引力大小为F，将乙环分成三个圆环，关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力为零，故题图乙中圆环对球的万有引力大小等于F，故选B。 答案　B 2．如图所示，将一个半径为R、质量为M的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起。若挖去的小球的球心、球外小球球心、大球球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约为(已知引力常量为G)(　　) A．0.01 B．0.02 C．0.05 D．0.04 解析　由题意知，所挖出小球的半径为，质量为，则未挖出小球前大球对球外小球的万有引力大小为F＝G＝，将所挖出的其中一个小球填在原位置，则填入左侧原位置小球对球外小球的万有引力为F1＝G＝，填入右侧原位置小球对球外小球的万有引力为F2＝G＝，大球中剩余部分对球外小球的万有引力大小为F3＝F－F1－F2≈0.04，选项D正确。 答案　D 课时检测训练16　万有引力定律及其应用 对应学生用书P356 对点练1　开普勒三定律的理解和应用 1．为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为(　　) A．2∶1 B．4∶1 C．8∶1 D．16∶1 解析　由开普勒第三定律得＝k，故＝＝＝，C正确。 答案　C 2. (2024·安徽卷)2024年3月20日，我国探月工程四期“鹊桥二号”中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，“鹊桥二号”开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则“鹊桥二号”在捕获轨道运行时(　　) A.周期约为144 h B.近月点的速度大于远月点的速度 C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 解析　设鹊桥二号在捕获轨道、冻结轨道半长轴分别为r1、r2，鹊桥二号在捕获轨道、冻结轨道运行的周期分别为T1、T2；根据开普勒第三定律有＝，代入数据解得T1≈288 h，A错误；鹊桥二号在捕获轨道运行时，根据开普勒第二定律可知，鹊桥二号与月球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，因此鹊桥二号在近月点附近，相等的时间内通过的弧长更长，运行的速度大，在远月点附近，相等的时间内通过的弧长更短，运行的速度小，因此鹊桥二号在近月点的速度大于远月点的速度，B正确；根据卫星变轨原理可知，鹊桥二号在捕获轨道近月点需要减速才能进入冻结轨道运行，所以鹊桥二号在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；在近月点，根据万有引力定律和牛顿第二定律，可得G＝ma，则有a＝，由此可知，在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。 答案　B 对点练2　万有引力定律的理解 3.(2024·广西卷)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在(　　) A.a处最大 B.b处最大 C.c处最大 D.a、c处相等，b处最小 解析　根据万有引力公式F＝G可知，图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大，故选A。 答案　A 4．(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计。则(　　) A．g′∶g＝1∶5 B．g′∶g＝5∶2 C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80 解析　设初速度为v0，由对称性可知竖直上抛的小球在空中运动的时间t＝，因此得＝＝，选项A正确，B错误；由G＝mg得M＝，则＝＝×＝，选项C错误，D正确。 答案　AD 对点练3　天体质量、密度的计算 5．中国绕月卫星“龙江二号”是全球首个独立完成地月转移、近月制动、环月飞行的微卫星，2019年2月4日，“龙江二号”成功拍下月球背面和地球的完整合照。已知“龙江二号”距离月球表面h处环月做圆周运动的周期为T，月球半径为R，万有引力常量为G，据此不可求的物理量是(　　) A．“龙江二号”的质量 B．“龙江二号”的线速度大小 C．月球的质量 D．月球表面的重力加速度大小 解析　根据万有引力提供向心力可知G＝m(R＋h)，“龙江二号”的质量不可求出，但月球质量可求出，故A错误，符合题意，C正确，不符合题意；根据T＝可求出其运动的线速度，故B正确，不符合题意；根据G＝m0g且m月也为已知量，可求出月球表面的重力加速度，故D正确，不符合题意。 答案　A 6．2022年10月，太原卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将SSAR01星发射升空，这颗卫星主要为应急管理、生态环境主体业务提供国产化数据保障，若SSAR01星绕地球做匀速圆周运动的轨道距地面高度为h, 地球的半径为R，地球表面北极的重力加速度为g，引力常量为G。下列说法正确的是(　　) A．地球的质量为M＝ B．SSAR01星轨道处的重力加速度为 C．地球的平均密度为 D．SSAR01星运行的速度为 解析　根据万有引力等于重力有＝mg可得M＝，则地球的平均密度可表示为ρ＝＝，故AC错误；根据＝mg′结合M＝联立可得SSAR01 星轨道处的重力加速度g′＝，故B 正确；根据万有引力提供向心力可得＝m结合M＝可得 SSAR01 星运行的速度v＝，故 D 错误。故选B。 答案　B 7．土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2×106 km。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(　　) A．5×1017 kg B．5×1026 kg C．7×1033 kg D．4×1036 kg 解析　根据“泰坦”使土星做圆周运动，由万有引力提供向心力，则G＝mr，化简得到M＝，代入数据得M≈5×1026 kg，故选B。 答案　B 8．火星表面特征非常接近地球，适合人类居住。近期，我国宇航员王跃正与俄罗斯宇航员一起进行“模拟登火星”实验活动。已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，自转周期也基本相同。地球表面重力加速度是g，若王跃在地面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自转影响的条件下，下述分析不正确的是(　　) A．王跃以相同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度是 B．火星表面的重力加速度是g C．火星的平均密度是地球平均密度的倍 D．王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的倍 解析　根据万有引力定律得F＝G，可知＝＝×22＝，王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的倍，选项D 错误，符合题意；根据G＝mg可得＝＝×22＝，则火星表面重力加速度为g，故B 正确，不符合题意；根据ρ＝∝可得＝＝×23＝，故C 正确，不符合题意；因为火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的倍，根据h＝知火星上跳起的高度是地球上跳起高度的倍，为h，故A 正确，不符合题意。故选D。 答案　D 9．火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　) A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5 解析　由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小为F地＝G，质量为m的物体在火星表面上时，受到的万有引力大小为F火＝G，二者的比值＝＝0.4，B正确，A、C、D错误。 答案　B 10．若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶。已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R，不考虑气体阻力，该行星的半径约为(　　) A．R B．R C．2R D．R 解析　由平抛运动规律：x＝v0t，h＝gt2，得x＝，两种情况下，抛出的速率相同，高度相同，故＝；由G＝mg，可得g＝，故＝＝，解得R行＝2R，选项C正确。 答案　C 11．(2023·广东卷)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡， 探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。 关于P的公转，下列说法正确的是(　　) A．周期为2t1－t0 B．半径为 C．角速度的大小为 D．加速度的大小为 解析　由图(b)可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为T＝t1－t0，则P的公转周期为t1－t0，故A错误；P绕恒星Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得＝mr，解得半径为r＝＝，故B正确； P的角速度为ω＝＝，故 C 错误； P 的加速度大小为α＝ω2r＝()2·＝·，故D 错误。故选B。 答案　B 12．将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出(　　) A．g0小于g B．地球的质量为 C．地球自转的角速度为 D．地球的平均密度为 解析　设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上的重力和物体随地球自转的向心力是万有引力的分力。有G－mg＝mω2R，物体在两极受到的重力等于万有引力G＝mg0，所以g0＞g，故A错误；在两极mg0＝G，解得M＝，故B错误；由G－mg＝mω2R，mg0＝G，解得ω＝，故C正确；地球的平均密度ρ＝＝＝，故D错误。 答案　C 13.2022年5月10日01时56分，搭载天舟四号货运飞船的长征七号遥五运载火箭，在中国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功。已知地球半径为R，地球质量为M，忽略地球自转，地球表面的重力加速度为g。 (1)火箭在竖直方向上以加速度a加速上升时，若在货运飞船的平台上放置一压力传感器，压力传感器上放置一质量为m的砝码，某时刻测得压力传感器读数为F，引力常量为G，求此时火箭上升的高度。 (2)若测得天舟四号货运飞船绕地球做匀速圆周运动转过圆周所用时间为t，飞船距地面的高度为h，引力常量为G，求飞船运行的向心加速度大小和地球的平均密度。 解析　(1)设压力传感器读数为F时火箭上升的高度为H， 则此时砝码所受的万有引力大小为F引＝G， 由牛顿第三定律可知，压力传感器对砝码的支持力大小为F′＝F， 对砝码，由牛顿第二定律得F′－F引＝ma， 又对在地球表面上的物体有G＝m′g， 联立解得H＝R。 (2)飞船运行的周期为T＝4t， 角速度为ω＝＝， 飞船运行的向心加速度大小为 an＝(R＋h)ω2＝， 设飞船整体的质量为m0，根据天舟四号货运飞船所受万有引力提供向心力有 ＝m0(R＋h)， 地球的平均密度ρ＝，其中V＝πR3， 联立解得ρ＝。 答案　(1)R　(2)　 学科网（北京）股份有限公司 $$