拓展03 平面向量中范围（最值）问题4考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册）

【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题03 平面向量中范围（最值）问题 4考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，平面向量的范围（最值）问题是向量模块的核心考点之一，常与三角函数、不等式、解析几何等知识交汇命题。这类问题以向量的数量积、模长、夹角等基本运算为载体，要求学生通过代数变形、几何意义转化或函数思想求解变量的范围或最值，综合考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力及数形结合思想。 【处理角度】 1. 代数角度：通过向量的坐标运算将问题转化为代数表达式，利用函数（如二次函数、三角函数）的性质、基本不等式或方程思想求解。 2. 几何角度：借助向量的几何意义（如向量的模对应线段长度、数量积对应投影等），结合几何图形的性质（如圆、三角形、坐标系）进行直观分析。 3. 综合角度：融合代数与几何方法，通过建立坐标系、引入参数或利用向量的线性运算（如基底表示）将复杂问题分解为可求解的子问题。 【解法策略】 1. 用三角函数性质求最值 适用题型：涉及向量夹角、模长与角度关联的问题，或可通过几何图形构造三角函数关系的题目。 策略分析： ①利用向量数量积公式将目标表达式转化为含三角函数的式子（如含正弦、余弦的线性组合）。 ②通过三角恒等变换（如和角公式、辅助角公式）将表达式化简为标准正弦型函数，再利用三角函数的有界性求最值。 2. 用不等式的性质求最值 适用题型：涉及向量模长的和、差、积，或数量积的范围问题，可通过绝对值不等式、向量不等式或柯西不等式求解。 策略分析： ①利用向量模长的三角不等式直接确定模长的范围。 ②通过平方运算将向量表达式转化为数量积形式，结合已知条件（如向量模长、夹角）利用不等式放缩求解最值。 3. 用基本不等式求最值 适用题型：目标表达式可转化为两个向量模长的乘积、数量积与模长的组合，或满足 “和为定值”“积为定值” 条件的问题。 策略分析： ①对向量表达式进行代数变形（如拆分、重组），构造出符合基本不等式的形式。 ②注意验证等号成立的条件（如向量共线、夹角为特定值），确保最值的可行性。 4. 用二次函数的性质求最值 适用题型：目标表达式为向量坐标的二次式，或可通过参数化（如设动点坐标、引入比例参数）转化为二次函数的问题。 策略分析： ①建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将目标表达式转化为关于某个变量的二次函数。 ②利用二次函数的图象与性质（如开口方向、对称轴、区间端点值）求最值，注意变量的取值范围（如参数的几何意义限制）。 考点1 用三角函数性质求最值 1．（2024高二·贵州月考）在平面四边形中，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高二·浙江月考）已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是 ；最小值是 ．    3．（2025高三·黑龙江哈尔滨月考）已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2025高二·重庆·期中）在中，，，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 考点2 用不等式的性质求最值 5．（2025高三·全国月考）已知向量满足，，，若向量c满足，则的取值范围是 . 6．（2025高一·湖南长沙月考）如图，在中，，，，D为线段的中点，，E为线段的中点，F为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ）    A． B．5 C．3 D．4 7．（2025高三·全国月考）在矩形中，，，动点在以点为圆心，且与相切的圆上，则的取值范围为 ． 8．（2025高一·浙江杭州月考）已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围 . 9．（2025高一·内蒙古呼和浩特·期末）已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点3 用基本不等式求最值 10．（2025·全国·模拟预测）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F分别为BD，DC的中点，若AD=1，则的最大值为 ． 11．（2025高一·浙江杭州月考）已知平面向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．（2025高二·江西月考）已知向量，，满足，，，则向量与夹角的正切值的最大值为 . 13．（2025·北京·模拟预测）平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·福建泉州·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 考点4 用二次函数的性质求最值 15．（2025高三·天津南开·期末）在中，为线段上一点.，则 ；若在线段上运动，则的取值范围是 . 16．（2025·湖北·模拟预测）已知非零平面向量，满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 17．（2025高三·河南周口月考）如图，在矩形中，，点为边上的任意一点（包含端点），为线段的中点，则的取值范围是 ． 18．（2025高三·辽宁锦州·期末）平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2025高一·湖南邵阳·期末）已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·湖南衡阳·期末）是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．-2 3．（2025高三·天津河东·期末）在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 4．（2025高一·北京·期中）中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 5．（2025高一·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 6．（2025高一·福建泉州·期中）如图所示的四边形中，是等边三角形，是边的中线延长线上一点，，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（   ）    A． B． C． D． 7．（2025高一·天津·期中）在中，且的最小值为3，则 ，若点分别为线段与线段上的动点，且线段交中线于的面积为面积的一半，则的取值范围是 . 8．（2025高一·浙江温州·期中）已知正三角形的边长为4，设点是以边为直径的圆上的动点，则的最大值为 . 9．（2025高一·湖北武汉月考）如图，在梯形中，，，，在线段BC上（含端点），则的取值范围为 . 10．（2025高一·湖南邵阳·期中）已知圆的半径为为圆的弦，弦长为圆上任意一动点，则的取值范围是 . 11．（2025高一·贵州黔南·期中）在中，，为所在平面上一动点，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（2025高一·安徽安庆·期中）已知四边形中，，点在四边形的四条边上运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 13．（2025高一·福建莆田月考）如图，在边长为2的菱形中.    (1)求； (2)若E为对角线上一动点.连结并延长，交于点F，连结，设.当λ为何值时，可使最小，并求出的最小值. 14．（2025高一·江苏无锡·期中）如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点.    (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围. 15．（2025高一·辽宁沈阳月考）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 16．（2025高一·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 拓展03 平面向量中范围（最值）问题 4考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，平面向量的范围（最值）问题是向量模块的核心考点之一，常与三角函数、不等式、解析几何等知识交汇命题。这类问题以向量的数量积、模长、夹角等基本运算为载体，要求学生通过代数变形、几何意义转化或函数思想求解变量的范围或最值，综合考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力及数形结合思想。 【处理角度】 1. 代数角度：通过向量的坐标运算将问题转化为代数表达式，利用函数（如二次函数、三角函数）的性质、基本不等式或方程思想求解。 2. 几何角度：借助向量的几何意义（如向量的模对应线段长度、数量积对应投影等），结合几何图形的性质（如圆、三角形、坐标系）进行直观分析。 3. 综合角度：融合代数与几何方法，通过建立坐标系、引入参数或利用向量的线性运算（如基底表示）将复杂问题分解为可求解的子问题。 【解法策略】 1. 用三角函数性质求最值 适用题型：涉及向量夹角、模长与角度关联的问题，或可通过几何图形构造三角函数关系的题目。 策略分析： ①利用向量数量积公式将目标表达式转化为含三角函数的式子（如含正弦、余弦的线性组合）。 ②通过三角恒等变换（如和角公式、辅助角公式）将表达式化简为标准正弦型函数，再利用三角函数的有界性求最值。 2. 用不等式的性质求最值 适用题型：涉及向量模长的和、差、积，或数量积的范围问题，可通过绝对值不等式、向量不等式或柯西不等式求解。 策略分析： ①利用向量模长的三角不等式直接确定模长的范围。 ②通过平方运算将向量表达式转化为数量积形式，结合已知条件（如向量模长、夹角）利用不等式放缩求解最值。 3. 用基本不等式求最值 适用题型：目标表达式可转化为两个向量模长的乘积、数量积与模长的组合，或满足 “和为定值”“积为定值” 条件的问题。 策略分析： ①对向量表达式进行代数变形（如拆分、重组），构造出符合基本不等式的形式。 ②注意验证等号成立的条件（如向量共线、夹角为特定值），确保最值的可行性。 4. 用二次函数的性质求最值 适用题型：目标表达式为向量坐标的二次式，或可通过参数化（如设动点坐标、引入比例参数）转化为二次函数的问题。 策略分析： ①建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将目标表达式转化为关于某个变量的二次函数。 ②利用二次函数的图象与性质（如开口方向、对称轴、区间端点值）求最值，注意变量的取值范围（如参数的几何意义限制）。 考点1 用三角函数性质求最值 1．（2024高二·贵州月考）在平面四边形中，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出四边形的外接圆，结合圆的几何性质转化所求数量积，利用基本不等式求最值. 【解析】如图，    由题意知，为四边形外接圆的直径，由可知， ，设， 所以垂直平分于点, 由正弦定理，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用所给条件恰当转化，利用已知及角转化为三角函数式子求最值，变形后利用基本不等式得最值，本题思路比较难寻，需要一定创造力. 2．（2025高二·浙江月考）已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是 ；最小值是 ．    【答案】 【分析】构建直角坐标系且，令，则，利用向量线性关系的坐标表示得到，结合三角恒等变换及三角函数的性质求的最大值，应用数量积的坐标表示及三角恒等变换及三角函数的性质求的最小值. 【解析】由题设，构建如下图示的直角坐标系，且， 若，则， ，，， 由，得， 即，，解得， 故， 所以，当时，，    所以时，取得最小值是. 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：根据题设构建合适坐标系，应用坐标法及三角恒等变换、三角函数的性质求对应表达式的最值. 3．（2025高三·黑龙江哈尔滨月考）已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值. 【解析】可设，，， 则. 可设：，则 . 故选：B 【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些. 4．（2025高二·重庆·期中）在中，，，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用余弦定理与正弦定理可得、、，再借助向量线性运算及模长与数量积的关系可用、表示出，再利用三角形内角和与三角恒等变换公式可将表示为正弦型函数，再结合的范围计算即可得解. 【解析】由，，则，， 在中，有， 即，即， 有， 故，， ， 则 ， 其中，， 则当，即时，有最大值， 由，则，由，则， 故可取，故有最大值. 故选：D 【点睛】思路点睛：求三角形有关代数式最值是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 考点2 用不等式的性质求最值 5．（2025高三·全国月考）已知向量满足，，，若向量c满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过已知条件先求出的值，再利用绝对值不等式来确定的取值范围，进而得到的取值范围. 【解析】由，，，得， 又，即,.即， 即 故答案为：. 6．（2025高一·湖南长沙月考）如图，在中，，，，D为线段的中点，，E为线段的中点，F为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ）    A． B．5 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，表示各点坐标，利用平面向量的线性运算表示向量，结合平面向量的数量积运算，即可得. 【解析】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，    由题意，，，， 设，（）， 设，（）， 由，则，， ， ， 解得，则， ，， 又， ， 因为，所以， 的最大值为，的最小值为， 的最大值与最小值的差为：4 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的坐标表示，向量的数量积平面向量数量积的坐标运算，关键是由，得出M坐标，结合平面向量的数量积运算即可. 7．（2025高三·全国月考）在矩形中，，，动点在以点为圆心，且与相切的圆上，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，可得圆的方程为，设，根据的范围结合平面向量数量积的坐标运算可得结果. 【解析】 如图，以为原点建立平面直角坐标系，则， ∴，， ∴直线方程为，即， ∴点到直线的距离为，即圆的半径为， ∴圆的方程为， 设，由点在圆上可得， ∵， ∴， 由得，，即的取值范围为. 故答案为：. 8．（2025高一·浙江杭州月考）已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围 . 【答案】 【分析】根据已知及数量积的运算律求得，，，再应用数量积的夹角公式求的范围. 【解析】由， 所以，故， 又，， 所以 ，而，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据已知得到为关键. 9．（2025高一·内蒙古呼和浩特·期末）已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题意结合平面向量基本定理可得，， 设，且，由，整理得，结合进而可得结果. 【解析】设，即， 可得， 因为， 即， 整理可得，且不共线， 则，解得， 即，， 又因为点在内（不含边界），设，且， 可得， 则 可得，可得， 且，可得， 所以的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 1.设，根据题意结合平面向量基本定理可得； 2.根据三角形可设，且，用表示，即可得结果. 考点3 用基本不等式求最值 10．（2025·全国·模拟预测）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F分别为BD，DC的中点，若AD=1，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由平面向量的加法法及平面向量的基本定理得、、都可用基底、表示，将左右平方后所得式子与重要不等式联立可得，将、代入中计算即可. 【解析】设AC=b，AB=c， 则， ∵D为边BC的中点， ∴， ∴，即：，① 又∵，当且仅当时取等号. ② ∴由①②得：. 又∵E、F分别为BD、DC的中点， ∴，， ∴，当且仅当时取等号. ∴的最大值为. 故答案为：. 11．（2025高一·浙江杭州月考）已知平面向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据条件可得，表示，利用基本不等式可得最大值. 【解析】不妨设， ∴， ∵，∴，即， ∴. ∵，，当且仅当时取等号， ∴的最大值为. 故选：B. 12．（2025高二·江西月考）已知向量，，满足，，，则向量与夹角的正切值的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意可知，由可得，再利用向量数量积公式即可求得，根据三角函数单调性即可求得夹角正切值的最大值为. 【解析】由，可知，且； 将两边同时平方可得，即， 整理得， 设向量与的夹角为，则， 而，所以 当且仅当时等号成立，所以夹角； 根据正切函数单调性可得， 即向量与夹角的正切值的最大值为. 故答案为： 13．（2025·北京·模拟预测）平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，则，设，，，根据均值不等式计算最值，再利用同角三角函数关系得到答案. 【解析】如图所示：设，，则，设，，， ， 当，即时等号成立，故， 当最小时，最大， 故与夹角的正弦值的最大值为. 故选：B 14．（2025·福建泉州·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，，由已知可得，由向量的加法和模的坐标运算结合基本不等式求解即可. 【解析】在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，， 则，，， 所以， 当且仅当时等号成立， 因此，的最小值为2. 故选：C. 考点4 用二次函数的性质求最值 15．（2025高三·天津南开·期末）在中，为线段上一点.，则 ；若在线段上运动，则的取值范围是 . 【答案】 / 【分析】根据三点共线的知识来求得，设，利用向量数量积运算求得的表达式，然后根据二次函数的性质来求得 【解析】依题意，， 所以， 由于三点共线，所以. 因为，且，所以. 设. 由向量减法的三角形法则可得. 那么. . 已知，，，根据向量数量积公式（为与的夹角）， 可得. 展开得： ， 把，，代入上式： ， 展开并整理： ， 合并同类项得. 令，，这是一个二次函数，二次项系数， 图象开口向上，对称轴为. 当时，取得最小值，. 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 故答案为：； 16．（2025·湖北·模拟预测）已知非零平面向量，满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】把给定的条件两边平方，利用平面向量数量积的运算性质，转化为的不等式，再结合基本不等式可求解. 【解析】设非零向量，的夹角为， ∵， ∴， 将两边同时平方， 得， ∵，∴， 即， 即， ∵，∴， ∴当时，取得最小值，为8. 故选：C 17．（2025高三·河南周口月考）如图，在矩形中，，点为边上的任意一点（包含端点），为线段的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，应用坐标法求向量的数量积，结合相关函数的性质求数量积的范围. 【解析】以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，设， 所以，， 所以，又， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 18．（2025高三·辽宁锦州·期末）平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，设，把的取值范围转化为求二次函数的值域问题，即可求得本题答案. 【解析】作，垂足为，以点为原点，所在直线为轴，轴建立如下图的平面直角坐标系. 因为，而,所以， 在直角中，因为，，所以，， 则，设， 所以， 所以， 因为二次函数开口向上，对称轴为，且， 所以当时，取最小值，当时，取最大值， 所以的取值范围是. 故选：C 1．（2025高一·湖南邵阳·期末）已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，利用平方运算得，建立平面直角坐标系，根据图形的几何性质可得，将代入即可求得最大值. 【解析】因为，，设， 则，即，解得， 建立平面直角坐标系，如图所示． 设，，， 则，，，，， 因为，所以， 则， 所以的最大值为． 故选：C． 2．（2025高一·湖南衡阳·期末）是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．-2 【答案】B 【分析】设的中点为的中点为E，则可表示为，进而可得答案. 【解析】设的中点为的中点为E， 则有 ， 则 ， 而 而 ，， 故当P与E重合时， 有最小值 ， 所以的最小值为， 故选：B. 3．（2025高三·天津河东·期末）在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，求出各边长，建立平面直角坐标系，得到，求出，设，，故，求出，故，从而得到最小值. 【解析】过点作⊥于点， 因为等腰梯形中，， 所以，由勾股定理得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 是腰的中点，故， 所以， 设，，， 则，故，， 故， ， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：， 4．（2025高一·北京·期中）中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】分析得到为的中点，⊥，，数形结合得到当重合时，取得最小值，求出最小值. 【解析】，故为的中点， ，故⊥，， ，故三点共线， ，故当两点重合时，取得最小值， 最小值为. 故选：C 5．（2025高一·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【解析】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系. 则， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是8. 故选：C 6．（2025高一·福建泉州·期中）如图所示的四边形中，是等边三角形，是边的中线延长线上一点，，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，即BC⊥CD，因为图形对称，所以只考虑E在边BC，CD上的运动情况即可，在两种情况下，利用向量共线表示出，利用数量积即可得到最值. 【解析】由题知，AC⊥BD，且，故点E在四边形ABCD上运动时，只需考虑点E在边BC，CD上的运动情况即可， 又， 所以，即，则， ①当点E在边BC上运动时，设，则， 所以； ②当点E在边CD上运动时，设，则， 所以. 综上，的取值范围为， 综上所述，其最小值为. 故选：C. 7．（2025高一·天津·期中）在中，且的最小值为3，则 ，若点分别为线段与线段上的动点，且线段交中线于的面积为面积的一半，则的取值范围是 . 【答案】 / 【分析】①令，，的中点为Q，则，求得，即可得 ②利用平面向量的共线定理结合基底表示数量积，转化为函数求最值即可. 【解析】①令，， 则， 即， 所以，即点在直线上. 设的中点为Q，因为，所以 因为，， ∴ 所以 ②设，由向量共线的充要条件不妨设 则 又 则，即， 又的面积为面积的一半，得,∴ 所以，. 由①得， . 解得，∴ 所以. 故答案为：①##；②. 8．（2025高一·浙江温州·期中）已知正三角形的边长为4，设点是以边为直径的圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】12 【分析】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，边为直径的圆为，设，则，根据余弦函数的最值可得解. 【解析】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系， 因为正三角形的边长为4， 则， 以边为直径的圆为，设， 则， 所以 ， 因为，所以的最大值为12. 故答案为：12 9．（2025高一·湖北武汉月考）如图，在梯形中，，，，在线段BC上（含端点），则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用可求得，建立平面直角坐标系设得出的面积表达式，结合二次函数性质求得结果. 【解析】由，可得， 则 ， 可得， 又，所以， 过点作，垂足为，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向， 建立平面直角坐标系，如下图所示： 则，所以，； 设，则， 可得， 所以 ， 显然当时，取得最小值为，当时，取得最大值15； 因此的取值范围为. 故答案为： 10．（2025高一·湖南邵阳·期中）已知圆的半径为为圆的弦，弦长为圆上任意一动点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】取的中点，连接、，根据数量积的运算律得到，再求出即可求出的范围，从而得解. 【解析】取的中点，连接、， 则 ， 又， 所以，， 即， 所以，． 故的取值范围为． 故答案为： 11．（2025高一·贵州黔南·期中）在中，，为所在平面上一动点，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在以为圆心，1为半径的圆上，建立平面直角坐标系，设，，表达出，其中，求出最值，得到答案. 【解析】为所在平面上一动点，且， 所以在以为圆心，1为半径的圆上， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 故，设，， 则 ，其中， 故当时，取得最小值，最小值为-12， 当时，取得最大值，最大值为14， 故的取值范围为. 故选：B 12．（2025高一·安徽安庆·期中）已知四边形中，，点在四边形的四条边上运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意分析可知四线性关于直线对称，且，只需考虑点在边上的运动情况即可，然后分类讨论求出的最小值. 【解析】如图所示，因为，且，所以垂直且平分， 则为等腰三角形，又，所以为等边三角形. 则四边形关于直线对称，故点在四边形的四条边上运动时，只需考虑点在边上的运动情况即可， 因为，易知，即，则， ①当点在边上运动时，设， 则， 所以，当时，的最小值为； ②当点在边上运动时，设， 则， 所以，当时，的最小值为； 综上，的最小值为， 故选：C . 13．（2025高一·福建莆田月考）如图，在边长为2的菱形中.    (1)求； (2)若E为对角线上一动点.连结并延长，交于点F，连结，设.当λ为何值时，可使最小，并求出的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的几何性质，结合向量的加法以及数量积的运算律，可得答案； （2）根据菱形的几何性质以及相似三角形的判定与性质，结合向量的线性运算与数量积的运算律，利用二次函数的性质，可得答案. 【解析】（1）在菱形中，易知，， 所以 . （2）在菱形中，，易知， 由，则，即， 所以 ， 故，所以当时，取得最小值为. 14．（2025高一·江苏无锡·期中）如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点.    (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出，由数量积的坐标表示即可得出答案; （2）由向量的线性运算求出，由点的轨迹求出的最大值和最小值即可得出答案. 【解析】（1）由题意，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 所以， 由，可得，所以， 所以.    （2） ， 当时，点的轨迹表示以为圆心，为半径的圆， 所以， ， 所以的取值范围为：. 15．（2025高一·辽宁沈阳月考）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据向量线性运算可得，，再根据向量数量积的分配律运算证明； （2）根据题意，点O在以为直径的圆上，数形结合可得，结合（1）可得解. 【解析】（1）因为，又是的中点，则， 所以，又， . （2）如图，取的中点，连接，， 由题，可知点O在以为直径的圆上， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号． 利用（1）结论：. 所以的最大值为8. 16．（2025高一·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用向量的加减运算法则，以为基底表示出得出的取值可得结论； （2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出的取值范围； 法2：利用极化恒等式得出，即可得出结果. 【解析】（1）如下图所示： 由可得， 所以， 又，可得 所以； （2）法1：以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，则， 由点是线段上的动点（含端点），可令， 所以，则， 所以， 由二次函数性质可得当时取得最小值； 当时取得最大值； 可得 法2：取中点，作垂足为，如下图所示： 则 显然当点位于点时，取到最大值3，当点位于点时，取到最小值， 可得 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$