1.3 空间向量及其运算的坐标表示（思维导图+3大知识点+8大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、空间直角坐标系 4 知识点二、空间直角坐标系中点的坐标 4 知识点三、 空间向量的坐标运算 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：空间向量的坐标表示方法 7 题型二：空间向量在直角坐标系下的运算规则 7 题型三：空间向量的共线性与共面性判定 8 题型四：空间向量模长在坐标体系下的表示形式 9 题型五：空间向量平行的坐标判定依据 10 题型六：空间向量垂直的坐标判定方法 11 题型七：空间向量夹角在坐标体系中的计算方式 11 题型八：立体几何的综合应用 13 知识点一、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2、右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3、空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 知识点二、空间直角坐标系中点的坐标 1、空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 知识点三、 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①; ②; ③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②. ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 题型一：空间向量的坐标表示方法 【例1】空间内四点，，，可以构成正四面体，则 . 【方法技巧与总结】 解决这类给定直角坐标系，求相关点的空间坐标时，关键是确定这些点在坐标轴的三个不同方向上的分解向量的模．同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造． 【变式1-1】若ABCD为平行四边形，且已知点、、，则顶点D的坐标为 ． 【变式1-2】若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是 . 【变式1-3】若△顶点，且，，则点C坐标是 . 【变式1-4】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 题型二：空间向量在直角坐标系下的运算规则 【例2】已知,,求,,. 【方法技巧与总结】 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。 【变式2-1】在空间直角坐标系中，已知，求证：A，B，C三点共线． 【变式2-2】已知，，求，，． 【变式2-3】已知正方体的棱长为1，P为上一点，且.建立如图所示的空间直角坐标系，求点P的坐标. 题型三：空间向量的共线性与共面性判定 【例3】（2025·高二·广西河池·期末）已知向量，，若与共线，则实数x的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 【方法技巧与总结】 （1）在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程组求解.要证三向量共面，即证存在，使得. （2）在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。 【变式3-1】（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）给出下列命题，其中错误的命题是（    ） A．向量，，共面，即它们所在的直线共面 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D．已知向量，，则在上的投影向量为 【变式3-2】（2025·高二·广东汕头·期末）已知空间向量，，，若，，共面，则实数（   ） A．2 B．3 C．13 D． 【变式3-3】已知，，，若，，共面，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D．3 题型四：空间向量模长在坐标体系下的表示形式 【例4】（2025·高二·广东广州·期末）已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（   ） A． B．7 C． D． 【方法技巧与总结】 若，则 . 【变式4-1】（2025·高二·广东广州·期末）如图，已知二面角的大小为，棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则（    ） A． B． C． D．4 【变式4-2】设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时，（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·高二·安徽合肥·期中）在如图所示的结构对称的实验装置中，底面框架是边长为2的正方形，两等腰三角形框架的腰长均为，框架所在的平面，，活动弹子分别在上移动，之间用有弹性的细线连接，且始终成立，则当的长度取得最小值时，（    ）    A． B． C． D． 题型五：空间向量平行的坐标判定依据 【例5】（2025·高二·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【方法技巧与总结】 若，则 【变式5-1】（2025·高二·江苏泰州·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·高二·江苏扬州·期中）已知向量，且，那么（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·高二·河南焦作·期末）已知向量，，且，则（    ） A．1 B．0 C． D． 题型六：空间向量垂直的坐标判定方法 【例6】（2025·高二·四川眉山·开学考试）已知空间向量，若，则 . 【方法技巧与总结】 若，则 【变式6-1】（2025·高二·四川达州·开学考试）已知向量，，若，则 . 【变式6-2】（2025·高二·云南曲靖·期末）已知空间向量，，且满足，则 . 【变式6-3】（2025·高二·北京海淀·期末）已知向量，，且，则实数 ， . 题型七：空间向量夹角在坐标体系中的计算方式 【例7】（2025·高二·北京·期中）设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【方法技巧与总结】 若，则 (1). (2). 【变式7-1】（2025·高二·安徽合肥·期末）知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【变式7-2】在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3. (1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标； (2)设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、； (3)求出. 【变式7-3】（2025·高二·天津南开·期中）如图，三棱柱，底面底面中，，，棱，分别是，的中点. (1)求的模： (2)求的值； (3)求证：. 题型八：立体几何的综合应用 【例8】（多选题）（2025·高二·安徽·期中）已知正方体棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P，使得； B．存在唯一点P，使得； C．当，此时点P的轨迹长度为； D．当P为底面EFGH的中心时，三棱锥的外接球表面积为 【方法技巧与总结】 利用坐标法解决 【变式8-1】（多选题）（2025·高二·福建泉州·期中）如图，正方体棱长为2，分别是棱，棱的中点，点M是其侧面上的动点（含边界），下列结论正确的是（ ） A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为 B．过点的平面截该正方体所得的截面面积为 C．当时，点M的轨迹长度为 D．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为 【变式8-2】（多选题）（2025·高二·贵州毕节·期末）在长方体中，，，E为的中点，动点P在长方体内（含表面），且满足，记动点P的轨迹为Ω，则（    ） A．Ω的面积为 B．平面与Ω所在平面平行 C．当时，存在点P，使得 D．当时，三棱锥的体积为定值 【变式8-3】（多选题）（2025·高二·安徽·开学考试）已知在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，周长的最小值为 C．当时，有且仅有一个点；使得 D．当时，的最小值为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 知识点梳理 5 知识点一、空间直角坐标系 5 知识点二、空间直角坐标系中点的坐标 5 知识点三、 空间向量的坐标运算 6 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：空间向量的坐标表示方法 8 题型二：空间向量在直角坐标系下的运算规则 10 题型三：空间向量的共线性与共面性判定 11 题型四：空间向量模长在坐标体系下的表示形式 13 题型五：空间向量平行的坐标判定依据 16 题型六：空间向量垂直的坐标判定方法 17 题型七：空间向量夹角在坐标体系中的计算方式 18 题型八：立体几何的综合应用 21 知识点一、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2、右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3、空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 知识点二、空间直角坐标系中点的坐标 1、空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 知识点三、 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①; ②; ③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②. ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 题型一：空间向量的坐标表示方法 【例1】空间内四点，，，可以构成正四面体，则 . 【答案】 【解析】由已知正四面体的棱长为1，所以的竖坐标为正四面体的高，的外接圆半径为， 所以正四面体的高为， 而横坐标，纵坐标即底面三角形的重心坐标，，， 所以， 故答案为：. 【方法技巧与总结】 解决这类给定直角坐标系，求相关点的空间坐标时，关键是确定这些点在坐标轴的三个不同方向上的分解向量的模．同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造． 【变式1-1】若ABCD为平行四边形，且已知点、、，则顶点D的坐标为 ． 【答案】 【解析】设，因为四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以，所以，即. 故答案为：. 【变式1-2】若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是 . 【答案】 【解析】点､，为线段上一点，且， 所以， 设点的坐标为，则， 则，即， 解得，即； 故答案为：． 【变式1-3】若△顶点，且，，则点C坐标是 . 【答案】 【解析】由，，可得：， 又，同理可得：. 故答案为： 【变式1-4】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 【解析】由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示． 则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)， ∴，，． 题型二：空间向量在直角坐标系下的运算规则 【例2】已知,,求,,. 【解析】因为,, 所以 . . . 【方法技巧与总结】 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。 【变式2-1】在空间直角坐标系中，已知，求证：A，B，C三点共线． 【解析】由题意证明如下， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵这两个向量有公共的始点， ∴A，B，C三点共线． 【变式2-2】已知，，求，，． 【解析】， ， ． 【变式2-3】已知正方体的棱长为1，P为上一点，且.建立如图所示的空间直角坐标系，求点P的坐标. 【解析】由图可得，设 因为，所以，所以 所以，解得，即 题型三：空间向量的共线性与共面性判定 【例3】（2025·高二·广西河池·期末）已知向量，，若与共线，则实数x的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】由题设，有，， 则，可得 故选：. 【方法技巧与总结】 （1）在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程组求解.要证三向量共面，即证存在，使得. （2）在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。 【变式3-1】（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）给出下列命题，其中错误的命题是（    ） A．向量，，共面，即它们所在的直线共面 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D．已知向量，，则在上的投影向量为 【答案】A 【解析】对于A，向量可以通过平移后共面，但是它们的所在直线不一定是共面直线，故A错误； 对于B，，，即， 所以，，，四点共面，故B正确； 对于C，根据空间向量基底的性质可知这两个向量共线，故C正确； 对于D，在上的投影向量为， 故D正确. 故选：A. 【变式3-2】（2025·高二·广东汕头·期末）已知空间向量，，，若，，共面，则实数（   ） A．2 B．3 C．13 D． 【答案】D 【解析】由空间向量，，共面，得，即， 则，解得. 故选：D. 【变式3-3】已知，，，若，，共面，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】由题设且，则， 所以，可得. 故选：C 题型四：空间向量模长在坐标体系下的表示形式 【例4】（2025·高二·广东广州·期末）已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（   ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【解析】因为点,,， 所以， ， ，则， 所以， 所以以,为邻边的平行四边形的面积为， 故选：D 【方法技巧与总结】 若，则 . 【变式4-1】（2025·高二·广东广州·期末）如图，已知二面角的大小为，棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解析】因为，可得. 则. 已知垂直于棱，垂直于棱，所以，. 又因为二面角的大小为，所以与夹角为. 已知，，. 根据向量数量积公式，则. 将值代入的式子中，. 对两边开平方，可得. 故选：A. 【变式4-2】设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，点在直线上运动， 可设， ，， ， 当时，取得最小值， . 故选：B． 【变式4-3】（2025·高二·安徽合肥·期中）在如图所示的结构对称的实验装置中，底面框架是边长为2的正方形，两等腰三角形框架的腰长均为，框架所在的平面，，活动弹子分别在上移动，之间用有弹性的细线连接，且始终成立，则当的长度取得最小值时，（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点分别为，连接，与交于点， 是边长为2的正方形，是等腰三角形， 则，连接，则， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 以为坐标原点，过作平行于的直线为轴， 在平面内过作垂直于平面的直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，在等腰三角形中， ，易知梯形为等腰梯形，过作， 则，则， 则， 所以， 当时，取得最小值. 故选：C. 题型五：空间向量平行的坐标判定依据 【例5】（2025·高二·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由向量，， 可得，， 因为，所以存在实数使得， 即，解得. 故选：B. 【方法技巧与总结】 若，则 【变式5-1】（2025·高二·江苏泰州·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】向量，，由，得， 所以. 故选：A 【变式5-2】（2025·高二·江苏扬州·期中）已知向量，且，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以可设， 则有，，， 解得，，， 故. 故选：A. 【变式5-3】（2025·高二·河南焦作·期末）已知向量，，且，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【解析】因为，且， 所以，即，解得，所以. 故选：A. 题型六：空间向量垂直的坐标判定方法 【例6】（2025·高二·四川眉山·开学考试）已知空间向量，若，则 . 【答案】/-4.5 【解析】空间向量， 则，解得 故答案为： 【方法技巧与总结】 若，则 【变式6-1】（2025·高二·四川达州·开学考试）已知向量，，若，则 . 【答案】 【解析】因为，且， 所以，解得. 故答案为： 【变式6-2】（2025·高二·云南曲靖·期末）已知空间向量，，且满足，则 . 【答案】 【解析】，，且满足， 则，解得：. 故答案为：. 【变式6-3】（2025·高二·北京海淀·期末）已知向量，，且，则实数 ， . 【答案】 【解析】，则，解得. 则，，. . 故答案为：；13. 题型七：空间向量夹角在坐标体系中的计算方式 【例7】（2025·高二·北京·期中）设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【解析】（1）向量，且， 故，解得. 由于， 所以，解得. 故， 所以， 故. （2）由于，故， 故. 【方法技巧与总结】 若，则 (1). (2). 【变式7-1】（2025·高二·安徽合肥·期末）知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【解析】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且，即的取值范围为且. 【变式7-2】在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3. (1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标； (2)设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、； (3)求出. 【解析】（1）以的中点为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意知，， 则，，，，，； （2）由题意知，， 故； （3）， 所以. 【变式7-3】（2025·高二·天津南开·期中）如图，三棱柱，底面底面中，，，棱，分别是，的中点. (1)求的模： (2)求的值； (3)求证：. 【解析】（1）以为坐标原点，以、、的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图 由题意得, 故． （2）依题意得, 故,则 （3）,, 由于, 故，即． 题型八：立体几何的综合应用 【例8】（多选题）（2025·高二·安徽·期中）已知正方体棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P，使得； B．存在唯一点P，使得； C．当，此时点P的轨迹长度为； D．当P为底面EFGH的中心时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系 ，，设P点坐标为，，， 为求的最小值，找出点A关于平面EFGH的对称点， 设该点为，则点坐标为， ，故A选项正确； 由可得，故B选项正确； 时，即，而，， 得到， 点P轨迹是连接棱EF中点与棱EH中点的线段，其长度为线段HF的一半，即长为，故C选项错误； 当P为底面EFGH的中心时，由B选项知，显然，， 三棱锥的外接球球心为棱AM的中点，从而求得球半径为，，故D选项正确. 故选：ABD. 【方法技巧与总结】 利用坐标法解决 【变式8-1】（多选题）（2025·高二·福建泉州·期中）如图，正方体棱长为2，分别是棱，棱的中点，点M是其侧面上的动点（含边界），下列结论正确的是（ ） A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为 B．过点的平面截该正方体所得的截面面积为 C．当时，点M的轨迹长度为 D．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】对于A中，如图所示， 将正方形沿着展在平面，在直角中，可得，将沿着展开到与平面重合， 在直角中，可得，所以A正确； 对于B中，如图所示， 连接， 因为为的中点，可得， 因为，所以， 所以过点的平面截该正方体所得的截面为等腰梯形， 其中，且，可得高为， 可得等腰梯形的面积为，所以B正确； 对于C中，如图所示： 取的中点，连接，因为为的中点，所以， 因为平面，可得平面， 又因为平面，所以， 在直角中，由，可得， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆在正方形内的部分， 如图所示， ， 在直角中，由，可得， 所以，可得， 即当时，点M的轨迹长度为，所以C错误； 对于D中，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，设，其中， 则， 因为与垂直，可得，即， 令，可得；当，可得， 即直线与正方形的边的交点为， 可得，所以D正确. 故选：ABD. 【变式8-2】（多选题）（2025·高二·贵州毕节·期末）在长方体中，，，E为的中点，动点P在长方体内（含表面），且满足，记动点P的轨迹为Ω，则（    ） A．Ω的面积为 B．平面与Ω所在平面平行 C．当时，存在点P，使得 D．当时，三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】因为，所以在确定的平面内，又， 取的中点，连接，则四边形为动点P的轨迹Ω， 因为长方体中，，， 所以，，进而可求得等腰梯形的高， 所以梯形的面积为，故A正确； 连接，因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，又，平面， 所以平面平面，又平面平面， 所以平面与Ω所在平面不平行，故B错误； 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 当，则， 所以， 假设，则，即，解得， 所以当时，存在点P，使得，故C正确； 当时，点在上，则时点到平面的距离为定值，又三角形的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故D正确. 故选：ACD. 【变式8-3】（多选题）（2025·高二·安徽·开学考试）已知在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，周长的最小值为 C．当时，有且仅有一个点；使得 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】建立空间直角坐标系如图所示，则. 对于A，当时，点在线段上，则， 所以，故A正确； 对于B，当时，点在线段上，将平面与平面沿展开，得 ，又，故周长的最小值为，故B正确； 对于C，当时，，，若， 则，解得，所以符合条件的点有两个，故C错误； 对于D，，则当，， 则，表示单位圆上的点到点的距离的平方， 则其最小值为，所以的最小值为，故正确. 故选：ABD. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$