题型十二 二次函数的实际应用 课件 2025年 中考数学一轮复习（河南专版）

题型十二 二次函数的实际应用 1 类型1 物体运动高度与时间的关系问题 1.将一个物体从地面竖直向上抛（不计空气阻力），有这样的关系式： ，其中是物体距离地面的高度，是初速度， 是重力加速度取， 是抛出后所经历的时间．圆圆用发射器 （发射器的高度忽略不计）将一个小球以 的初速度从地面竖直向上 抛． 2025河南中考专题 2 （1）当小球的高度为时，求时间 的值. 【答案】把，代入，得 . 当时， ， 解得， . 答：小球的高度为时，所用时间为或 . 2025河南中考专题 3 （2）小球的高度能达到 吗？请作出判断，并说明理由. 【答案】小球的高度不能达到 . 理由:把代入，得 ， 整理得 . ， 该方程无实数根， 故小球的高度不能达到 . 2025河南中考专题 4 （3）若方方在圆圆抛出小球之后将另一个完全相同的小球以相同的初速 度从地面竖直向上抛，这两个小球在某一时刻的高度均为 ，求圆圆 与方方抛球的时间差． 【答案】由题意可得 ， 解得， ， . 答：圆圆与方方抛球的时间差为 . 2025河南中考专题 5 类型2 抛物线形问题 2.掷实心球时，实心球的行进路线是抛物线的一部分.小林是一个数学爱好 者，他将自己某次掷实心球的过程用视频记录下来后，把实心球的行进路 线涂画于纸上，并以球的初始位置所在的竖直直线为 轴，脚所在的位置 为坐标原点 建立了平面直角坐标系（球的初始位置在脚的正上方），如 图所示. 小林将脱手后实心球的行进高度与水平距离 的相关数据记录如下： 0 1 2 3 4 … 1.75 3 3.75 4 3.75 … 2025河南中考专题 6 （1）求关于 的函数表达式. 【答案】易知抛物线的顶点为，抛物线与 轴的 交点为 . 设抛物线的表达式为 ， 将代入，得 ， 解得 ， 故抛物线的表达式为 . 2025河南中考专题 7 （2）①若小林掷实心球的场地为水平地面，则小林这次掷实心球的成绩 为___ . 7 ②经测量发现，小林掷实心球的场地为斜坡，且坡度为 （斜坡如图中 虚线所示），则小林这次的实际成绩是否超过 ？请说明理由. 2025河南中考专题 8 【答案】小林这次的实际测量成绩超过了 . 理由：斜坡所在的直线为 ，设该直线与抛物线在第四象限的交 点为 ， 令 ， 解得， （舍去）. ， 点的横坐标大于 , 故 ， 故小林这次的实际测量成绩超过了 . 2025河南中考专题 9 3.同学们在操场上进行铅球训练，小明尝试利 用数学模型研究铅球的运动情况,其运动路径可 看作抛物线，他以水平方向为 轴，单位长度 为 ，建立了如图所示的平面直角坐标系.小 明在投掷铅球时，铅球出手时铅球离地面的高度为 ，经测量，铅球 落地时，铅球离出手点的水平距离刚好是 ． 2025河南中考专题 10 （1）小明投掷的铅球运行的水平距离为 时，铅球达到最大高度， ①求该铅球运行路线所在抛物线的表达式； 2025河南中考专题 11 【答案】 铅球出手时铅球离地面的高度为 ， 可设抛物线的表达式为 . 由铅球运行的水平距离为 时，铅球达到最大 高度， 可知， ， . 将代入，得 , 解得， . 故抛物线的表达式为 . 2025河南中考专题 12 ②当铅球距出手点的水平距离为 时，求铅球距离地面的高度. 【答案】将代入，得 . 即铅球距出手点的水平距离为时，铅球距离地面的高度为 . 2025河南中考专题 13 （2）已知小红在投掷铅球时，铅球出手时铅 球离地面的高度和铅球落地时铅球离出手点的 水平距离均与小明相同，但小红投掷的铅球在 距出手点水平距离为 时达到最大高度.假 设铅球运行的水平距离相同时，小红投掷铅球时铅球的所在位置与小明投 掷铅球时铅球所在位置的高度差为，求 的最大值及此时铅球运行的 水平距离. 2025河南中考专题 14 【答案】根据题意可设小红投掷铅球时，铅球 运动轨迹所在抛物线的表达式为 ， 由题意知，该抛物线的对称轴为直线 ， 且该抛物线经过点 ， 则,, . 将代入，得 , 解得， ， 2025河南中考专题 15 则 . ， 当时， 取最大值，最大值为1.6. 答：的最大值为，此时铅球运行的水平距离为 . 2025河南中考专题 4.某游乐场的圆形喷水池中心 处有一个喷 水管，从喷头 处向四周喷水，喷出的水 流为抛物线形，且形状相同，其某一截面示 意图如图所示，， 为水流的落水点 （点,,在同一水平线上）.喷水口 可竖直上下移动，移动时抛物线形 水流随之竖直上下移动（抛物线的形状不变）.以为原点， 所在直线 为 轴建立平面直角坐标系，第一象限的水流所在抛物线的函数表达式为 ． 2025河南中考专题 17 （1）若,求落水点， 之间的距离. 【答案】， . 将代入 , 得 . 令，解得, , , . 故落水点，之间的距离为 . 2025河南中考专题 18 （2）现计划在上的点处放置雕塑.已知， ， ，水池的半径为 .若要使喷出的水流落在水池内且雕塑位于水 流下方，求 的取值范围. 2025河南中考专题 19 【答案】由对称的性质，得第二象限的水流所 在抛物线的函数表达式为 . 将代入，得 . 将代入，得 . 分析可知，若要使喷出的水流落在水池内且雕 塑位于水流下方，则需使 . 2025河南中考专题 20 5.新情境 模拟火箭的运行过程16世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙 出水”（如图（1））,它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线, 当火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行. 2025河南中考专题 21 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图（2）,以发射点为原点,地 平线为轴,垂直于地面的直线为 轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线 和直线.其中,当火箭运行的水平距离为 时,自 动引发火箭的第二级. 图（1） 图（2） 2025河南中考专题 22 （1）若火箭第二级的引发点的高度为 , ①直接写出, 的值. 【答案】， . 【解析】解法提示： 火箭第二级的引发点的高度为 ， 抛物线和直线均经过点 ， ， , ， ． 2025河南中考专题 23 ②火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 ,求 这两个位置之间的距离. 【答案】由①知，直线，抛物线 ， ， 当时，取得最大值，为 . . 2025河南中考专题 24 令，解得（不符合题意，舍去）， （易错点：根据题意，抛物线上的点的横坐标满足 ）. 令，解得 . ， 这两个位置之间的距离为 ． . . 2025河南中考专题 25 （2）直接写出 满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过 . 【答案】 ． 2025河南中考专题 26 【解析】解法提示：把代入，得 ， 火箭第二级的引发点为 . 将代入，得 ， . 令,解得 . 由题意，得，解得 ， ． 2025河南中考专题 27 类型3 利润问题 6.每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享 美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售.根据市场 调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天 可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润 不低于180元.设每辆轮椅降价元，每天的销售利润为 元. （1）求与 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最 大?最大利润为多少元? 2025河南中考专题 28 【答案】由题意，得 . 每辆轮椅的利润不低于180元， ， . ,对称轴为直线 ， 当时，随 的增大而增大， 当时，最大，最大值为 . 答：与的函数关系式为 ；每辆轮椅降价20元 时，每天的销售利润最大，最大利润为12 240元. 2025河南中考专题 29 （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了 多少辆轮椅? 【答案】当时， ， 解得， （不合题意，舍去）. （辆）. 答：这天售出了64辆轮椅． 2025河南中考专题 30 7.某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销 售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额 （万元）与 销售量（吨）的函数解析式为；成本 （万元）与销售量 （吨）的函数图象是如图所示 的抛物线的一部分，其中 是其顶点． 2025河南中考专题 31 （1）求出成本关于销售量 的函数解析式. 【答案】， 为抛物线的顶点， 可设抛物线的函数解析式为 （点拨：顶点式）. 将代入 ， 得， ， 抛物线的函数解析式为 . . . 2025河南中考专题 32 （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ 【答案】当时， 最小，最小值为1.75万元. 对于，当时， ， 此时 . 答：成本最低时，所获利润为0.75万元. 2025河南中考专题 33 （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大 利润是多少？ （注：利润 销售额-成本） 2025河南中考专题 34 【答案】设当销售量为吨时，利润为 万元. 则 . ， 时， 取最大值，最大值是7. 答：当销售量为3吨时，可获得最大利润，最大利 润是7万元． 2025河南中考专题 35 8.某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售,经市场调查发现:销售单 价不低于进价时,日销售量（单位：盒）与销售单价 （单位：元）是一 次函数关系,下表是与 的几组对应值. 销售单价 元 … 12 14 16 18 20 … 日销售量 盒 … 56 52 48 44 40 … 2025河南中考专题 36 （1）求与 的函数表达式. 【答案】设与的函数表达式为 . 把， 分别代入， 得解得 与的函数表达式为 . 2025河南中考专题 37 （2）当糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大利润是多少? 【答案】设日销售利润为 元， 根据题意，得 ， 当时， 有最大值，最大值为450. 答：当糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元. 2025河南中考专题 38 （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 元的礼 品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元,求 的值. 【答案】设日销售利润为 元， 根据题意，得 ， 2025河南中考专题 39 当时， 有最大值，为 ， 令 ， 化简得 ， 解得， ， 当时，, , 的值为 2025河南中考专题 40 类型4 面积问题 9.某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙 （墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块 （如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米． （1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； 2025河南中考专题 41 【答案】设花园平行于墙的一边长为米，面积为 平方米，则垂直于墙的 一边长为 米， ， 当时，有最大值，最大值是 ， 此时 . 答：当花园平行于墙的一边长为60米时，花园面积最大，最大面积为 1 200平方米． 2025河南中考专题 42 （2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平 方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购 买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹. 2025河南中考专题 43 【答案】设种植牡丹的面积为平方米，则种植芍药的面积为 平方米， 由题意可得 ， 解得 ，即牡丹最多种植700平方米， （株）. 答：最多可以购买1 400株牡丹． 2025河南中考专题 44 10.如图,某校劳动实践基地用总长为 的栅栏,围 成一块一边靠墙的矩形实验田,墙长为 .栅栏在 安装过程中不重叠、无损耗.设矩形实验田与墙垂直 的一边长为（单位:）,与墙平行的一边长为 （单位:）,面积为（单位: ）. （1）直接写出与,与之间的函数解析式（不要求写 的取值范围）. 【答案】， . 【解析】解法提示：由题意，得 , ， . 2025河南中考专题 45 （2）矩形实验田的面积能达到吗?如果能,求 的值;如果不能,请说 明理由. 2025河南中考专题 46 【答案】矩形实验田的面积能达到 . 令，则 ， 整理,得 ， 解得, . 墙长为 （易错点：易忽略墙长这一条件）， ， ， 解得 ， . . . 2025河南中考专题 47 （3）当的值是多少时,矩形实验田的面积 最大?最大面积是多少? 【答案】 . , , 当时，取得最大值，此时 ， 即当时，最大,最大面积是 . 2025河南中考专题 48 $$