2024-2025学年沪教版（上海）八年级下册期末复习卷-提高卷

2024-2025学年八年级数学下学期期末试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版第20章一次函数~第23章概率初步。 5．难度系数：0.75。 一、单选题 1．下列命题中，假命题是（    ） A．矩形的对角线相等 B．有两个角相等的梯形是等腰梯形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 2．如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（    ） A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm 3．从正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任选一种正多边形镶嵌，能够拼成一个平面图形的共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 4．在中，已知是边上一点，，则(  ) A． B． C． D． 5．如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，过点O作直线MNBC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，连接AE、AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的是（　　） A．①④ B．①② C．①②③ D．②③④ 6．若关于x的方程有增根，则k的值为(    )． A．3 B．1 C．0 D．－1 二、填空题 7．一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为 ． 8．一个多边形的一个内角和是，则它是 边形． 9．某市城区的出租车收费标准如下：内起步价为7元，超过以后按1.4元/计价．若某人坐出租车行驶x，应付给司机21元，则 ． 10．已知在一次函数的图象上，则 ．（选填“”“”或“”） 11．已知关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+m+2的图象经过第一、二四象限，则关于x的一次函数y＝（m+2）x﹣m+3必经过第 象限． 12．如图，现有四张卡片，前三张卡片上的数分别为3、6、7. 在第四张卡片上填写一个数，使得从中任取一张，取到奇数的概率与取到偶数的概率相等. 你填写的数是 ．（填写一个你认为正确的数即可）． 13．如图，在菱形中，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点，则 ， .      14．如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒速度沿线段方向向点C运动．已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q运动停止，设运动时间为t． （1）当 秒时，四边形为平行四边形； （2）在点P、点Q的运动过程中，当 秒时，的面积为？ 15．把一根长度为6的铁丝截成3段，若三段的长度均为正整数，则能构成三角形的概率 ． 16．如图，矩形中，，将四边形沿折叠得四边形，点在上，若四边形的面积为24，则的长度为 ． 17．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 ． 18．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快 s后，四边ABPQ成为矩形． 三、解答题 19．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数与一次函数交于点，求的长． 20．解下列分式方程： (1)=1 (2). 21．你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 22．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．如图，一次函数（a为常数，）与反比例函数（k为常数，）的图象相交于点和点．    (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，相交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，相交于点D．求证：C，O，D三点在同一条直线上． 23．解方程： 24．如图，在中，，中线，相交于点，点，分别为，的中点． （1）求证：，； （2）若，，求四边形的面积． 25．已知:在△ABC中,BC>AC,动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转,且AD=BC,连接DC．过AB,DC的中点E,F作直线,直线EF与直线AD,BC分别相交于点M,N. (1)如图1,当点D旋转到BC的延长线上时,点N恰好与点F重合,取AC的中点H,连接HE,HF,根据三角形中位线定理和平行线的性质,可得∠AMF与∠ENB有何数量关系?(不需证明). (2)当点D旋转到图2或图3中的位置时,∠AMF与∠ENB有何数量关系?请分别写出猜想,并任选一种情况证明. 26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，垂足为E，点F是BC延长线上的点，且DF⊥DB． (1)求证：AD＝CF； (2)当点C为BF中点时，求证：四边形ABCD是菱形； (3)在（2）的条件下，当△BDF满足什么条件时，四边形ABCD是正方形？（不必说明理由） 答案与解析 一、单选题 1．下列命题中，假命题是（    ） A．矩形的对角线相等 B．有两个角相等的梯形是等腰梯形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 【答案】B 【知识点】判断命题真假、正方形的判定定理理解、利用菱形的性质证明、矩形性质理解 【分析】分别根据矩形的性质、等腰梯形的判定定理、正方形的判定及菱形的性质对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，故为真命题，不合题意； B、有两个角相等的梯形有可能是直角梯形，故为假命题，符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故为真命题，不合题意； D、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，故为真命题，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题与定理，熟知矩形的性质、等腰梯形的判定定理、正方形的判定及菱形的性质是解答此题的关键． 2．如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（    ） A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm 【答案】B 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求面积 【分析】由菱形的性质得出BD＝6cm，由菱形的面积得出AC＝8cm，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC， ∵BD＝6cm，S菱形ABCD═AC×BD＝24cm2， ∴AC＝8cm， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴OE＝AC＝4cm， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 3．从正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任选一种正多边形镶嵌，能够拼成一个平面图形的共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【知识点】平面镶嵌 【分析】围绕一点拼在一起的多边形的内角和加在一起恰好组成一个周角，因此正多边形一个内角的整数倍为才能单独镶嵌． 【详解】解：从正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任选一种正多边形镶嵌， 因此正多边形的内角整数倍必须为， 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形的内角分别为、、、、、、 因此，符合条件的只有正三角形、正四边形、正六边形 故选A 【点睛】此题考查了正多边形内角的求解，理解题意找到正多边形的特点并掌握正多边形内角的求解是解题的关键． 4．在中，已知是边上一点，，则(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A，B，D三点共线得出入的值,即可完成解答. 【详解】解：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，， 则， ∴，故选A. 【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键. 5．如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，过点O作直线MNBC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，连接AE、AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的是（　　） A．①④ B．①② C．①②③ D．②③④ 【答案】A 【知识点】证明四边形是矩形、等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算 【分析】① 证明，，即可证明结论①正确； ②先由角平分线性质证，若，则，，与已知矛盾，故结论②错误； ③由直角三角形斜边中线性质知，，故结论③错误； ④由矩形判定方法可以证明该结论正确． 【详解】MNBC EC平分角，FC平分角 故结论①正确； 若，则，，与△ABC是锐角三角形矛盾，故结论②错误； 由上面分析知，△ECF是直角三角形，是斜边中线，故，故结论③错误； 由，，知四边形AECF是矩形，故结论④正确． 综上，正确答案为：A 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、直角三角形中线性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握基本知识是解题的关键． 6．若关于x的方程有增根，则k的值为(    )． A．3 B．1 C．0 D．－1 【答案】A 【知识点】分式方程无解问题、解分式方程（化为一元一次） 【详解】首先根据解分式方程的方法求出x的值 然后根据增根为x=1代入方程求出k的值 将方程的两边同时乘以(x-1)可得 3=x-1+k，解得：x=4-k 根据方程有增根可得：x=1 即4-k=1，k=3 故选A 二、填空题 7．一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】先分别确定从袋子中随机摸出一个小球的总结果数和摸出的是白球的结果数，再用概率公式求解即可． 【详解】解：袋子中一共有5个球，从袋子中随机摸出一个小球，总的结果数是5个， 其中，摸出的小球是白球的结果数为3个， 因此，摸出的小球是白球的概率为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式的实际应用，解决本题的关键是读懂题意和牢记概率公式等． 8．一个多边形的一个内角和是，则它是 边形． 【答案】五 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记n边形内角和为，据此求解即可． 【详解】解：设这个多边形边数为n， 故答案为：五 ． 9．某市城区的出租车收费标准如下：内起步价为7元，超过以后按1.4元/计价．若某人坐出租车行驶x，应付给司机21元，则 ． 【答案】12 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【解析】略 10．已知在一次函数的图象上，则 ．（选填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记一次函数的增减性是解题的关键．根据一次函数的性质即可判断． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小． 又∵， ∴． 故答案为：． 11．已知关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+m+2的图象经过第一、二四象限，则关于x的一次函数y＝（m+2）x﹣m+3必经过第 象限． 【答案】一、二、三 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】函数经过第一、二、四象限，则m﹣3＜0，m+2＞0，即可求解． 【详解】∵函数经过第一、二、四象限， 则m﹣3＜0，m+2＞0， 解得：﹣2＜m＜3， ∴m+2＞0，﹣m+3＞0， ∴关于x的一次函数y＝（m+2）x﹣m+3经过第一、二、三象限； 故答案为：一、二、三 【点睛】本题考查的是一次函数图象与系数的关系，解此类题目的关键通过图象经过的象限，确定k、b的值，进而求解出m的取值范围． 12．如图，现有四张卡片，前三张卡片上的数分别为3、6、7. 在第四张卡片上填写一个数，使得从中任取一张，取到奇数的概率与取到偶数的概率相等. 你填写的数是 ．（填写一个你认为正确的数即可）． 【答案】答案不唯一，偶数即可 【知识点】已知概率求数量 【分析】根据取到奇数的概率与取到偶数的概率相等，可知四张张卡片上的数，奇迹数与偶数的个数相等，应各有两张，即可知填写的数是偶即可. 【详解】解：∵取到奇数的概率与取到偶数的概率相等， ∴四张张卡片上的数，奇数与偶数的个数相等， ∴填写的数是偶即可,如:2或4等,答案不唯一. 故答案不唯一，偶数即可． 【点睛】本题考查概率，掌握概念的计算方法是解题的关键． 13．如图，在菱形中，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点，则 ， .      【答案】 1 【知识点】利用菱形的性质证明、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】由菱形的性质可得AB=AD=CD=4，AB∥CD，由“ASA”可证△AEF≌△DEH，可得AF=HD=1，由三角形面积公式可求△CEF的面积． 【详解】∵四边形是菱形， ∴. ∵点是的中点， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴. ∴. 故答案为：1，. 【点睛】此题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明AF=HD=1是解题的关键． 14．如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒速度沿线段方向向点C运动．已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q运动停止，设运动时间为t． （1）当 秒时，四边形为平行四边形； （2）在点P、点Q的运动过程中，当 秒时，的面积为？ 【答案】 2 或或 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、证明四边形是平行四边形、动态几何问题(一元二次方程的应用)、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）当四边形为平行四边形时，，由此构建方程解决问题即可； （2）分两种情况进行讨论：即①当点P在线段上，②当点P在线段上，根据两种情况点的位置，可以确定t的值． 【详解】解：（1）当四边形为平行四边形时，， ，， 如图， ，， ， 解得：， 故答案为：2； （2）如图1，过A点作于M，则四边形是矩形， ，， ， ， ； ①当点P在线段上时，即时，如图3， ， 解得； ②当点P在线段上时，即时，如图4， ，，   ， 整理得：，即， 解得：或， ， 或， 综上所述，或或，的面积为， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了直角梯形，矩形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用以及三角形的面积等，分类讨论的思想是本题的关键． 15．把一根长度为6的铁丝截成3段，若三段的长度均为正整数，则能构成三角形的概率 ． 【答案】 【知识点】列举法求概率 【分析】先求出将长度为6的铁丝截成3段，每段长度均为整数厘米，共有几种情况，再找出其中能构成三角形的情况，最后根据概率公式计算即可． 【详解】因为将长度为6的铁丝截成3段，每段长度均为整数厘米， 共有3种情况，分别是1，1，4；1，2，3；2，2，2；其中能构成三角形的是：2，2，2一种情况， 所以能构成三角形的概率是． 故答案为． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 16．如图，矩形中，，将四边形沿折叠得四边形，点在上，若四边形的面积为24，则的长度为 ． 【答案】3 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】先求出，由折晿的性质可得，由勾股定理列出两个等式，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形的面积为24， ∴， ∴， 设，则， ∴， 将四边形沿折叠得四边形， ， ， 解得∶， 故答案为∶3． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 17．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 ． 【答案】11 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】∵BD⊥CD，BD=4，CD=3， ∴． ∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点， ∴EH=FG=AD，EF=GH=BC． ∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC． 又∵AD=6， ∴四边形EFGH的周长=6＋5=11． 故答案为：11． 18．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快 s后，四边ABPQ成为矩形． 【答案】5 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】先由矩形的性质确定BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP=AQ，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=90°，AD=BC=20cm， 设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形， ∵四边形ABPQ是矩形 ∴AQ=BP ∴3x=20-x ∴x=5 故答案为：5 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形是解答本题的关键． 三、解答题 19．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数与一次函数交于点，求的长． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、用勾股定理解三角形 【分析】联立两函数解析式，解方程组即可得到交点P的坐标，利用勾股定理即可求解． 【详解】联立， 解得：， ∴交点P的坐标为(，)， ∴． 【点睛】本题考查了直线的交点问题以及勾股定理的应用，用联立两函数解析式，解方程组求交点坐标是解题的关键． 20．解下列分式方程： (1)=1 (2). 【答案】(1)x=3.5；(2)原方程无解． 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】解分式方程时首先去分母，找到(1)(2)中的最简公分母分别为2（x-3）和（x-1）（x+1），等式左右两边同时乘以最简公分母，然后去括号，移项，合并同类项，系数化为1，最后把结果代入最简公分母进行检验，若不等于0，则有解，若等于0，则无解. 【详解】(1)原方程可变形为： 解：等式左右两边同时乘以最简公分母得2﹣1=2x﹣6 解得 把代入最简公分母 所以是原方式方程的解． 所以原分式方程的解为： (2) 解：等式左右两边同时乘以最简公分母去分母 得5(x﹣1)+3(x+1)=6， 去括号，得5x﹣5+3x+3=6， 移项合并，得8x=8， 解得x=1 把代入最简公分母 所以原方程无解． 【点睛】解分式方差时，需要注意找准最简公分母，再去分母化为整式方程，最后得到的解一定要代入最简公分母进行检验，若不等于0，则有解，若等于0，则无解. 21．你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 【答案】(1)不同意，见解析 (2)不同意，见解析 【知识点】关于频率与概率关系说法的正误、概率的意义理解 【分析】本题考查的是频率和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键． （1）根据“频率”和“概率”的定义即可判断； （2）根据“频率”和“概率”的定义即可判断． 【详解】（1）解：不同意，小丽混淆了“频率”和“概率”．做了20次试验，发现硬币落地后共有11次正面朝上，只能确定在这20次试验中，正面朝上的频率是． （2）解：不同意，对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，是独立的，并不受其他事件的干扰，也就是说，第6次抛掷这枚硬币的概率不会受到前5次抛掷结果的影响． 22．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．如图，一次函数（a为常数，）与反比例函数（k为常数，）的图象相交于点和点．    (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，相交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，相交于点D．求证：C，O，D三点在同一条直线上． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)证明见解析 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B的坐标，最后把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）先根据题意求出C、D坐标，进而求出直线，直线的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得，解得， ∴， 把，代入中得：， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）证明：∵过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，相交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，相交于点D， ∴， 同理可得直线解析式为，直线解析式为， ∴C，O，D三点在同一条直线上． 23．解方程： 【答案】x＝10 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：x（x＋2）−5（x−2）＝x（x−2）， 整理得：x2＋2x−5x＋10＝x2−2x， 解得：x＝10， 检验：把x＝10代入公分母得：x（x−2）≠0， ∴分式方程的解为x＝10． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 24．如图，在中，，中线，相交于点，点，分别为，的中点． （1）求证：，； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）2 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是平行四边形、根据三角形中线求面积 【分析】（1）利用中位线性质可得，．，．可证四边形是平行四边形．由平行四边形性质可得，． （2）由和，可推得．求由点是中点，．由三等分可求．根据平行四边形性质可得四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵点，分别是，的中点， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∴，； （2）解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵，， ∵， ∵点是中点， ∴． ∴． ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查中位线性质，平行四边形的判定与性质，中线的性质，掌握中位线性质，平行四边形的判定与性质，中线的性质，注意中线与中位线的区别以及它们性质是解题关键． 25．已知:在△ABC中,BC>AC,动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转,且AD=BC,连接DC．过AB,DC的中点E,F作直线,直线EF与直线AD,BC分别相交于点M,N. (1)如图1,当点D旋转到BC的延长线上时,点N恰好与点F重合,取AC的中点H,连接HE,HF,根据三角形中位线定理和平行线的性质,可得∠AMF与∠ENB有何数量关系?(不需证明). (2)当点D旋转到图2或图3中的位置时,∠AMF与∠ENB有何数量关系?请分别写出猜想,并任选一种情况证明. 【答案】(1)∠AMF=∠ENB；(2)∠AMF=∠ENB，∠AMF+∠ENB=180°，证明见解析. 【知识点】与三角形中位线有关的证明 【分析】(1) 取AC的中点H，连接HE、HF，当点D旋转到图2中的位置时，由F为DC的中点，E为AB的中点，根据三角形中位线的性质得到FH∥AD，且FH=AD；HE∥BC，且HE=BC，得到∠HFE=∠AMF，∠HEF=∠ENB，HE=HF，则∠HEF=∠HFE，所以∠AMF=∠BNE；当点D旋转到图3中的位置时，同理可证得∠AMF=∠BNE． (2) 与（1）相同，都需要作出两条辅助线，两次运用中位线定理解答． 【详解】(1)图1:∠AMF=∠ENB. (2)图2:∠AMF=∠ENB; 图3:∠AMF+∠ENB=180°. 当点D旋转到图2中的位置时， 证明:如图,取AC的中点H, 连接HE,HF. ∵F是DC的中点,H是AC的中点, ∴HF∥AD,HF=AD, ∴∠AMF=∠HFE, 同理,HE∥CB,HE=CB,∴∠ENB=∠HEF. ∵AD=BC,∴HF=HE,∴∠HEF=∠HFE, ∴∠ENB=∠AMF. 当点D旋转到图3中的位置时， 用同样的方法可证明∠HFE=∠AME，∠HEF=∠BNE， 而∠HFE=∠HEF， ∴∠AME=∠BNE， 而∠AMF+∠AME=180°， ∴∠AMF+∠BNE=180°． 故答案为∠AMF=∠BNE或∠AMF+∠BNE=180°． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行并且等于第三边的一半．此题构思巧妙，融合了中位线定理，平行线的性质等概念，难点是需要作出两条辅助线． 26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，垂足为E，点F是BC延长线上的点，且DF⊥DB． (1)求证：AD＝CF； (2)当点C为BF中点时，求证：四边形ABCD是菱形； (3)在（2）的条件下，当△BDF满足什么条件时，四边形ABCD是正方形？（不必说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)当△BDF满足 时，四边形ABCD是正方形 【知识点】添一个条件使四边形是正方形、根据菱形的性质与判定求线段长、利用平行四边形性质和判定证明、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由已知可得 ，AD∥BC，通过证明四边形ACFD是平行四边形即可得到结论； （2）先证明，再结合已知即可证明四边形ABCD是平行四边形，再由对角线互相垂直即可得到结论； （3）先判断△BDF是等腰直角三角形，再由等边对等角得到，根据菱形的性质可得，即可得到结论． 【详解】（1） AC⊥BD，DF⊥DB AD∥BC 四边形ACFD是平行四边形 AD＝CF （2） 点C为BF中点 AD＝CF AD∥BC 四边形ABCD是平行四边形 对角线AC⊥BD 四边形ABCD是菱形 （3）当△BDF满足 时，四边形ABCD是正方形；理由如下 DF⊥DB 由（2）得，四边形ABCD是菱形 四边形ABCD是正方形 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$