期末百题大通关（100题21题型） 2024-2025学年八年级数学下册专项训练（沪教版）

八下期末百题大通关（100题21题型） 题型汇聚 题型一 一次函数的概念 题型二 一次函数的图像 题型三 一次函数的性质 题型四 一次函数的应用 题型五 一元整式方程 题型六 二项方程 题型七 可化为一元二次方程的分式方程 题型八 无理方程 题型九 二元二次方程和方程组 题型十 二元二次方程组的解法 题型十一 列方程（组）解应用题 题型十二 多边形 题型十三 平行四边形 题型十四 特殊的平行四边形 题型十五 梯形 题型十六 等腰梯形 题型十七 三角形、梯形的中位线 题型十八 确定事件和随机事件 题型十九 事件发生的可能性 题型二十 事件的概率 题型二十一 概率计算举例 题型练习 一、单选题 1．（23-24八年级下·上海金山·期末）下列函数是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（其中是常数）的函数是一次函数；把握两个要点：是整式，是关于自变量的一次式；根据一次函数的定义即可判断． 【详解】解：A、不是整式，故不是一次函数； B、是关于自变量的二次式，故不是一次函数； C、是整式，且是关于自变量的一次式，故是一次函数； D、不是整式，故不是一次函数； 故选：C． 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一次函数在y轴上的截距是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，把代入得，，即一次函数与y轴的交点为，即可求解． 【详解】解：把代入得，， 即一次函数与y轴的交点为， ∴一次函数在y轴上的截距是3， 故选：C． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）已知关于x的一次函数，那么它的图像一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的图象性质， 的得出一次函数经过第一、三象限，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴关于x的一次函数经过第一、三象限， 故选：B． 4．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如果直线（）过第二、三、四象限，与x的交点为，那么使得的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】解：由直线（）过第二、三、四象限，可知：y随x的增大而减小， ∵一次函数与x的交点为， ∴当时，则； 故选B． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 5．（22-23八年级下·上海虹口·期末）以下不可能表示成一次函数与正比例函数在同一个平面直角坐标系中的图像的是（    ） A．    B．   C．    D．    【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由一次函数的图像可知，，故；由正比例函数的图像可知，两结论一致，故本选项不符合题意； B、由一次函数的图像可知，，故；由正比例函数的图像可知，两结论不一致，故本选项符合题意； C、由一次函数的图像可知，，故；由正比例函数的图像可知，两结论一致，故本选项不符合题意； D、由一次函数的图像可知，，故；由正比例函数的图像可知，两结论一致，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图像性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数的图像有四种情况： ①当，函数的图像经过第一、二、三象限； ②当，函数的图像经过第一、三、四象限； ③当时，函数的图像经过第一、二、四象限； ④当时，函数的图像经过第二、三、四象限． 6．（八年级下·上海·专题练习）下列方程是一元高次方程的是（　　） A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝0 【答案】D 【知识点】高次方程和无理方程 【分析】根据一元高次方程的定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程，即可得出答案． 【详解】解：这四个方程都只含一个未知数， ∵A，B中未知数的项的次数小于等于2， ∴A，B选项不是一元高次方程，不符合题意， ∵C中分母中含有未知数， ∴是分式方程， ∴C选项不符合题意， ∵D符合一元高次方程定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程， ∴D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元高次方程的定义，注意几元几次方程都首先是整式方程． 7．（24-25八年级下·上海·期中）下列方程中，属于二项方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二项方程 【分析】本题考查了二项方程的定义，二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数x,这项的次数就是方程的次数；另一项是常数项；方程的右边是0，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、，不是二项方程，故本选项错误； B、，是二项方程，故本选项正确； C、，不是二项方程，故本选项错误； D、，不是二项方程，故本选项错误； 故选：B． 8．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）已知各组的值①②③④其中，是二元二次方程的解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】二项方程 【分析】本题考查二元二次方程的解，将题目中的各组解分别代入中，看哪一组解使得，则哪一组解就是方程的解，本题得以解决 【详解】解：即 ①当时，，故该选项符合题意； ②．当，，故该选项符合题意； ③． ，故该选项不符合题意； ④． ，故该选项符合题意； 则符合题意得有3个． 故选：C． 9．（23-24八年级下·上海·期末）用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可化为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了换元法解分式方程，一元二次方程，设 ，根据题意，化简方程，即可求解． 【详解】解：设 ，原方程可化为 即 故选：B． 10．（23-24八年级下·上海金山·期末）用换元法解分式方程时，设，那么原方程化成整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了用换元法解分式方程，按照题意要求进行即可． 【详解】解：设，则原方程化为：， 方程两边同乘以y并整理得：， 故选：D． 11．（23-24八年级下·上海闵行·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，掌握用换元法解分式方程是关键． 用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法．设，计算即可． 【详解】解：∵ 设 则 去分母，得 故选：A． 12．（23-24八年级下·上海虹口·期末）下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了分式方程、平方的非负性、二次根式的性质等知识，分别解方程和利用二次根式的性质进行计算后，即可得到答案． 【详解】解：A． 去分母得，， 当时，， 则是增根，原分式方程无解， 故选项不符合题意； B．， 则， ∴原方程没有实数根， 故选项不符合题意； C． 则， 解得， 故选项有实数解，符合题意； D．, ∵， ∴， 即原方程没有实数解， 故选项不符合题意． 故选：C． 13．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）用换元法解关于x的方程，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了如何用换元法解分式方程，解题时要注意对方程进行化简． 先把代入方程，在进行化简即可求出结果． 【详解】解：如果设， 则关于x的方程可化为：， 可化为：， 故选：A． 14．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）下列关于的方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、解分式方程（化为一元一次） 【分析】根据二次根式的非负性可判断A；求出分式方程的解，再检验即可判断B；方程变形得到进而可判断C；根据根的判别式即可判断D；从而可得答案. 【详解】解：A、由可得，故原方程无实数解； B、去分母得，当时，，所以是方程的增根，故原方程无实数解； C、方程可变形为，所以，故原方程有实数解； D、因为方程的，所以原方程无实数解； 故选：C. 【点睛】本题考查了二次根式的非负性、分式方程的求解、高次方程的求解以及一元二次方程的根的判别式等知识，熟练掌握上述知识是解题关键. 15．（23-24八年级下·上海崇明·期末）二项方程的的实数根是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】高次方程和无理方程 【分析】本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键． 先移项，方程两边都乘2，再求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， 即， 所以原方程的实数根是． 故选：C． 16．（23-24八年级下·上海静安·期末）下列方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、无理方程、二次根式有意义的条件、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，乘方的意义，算术平方根的意义，分式方程有意义的条件，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．根据一元二次方程根的判别式、偶次方的意义、算术平方根的意义、以及分式方程的解逐项分析即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴一元二次方程有两边不相等的实数根，故A符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴无实数根，故B不符合题意； C、∵，， ∴方程无实数根，故C不符合题意； D、， 去分母得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解，故D不符合题意． 故选：A． 17．（23-24八年级下·上海·期末）下列方程中，没有实数解的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、无理方程、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程，根据题意逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，解得：，故A选项不正确，不符合题意；     B. 方程两边同时乘以，得，， 解得：或， 经检验，是原方程的增根，原方程的解为， 故B选项不正确，不符合题意；     C. ，方程有实数解，故C选项不正确，不符合题意； D. ， ∴ 又∵ ∴原方程无实数解， 故选：D． 18．（八年级下·上海浦东新·期中）下列方程组中，属于二元二次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】根据二元二次方程组的定义，含有两个未知数并且含有未知数项的次数最高为2的整式方程组为二元二次方程，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，为二元一次方程组，选项不符合题意； B、，不是整式方程组，不符合题意； C、，不是整式方程组，不符合题意； D、，为二元二次方程组，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了二元二次方程组的定义，解题的关键是掌握二元二次方程组的定义． 19．（22-23八年级下·上海普陀·阶段练习）下列说法正确的个数是（    ） （1）方程是分式方程； （2）方程是无理方程； （3）方程是二项方程； （4）方程是二元二次方程． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】无理方程、二项方程、分式方程的定义、二元二次方程组及其解法 【分析】根据分式方程，无理方程，二项方程，二元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：方程是分式方程；故（1）符合题意； 方程是有理方程；故（2）不符合题意； 方程不是二项方程；故（3）不符合题意； 方程是二元二次方程；故（4）符合题意； ∴正确的表述是（1）（4）， 故选B 【点睛】本题考查的是分式方程的定义，无理方程的定义，二项方程的定义，二元二次方程的定义，熟记各方程的定义是解本题的关键． 20．（24-25八年级下·上海松江·期中）下列说法正确的是（    ） A．是二元二次方程 B．是二项方程 C．是分式方程 D．是无理方程 【答案】C 【知识点】分式方程的定义、无理方程、二元二次方程组及其解法、二项方程 【分析】本题考查二元二次方程，分式方程，无理方程等概念，根据二元二次方程，分式方程，无理方程等概念逐项判断即可． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项说法错误； B、不是二项方程，故本选项说法错误； C、是分式方程，故本选项说法正确； D、是分式方程，故本选项说法错误． 故选：C 21．（24-25八年级下·上海静安·期中）下列二元二次方程中，没有实数解的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】此题考查了解二元二次方程．通过解方程得解即可判断． 【详解】解：A、原方程变形为，得，方程有实数根，本选项不合题意； B、原方程变形为，可推出，另外还有其他得解，方程有实数根，故本选项错误， C、原方程变形为，等式不成立，本方程无解，故本选项正确， D、原方程变形为其中一组解为，方程有实数根，故本选项错误， 故选：C． 22．（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列方程组中，不是二元二次方程组的是：（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题主要考查的是二元二次方程组的定义：由两个方程组成，并含有两个未知数且含有未知数的项最高次数是2的方程组叫做二元二次方程组．依据二元二次方程组的定义求解即可． 【详解】解：A．方程组是二元二次方程组，不符合题意； B．方程组是二元二次方程组，不符合题意； C．方程组中，不是整式方程，不是二元二次方程组，符合题意； D．方程组是二元二次方程组，不符合题意． 故选：C． 23．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．是分式方程 B．是无理方程 C．是二元二次方程组 D．是二项方程 【答案】C 【知识点】二项方程、分式方程的定义、二元二次方程组及其解法、无理方程 【分析】本题考查了分式方程、无理方程、二元二次方程组、二项方程的定义，根据相关定义逐项判定即可． 【详解】解：A. 是整式方程，原说法不正确； B. 是分式方程，原说法不正确； C. 是二元二次方程组，说法正确； D. 是不等式，不是二项方程； 故选：C． 24．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）某中学八年级举行春季远足活动，两小组匀速前进，第一小组的步行速度比第二小组快，第一小组比第二小组早到达目的地，求两个小组的步行速度.若设第二小组的步行速度为，则可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接列出分式方程即可． 【详解】解：由题意得：第一小组的步行速度为，则： 列出方程为； 故选A． 25．（2022八年级下·上海·专题练习）已知甲乙两名同学各带60元和45元去文具店购买文具，甲购买笔记本，乙购买钢笔，已知钢笔的单价是笔记本的2倍少3元，结账时甲购买的件数比乙多4件，若设笔记本单价为x元，可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列分式方程 【分析】设笔记本单价为x元，则钢笔的单价为（2x﹣3）元，利用数量＝总价÷单价，结合结账时甲购买的件数比乙多4件，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设笔记本单价为x元，则钢笔的单价为（2x﹣3）元， 依题意得：﹣4＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 26．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了边形的内角和公式，依题意，列式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一个边形的内角和是， ∴， 解得， 故选：C． 27．（24-25八年级下·上海·期中）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点引出的对角线条数为条，可分成个三角形即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数为个， 故选：． 28．（24-25八年级下·上海松江·期中）在四边形中，是对角线的交点，不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】证明四边形是平行四边形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，根据三角形全等的判定与性质以及平行四边形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：如图， A选项：∵，， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意； B选项：∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意； C选项：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意； D选项：由无法证明四边形是平行四边形，本选项符合题意． 故选：D． 29．（24-25八年级下·上海·期中）已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，构成三角形的条件，在平行四边形中，对角线交于点O，，则，令对角线的长等于对应选项中的值，进而得到的长，再判断能否构成三角形即可得到答案． 【详解】解；如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，，则， A、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、当时，则， ∴，即此时能构成三角形，故此选项符合题意； D、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选；C． 30．（24-25八年级下·上海·期中）用两个全等的直角三角形拼成下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定可以拼成的是（   ） A．①④⑤ B．①②③④ C．①②⑤ D．②⑤⑥ 【答案】C 【知识点】证明四边形是菱形、矩形的判定定理理解、判断能否构成平行四边形、正方形的判定定理理解 【分析】本题考查了正方形、菱形、矩形、平行四边形、等腰三角形、等边三角形的性质的应用，属于几何构图问题，解决本题的关键熟悉以上图形的性质，也可以利用两个相同的三角板亲自动手拼一拼，加深对问题的理解． 由于菱形和正方形中都有四边相等的特点，而直角三角形中不一定有两边相等，故两个全等的直角三角形不能拼成菱形和正方形；等边三角形的三条边都相等，而直角三角形的一条直角边不一定等于斜边的一半，故两个全等的直角三角形不一定能拼成等边三角形；而平行四边形，矩形，等腰三角形都可以由两个全等的直角三角形拼成． 【详解】解：两个全等的直角三角形一定可以拼成平行四边形，故①符合题意； 两个全等的直角三角形一定可以拼成矩形，故②符合题意； 两个全等的直角三角形不一定可以拼成菱形，故③不符合题意； 两个全等的直角三角形不一定可以拼成正方形，故④不符合题意； 两个全等的直角三角形一定可以拼成等腰三角形，故⑤符合题意； 两个全等的直角三角形不一定可以拼成等边三角形，故⑥不符合题意； 故选：C． 31．（24-25八年级下·上海·期中）下列命题中是真命题的是（   ） A．对角线相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】D 【知识点】正方形的判定定理理解、判断命题真假、矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了判断命题真假，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解此题的关键． 根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可得出答案． 【详解】解：A、对角线垂直的矩形是正方形，故原说法错误，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，符合题意． 故选：D． 32．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列说法正确的是（　　） A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 【答案】B 【知识点】添一个条件使四边形是菱形、正方形的判定定理理解、矩形的判定定理理解、等腰梯形的判定定理 【分析】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定及等腰梯形的判定，熟练掌握以上四边形的特征是本题的关键． 分别利用平行四边形的性质、正方形的判定、等腰梯形的判定及矩形的判定方法分别进行分析判断． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．对角线垂直平分的平行四边形是菱形，原说法不正确； B、对角线相等的菱形是正方形，原说法正确； C、对角线相等的梯形是等腰梯形，原说法不正确； D、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法不正确； 故选：B． 33．（22-23八年级下·上海静安·期末）下列判断中，不正确的是（    ） A． B． C．如果，那么 D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算 【分析】根据向量是既有方向又有大小的量，向量的加法满足所有的加法运算定律，逐项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，故A正确，不符合题意； B．，故B正确，不符合题意； C．如果，那么或，故C错误，符合题意； D．，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了向量的计算，解题的关键是要考虑向量是既有大小又有方向的量，向量的运算满足所有加法运算定律． 34．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．购买一张彩票中奖一百万元 B．在地球上，上抛的篮球会下落 C．明天太阳从西边出来 D．上海地区明天降水 【答案】B 【知识点】判断事件发生的可能性的大小、事件的分类 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A．购买一张彩票中奖一百万元是随机事件，不符合题意； B．地球上，上抛的篮球会下落是必然事件，符合题意； C．明天太阳从西边出来是不可能事件，不符合题意； D．上海地区明天降水是随机事件，不符合题意； 故选：B． 35．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列命题正确的是（    ） A．可能性很小的事件在一次实验中也有可能发生 B．不可能事件在一次实验中也可能发生 C．任何事件发生的概率都为1 D．随机事件发生的概率可以是任意实数 【答案】A 【知识点】判断命题真假、事件的分类 【分析】本题考查了真命题的定义，事件发生的可能性，根据解题的关键是掌握必然事件发生的概率都为1，不可能事件发生概率为0，随机事件发生概率大于0小于1，结合相关定义逐个判断即可． 【详解】解：A、可能性很小的事件在一次实验中也有可能发生，故A正确，符合题意； B、不可能事件在一次实验中不可能发生，故B错误，不符合题意； C、必然事件发生的概率都为1，不可能事件发生概率为0，随机事件发生概率大于0小于1，故C错误，不符合题意； D、随机事件发生的概率大于0小于1，故D错误，不符合题意； 故选：A． 36．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（ ） A．不确定事件发生的概率为0.5 B．“顺次连接四边形四条边的中点，得到的四边形是正方形”，这是不可能事件 C．随机事件发生的概率大于0且小于1 D．“取两个无理数，它们的和为无理数”，这是必然事件 【答案】C 【知识点】事件的分类、判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小． 根据随机事件、正方形的判定以及概率的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A. 不确定事件发生的概率大于0且小于1，原说法错误； B. “顺次连接四边形四条边的中点，得到的四边形是正方形”，这是随机事件，原说法错误； C. 随机事件发生的概率大于0且小于1，说法正确； D. “取两个无理数，它们的和为无理数”，这是随机事件，原说法错误； 故选C． 37．（八年级下·上海闵行·期末）从一副扑克牌中取出张红桃、张黑桃，洗匀后，从这张牌中任取张牌恰好是黑桃的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是掌握概率的简单应用，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率为：，即可． 【详解】解：∵从一副扑克牌中取出张红桃、张黑桃， ∴抽取的牌数为：（张）， ∴这张牌中任取张牌恰好是黑桃的概率为：． 故选：C． 38．（2023八年级下·上海·专题练习）口袋里装有五个大小形状都相同，所标数字不同的小球，小球所标的数字分别是，，，2，3，先随机抽取一个球得到的数字记为k，放回后再抽一个球得到的数字记为b，则满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了一次函数的性质．画树状图，共有25个等可能的结果，满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的结果有6个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得： 当时，不经过第四象限， 即当时，不经过第四象限， 画树状图如图： 共有25个等可能的结果，满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的结果有6个， ∴满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的概率为， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题 39．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）新定义：在平面直角坐标系中，到坐标轴的距离相等的点称为“等距离点”．例如：、都是等距离点．请写出直线上的等距离点 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】新定义下的实数运算、求点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查新定义、点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值，取x值求一次函数图形上点的坐标，再根据新定义进行判断即可． 【详解】解：把代入得，， ∵点到坐标轴的距离是， ∴点是直线上的等距离点， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查新定义、点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值，理解新定义，求一次函数图象上点的坐标是解题的关键． 40．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）当 时，函数是一次函数，且不是正比例函数． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数、利用平方根解方程 【分析】根据一次函数的解析式为：，则；根据题意，，则，即可． 【详解】∵函数是一次函数，且不是正比例函数， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数的定义． 41．（22-23八年级下·上海宝山·期末）已知点A是直线在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点A的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值 【分析】在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，说明此点的横纵坐标的相等，那么，且为正数，据此作答． 【详解】解：设， 点A为直线上的一点， ，     又点A在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等， ，且为正数， ， 解得：， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是根据点A在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，列出方程． 42．（22-23八年级下·上海静安·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：如果点P到x、y轴的距离中的最小值等于点Q到x、y轴的距离中的最小值，那么称P、Q两点为“坐标轴等距点”，例如点与点为“坐标轴等距点”．已知点A的坐标为，如果点B在直线上，且A，B两点为“坐标轴等距点”，那么点B的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】求点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值 【分析】设，由等距点的定义列方程计算即可，注意分类讨论，求出不同情况下的值即可． 【详解】∵点B在直线上， ∴设， 点到x、y轴的距离中的最小值为， 当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为， 由A，B两点为“坐标轴等距点”可得，，解得或（舍去）， 此时； 当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为， 由A，B两点为“坐标轴等距点”可得，，解得或（舍去）， 此时； 当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为， A，B两点不是“坐标轴等距点”； 综上所述，点B的坐标为或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“坐标轴等距点”． 43．（21-22八年级下·上海奉贤·期末）当时，不论k取任何实数，函数的值为3，所以直线一定经过定点；同样，直线一定经过的定点为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】先将化为，可得当时，不论取何实数，函数的值为，即可得到直线一定经过的定点为． 【详解】解：根据题意，可化为， ∴当时，不论取何实数，函数的值为， ∴直线一定经过的定点为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 44．（22-23八年级下·上海·期末）一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了根据一次函数经过的象限求参数范围，根据一次函数经过的象限可得，进而即可求得的范围． 【详解】解：∵次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，解得， 故答案为：． 45．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像经过点，且与直线平行，这个函数解析式为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质； 根据与y轴的交点坐标可得b的值，再根据两条直线平行，k值相等，求出k即可． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点， ∴， 又∵一次函数的图像与直线平行， ∴， ∴这个函数解析式为， 故答案为：． 46．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）如图，一次函数的图象经过、．则当时，的取值范围是 ．    【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】时求自变量的范围即为函数图象在x轴下方对应的x的取值范围，即可解答． 【详解】解：由函数图象可得：当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是解题关键． 47．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知甲乙两地相距500千米，一辆汽车加满60升油后由甲地开往乙地，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．当油箱中的剩余油量为20升时，汽车距离乙地 千米． 【答案】100 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． 先根据待定系数法求出函数解析式，再求出当时的值，最后求出剩余路程． 【详解】解：设函数解析式为：， 则：， 解得：， ， 当时，， 解得：， （千米）， 故答案为：100． 48．（22-23八年级下·上海长宁·期末）已知汽车装满油之后，油箱里的剩余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的函数图象如图所示．为了行驶安全，油箱中的油量不能少于（升），那么这辆汽车装满油后至多行驶 （千米）后需要再次加油．    【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为升时行驶的路程，此题得解． 【详解】解：设该一次函数解析式为，将，，，代入得 ， 解得， 该一次函数解析式为． 当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 49．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）下列方程中：、；、；、；、，属于高次方程的是 ． 【答案】 【知识点】高次方程和无理方程 【分析】本题考查高次方程的定义，高次方程是指次数大于次的方程，根据定义即可判断． 【详解】解： 是四次方程； 不是高次方程； 不是高次方程； 是二次方程，不是高次方程． 故答案为: ． 50．（24-25八年级下·上海崇明·期中）方程的根是 ． 【答案】 【知识点】二项方程 【分析】此题考查了解二项方程，根据及即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 51．（23-24八年级下·上海·阶段练习）方程的根是 . 【答案】 【知识点】高次方程和无理方程 【分析】本题主要考查高次方程，由可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 52．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查换元法解分式方程，换元法是解分式方程的常用方法，必须熟练掌握． 结合已知条件换元后再去分母即可． 【详解】解：，则， 原方程化为：， 去分母得：， 即， 故答案为：． 53．（23-24八年级下·上海崇明·期末）方程的解是 ． 【答案】10 【知识点】无理方程 【分析】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边平方，得， 解得：， 经检验：是原方程的解． 故答案为：10． 54．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、无理方程 【分析】先将原方程变换为，再根据算术平方根的非负性列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，掌握算术平方根大于等于零成为解答本题的关键． 55．（23-24八年级下·上海闵行·期末）我国古代中有这样一个问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6.8尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设矩形门的宽为尺，高为尺，那么可列方程组是 ． 【答案】 【知识点】二元二次方程组及其解法、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键． 设长方形门的宽尺，则高是尺，根据勾股定理即可列方程求解． 【详解】解：设长方形门的宽尺，高是尺，根据题意得： ， 故答案为：． 56．（22-23八年级下·上海·阶段练习）写出一个二元二次方程组，使它的解是和 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】根据方程组的解可得，，则可写出满足条件的一个方程组为（答案不唯一）． 【详解】解：方程组的解为和， ，， 方程组可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了高次方程组，能熟记二元二次方程组的定义是解此题的关键，方程组中共含有两个不同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程组，叫二元二次方程组． 57．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知是二元二次方程的一个解，那么 ． 【答案】 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查二元二次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 58．（23-24八年级下·上海·期末）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 【答案】6 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设这个正多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形外角和为，结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数是6， 故答案为：6． 59．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如果从多边形的一个顶点出发可以作3条对角线，那么它的内角和是 ． 【答案】/720度 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题 【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数，再根据多边形内角和公式求解即可得解． 【详解】∵多边形从一个顶点出发可引出3条对角线， ∴， 解得． 十边形的内角和为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一个顶点出发的对角线条数以及多边形内角和公式，n边形的内角和为，牢记公式是解题的关键． 60．（24-25八年级下·上海·期中）正多边形的一个内角是，则这个多边形的对角线总数为 ． 【答案】20 【知识点】正多边形的外角问题、多边形对角线的条数问题 【分析】本题主要考查了多边形的外角与内角和对角线条数，解题关键是掌握任意多边形的外角和都等于． 先求出正多边形的一个外角度数，再根据多边形的外角和等于，即可求出这个多边形的边数，根据对角线条数公式即可求出对角线总数． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴正多边形的一个外角是， ∵多边形的外角和等于， ∴这个多边形的边数是， ∴对角线总数为 故答案为：20． 61．（24-25八年级下·上海金山·期中）一个多边形从一个顶点出发有5条对角线，那么这个多边形共有 条对角线． 【答案】20 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，从一个n边形的一个顶点出发有对角线，n边形公有条对角线，据此先求出多边形的边数，再求出其对角线条数即可． 【详解】解：设多边形为n边形， ∵从n边形的一个顶点出发共有5条对角线， ∴， ∴， ∴这个多边形的边数为8， ∴这个多边形共有条对角线， 故答案为：20． 62．（2025八年级下·上海·专题练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原多边形的边数是为 ． 【答案】8或9或10 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查多边形的内角和，解题关键是掌握多边形截去一个角后多边形边数可能增加1，减少1或不变．根据多边形内角和公式求出截去一角后的多边形边数，再根据截去一角后多边形的边数变化情况求解． 【详解】解：设截去一个角后，多边形的边数为， 由题意得， 解得． 因为多边形截去一角后边数可能不变，可能增加1，可能减小1， 原多边形可能为8或9或10. 故答案为：8或9或10. 63．（24-25八年级下·上海崇明·期中）已知平行四边形的周长是，和交于点O，比的周长小3，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的周长，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 根据平行四边形的性质可得，再根据比的周长小3，即可求得． 【详解】解：∵平行四边形的周长是， ∴， ∵比的周长小3， ∴， ∴． 故答案为：4． 64．（24-25八年级下·上海·期中）如图，的对角线相交于点O，，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理的运用，属于基础题． 根据平行四边形的性质得：，再由，得出，结合勾股定理求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ∴， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：． 65．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，对角线与交于点O，如果的周长为32，的周长比的周长多4，那么的长为 ． 【答案】6 【知识点】利用平行四边形的性质求解、加减消元法 【分析】本题考查平行四边形性质、解二元一次方程组，熟练掌握平行四边形性质是解答的关键．先根据平行四边形性质得到，，，再根据已知得到，，然后解方程组即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵的周长为32， ∴，即； ∵的周长比的周长多4， ∴，即， 由①②联立方程组，解得， 故答案为：6． 66．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形中，点E、F分别为边的中点，点P在边上，如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处，线段的长为1，那么正方形的边长为 ． 【答案】/ 【知识点】根据正方形的性质求线段长、折叠问题、公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握正方形的性质和折叠的不变性． 先得到四边形为矩形，根据正方形的性质以及折叠的性质得到可设，，，在中由勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】解：如图： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵点E、F分别为边的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵翻折， ∴， 设正方形的边长为，则，，， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：或（舍）， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 67．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，，，点P为斜边上一动点，过点P作，，，垂足分别为点E、F，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】连接，当时，最小，利用三角形面积解答即可． 本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答． 【详解】解：解：连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，也最小， 即当时，最小， ∵，， ∴， ∴的最小值为：． ∴线段长的最小值为， 故答案为：． 68．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如果一个梯形的中位线长为8，高为6，那么它的面积为 ． 【答案】48 【知识点】梯形中位线定理 【分析】本题考查了梯形的中位线定理，解题的关键是掌握梯形的中位线等于上底与下底和的一半．先求出该梯形上底与下底的和，再根据梯形面积公式即可解答． 【详解】解：∵梯形的中位线长为8， ∴该梯形上底与下底的和为， ∴它的面积， 故答案为：48． 69．（24-25八年级下·上海·期中）如果梯形的中位线长为4，一条底边长为2，那么另外一条底边长为 ． 【答案】6 【知识点】梯形中位线定理 【分析】本题考查梯形中位线定理，掌握“梯形的中位线等于两底和的一半”是解题的关键． 根据“梯形的中位线等于两底和的一半”即可求解． 【详解】解：∵梯形的中位线长为4，一条底边长为2， ∴另外一条底边长为， 故答案为：6． 70．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，如果，那么 ．    【答案】// 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、梯形中位线定理 【分析】本题考查了三角形的中位线及梯形的中位线，熟练掌握两个定理是解题的关键．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，再根据梯形的中位线平行于两底边并且等于两底和的一半求解即可． 【详解】解：在中，、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ， 在梯形中，、分别是、的中点， 是梯形的中位线， ， 故答案为：． 71．（2025八年级下·上海·专题练习）在形状、大小、颜色都一样的卡片上，分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、矩形、等腰梯形等5个图形，画面朝下随意放在桌面上，小明随机抽一张卡片，抽得图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查的是概率公式及中心对称图形和轴对称图形的概念，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 先判断出等边三角形、平行四边形、菱形、矩形、等腰梯形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行解答即可． 【详解】解：在这一组图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是：菱形、矩形共2个， 张卡片上的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是． 故答案为：． 72．（2025八年级下·上海·专题练习）不透明的布袋里有2个黄球，4个红球，5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中随机摸出一个球恰好为红球的概率是 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查概率公式．根据题意和题目中的数据，可以计算出从布袋中随机摸出一个球恰好为红球的概率． 【详解】解：不透明的布袋里有2个黄球，4个红球，5个白球， 从布袋中随机摸出一个球恰好为红球的概率是， 故答案为：． 73．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在分别标有1、2、3、4、6的五张卡片中随机抽取2张卡片，那么抽到的卡片上标的数恰好是一个素数和一个合数概率是 ． 【答案】/ 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查利用列表法或画树状图法求概率．正确列出表格或画出树状图分析出抽到所有可能结果共有20种，其中一个是素数一个是合数的共有8种是解题的关键． 先画树状图分析出抽到所有可能结果共有20种，其中一个是素数一个是合数的共有8种，然后由概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图为：    由图可得抽到所有可能结果共有20种，其中一个是素数一个是合数的共有8种， ∴抽到的卡片上标的数恰好是一个素数和一个合数概率为， 故答案为：． 三、解答题 74．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和的坐标； (2)求点的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、用勾股定理解三角形、坐标与图形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）令，求得；令，求得，即可得出点A、B坐标； （2）过点P作于C，设，则，，根据，得，求出值即可求解． （3）设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F，根据题意可求得，，再利用等积法求，，则，由点Q在第四象限，即可写出点Q坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ∴， 令，则， ∴． （2）解：如图，过点P作于C， ∵点P在直线上， ∴设， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， 解得：， ∴． （3）解：如图，设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F， 把代入，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点Q在第四象限， ∴． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴交点问题，直线与坐标轴围成的三角形面积问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，三角形的面积．熟练掌握利用等积法求高是解题的关键． 75．（23-24八年级下·上海静安·期末）问题：已知矩形的长和宽分别为12和2，是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为原矩形的一半？ 在学习函数的知识后，小丽发现可利用函数知识，借助图像，成功解决这一问题．过程如下： 第一步：建立函数模型 设新矩形的长和宽分别为x和y， (1)假如只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么y关于x的函数解析式是_______①，它的定义域是_______； (2)假如只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么y关于x的函数解析式是_______②，它的定义域是_______； 第二步：画出函数图像 (3)在所给的直角坐标平面内画出符合题意的函数①和函数②的大致图像． 第三步：同时考虑新矩形的面积和周长都为原矩形的一半，观察图像，解决问题 (4)这两个函数图像在第一象限内有_______个公共点；请解释公共点的意义． (5)如果存在这样的新矩形，直接写出新矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)图象见解析；当新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为4，宽为3时，新矩形的周长是原来的一半，面积是原来的一半 (4)两；见解析 (5)存在；新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为3，宽为4 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、判断（画）反比例函数图象、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据矩形的周长公式写出函数解析式，然后写出定义域即可； （2）根据矩形的面积公式写出函数解析式，然后写出定义域即可； （3）根据反比例函数图象和一次函数图象的画法画出函数图象，得出结果即可； （4）根据图象得出答案即可； （5）根据函数图象得出答案即可． 【详解】（1）解：先长方形的周长为：， 只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么y关于x的函数解析式是：，定义域为； （2）解：新长方形的面积为： 只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么y关于x的函数解析式是，它的定义域是； （3）解：列表： … 2 3 4 6 … … 5 4 3 1 … … 6 4 3 2 … 描点，连线，如图所示： 观察图象可知：当新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为4，宽为3时，新矩形的周长是原来的一半，面积是原来的一半． （4）解：这两个函数图象在第一象限内有两个公共点，这两个公共点的横纵坐标正好是既符合矩形的周长为原来的一半，又符合矩形的面积是原来一半时，矩形的长和宽； （5）解：存在；新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为3，宽为4． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析，反比例函数解析，画一次函数和反比例函数图象，一次函数和反比例函数的交点问题，解题的关键是数形结合． 76．（23-24八年级下·上海金山·期末）在平面直角标系中，四边形是矩形，点C、A分别在x轴和y轴正半轴上，，，双曲线与矩形交于M、N两点，直线与x轴负半轴交于点D，．    (1)求直线的表达式； (2)将直线向下平移m个单位，使平移后直线与双曲线的交点在矩形内部，求m的取值范围； (3)设直线l是平移直线所得直线，点P是直线l上的一个动点，当是等边三角形时，求直线l的表达式． 【答案】(1) (2) (3)直线l的表达式为或 【知识点】公式法解一元二次方程、一次函数图象平移问题、求一次函数解析式、等边三角形的性质 【分析】（1）由，得两点的坐标，用待定系数法即可求解； （2）由题意易得M、N两点的坐标，直线向下平移m个单位后的解析式可求出，根据点M、N在直线上可求得向下平移的m值，即可求得m的取值范围； （3）设直线l解析式为，其中n为正数，设点P的坐标为，由勾股定理可分别求得的三边，根据等边三角形的性质建立方程即可求出n的值，从而求得直线l的表达式． 【详解】（1）解：，，， ； ； 设直线解析式为， 把两点坐标分别代入得：， 解得：， 即直线解析式为； （2）解：， ； 由于M、N两点在双曲线上， 当时，；当时，； 即； 直线向下平移m个单位后的解析式为， 点M、N在直线上， ， 解得：， 所以m的取值范围为； （3）解：设直线l解析式为，其中n为正数， 设点P的坐标为， 由勾股定理得：，； 为等边三角形， ， ， 由，整理得：， 把它代入中，整理得：， 解得：， 则， 所以直线l的表达式为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，等腰直角三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，反比例函数的图象，解一元二次方程等知识，有一定的综合性． 77．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，已知直线经过定点P．    (1)求点P的坐标； (2)一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点B、C（如图），如果直线将的面积平分，求k的值； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线l，点A是直线l上的点，如果，求点A的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一次函数图象平移问题、求直线围成的图形面积、求一次函数解析式、三线合一 【分析】（1）代入，求得，即可求解； （2）先求出直线与坐标轴的交点坐标：，，从而求得，，不规则设直线直线与直线相交于，根据 ，则，解得：， 把代入，得，则有，解之即可求得k值． （3）先根据平移性质求得直线l解析式为，过点A作于E，根据等腰三角形的性质求得，则点A的纵坐标为2，把代入，得，解得：，即可得出点A坐标． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴直线经过定点． （2）解：令，则， ∴， ∴， 令，则，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线与直线相交于，如图， ∵直线将的面积平分， ∴ ∴， 解得：， 把代入，得， ∴， 解得：． （3）解：由（2）知：， 直线向上平移2个单位后得到直线l， 则直线l解析式为， 如图，过点A作于E， ∵，， ∴ ∴点A的纵坐标为2， 把代入，得， 解得：， ∴点A的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，两直线交点，坐标与图形，直线与坐标围砀三角形面积，一次函数图象平移，等腰三角形的性质．熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键． 78．（23-24八年级下·上海青浦·期末）在实验中学的“科技艺术节”的等备过程中，要求每个班的学生数与制作的“国风团扇”数量之间满足一次函数关系，设班级人数为（人），团扇数为（把），部分数据如表所示： 班级人数（人） …… 44 48 55 …… 团扇数（把） …… 48 56 70 …… (1)求关于的函数关系式；（不需要写出函数定义域） (2)八年级某班有50名学生，由于实际每天比原计划每天多制作3把，因此提前1天完成，问原计划每天制作几把？ 【答案】(1) (2)原计划每天制作把 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，，设原计划每天制作把，则实际每天制作把，根据“因此提前1天完成”列出分式方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为， 将和代入函数解析式得：， 解得：， ∴关于的函数关系式为； （2）解：当时，， 设原计划每天制作把，则实际每天制作把， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ∴原计划每天制作把． 79．（23-24八年级下·上海静安·期末）某汽车销售店根据过去几个月的销售记录，得到了每月的销售成本y（万元）与销售车辆x（辆）之间的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不写定义域） (2)如果该店每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间恰好成正比例关系，且当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等． ①求w关于x的函数解析式；（不写定义域） ②如果汽车销售店想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售多少辆车？（净利润=销售收入-销售成本） 【答案】(1) (2)①；②每月应至少销售15辆车． 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数解析式和正比例函数的应用．首先要学会根据用代入系数法求出解析式；再结合正比例函数解决问题． （1）用待定系数法求y关于x的函数解析式； （2）①用待定系数法求w关于x的函数解析式；②由每月的净利润不少于13万元，可得出，再转化为关于x的不等式求解即可． 【详解】（1）由图可知：与成一次函数关系， 设， 时，，时，， ， 解得：， ； （2）①设每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间函数关系式为， 当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等，此时销售成本为（万元）． ，解得：， w关于x的函数解析式为：； ②由题意得：， 解得：， x为整数， x的最小值为15， 每月应至少销售15辆车． 80．（23-24八年级下·上海宝山·期末）暑期将至，某健身俱乐部为了促销，面向学生推出三种优惠活动． 活动一：购买一张学生暑期VIP卡（800元/张），每次凭卡不需要再付费； 活动二：购买一张学生暑期乐享卡（200元/张），每次费用按平常价格的六折优惠； 活动三：不购买上述暑期卡，凭学生证每次费用按平常价格的九折优惠． 三种活动仅限暑期（7月1日至8月31日期间）使用，次数不限． 又知学生甲计划暑期前往该健身俱乐部15次，如果选择活动二，共需支付费用650元．请根据上述信息，解答下列问题： (1)每次健身的平常价格是______元； (2)设健身x次时，所需总费用为y元．当选择活动三时，y与x的函数关系式是______． (3)学生乙计划暑期前往健身俱乐部25次，选择哪种活动所需费用最少？说明理由． 【答案】(1)50 (2) (3)活动一，理由见解析 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）设平常价格为m元，根据题意列出方程求解即可； （2）根据题意求解即可； （3）分别计算出三种活动所需费用，再进行比较即可． 【详解】（1）解：设平常价格为m元， 根据题意得 解得 故答案为：50． （2）根据题意得， 故答案为：． （3）活动一：800元 活动二：（元） 活动三：（元） ∵ ∴活动一所需费用最少． 81．（21-22八年级下·上海·阶段练习）解方程组 【答案】 【知识点】加减消元法、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解分式方程，，则原方程组可化为，解方程组得到，进而得到，据此求解即可． 【详解】解：令，则原方程组可化为， 解得， ∴，    ∴，解得， 检验，， ∴原方程组的解为． 82．（24-25八年级下·上海·期中）解方程组：． 【答案】 【知识点】二项方程 【分析】本题主要考查了解分式方程组，设，则原方程组可化为，解方程组求出m、n的值，进而求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：设，则原方程组可化为， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴， ∴， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 83．（23-24八年级下·上海·期末）解方程： ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，先去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， 即， 解得：或， 经检验，当时，， 当时，， ∴是原方程的解． 84．（23-24八年级下·上海长宁·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，化简为，再去括号合并同类项得，再运用因式分解法进行解方程，注意验根，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 则 解得 经检验：是原分式方程的解；是原分式方程的增根 ∴方程的解为 85．（21-22八年级下·上海徐汇·期中）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)； (2) 【知识点】无理方程、解分式方程（化为一元一次） 【分析】（1）先将原方程进行变形化为整式方程，然后再解整式方程，最后进行检验即可； （2）先去分母，将分式方程变为整式方程，然后再解整式方程，最后进行检验． 【详解】（1） 原方程可变形为， 两边平方，得， 整理，得， 分解因式得， 解得， 经检验：是原方程的解，是增根， ∴原方程的解为． （2） 方程两边同时乘以，得 ， 整理，得， 解得， 经检验：是原方程的解，是增根， ∴原方程的解为． 【点睛】本题主要考查了解分式方程和无理方程，将分式方程和无理方程化为整式方程是解题的关键． 86．（24-25八年级下·上海·期中）解方程（组） (1)解方程： (2)解方程组： (3)解方程： 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】无理方程、解分式方程（化为一元二次）、二元二次方程组及其解法 【分析】本题主要考查了解无理方程，解二元二次方程，解分式方程，熟知相关解方程的方法是解题的关键． （1）把方程两边同时平方得到一个一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）先把方程①的左边利用十字相乘法分解因式，再由②得，把代入①分解因式的方程中求出y的值，进而求出x的值即可； （3）设，则原方程可化为，再去分母得到整式方程，解方程并验证和检验即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍去，算术平方根的非负性）； （2）解： 由①得：③， 由②得：④， 把④代入③中得：， ∴或， 解得或， 当时，， 当时，， ∴原方程组的解为或． （3）解：设，则原方程可化为， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或， 解方程得或，解方程可得原方程无解， 经检验，和都是原方程的解， ∴原方程的解为或． 87．（24-25八年级下·上海松江·期中）解方程组： 【答案】或 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查了解二元二次方程组，正确的计算是解题的关键． 将方程组因式分解后，由②得，分别代入①，解关于x，y的二元一次方程组，即可求解． 【详解】解： 方程组可变形为 由②，得， 把代入①，得，即， 解方程组得． 把代入①，得，即， 解方程组得． ∴方程组的解为或． 88．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）． 【答案】，，， 【知识点】综合运用公式法分解因式、二元二次方程组及其解法 【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可． 【详解】解： 将①因式分解得：， ∴或 将②因式分解得： ∴或 ∴原方程化为：，，， 解这些方程组得：，，， ∴原方程组的解为：，，，． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组． 89．（22-23八年级下·上海·期末）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元． (1)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量应控制在什么范围？ (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买多少吨? 【答案】(1) (2)20 【知识点】配方法的应用、利用不等式求自变量或函数值的范围、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，可建立不等式，从而可求每次购买量的范围； （2）设某公司每次都购买x吨，由于一年购买某种货物400吨，可求出购买的次数，从而求得一年的总运费与总存储费用之和，利用配方法可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得， ∴每次购买量在大于或等于10吨，小于或等于40吨的范围内； （2）一年的总运费与总存储费用之和为 ∵， ∴，即， 即：时，一年的总运费与总存储费用之和最小． 解得：时， ∴每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．最小为万元． 【点睛】本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式求最值，属于基础题．解决实际问题的关键是选择好分式函数模型． 90．（24-25八年级下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点关于点的对称点为点，四边形是平行四边形． (1)求点、点的坐标． (2)过线段的中点作直线，直线把平行四边形分成面积为的两部分，求直线的解析式： (3)在（2）的条件下，直线与轴交于点（当点在点的下方），点在直线上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点的坐标为或 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）首先求出，，然后根据中心对称的性质求出，然后根据平行四边形的性质求出； （2）如图所示，点E为的中点，连接，，首先得出，然后分两种情况讨论，分别根据题意求出点F和点G的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （3）首先求出，然后分两种情况讨论，当点Q在y轴左边时，求出，得到所在直线表达式为，然后求出；当点Q在y轴右边时，作点Q关于y轴的对称点，根据对称性求解即可． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴、轴于、两点 ∴当时， ∴； 当时， 解得 ∴ ∵点关于点的对称点为点， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为16 ∴； （2）解：如图所示，点E为的中点，连接，， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵点E为的中点 ∴ ∴ ∵直线把平行四边形分成面积为的两部分，如图交于点F ∴当时， ∴ ∴ ∵， ∴点F的纵坐标为 ∴将代入得， 解得 ∴ 设表达式为 根据题意得， 解得 ∴的表达式为； ∴当时，如图交于点G ∴ ∵， ∴点G的纵坐标为 ∴将代入得， 解得 ∴ 同理利用待定系数法求出表达式为 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：如图所示， ∵直线与轴交于点（当点在点的下方）， ∴点M为直线直线与y轴的交点 ∴当时， ∴ 当点Q在y轴左边时， ∵， ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∴将代入得， 解得 ∴； 当点Q在y轴右边时，作点Q关于y轴的对称点 ∴ ∴ ∴ 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，等边对等角，平行四边形的性质，平行线的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 91．（24-25八年级下·上海松江·期中）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 由平行四边形得到，，，证明出，得到，同理得到，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】∵，点为对角线的中点， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴同理可证， ∴ ∴四边形为平行四边形． 92．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． (1)求点、坐标和度数； (2)点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； (3)若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 【答案】(1)点的坐标为；点的坐标为， (2) (3)当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或 【知识点】一次函数与几何综合、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标及，的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度，由取的中点，连接，可得是等边三角形，进而求出的度数； （2）过点作轴，垂足为点，由，的长度可得出，由，，可得出为等边三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理可得出的长度，再利用三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式； （3）分，及三种情况考虑：①当时，点与点重合或点与点重合，进而可得出点的坐标；②当时，由可求出的长度，结合是等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标；③当时，过点作直线，垂足为点，通过解直角三角形可求出的长度，由等腰三角形的性质及的长度可求出的长度，结合为等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标．综上，此题得解． 【详解】（1）解：当时， ，点的坐标为； 当时， 解得： 点的坐标为， 在中，， 如图，取的中点，连接， 是等边三角形， （2）在图中，过点作轴，垂足为点． ，， ， ，， 为等边三角形， （3）∵以、、、为顶点的四边形为菱形， 分三种情况考虑，如图所示． ①当时，点与点重合， 点的坐标为； ②当时， 是等边三角形， ③当时，过点作直线，垂足为点， 在中，，， ， ， ． 为等边三角形， ， ， 点的坐标为． 综上所述：当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、解含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，掌握以上知识分类讨论，是解题的关键． 93．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，已知是的中线，M是的中点，过A点作，的延长线与相交于点E，与相交于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理，矩形的判定定理是解题的关键． （1）可证明得到，再由三角形中线的定义得到，则可根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论； （2）连接交于H，可证明四边形是平行四边形，得到，则，进而证明，得到，则可证明，进而可证明四边形是矩形． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， ， 又， ， ， 又是的中线， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）证明：如图所示，连接交于H， 由（1）可得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 94．（24-25八年级下·上海静安·期中）如图1， 在四边形中， ， ， 点P在边上． (1)判断四边形的形状并加以证明； (2)以过点P的直线为轴，将四边形折叠，使点B，C分别落在点上，且经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q； ①在图2中作出四边形（保留作图痕迹，不必说明作法和理由） （提示：为使折叠后经过点D，可以先考虑边上与点D对应的点）； ②如图3， 如果， 且， 试求的值： ③如图4， 如果， 且， 请直接写出的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形；证明见解析 (2)①见解析；②；③ 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、根据菱形的性质与判定求角度、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断； （2）①过点P作的垂线，交于点E，截取，在上截取，交于点，再以为圆心，适当长度为半径画弧交于一点，连接点P与该点作射线交于点Q，过点Q作的垂线，作射线，交的垂线于点，连接即可；②先根据折叠得出一些对应边相等，对应角相等，并推导出，再设，，利用解直角三角形将和长用含的代数式表示出来，最后根据列出关于、的关系式，求得、的比值即可；③连接，易得平行四边形是菱形，推出，由折叠的性质得到，再求出，推出四点共线，得到点在上，是等腰直角三角形，得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形； 证明：在四边形中，， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：①作图如下： ②当时，平行四边形是菱形， 由折叠可得，，，，， 当时，由 ，可得， ，， ∵， ∴， ， 设，，则直角三角形中， ，且，， ， ， 直角三角形中，， ∴， ， ， 整理得， ，即； ③连接， 当时，平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四点共线， ∴点在上， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形以及菱形，解题的关键是掌握平行四边形的判定以及菱形的判定与性质．在解题时注意，菱形的四条边都相等，此外在折叠问题中，需要抓住对应边相等，对应角相等这些等量关系，折叠问题的实质是轴对称的性质． 95．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知：如图，在梯形中，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)交点G，如果，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、等腰梯形的性质定理、等腰三角形的性质和判定、等腰梯形的判定定理 【分析】本题考查的是梯形的性质、菱形的判定和性质，掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得到，根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，根据菱形的判定定理证明； （2）连接，根据等腰梯形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，证明结论． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形； （2）如图，连接， 在梯形中，， 则梯形等腰梯形， ， 由（1）可知：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ． 96．（24-25八年级下·上海·期中）如图，正方形中，点E、F分别为射线、射线上的点，且满足，联结，点G为的中点，射线交于点H． (1)如图，当点E在线段上时， ①证明：； ②联结，当时，求：四边形的面积与正方形的面积之比． (2)当，时，求：的值． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质证明、含30度角的直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）①先证明，，由直角三角形斜边中线得到，则，那么，由，可得，即可求证； ②延长交于点K ，可得，设正方形边长为，则，而为的中位线，则，那么，最后由即可求解； （2）当点在线段上时，在上截取，则为的中位线，那么，则，即，可得，根据角直角三角形的性质逆定理可得，导角得到，在上取点，连接，使得，则，那么，设，则，则,有，得，即可求解；当点线段延长线上时，在上截取，同理可得：，，则，在上取点，连接，使得，同理可得：，同理可得，，那么． 【详解】（1）证明：①如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②延长交于点K， ∵， ∴， 即， ∵， ∴点为中点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 设正方形边长为，则， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点在线段上时，在上截取， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在上取点，连接，使得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴, ∵， ∴， 解得：， ∴； 当点线段延长线上时，在上截取， 同理可得：，， ∴， 在上取点，连接，使得， 同理可得：， ∴同理可得，， ∴， ∴， 综上：的值或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质及其逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，难度较大，解题的关键在于正确构造辅助线． 97．（24-25八年级下·上海·期中）如图，平行四边形中，点E为中点，把图中的线段都画成有向线段． (1)填空：在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是_______，与互为相反向量的向量是_______； (2)在图中求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 【答案】(1)；、 (2)见解析 【知识点】向量的线性运算、向量的相关概念 【分析】本题考查了向量的加减法，相等向量、相反向量的定义，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据两个向量模一样，方向一样即为相等向量，两个向量模一样，方向相反即为相反向量进行求解即可； （2）由题意得，则化为，即可作图． 【详解】（1）解：∵点E为中点， ∴， ∵与方向相同，且模一样 ∴与相等的向量是， ∵、与方向相反，且模一样， ∴与互为相反向量的向量是、， 故答案为：；、； （2）解：如图：即为所求： 98．（22-23八年级下·上海黄浦·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别在边和上，且点E是的中点，联结．    (1)写出图中与相等的向量： ； (2)如果，，请用、分别表示： ； ； (3)求作：．（请在原图上求作，不要求写作法，但要写出结论） 【答案】(1) (2)； (3)作图见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、向量的线性运算 【分析】（1）通过平行四边形的性质及中点的意义证明四边形是平行四边形，即可求解； （2）直接根据向量的三角形法则和平行四边形法则进行求解即可； （3）根据向量的加减法运算法则先将进行化简，再作图即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，点E是的中点， ∴， ∵，四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：，； （3）∵， ∴    ∴图中为所求向量． 【点睛】本题考查了向量的加减法运算法则，涉及平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键． 99．（2025八年级下·全国·专题练习）对某篮球运动员进行分球投篮测试，结果如下表： 投篮次数 命中次数 命中率 (1)计算并直接填写表中投篮次、次相应的命中率； (2)这个运动员投篮命中的概率约是______； (3)估计这个运动员分球投篮次能得多少分． 【答案】(1)， ； (2)； (3)分． 【知识点】由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题主要考查了用频率估计概率．从表中可以看出：随着投篮次数的增加，命中的频率接近，所以这个运动员分球投篮命中的概率大约是． 根据表中的数据分别求出投篮次、次相应的命中率即可； 用频率估计概率．随着投篮次数的增加，命中的频率接近，所以这个运动员分球投篮命中的概率大约是； 由可知这个运动员分球投篮命中的概率大约是，估计投篮次命中次，共得分． 【详解】（1）解：投篮次的命中率为， 投篮次的命中率为； 故答案为：，； （2）解：这个运动员投篮命中的概率约是， 故答案为：； （3）解：估计这个运动员分球投篮次能得：分， 答：估计这个运动员分球投篮次能得分． 100．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）有四张完全相同的卡片、、、，分别面有不同的几何图形：（等边三角形）；（圆）；（矩形）；（等腰梯形），将这四张卡片放在不透明的盒子中洗匀． (1)从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是_____； (2)小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是多少？（请用树形图说明，卡片可用、、、表示） 【答案】(1)1 (2) 【知识点】中心对称图形的识别、列表法或树状图法求概率、轴对称图形的识别、根据概率公式计算概率 【分析】（1）先判断（等边三角形）、（圆）、（矩形）、（等腰梯形）都是轴对称图形，再根据概率公式求解； （2）先画出树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片都是中心对称图形的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）∵（等边三角形）、（圆）、（矩形）、（等腰梯形）都是轴对称图形， ∴从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是1； （2）（圆）、（矩形） 是中心对称图形， 所有等可能的情况如图所示：    共有12种等可能的结果数，其中抽取的两张卡片都是中心对称图形的结果有2种， 所以取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是． 【点睛】本题考查了求两次事件的概率，正确理解题意、熟练掌握利用树状图或列表法求解的方法是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八下期末百题大通关（100题21题型） 题型汇聚 题型一 一次函数的概念 题型二 一次函数的图像 题型三 一次函数的性质 题型四 一次函数的应用 题型五 一元整式方程 题型六 二项方程 题型七 可化为一元二次方程的分式方程 题型八 无理方程 题型九 二元二次方程和方程组 题型十 二元二次方程组的解法 题型十一 列方程（组）解应用题 题型十二 多边形 题型十三 平行四边形 题型十四 特殊的平行四边形 题型十五 梯形 题型十六 等腰梯形 题型十七 三角形、梯形的中位线 题型十八 确定事件和随机事件 题型十九 事件发生的可能性 题型二十 事件的概率 题型二十一 概率计算举例 题型练习 一、单选题 1．（23-24八年级下·上海金山·期末）下列函数是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一次函数在y轴上的截距是（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）已知关于x的一次函数，那么它的图像一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 4．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如果直线（）过第二、三、四象限，与x的交点为，那么使得的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·上海虹口·期末）以下不可能表示成一次函数与正比例函数在同一个平面直角坐标系中的图像的是（    ） A．    B．   C．    D．    6．（八年级下·上海·专题练习）下列方程是一元高次方程的是（　　） A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝0 7．（24-25八年级下·上海·期中）下列方程中，属于二项方程的是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）已知各组的值①②③④其中，是二元二次方程的解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24八年级下·上海·期末）用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可化为（       ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·上海金山·期末）用换元法解分式方程时，设，那么原方程化成整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·上海闵行·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·上海虹口·期末）下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）用换元法解关于x的方程，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D． 14．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）下列关于的方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·上海崇明·期末）二项方程的的实数根是（　　） A．2 B．4 C． D． 16．（23-24八年级下·上海静安·期末）下列方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·上海·期末）下列方程中，没有实数解的是（       ） A． B． C． D． 18．（八年级下·上海浦东新·期中）下列方程组中，属于二元二次方程组的是（   ） A． B． C． D． 19．（22-23八年级下·上海普陀·阶段练习）下列说法正确的个数是（    ） （1）方程是分式方程； （2）方程是无理方程； （3）方程是二项方程； （4）方程是二元二次方程． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（24-25八年级下·上海松江·期中）下列说法正确的是（    ） A．是二元二次方程 B．是二项方程 C．是分式方程 D．是无理方程 21．（24-25八年级下·上海静安·期中）下列二元二次方程中，没有实数解的方程是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列方程组中，不是二元二次方程组的是：（　　） A． B． C． D． 23．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．是分式方程 B．是无理方程 C．是二元二次方程组 D．是二项方程 24．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）某中学八年级举行春季远足活动，两小组匀速前进，第一小组的步行速度比第二小组快，第一小组比第二小组早到达目的地，求两个小组的步行速度.若设第二小组的步行速度为，则可列出方程为（    ） A． B． C． D． 25．（2022八年级下·上海·专题练习）已知甲乙两名同学各带60元和45元去文具店购买文具，甲购买笔记本，乙购买钢笔，已知钢笔的单价是笔记本的2倍少3元，结账时甲购买的件数比乙多4件，若设笔记本单价为x元，可列方程（　　） A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 27．（24-25八年级下·上海·期中）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级下·上海松江·期中）在四边形中，是对角线的交点，不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级下·上海·期中）已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 30．（24-25八年级下·上海·期中）用两个全等的直角三角形拼成下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定可以拼成的是（   ） A．①④⑤ B．①②③④ C．①②⑤ D．②⑤⑥ 31．（24-25八年级下·上海·期中）下列命题中是真命题的是（   ） A．对角线相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 32．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列说法正确的是（　　） A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 33．（22-23八年级下·上海静安·期末）下列判断中，不正确的是（    ） A． B． C．如果，那么 D． 34．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．购买一张彩票中奖一百万元 B．在地球上，上抛的篮球会下落 C．明天太阳从西边出来 D．上海地区明天降水 35．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列命题正确的是（    ） A．可能性很小的事件在一次实验中也有可能发生 B．不可能事件在一次实验中也可能发生 C．任何事件发生的概率都为1 D．随机事件发生的概率可以是任意实数 36．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（ ） A．不确定事件发生的概率为0.5 B．“顺次连接四边形四条边的中点，得到的四边形是正方形”，这是不可能事件 C．随机事件发生的概率大于0且小于1 D．“取两个无理数，它们的和为无理数”，这是必然事件 37．（八年级下·上海闵行·期末）从一副扑克牌中取出张红桃、张黑桃，洗匀后，从这张牌中任取张牌恰好是黑桃的概率是（    ） A． B． C． D． 38．（2023八年级下·上海·专题练习）口袋里装有五个大小形状都相同，所标数字不同的小球，小球所标的数字分别是，，，2，3，先随机抽取一个球得到的数字记为k，放回后再抽一个球得到的数字记为b，则满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的概率是（　　） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题 39．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）新定义：在平面直角坐标系中，到坐标轴的距离相等的点称为“等距离点”．例如：、都是等距离点．请写出直线上的等距离点 （写出一个即可）． 40．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）当 时，函数是一次函数，且不是正比例函数． 41．（22-23八年级下·上海宝山·期末）已知点A是直线在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点A的坐标是 ． 42．（22-23八年级下·上海静安·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：如果点P到x、y轴的距离中的最小值等于点Q到x、y轴的距离中的最小值，那么称P、Q两点为“坐标轴等距点”，例如点与点为“坐标轴等距点”．已知点A的坐标为，如果点B在直线上，且A，B两点为“坐标轴等距点”，那么点B的坐标为 ． 43．（21-22八年级下·上海奉贤·期末）当时，不论k取任何实数，函数的值为3，所以直线一定经过定点；同样，直线一定经过的定点为 ． 44．（22-23八年级下·上海·期末）一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么的取值范围是 ． 45．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像经过点，且与直线平行，这个函数解析式为 ． 46．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）如图，一次函数的图象经过、．则当时，的取值范围是 ．    47．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知甲乙两地相距500千米，一辆汽车加满60升油后由甲地开往乙地，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．当油箱中的剩余油量为20升时，汽车距离乙地 千米． 48．（22-23八年级下·上海长宁·期末）已知汽车装满油之后，油箱里的剩余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的函数图象如图所示．为了行驶安全，油箱中的油量不能少于（升），那么这辆汽车装满油后至多行驶 （千米）后需要再次加油．    49．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）下列方程中：、；、；、；、，属于高次方程的是 ． 50．（24-25八年级下·上海崇明·期中）方程的根是 ． 51．（23-24八年级下·上海·阶段练习）方程的根是 . 52．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ． 53．（23-24八年级下·上海崇明·期末）方程的解是 ． 54．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是 ． 55．（23-24八年级下·上海闵行·期末）我国古代中有这样一个问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6.8尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设矩形门的宽为尺，高为尺，那么可列方程组是 ． 56．（22-23八年级下·上海·阶段练习）写出一个二元二次方程组，使它的解是和 ． 57．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知是二元二次方程的一个解，那么 ． 58．（23-24八年级下·上海·期末）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 59．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如果从多边形的一个顶点出发可以作3条对角线，那么它的内角和是 ． 60．（24-25八年级下·上海·期中）正多边形的一个内角是，则这个多边形的对角线总数为 ． 61．（24-25八年级下·上海金山·期中）一个多边形从一个顶点出发有5条对角线，那么这个多边形共有 条对角线． 62．（2025八年级下·上海·专题练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原多边形的边数是为 ． 63．（24-25八年级下·上海崇明·期中）已知平行四边形的周长是，和交于点O，比的周长小3，则的长为 ． 64．（24-25八年级下·上海·期中）如图，的对角线相交于点O，，则 ． 65．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，对角线与交于点O，如果的周长为32，的周长比的周长多4，那么的长为 ． 66．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形中，点E、F分别为边的中点，点P在边上，如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处，线段的长为1，那么正方形的边长为 ． 67．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，，，点P为斜边上一动点，过点P作，，，垂足分别为点E、F，连接，则线段的最小值为 ． 68．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如果一个梯形的中位线长为8，高为6，那么它的面积为 ． 69．（24-25八年级下·上海·期中）如果梯形的中位线长为4，一条底边长为2，那么另外一条底边长为 ． 70．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，如果，那么 ．    71．（2025八年级下·上海·专题练习）在形状、大小、颜色都一样的卡片上，分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、矩形、等腰梯形等5个图形，画面朝下随意放在桌面上，小明随机抽一张卡片，抽得图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是 ． 72．（2025八年级下·上海·专题练习）不透明的布袋里有2个黄球，4个红球，5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中随机摸出一个球恰好为红球的概率是 ． 73．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在分别标有1、2、3、4、6的五张卡片中随机抽取2张卡片，那么抽到的卡片上标的数恰好是一个素数和一个合数概率是 ． 三、解答题 74．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和的坐标； (2)求点的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标． 75．（23-24八年级下·上海静安·期末）问题：已知矩形的长和宽分别为12和2，是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为原矩形的一半？ 在学习函数的知识后，小丽发现可利用函数知识，借助图像，成功解决这一问题．过程如下： 第一步：建立函数模型 设新矩形的长和宽分别为x和y， (1)假如只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么y关于x的函数解析式是_______①，它的定义域是_______； (2)假如只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么y关于x的函数解析式是_______②，它的定义域是_______； 第二步：画出函数图像 (3)在所给的直角坐标平面内画出符合题意的函数①和函数②的大致图像． 第三步：同时考虑新矩形的面积和周长都为原矩形的一半，观察图像，解决问题 (4)这两个函数图像在第一象限内有_______个公共点；请解释公共点的意义． (5)如果存在这样的新矩形，直接写出新矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由． 76．（23-24八年级下·上海金山·期末）在平面直角标系中，四边形是矩形，点C、A分别在x轴和y轴正半轴上，，，双曲线与矩形交于M、N两点，直线与x轴负半轴交于点D，．    (1)求直线的表达式； (2)将直线向下平移m个单位，使平移后直线与双曲线的交点在矩形内部，求m的取值范围； (3)设直线l是平移直线所得直线，点P是直线l上的一个动点，当是等边三角形时，求直线l的表达式． 77．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，已知直线经过定点P．    (1)求点P的坐标； (2)一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点B、C（如图），如果直线将的面积平分，求k的值； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线l，点A是直线l上的点，如果，求点A的坐标． 78．（23-24八年级下·上海青浦·期末）在实验中学的“科技艺术节”的等备过程中，要求每个班的学生数与制作的“国风团扇”数量之间满足一次函数关系，设班级人数为（人），团扇数为（把），部分数据如表所示： 班级人数（人） …… 44 48 55 …… 团扇数（把） …… 48 56 70 …… (1)求关于的函数关系式；（不需要写出函数定义域） (2)八年级某班有50名学生，由于实际每天比原计划每天多制作3把，因此提前1天完成，问原计划每天制作几把？ 79．（23-24八年级下·上海静安·期末）某汽车销售店根据过去几个月的销售记录，得到了每月的销售成本y（万元）与销售车辆x（辆）之间的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不写定义域） (2)如果该店每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间恰好成正比例关系，且当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等． ①求w关于x的函数解析式；（不写定义域） ②如果汽车销售店想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售多少辆车？（净利润=销售收入-销售成本） 80．（23-24八年级下·上海宝山·期末）暑期将至，某健身俱乐部为了促销，面向学生推出三种优惠活动． 活动一：购买一张学生暑期VIP卡（800元/张），每次凭卡不需要再付费； 活动二：购买一张学生暑期乐享卡（200元/张），每次费用按平常价格的六折优惠； 活动三：不购买上述暑期卡，凭学生证每次费用按平常价格的九折优惠． 三种活动仅限暑期（7月1日至8月31日期间）使用，次数不限． 又知学生甲计划暑期前往该健身俱乐部15次，如果选择活动二，共需支付费用650元．请根据上述信息，解答下列问题： (1)每次健身的平常价格是______元； (2)设健身x次时，所需总费用为y元．当选择活动三时，y与x的函数关系式是______． (3)学生乙计划暑期前往健身俱乐部25次，选择哪种活动所需费用最少？说明理由． 81．（21-22八年级下·上海·阶段练习）解方程组 82．（24-25八年级下·上海·期中）解方程组：． 83．（23-24八年级下·上海·期末）解方程： ． 84．（23-24八年级下·上海长宁·期末）解方程：． 85．（21-22八年级下·上海徐汇·期中）解方程： (1)． (2)． 86．（24-25八年级下·上海·期中）解方程（组） (1)解方程： (2)解方程组： (3)解方程： 87．（24-25八年级下·上海松江·期中）解方程组： 88．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）． 89．（22-23八年级下·上海·期末）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元． (1)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量应控制在什么范围？ (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买多少吨? 90．（24-25八年级下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点关于点的对称点为点，四边形是平行四边形． (1)求点、点的坐标． (2)过线段的中点作直线，直线把平行四边形分成面积为的两部分，求直线的解析式： (3)在（2）的条件下，直线与轴交于点（当点在点的下方），点在直线上，且，请直接写出点的坐标． 91．（24-25八年级下·上海松江·期中）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 92．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． (1)求点、坐标和度数； (2)点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； (3)若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 93．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，已知是的中线，M是的中点，过A点作，的延长线与相交于点E，与相交于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：四边形是矩形． 94．（24-25八年级下·上海静安·期中）如图1， 在四边形中， ， ， 点P在边上． (1)判断四边形的形状并加以证明； (2)以过点P的直线为轴，将四边形折叠，使点B，C分别落在点上，且经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q； ①在图2中作出四边形（保留作图痕迹，不必说明作法和理由） （提示：为使折叠后经过点D，可以先考虑边上与点D对应的点）； ②如图3， 如果， 且， 试求的值： ③如图4， 如果， 且， 请直接写出的值． 95．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知：如图，在梯形中，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)交点G，如果，求证：． 96．（24-25八年级下·上海·期中）如图，正方形中，点E、F分别为射线、射线上的点，且满足，联结，点G为的中点，射线交于点H． (1)如图，当点E在线段上时， ①证明：； ②联结，当时，求：四边形的面积与正方形的面积之比． (2)当，时，求：的值． 97．（24-25八年级下·上海·期中）如图，平行四边形中，点E为中点，把图中的线段都画成有向线段． (1)填空：在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是_______，与互为相反向量的向量是_______； (2)在图中求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 98．（22-23八年级下·上海黄浦·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别在边和上，且点E是的中点，联结．    (1)写出图中与相等的向量： ； (2)如果，，请用、分别表示： ； ； (3)求作：．（请在原图上求作，不要求写作法，但要写出结论） 99．（2025八年级下·全国·专题练习）对某篮球运动员进行分球投篮测试，结果如下表： 投篮次数 命中次数 命中率 (1)计算并直接填写表中投篮次、次相应的命中率； (2)这个运动员投篮命中的概率约是______； (3)估计这个运动员分球投篮次能得多少分． 100．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）有四张完全相同的卡片、、、，分别面有不同的几何图形：（等边三角形）；（圆）；（矩形）；（等腰梯形），将这四张卡片放在不透明的盒子中洗匀． (1)从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是_____； (2)小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是多少？（请用树形图说明，卡片可用、、、表示） 学科网（北京）股份有限公司 $$