第01讲 二次根式（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

第01讲 二次根式 【题型1 二次根式的概念】 【题型2 求二次根式的参数】 【题型3二次根式有意义的条件】 【题型4 利用二次根式的性质化简】 【题型5复合二次根式的化简】 考点1：二次根式的相关概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 【题型1 二次根式的概念】 【典例1】（24-25八年级下·广东江门·期中）下列各式一定属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·甘肃定西·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）下列式子是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 求二次根式的参数】 【典例2】（2024八年级·全国·竞赛）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 【变式2-1】（22-23八年级下·广东惠州·阶段练习）已知是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（    ） A．5 B．1 C．2 D．3 【变式2-2】（22-23八年级下·全国·单元测试）已知 是正整数，则实数n的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24八年级下·四川凉山·期中）如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 【题型3二次根式有意义的条件】 【典例3】（2025·云南大理·二模）要使代数式有意义，的取值应满足（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25八年级下·山东济宁·期中）若，则等于（　　） A．1 B．5 C． D． 考点2：二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 【题型4 利用二次根式的性质化简】 【典例4】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级下·天津·期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知三角形的三边分别为，其中两边满足，那么这个三角形的最长边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【题型5复合二次根式的化简】 【典例5】（2025八年级下·全国·专题练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 【变式5-1】（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【变式5-2】（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【变式5-3】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 一、单选题 1．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）要使二次根式有意义，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽池州·期中）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）二次根式可化简成（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·云南昆明·期中）若是整数，则正整数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25八年级下·广东珠海·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D．0 8．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知，化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24八年级下·广西河池·期末）化简： ＝ ． 10．（2022·河南商丘·一模）计算： 11．（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）已知实数满足，则的值 ． 三、解答题 12．（24-25八年级下·山东济宁·期中）【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次根式 【题型1 二次根式的概念】 【题型2 求二次根式的参数】 【题型3二次根式有意义的条件】 【题型4 利用二次根式的性质化简】 【题型5复合二次根式的化简】 考点1：二次根式的相关概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 【题型1 二次根式的概念】 【典例1】（24-25八年级下·广东江门·期中）下列各式一定属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的识别，根据形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、因为，则不是二次根式，不符合题意； B、当时，不是二次根式，不符合题意； C、因为，故是二次根式，符合题意； D、当时，则，不是二次根式，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式． 根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是二次根式，故本选项符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数不是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级下·甘肃定西·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，是二次根式，故不符合题意；     B．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意；     C．不是二次根式，故不符合题意；     D．是二次根式，故符合题意． 故选D． 【变式1-3】（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）下列式子是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的根指数是3，故不是二次根式；     B．的根指数是3，故不是二次根式；     C．的被开方数是负数，故不是二次根式；     D．是二次根式． 故选D． 【题型2 求二次根式的参数】 【典例2】（2024八年级·全国·竞赛）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 【答案】C 【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解什么情况下为正整数． 【详解】解：∵， ∴是一个平方数， ∴正整数最小是， 故选：． 【变式2-1】（22-23八年级下·广东惠州·阶段练习）已知是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（    ） A．5 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】化简二次根式进而得出n的最小值． 【详解】，且是整数， 最小正整数n的值是5， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的定义，正确化简二次根式是解题的关键． 【变式2-2】（22-23八年级下·全国·单元测试）已知 是正整数，则实数n的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式有意义的条件和正整数的范畴进行合格判断是解题的一般过程． 【详解】解：由题意是正整数所以，且n为整数， ∴，解得， ∴实数n最大值取， 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 【变式2-3】（23-24八年级下·四川凉山·期中）如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据是一个正整数，得出，根据为整数，得出a的最小值为，最后代入验证是一个正整数符合题意，得出答案即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴， ∴， ∵为整数， ∴a的最小值为， 且时，符合题意，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出，是解题的关键． 【题型3二次根式有意义的条件】 【典例3】（2025·云南大理·二模）要使代数式有意义，的取值应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件，形如的式子叫作二次根式解答． 本题考查了二次根式有意义条件，正确理解是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，且， 解得，且， 故， 故选：D． 【变式3-1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数为非负数，分式分母不等于0．根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，即， 解得． 故选：D． 【变式3-3】（24-25八年级下·山东济宁·期中）若，则等于（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及不等式组的解法，正确掌握被开方数的符号是解题关键．直接利用二次根式中的被开方数是非负数，进而得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：由题意可得：且， 解得：， 故， 则． 故选：D． 考点2：二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 【题型4 利用二次根式的性质化简】 【典例4】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 【变式4-1】（24-25八年级下·天津·期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据数轴判断式子符号及二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 首先由实数、在数轴上的位置，可得和的取值，再根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：由实数、在数轴上的位置，可得，； ； 故选：A 【变式4-2】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知三角形的三边分别为，其中两边满足，那么这个三角形的最长边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由完全平方公式因式分解，再由二次根式性质化简得到，结合绝对值非负性及非负数和为零的条件求解即可得到，从而由三角形三边关系即可得到答案． 【详解】解： ， ，则， ， 要使，则， 解得， 由三角形的三边关系可知， 是这个三角形的最长边， ，即这个三角形的最长边的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形三边关系、绝对值非负性、非负数和为零的条件、完全平方公式因式分解、二次根式性质等知识，熟记三角形三边关系、绝对值非负性、非负数和为零的条件、完全平方公式因式分解、二次根式性质等知识是解决问题的关键． 【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，先由数轴得，则，再化简，即可作答． 【详解】解：由数轴得， ∴ ， 故选：A 【题型5复合二次根式的化简】 【典例5】（2025八年级下·全国·专题练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式得出进而求出即可； （2）根据完全平方公式得出进而求出即可． 此题主要考查了二次根式的化简与性质，熟练应用完全平方公式是解题关键． 【详解】（1）； （2）解：． 【变式5-1】（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 【变式5-2】（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式， （1）根据解答过程即可得解， （2）将转化为，再根据解答过程即可得解， （3）将转化为，再根据解答过程即可得解； 先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 【变式5-3】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【答案】(1)④， (2)①；② 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 ④步出现了错误， 故答案为：④，； （2）解：①原式 ； ②原式 ． 一、单选题 1．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）要使二次根式有意义，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由二次根式有意义的条件可得，即可得． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， ∴x的取值范围是． 故选C． 2．（24-25八年级下·安徽池州·期中）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的被开方数为非负数，逐一分析即可． 【详解】解：A、是二次根式，故本选项不符合题意； B、因，则是二次根式，故本选项不符合题意； C、，由于被开方数是负数，所以在实数范围内没有意义，不属于二次根式，故本选项符合题意； D、由于被开方数是正数，是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．无意义，不能化简，故不正确； B．无意义，不能化简，故不正确； C．，正确； D．，故不正确． 故选C． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）二次根式可化简成（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，根据二次根式性质求解即可，熟练运用二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式性质求解即可，熟练运用二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 6．（24-25八年级下·云南昆明·期中）若是整数，则正整数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握是解答本题的关键． 根据若是整数，则是平方数求解即可． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴正整数n的最小值为． 故选：C 7．（24-25八年级下·广东珠海·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简．先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴可知：，，， ∴ ， 故选：B． 8．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知，化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 二、填空题 9．（23-24八年级下·广西河池·期末）化简： ＝ ． 【答案】2024 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟记“”是解题关键．直接利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：． 故答案为：2024． 10．（2022·河南商丘·一模）计算： 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的化简，零次幂的计算，掌握其运算法则是关键． 根据二次根式的化简，零次幂的计算方法计算，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：2 ． 11．（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）已知实数满足，则的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件、绝对值的化简以及方程的变形. 由二次根式有意义的条件可得出a的范围为，对方程去绝对值，整理得出. 【详解】解：由题意得：， ∴ ∴原方程可化为， ∴ ∴， ∴ 故答案为： 三、解答题 12．（24-25八年级下·山东济宁·期中）【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 【答案】(1)①  ② (2) 【分析】本题考查了符合二次根式的化简，勾股定理，掌握复合二次根式的化简方法是解答本题的关键． （1）①②根据复合二次根式的化简方法求解即可； （2）先由勾股定理求出，开方后利用复合二次根式的化简方法求解即可． 【详解】（1）解：①这里，，由于，， 即，   ． ②首先把化为， 这里，，由于，， 即，， ． （2）在中，由勾股定理得，， ， ，   ． 学科网（北京）股份有限公司 $$