专题7.4 二项分布列，超几何分布和正态分布（五大题型）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.4 二项分布列，超几何分布和正态分布（五大题型） 【考点1：n次独立试验与二项分布列】 【考点2：超几何分布】 【考点3：正态密度曲线】 【考点4：正态密度曲线的性质】 【考点5：正态分布的应用】 【考点1：n次独立试验与二项分布列】 1．（山东省潍坊市2024-2025学年高二下学期诊断性调研监测数学试题）已知随机变量，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 2．（24-25高二下·河北沧州·期中）某校运动会排球决赛采用5局3胜制，每局必须分出胜负，各局之间互不影响，只要有一队获胜3局就结束比赛.已知甲球队每局获胜的概率均为，设为决出冠军时比赛的场数，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东惠州·期中）将一枚质地均匀的硬币重复抛掷次，则正面朝上出现的频率在内的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·福建三明·期中）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，连续射击3次，至少击中两次的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图所示的游戏机：玩家投入1枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能地从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此①②③④⑤⑥⑦⑧继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品．③号槽对应的奖品正是小明喜欢的公仔，小明准备投入30枚游戏币，则他获得该公仔个数的期望为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 6．（24-25高二下·广东深圳·期中）一枪手进行射击训练，共射击6次，每次命中概率相同，且每次射击相互独立，总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同，则其命中的概率为 . 7．（2025·浙江嘉兴·二模）甲、乙两选手进行羽毛球比赛，比赛采用5局3胜制，如果每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，求： (1)赛完4局且甲获胜的概率； (2)在第3局乙获胜的情况下，最终是甲获胜的概率． 8．（2025·河北·模拟预测）2024年奥运会，我国射击项目收获颇丰，现有甲､乙两位射击爱好者来到靶场射击．已知甲每次射击上靶的概率为，乙每次射击上靶的概率为，甲､乙两人每次射击是否上靶相互独立． (1)若甲､乙两人各自射击3次，求甲､乙两人共上靶至少2次的概率； (2)若甲､乙两人各自射击2次，上靶得一分，不上靶得零分，记甲､乙两人得分的差的绝对值为，求的分布列和数学期望． 9．（24-25高二下·山东临沂·期中）某高中学校在一次高二数学监测后，为了解本次监测的成绩情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于130分为优秀. (1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于90分，问这名学生数学成绩为优秀的概率； (2)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为，求的分布列与数学期望. 10．（24-25高二下·广东·期中）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列； (2)他能过关的概率． 11．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台． (1)求这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率； (2)求这2台电脑中A品牌台数X的分布列及均值和方差． 12．（24-25高三下·安徽阜阳·阶段练习）为了估计一个小池塘中鱼的条数m，池塘主人先从中打捞出20条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出10条鱼，发现有记号的鱼有4条. (1)试估计m的值； (2)对于（1）中的估计值m，若在这m条鱼中，A种鱼有8条，从m条鱼中打捞出3条，用X表示其中A种鱼的条数，求X的分布列和数学期望. 13．（2025·河北张家口·三模）为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：       类别科室 志愿者 医生 护士 A科室 2 3 B科室 3 3 (1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率； (2)设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 【考点2：超几何分布】 14．（24-25高二下·福建·期中）设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且，则Y的数学期望（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 16．（24-25高二下·陕西西安·期中）一箱猕猴桃共有20个，其中有若干个为烂果（烂果率低于50%），从这一箱猕猴桃中任取2个，恰有1个烂果的概率为，则这箱猕猴桃的烂果个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 17．（24-25高二下·江苏无锡·期中）一批产品共有7件，其中4件正品，3件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（ ） A． B． C． D． 18．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）设随机变量，则 ． 19．（24-25高二下·福建福州·期中）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 【考点3：正态密度曲线】 20．（17-18高三·北京·强基计划）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 21．（24-25高二下·福建三明·期中）设随机变量，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则有（    ）    A．， B．， C．， D．， 23．多选题（24-25高二下·福建三明·期中）已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（   ）（参考数据：若，则，） A．， B． C． D．对于任意的正数，恒有 24．（24-25高三上·云南·阶段练习）通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中 班获胜的可能性更大． 25．（23-24高二下·福建福州·期中）已知随机变量服从正态分布，，则 . 26．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）若随机变量X服从正态分布，且，则 ． 【考点4：正态密度曲线的性质】 27．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知随机变量，设随机变量，则（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二下·辽宁大连·期中）随机变量，，若，那么实数A的值为（   ） A．119 B．120 C．121 D．122 29．（24-25高二下·云南昆明·期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的正态曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 30．多选题（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）设随机变量，则（    ） A． B． C． D． 31．多选题（2025·贵州毕节·一模）已知随机变量、分别服从正态分布和二项分布，即，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 32．多选题（2024·全国·模拟预测）体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩与乙班女生的成绩均服从正态分布，且，，则(    ). A． B． C． D． 33．多选题（江西省九江市2025届高三第三次高考模拟统一考试数学试题）已知随机变量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C． D． 34．多选题（2025·山东枣庄·二模）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【考点5：正态分布的应用】 35．（24-25高二下·广东惠州·期中）在某市年月份的高三质量检测考试中，理科生的数学成绩服从正态分布已知参加本次考试的全市理科生约有人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）参考数值：；， A．名 B．名 C．名 D．名 36．（2025·广东湛江·二模）某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（    ） 附：若，则． A．228个 B．456个 C．1587个 D．3174个 37．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（    ） 附：，， . A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 38．多选题（2025·湖北襄阳·模拟预测）体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某中学高三学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩与历史类班级女生的成绩均服从正态分布，且，，则(    ). A． B． C． D． 39．（湖北省部分学校（圆创）2025届高三下学期考前压轴卷（二）数学试题）某食盐企业对生产的食盐采用自动流水线包装后进入市场销售．经统计，该自动流水线包装的每袋食盐的质量（单位：克）服从正态分布．随机抽取该厂生产的1000袋食盐，质量介于505克到510克之间的约有 袋． 附：若，则，． 40．（24-25高二下·河南周口·期中）某地高中生的肺活量（单位：）服从正态分布，若该地有12000名高中生，则其中肺活量低于的高中生的人数约为 ． 参考数据：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.4 二项分布列，超几何分布和正态分布（五大题型） 【考点1：n次独立试验与二项分布列】 【考点2：超几何分布】 【考点3：正态密度曲线】 【考点4：正态密度曲线的性质】 【考点5：正态分布的应用】 【考点1：n次独立试验与二项分布列】 1．（山东省潍坊市2024-2025学年高二下学期诊断性调研监测数学试题）已知随机变量，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】因为，所以 由，可得， 故选：C. 2．（24-25高二下·河北沧州·期中）某校运动会排球决赛采用5局3胜制，每局必须分出胜负，各局之间互不影响，只要有一队获胜3局就结束比赛.已知甲球队每局获胜的概率均为，设为决出冠军时比赛的场数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知说明的含义，然后根据独立事件乘法公式求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，表示“前3局甲一胜两负，第四局甲负”或“前3局甲两胜一负，第四局甲胜” 前3局甲一胜两负，第四局甲负的概率； 前3局甲两胜一负，第四局甲胜的概率. 所以，. 故选：A. 3．（24-25高二下·广东惠州·期中）将一枚质地均匀的硬币重复抛掷次，则正面朝上出现的频率在内的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】试验中正面朝上次数，根据题意求出即可得解． 【详解】由题试验中正面朝上次数，正面朝上出现的频率在内包含正面朝上次数为4次、5次和6次， 故所求事件概率为． 故选：C 4．（24-25高二下·福建三明·期中）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，连续射击3次，至少击中两次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用独立重复试验的概率公式计算即可. 【详解】至少击中两次包括击中2次和击中3次, 所以至少击中两次的概率为, 故选:C. 5．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图所示的游戏机：玩家投入1枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能地从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此①②③④⑤⑥⑦⑧继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品．③号槽对应的奖品正是小明喜欢的公仔，小明准备投入30枚游戏币，则他获得该公仔个数的期望为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用全概率公式和二项分布概率公式来分析求解，最后由二项分布公式可求出期望值即可. 【详解】小球从最上层3个缝隙中落下的概率都相等，往后每一层左、右两边落下的概率相同， 当小球从最上层左边缝隙中落下时，接下来5步碰撞中要有2步向右，其它3步向左，共有种可能性； 当小球从最上层中间缝隙中落下时，接下来5步碰撞中要有1步向右，其它4步向左，共有种可能性； 当小球从最上层右边缝隙中落下时，接下来5步碰撞中5步都向左，共有种可能性； 所以小球落入③号槽的概率． 因为30个小球落入③号槽的个数， 所以． 故选：D. 6．（24-25高二下·广东深圳·期中）一枪手进行射击训练，共射击6次，每次命中概率相同，且每次射击相互独立，总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同，则其命中的概率为 . 【答案】 【分析】依题意，判断这是伯努利概型，利用二项分布概率公式列式计算即得. 【详解】设枪手命中的概率为p，因总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同， 则， 因，化简得：，解得. 故答案为：. 7．（2025·浙江嘉兴·二模）甲、乙两选手进行羽毛球比赛，比赛采用5局3胜制，如果每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，求： (1)赛完4局且甲获胜的概率； (2)在第3局乙获胜的情况下，最终是甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据第4局甲胜，前3局甲胜两局可求概率； （2）先求第3局乙获胜的概率，再求出第3局乙获胜且甲最终获胜的概率，从而可得所求的条件概率. 【详解】（1）赛完4局，甲获胜，则第4局甲胜，前3局甲胜两局， 设事件为“赛完4局且甲获胜”，则. （2）设为“甲获胜”，为“第3局乙获胜”，则， 事件包含两种情况，第3局乙获胜，第4局比赛后最终甲获胜和第3局乙获胜，第5局比赛后最终甲获胜， 其中第3局乙获胜，第4局比赛后最终甲获胜，则乙只在第3局获胜，概率为， 第3局乙获胜，第5局比赛后最终甲获胜，则第1,2,4局中，有1局乙获胜，有2局甲获胜， 第5局甲获胜，概率为， 而， 故. 8．（2025·河北·模拟预测）2024年奥运会，我国射击项目收获颇丰，现有甲､乙两位射击爱好者来到靶场射击．已知甲每次射击上靶的概率为，乙每次射击上靶的概率为，甲､乙两人每次射击是否上靶相互独立． (1)若甲､乙两人各自射击3次，求甲､乙两人共上靶至少2次的概率； (2)若甲､乙两人各自射击2次，上靶得一分，不上靶得零分，记甲､乙两人得分的差的绝对值为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由对立事件的概率关系及相互独立事件、二项分布的概率公式列式计算； （2）先得到的可能取值为，分别求其概率，进而得到分布列和期望. 【详解】（1）设甲上靶次数为，乙上靶次数为，且 则 ； （2）的可能取值为， 有， ， ， 的分布列为 0 1 2 ． 9．（24-25高二下·山东临沂·期中）某高中学校在一次高二数学监测后，为了解本次监测的成绩情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于130分为优秀. (1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于90分，问这名学生数学成绩为优秀的概率； (2)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先根据频率和为1，求出的值.再利用频率取估计概率即可. （2）先明确13名同学的构成，再利用超几何分布，写出的概率分布，并求其期望. 【详解】（1）依题意，得， 解得， 则不低于90分的人数为， 成绩在内的，即优秀的人数为； 故这名学生成绩是优秀的概率为. （2）成纱在内的有人； 成缆在内的有人； 成绩在内的有20人； 故采用等比例分层抽样抽取的13名学生中，成绩在内的有6人， 在内的有5人，在内的有2人， 所以由题意可知，的可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 故. 10．（24-25高二下·广东·期中）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列； (2)他能过关的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，由题意分析服从超几何分布，直接求出概率，写出分布列即可； （2）利用第一问直接求出能过关的概率． 【详解】（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，则的所有可能取值为0，1，2，3， 且服从超几何分布， 所以． 所以，， ，， 的概率分布列为： 0 1 2 3 （2）他能过关的概率为． 11．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台． (1)求这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率； (2)求这2台电脑中A品牌台数X的分布列及均值和方差． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）求出两台电脑全部是品牌的概率，利用对立事件的概率计算； （2）确定随机变量的可能取值，利用超几何分布概率公式求出概率，列出分布列，求出均值和方差. 【详解】（1）根据题意，这2台电脑全部是品牌的概率为， 所以这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率为. （2）依题意，的可能取值为， 则，，， 则的分布列为： 所以， . 12．（24-25高三下·安徽阜阳·阶段练习）为了估计一个小池塘中鱼的条数m，池塘主人先从中打捞出20条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出10条鱼，发现有记号的鱼有4条. (1)试估计m的值； (2)对于（1）中的估计值m，若在这m条鱼中，A种鱼有8条，从m条鱼中打捞出3条，用X表示其中A种鱼的条数，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1)50； (2)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）应用样本估计总体的思想求小池塘中鱼的条数； （2）根据已知确定随机变量的可能值，应用超几何分布求对应概率，写出分布列，进而求期望. 【详解】（1）已知小池塘中鱼的条数为m， 由样本估计总体得=，解得， 所以估计小池塘中有50条鱼. （2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3， 所以，，，， X的分布列为 0 1 2 3 . 13．（2025·河北张家口·三模）为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：       类别科室 志愿者 医生 护士 A科室 2 3 B科室 3 3 (1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率； (2)设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式即可求解； （2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室， 有种情况，从11人中抽4人有种情况， 所以所求的概率为. （2）随机变量的所有可能取值为、、、、， ，， ，，， 所以随机变量的分布列为 所以. 【考点2：超几何分布】 14．（24-25高二下·福建·期中）设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，摸出的红球个数服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可. 【详解】从袋中任取4个球，其中红球的个数X 服从参数为的超几何分布， 故有3个红球的概率为 故选： C. 15．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且，则Y的数学期望（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】求出X的可能取值和对应的概率，利用期望公式求出，进而求出. 【详解】X的可能取值为0,1,2,3， ，，， ， 则， 所以． 故选：C 16．（24-25高二下·陕西西安·期中）一箱猕猴桃共有20个，其中有若干个为烂果（烂果率低于50%），从这一箱猕猴桃中任取2个，恰有1个烂果的概率为，则这箱猕猴桃的烂果个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设这一箱猕猴桃中有n个烂果． 由超几何概型，得， 解得或， 因为烂果率低于50%，所以，则． 故选：C 17．（24-25高二下·江苏无锡·期中）一批产品共有7件，其中4件正品，3件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用组合数分别求出恰好取出一件不合格产品的基本事件数和从7件产品中取出3件产品的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】恰好取出一件不合格产品的基本事件数为：， 从7件产品中取出3件产品的基本事件数为：， . 故选：B 18．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）设随机变量，则 ． 【答案】 【分析】根据超几何分布的分布列计算公式求解. 【详解】由，得. 故答案为: 19．（24-25高二下·福建福州·期中）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3)高二年级学生体能检测合格 【分析】（1）由题意有服从超几何分布，利用超几何分布即可求解； （2）利用条件概率公式即可求解； （3）利用正态分布的区间即可求解. 【详解】（1）由题意的可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 （2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”， 所以， 所以， ， 所以； （3）由已知有，所以， 所以 ， 所以高二年级学生体能检测合格. 【考点3：正态密度曲线】 20．（17-18高三·北京·强基计划）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【分析】由正态密度曲线的性质结合图像可得，可判断AB，由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD. 【详解】A选项：、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，所以，故A错误； B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以，故B错误； CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知： 对任意正数，．,故C正确，D错误． 故选：C． 21．（24-25高二下·福建三明·期中）设随机变量，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B 22．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则有（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据正态分布密度曲线中，的意义进行判断即可. 【详解】根据正态分布的密度函数的性质，正态分布曲线是一条关于对称， 在处取得最大值的连续钟形曲线，所以； 越大，曲线的最高点越低且曲线较平缓，反过来，越小，曲线的最高点越高且曲线较陡峭，所以. 故选：A. 23．多选题（24-25高二下·福建三明·期中）已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（   ）（参考数据：若，则，） A．， B． C． D．对于任意的正数，恒有 【答案】AB 【分析】对于A，由正态分布的高矮和对称轴的位置可判断其正误，对于B，根据正态分布的对称性可求给定区间上的概率，故可判断其正误，对于CD，根据面积的大小可判断它们正误. 【详解】对于A，因为的正态分布曲线高而廋，的正态分布曲线矮而胖，故， 由两条曲线的对称轴的位置可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A可得，故，C错误； 对于D，对于任意的正数t，由图象可知： 表示的面积始终小于表示的面积， 则恒有，D错误. 故选：AB 24．（24-25高三上·云南·阶段练习）通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中 班获胜的可能性更大． 【答案】B 【分析】根据均值和方差的大小可得正确的选项. 【详解】从分布密度曲线可以得到如下结论： （1）B班的平均成绩大于A班的平均成绩； （2）B的方差小于A的方差，故B发挥较为稳定， 故B班获胜的可能更大. 故答案为：B. 25．（23-24高二下·福建福州·期中）已知随机变量服从正态分布，，则 . 【答案】0.2 / 【分析】由正态分布曲线的对称性即可列式求解． 【详解】因为，则， ∴. 故答案为：0.2 26．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）若随机变量X服从正态分布，且，则 ． 【答案】 【分析】由正态密度曲线的对称性即可求解. 【详解】由对称性可得：． 故答案为： 【考点4：正态密度曲线的性质】 27．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知随机变量，设随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布性质以及期望值与方差的性质计算可得，即可判断得出结论. 【详解】由可知， 因此可知， ， 所以可得. 故选：B 28．（24-25高二下·辽宁大连·期中）随机变量，，若，那么实数A的值为（   ） A．119 B．120 C．121 D．122 【答案】A 【分析】利用正态分布原则来研究概率，即可判断各选项. 【详解】当时，由于 所以，故A正确， 当时，此时，故无法判断是否相等，故BCD都不正确， 故选：A． 29．（24-25高二下·云南昆明·期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的正态曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于，随机变量服从正态分布，且， 所以随机变量的方差，故错误； 对于，根据给定的正态分布密度曲线图象，可得，， 所以，故正确； 对于，根据正态分布密度曲线图象，可得时随机变量对应的曲线与轴围成的面积小于时随机变量对应的曲线与轴围成的面积， 所以，故错误； 对于，根据正态分布密度曲线图象，可得，， 即，所以D错误. 故选：. 30．多选题（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）设随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用正态分布参数的意义可判断AB，利用正态分布曲线计算概率值的大小，可判断CD. 【详解】由随机变量可知： 所以成立，故A正确； 不成立，故B错误； 再由随机变量可知： ，故成立，故C正确； 由于，， 它们的临界值都是，所以，故D错误； 故选：AC. 31．多选题（2025·贵州毕节·一模）已知随机变量、分别服从正态分布和二项分布，即，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用正态分布的对称性可判断A选项；利用正态分布的特点求出、的值，利用二项分布可求得、的值，可判断BC选项；利用独立重复试验的概率公式可判断D选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，，则，B对； 对于C选项，，，则，C对； 对于D选项，，D错. 故选：ABC. 32．多选题（2024·全国·模拟预测）体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩与乙班女生的成绩均服从正态分布，且，，则(    ). A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】正态分布的期望与方差和正态曲线的特点，结合正态分布的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】选项A：由，得，故A正确； 选项B：由，得，故B不正确； 选项C：由于随机变量服从正态分布，该正态曲线的对称轴为直线：， 所以，故C正确； 选项D：解法一：由于随机变量，均服从正态分布，且对称轴均为直线：， ，所以在正态曲线中，的峰值较高，正态曲线较“瘦高”， 随机变量分布比较集中，所以，故D正确. 解法二：因为，， 所以， 故D正确. 故选：ACD. 33．多选题（江西省九江市2025届高三第三次高考模拟统一考试数学试题）已知随机变量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用二项分布概率公式，通过等式关系求解参数，判断A;计算二项分布的方差判断B;根据正态分布的对称性，判断均值右侧的概率是否超过 判断C;利用正态分布的对称性，验证对称区间概率是否相等判断D. 【详解】 由，等式化简为：，故A正确； 二项分布方差为： 当时，，此时.对于其他，，故B错误； ，均值，因此，故C错误； 由正态分布的对称性，2和6关于对称， 根据对称性，，故D正确. 故选：AD 34．多选题（2025·山东枣庄·二模）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由正态分布期望的性质可得A错误；由正态分布的方差可得B正确；由正态分布曲线的对称性可得C、D正确； 【详解】对于A，由题意，得，故A错误； 对于B，又，所以，故B正确； 对于C，因为两个正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称， 所以，故C正确； 对于D，由对称性，得， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【考点5：正态分布的应用】 35．（24-25高二下·广东惠州·期中）在某市年月份的高三质量检测考试中，理科生的数学成绩服从正态分布已知参加本次考试的全市理科生约有人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）参考数值：；， A．名 B．名 C．名 D．名 【答案】A 【分析】将正态总体向标准正态总体转化，求出概率 ，随后乘以总人数即可得到答案． 【详解】解：因为理科生的数学成绩服从正态分布，，， 所以 ， 所以， 故该学生的数学成绩大约排在全市第名． 故选． 36．（2025·广东湛江·二模）某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（    ） 附：若，则． A．228个 B．456个 C．1587个 D．3174个 【答案】C 【分析】根据正态分布特殊区间的概率可求出结果. 【详解】由可知， 则， 故其中单果质量超过的草莓约有个． 故选：C. 37．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（    ） 附：，， . A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 【答案】B 【分析】利用正态分布的性质即可求解. 【详解】由题得，，所以，， ，， 因为，， 所以， 根据比例成绩大于分为优秀， 因为， 根据比例成绩在到之间的为良好， ， 根据比例成绩在到之间的为合格， ， 根据比例成绩小于分为基本合格， 因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好. 故选：B. 38．多选题（2025·湖北襄阳·模拟预测）体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某中学高三学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩与历史类班级女生的成绩均服从正态分布，且，，则(    ). A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用正态分布的期望与方差和正态曲线的特点，结合正态分布的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A：由，得，故A正确； 对于B：由，得，故B错误； 对于C：因为， 所以，故C正确； 对于D：由于随机变量、均服从正态分布，且对称轴均为直线， ，所以在正态分布曲线上，的峰值较高， 正态分布较“瘦高”，随机变量分布比较集中，所以，故D错误. 故选：AC. 39．（湖北省部分学校（圆创）2025届高三下学期考前压轴卷（二）数学试题）某食盐企业对生产的食盐采用自动流水线包装后进入市场销售．经统计，该自动流水线包装的每袋食盐的质量（单位：克）服从正态分布．随机抽取该厂生产的1000袋食盐，质量介于505克到510克之间的约有 袋． 附：若，则，． 【答案】140 【分析】求出，然后可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 所以质量介于505克到510克之间的约有袋. 故答案为：140 40．（24-25高二下·河南周口·期中）某地高中生的肺活量（单位：）服从正态分布，若该地有12000名高中生，则其中肺活量低于的高中生的人数约为 ． 参考数据：． 【答案】 【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合，求出的概率，再估算肺活量低于的高中生的人数. 【详解】因为， 所以 . 所以肺活量低于的高中生的人数约为：. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$