题型十一 二次函数的图象与性质 课件2025年 中考数学复习 （河南专版）

题型十一 二次函数的图象与性质 1 类型1 增减性、最值、范围问题 1.在平面直角坐标系中，已知抛物线 . （1）当 时，求抛物线的顶点坐标； 【答案】把代入，得 ， 抛物线的顶点坐标为 . 2025河南中考专题 2 （2）已知和是抛物线上的两点,若对于 ， ，都有，求 的取值范围. 【答案】抛物线的对称轴为直线 , 点关于对称轴的对称点为 . 分两种情况讨论. 图（1） ①当 时，如图（1）. ， 点在点右侧，即 ， 解得， . 2025河南中考专题 3 ②当 时，如图（2）. 图（2） ， ，解得 . 综上可知，的取值范围为或 ． 2025河南中考专题 4 2.如图，已知抛物线与 轴交于点 ,,与轴交于点 . （1）求抛物线的表达式及其顶点坐标. 【答案】将,分别代入 ， 得解得 抛物线的表达式为 . , 抛物线的顶点坐标为 . 2025河南中考专题 5 （2）若点是抛物线上一动点，当抛物线上点,之间的部分（含点, ） 的高度（最高点和最低点的纵坐标之差）为6时，求点 的坐标. 2025河南中考专题 6 【答案】对于，当时， , . ， 当抛物线上点, 之间的部分的高度为6时，分两种 情况讨论. 设点的横坐标为，则点的纵坐标为 . ①当点位于轴左侧时， , 解得（舍去）, ， , . 2025河南中考专题 7 ②当点位于轴右侧时， , 解得, （舍去）， . 综上可知，点的坐标为或 . 2025河南中考专题 （3）若点,在该抛物线上，且 ，请直接写 出 的取值范围. 【答案】 . 2025河南中考专题 9 【解析】解法提示：对于， ， 离抛物线对称轴越远的点纵坐标越大. 点,在抛物线上，且 ， 的中点在抛物线的对称轴（直线 ）右侧 （提示：利用数形结合思想分析）， ，解得 . . . 2025河南中考专题 10 3.如图，抛物线与 轴交于点 ，（点在点左侧），且顶点为 . （1）求点的坐标（用含 的式子表示）. 【答案】将点代入 ，得 , , , . 2025河南中考专题 11 （2）已知矩形的顶点,分别在轴,轴上，点的坐标为 ． ①当的中点落在直线上时，求点 的坐标； 2025河南中考专题 12 【答案】, , 中点的纵坐标为 . 的中点在直线 上， ， 解得（舍去）， , 点的坐标为 . 2025河南中考专题 13 ②当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值随 的增大而增大时，请直接 写出 的取值范围． 【答案】或 . 【解析】解法提示：当抛物线过点时，，解得 . 当点在轴上时，，即 . 当抛物线过点时，如图（1），，解得 . 当抛物线过点 时，如图（2）， ,解得 . 分析可知，的取值范围为或 . 2025河南中考专题 14 类型2 交点、整点问题 4.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点 ． （1）点 的坐标是______,抛物线的对称轴是__________； 直线 2025河南中考专题 15 （2）当时，的最大值为2，求 的值； 【答案】 , 抛物线的顶点坐标是 . 分两种情况讨论. ①当 时，抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越远，纵坐标越大， 当时，在时， 取最大值， ,解得 . 2025河南中考专题 16 ②当时，易知当时，取最大值 ， ,解得 . 综上可知，的值为或 . 2025河南中考专题 17 （3）已知点，．若线段 与抛物线只有一个公共点， 求 的取值范围． 【答案】设抛物线上点关于直线的对称点为 , 则 . 又 ， 点,, 在同一条直线上. 当线段 与抛物线只有一个公共点时，分两种情况讨论. 2025河南中考专题 18 ①若，则当点在点左侧（含点）或在点右侧（含点 ）时，符 合题意， 或 ， . ②若，则当点在线段上（含点,不含点 ）时，符合题意， ， . 综上可知，的取值范围为或 . 2025河南中考专题 19 5.在数学实践活动课上，小明在白纸上画了一条形状 与抛物线相同的抛物线 ，并在一张透明胶片 上画了一个平面直角坐标系，在坐标系中画了线段 点，的坐标分别为， .小明将胶片覆 盖在白纸上，使抛物线的对称轴与直线 重合， 抛物线与轴交于点 ，如图. 2025河南中考专题 20 （1）求此时抛物线 的表达式. 【答案】 抛物线的对称轴与直线 重合， 抛物线 顶点的横坐标为2. 又 抛物线与抛物线 的形状相同， 可设抛物线的表达式为 ， 将代入，得 ， 解得 . 故抛物线的表达式为 . 2025河南中考专题 21 （2）保持纸片不动，将胶片先向左平移1个单位长 度，再向下平移 个单位长度. ①平移后，抛物线 的顶点坐标为__________. （用含 的代数式表示） 【解析】解法提示：保持纸片不动，将胶片向左平 移1个单位长度，再向下平移 个单位长度，相当于 保持胶片不动，将抛物线 向右平移1个单位长度， 再向上平移个单位长度，故平移后抛物线的顶点坐标为 . 2025河南中考专题 22 ②若平移后，抛物线与线段有且只有一个交点，求 的取值范围. 【答案】易知平移后，抛物线的对称轴为直线 ，表达式为 . 当抛物线的顶点落在线段 上时，如图（1）， 则，解得 . 图（1） 2025河南中考专题 23 当抛物线经过点时，如图（2），此时抛物线与线段 有两个交点， 将代入，得 ， 解得 . 图（2） 2025河南中考专题 24 图（3） 当抛物线经过点时，如图（3），此时抛物线 与线段 只有一个交点， 将代入，得 ， 解得 . 分析可知，当或时，抛物线与线段 有 且只有一个交点. 2025河南中考专题 25 6.已知函数 的图象过点 ， ． （1）直接写出函数 的表达式； 【答案】 . 2025河南中考专题 26 【解析】解法提示：将， 分别代入 ， 得解得 故该函数的表达式为 . 2025河南中考专题 27 （2）如图，请补全分段函数 的图象（不要求列 表），并回答以下问题. 【答案】如图（1）所示： 图（1） 2025河南中考专题 28 ①写出此分段函数的两条性质： 【答案】此函数的图象关于点成中心对称；当时，随 的 增大而减小.（答案不唯一，写出两条即可） 2025河南中考专题 29 ②若此分段函数的图象与直线有三个公共点，则 的取值范围为____________. ③已知点，，若线段 与此分段函数的图象有两个交点， 则 的取值范围为__________________. 或 2025河南中考专题 30 （3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若直线 与该分段函数围成的封闭区域内 （不含边界）的整点有7个，请直接写出 的取值范 围． 【答案】 . 2025河南中考专题 31 图（2） 【解析】解法提示：易知直线 恒过点 . 当直线经过点 时，如图（2），此 时封闭区域内的整点有6个， . 2025河南中考专题 32 图（3） 当直线经过点 时，如图（3），此时 封闭区域内的整点有7个， . 综上，当封闭区域内的整点有7个时， 的取值范围为 . 2025河南中考专题 33 7.如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线 （，是常数）交轴于点，，交轴于点， 为抛物线的顶 点． 2025河南中考专题 34 （1）求该抛物线对应的函数表达式及点 的坐标． 【答案】 抛物线交 轴于点 ， .将代入 ， 得，解得 ， 该抛物线对应的函数表达式是 . ， . 2025河南中考专题 35 （2）点为抛物线上一动点，设点 的横坐标为 . 2025河南中考专题 36 ①连接，，当时，求 的值； 【答案】， 关于抛物线的对称轴直线 对称， ， . 设直线的表达式为 ， 将， 分别代入，得 2025河南中考专题 解得 故直线的表达式为 . ， 可设直线 的表达式为 （提示：两直线平行，“ ”值相 等）， 将代入，得 ， . . . . 2025河南中考专题 故直线的表达式为 . 由方程组 得 ， 解得， ， . 2025河南中考专题 ②当点在抛物线的对称轴左侧时，以点 为 中心，构造正方形，且在 轴上 （点在点的下方，点在点 的下方），如 图（2），若正方形的边 与抛物线有 且只有一个公共点，直接写出 的取值范围. 【答案】的取值范围为或 . 2025河南中考专题 40 【解析】解法提示： 当边经过点时，如图（1），过点 作 于点，则， ， ， 解得， （舍去）， . 2025河南中考专题 41 当点与点 重合时，如图（2），过 点作于点，则 ， ， 解得（舍去）， ， . 分析可知，当或时，正方形的边 与抛物线 有且只有一个公共点. 2025河南中考专题 42 类型3 其他问题 8.新情境 与二次函数图象相关的动画小明设计了一个 动画：如图，，，点从点 出发，以每 秒1个单位长度的速度向右运动，点同时从点 出发， 在点的正下方沿抛物线 运动.设 运动时间为秒.已知当时，, 第一次相遇． 2025河南中考专题 43 （1）求抛物线 的表达式． 【答案】由题意知，抛物线， 的交点坐标为 . 将，分别代入 ， 得解得 抛物线的表达式为 . 2025河南中考专题 44 （2）当，相遇后，点 的运动方式保持不变，点 沿与抛物线形状相同的抛物线运动，且点 仍 在点 的正下方.两点再次相遇时同时停止运动．已 知当时，点运动到抛物线 的最低点. 2025河南中考专题 45 ①求在整个运动过程中，点， 之间的距离 不超过3的时间. 【答案】设抛物线的表达式为 ， 当时，点运动到抛物线 的最低点， ， . 把代入，得 ， 解得 ， 抛物线的表达式为 . 2025河南中考专题 46 根据抛物线的对称性可知，当点， 再次相遇时， 点 的横坐标为9. 当点，之间的距离为3时，设点的横坐标为 . 当点在抛物线上时， ， 解得, . 当点在抛物线上时， ， 解得, . 分析可知，在整个运动过程中，点， 之间的距离 不超过3的时间为 （秒）. 2025河南中考专题 ②，运动结束后，小明发现屏幕上有一个黑点 （位置固定）刚好在平面直角坐标系 的位置上. 他将坐标系向下平移个单位长度（抛物线， 随 之移动），使点落在或 上，直接写出符合条 件的 的值． 【答案】 的值为1或11． 解法提示：将点向上平移 个单位长度，对 应点的坐标为 . 将代入，可求得 ; 将代入，可求得 . 故 的值为1或11. 2025河南中考专题 48 9.如图，已知抛物线与轴交于， 两点，与轴交于点，其对称轴为直线 ． （1）求抛物线的表达式. 【答案】 抛物线与轴交于点 ， . 抛物线的对称轴为直线 ， ， ， 抛物线的表达式为 . 2025河南中考专题 49 （2）作直线，动点在轴上方的抛物线上（不与点 重 合），过点作于点.设点的横坐标为 , . 2025河南中考专题 50 ①求关于的函数表达式，并写出 的取值范围. 【答案】令，得 , 解得, , . 设直线的表达式为 ， 把点，的坐标分别代入，得 解得 . 2025河南中考专题 过点作轴，交于点 , ， ， , ,, . 易知，则 . 分两种情况讨论. 当点在直线的上方，即 时， . 当点在直线的下方，即 时， . 2025河南中考专题 ②已知对于的不同取值，点的个数情况不一.当对于每个 的取值，均有三个点与其对应时，请直接写出 的取值范 围. 【答案】 . 2025河南中考专题 53 【解析】解法提示：当 时， ， 故当时， 取最大值，最大值为4. 当时,, 随 的增大而增大，此时 . 画出①中与 的函数关系的图象，如图所示. 由图象可知，当时，对于每个 的取值， 均有三个的值与其对应，故均有三个点 与其对应. 2025河南中考专题 54 $$