1.3 空间向量及其运算的坐标表示（8大题型）（精练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 目录 01 题型归纳目录 2 题型一：空间向量的坐标表示方法 2 题型二：空间向量在直角坐标系下的运算规则 2 题型三：空间向量的共线性与共面性判定 3 题型四：空间向量模长在坐标体系下的表示形式 3 题型五：空间向量平行的坐标判定依据 4 题型六：空间向量垂直的坐标判定方法 4 题型七：空间向量夹角在坐标体系中的计算方式 5 题型八：立体几何的综合应用 6 02 重难点拓展 8 题型一：空间向量的坐标表示方法 1．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是 2．已知，的起点坐标是，则的终点坐标为 ． 3．如图，在空间直角坐标系中有一长方体，且，， (1)写出点的坐标，并将用标准正交基表示； (2)求的坐标． 题型二：空间向量在直角坐标系下的运算规则 4．（2025·高二·四川乐山·期末）已知，，则 . 5．已知向量，，，求． 6．已知，，．求： （1）；         （2）． 7．在中，，，. （1）求顶点、的坐标； （2）求； （3）若点在上，且，求点的坐标. 题型三：空间向量的共线性与共面性判定 8．已知空间三点共线，则和的值分别是（   ） A．3，6 B．2，4 C．1，4 D．2，6 9．已知，若三向量共面，则实数等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2025·高二·湖北·期末）已知向量，向量，向量，若三个向量共面，则实数等于（    ） A．17 B．19 C．21 D．23 11．（2025·高二·上海·期末）已知，若三个向量共面，则实数的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四：空间向量模长在坐标体系下的表示形式 12．（2025·高二·甘肃酒泉·期中）已知点，，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025·高二·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B． C． D．5 14．设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2025·高二·辽宁大连·期末）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 题型五：空间向量平行的坐标判定依据 16．已知向量，，且与是共线向量，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D． 17．（2025·高二·贵州毕节·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D． 18．（2025·高二·安徽安庆·期末）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（2025·高一·四川·期中）已知向量，，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 题型六：空间向量垂直的坐标判定方法 20．（2025·高二·江苏南通·期末）已知空间向量，，若，则 . 21．（2025·高二·北京·期末）已知向量，且，则实数 ， ． 22．已知向量，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 23．棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点. (1)证明：； (2)求； (3)求FH的长. 题型七：空间向量夹角在坐标体系中的计算方式 24．已知向量，. (1)求的值； (2)若，求实数k的值； (3)求向量与夹角的余弦值. 25．（2025·高二·广东茂名·期中）已知：，，，，，求： (1)，，； (2) 26．（2025·高二·广西南宁·期中）已知向量，. (1)求，，； (2)求向量与夹角的余弦值. 27．（2025·高二·河北衡水·周测）如图，，坐标原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，．    (1)求向量的坐标； (2)求与的夹角的余弦值． 题型八：立体几何的综合应用 28．（多选题）（2025·高二·河北石家庄·开学考试）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 29．（多选题）（2025·高二·广东·期末）已知向量，则（    ） A． B．同方向上的单位向量的坐标为 C． D．在上的投影向量的模为 30．（多选题）（2025·高二·河南郑州·期末）已知空间向量 ，则下列结论正确的是（    ） A． 与 共面 B． C．在上的投影向量为 D．与夹角的余弦值为 31．（多选题）（2025·高二·福建泉州·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．无最大值 1．（2025·高二·福建·期中）如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·福建·期中）在空间直角坐标系中，已知．若，分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，平面，平面，且，点为的中点，点是线段上的动点，则线段的长度不可能为（ ） A．1 B． C．2 D． 4．（2025·高二·河北石家庄·开学考试）已知长方体中，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高三·全国·开学考试）已知圆台的上、下底面半径分别为母线与底面所成角为为下底面的一条直径，点为侧面上的一个动点，若，则的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·浙江宁波·期末）已知，，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·河南郑州·期末）在边长为 2 的正方体中，分别为的中点， 分别为线段 上的动点 (不包括端点) 满足 ，则线段的长度最小值为（    ） A． B．2 C． D． 9．（2025·高二·山东临沂·期末）已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025·高二·河北张家口·开学考试）已知空间中三个向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 11．（2025·高二·江西赣州·期中）如图，在棱长为6的正四面体中，点E满足 ，则四面体的外接球的表面积为 ． 12．（2025·高二·上海·期末）空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在平面，平面，平面上的射影长分别为，则这条线段的长为 . 13．（2025·黑龙江·二模）如图，平面平面，正方形的边长为4，四边形为矩形，，点在上，若三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上，则 . 14．已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为 . 15．（2025·高二·北京·期末）如图，正方体的棱长为4，点是棱的中点，点是平面内的动点，且到平面的距离等于线段的长度，则点的轨迹为 ，线段长度的最小值为 ．    16．（2025·高二·河北沧州·期末）已知空间四点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 17．（2025·高二·上海·期末）已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 18．（2025·高二·湖南永州·期末）已知空间中三点，，． (1)若向量与相互垂直，求实数的值； (2)求的面积． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：空间向量的坐标表示方法 2 题型二：空间向量在直角坐标系下的运算规则 3 题型三：空间向量的共线性与共面性判定 4 题型四：空间向量模长在坐标体系下的表示形式 5 题型五：空间向量平行的坐标判定依据 6 题型六：空间向量垂直的坐标判定方法 7 题型七：空间向量夹角在坐标体系中的计算方式 10 题型八：立体几何的综合应用 12 02 重难点拓展 15 题型一：空间向量的坐标表示方法 1．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是 【答案】 【解析】因为，为坐标原点，所以， 又因为为正方体，所以 所以. 故答案为： 2．已知，的起点坐标是，则的终点坐标为 ． 【答案】 【解析】设的终点坐标为，由题可得：， 故可得，即的终点坐标为. 故答案为：. 3．如图，在空间直角坐标系中有一长方体，且，， (1)写出点的坐标，并将用标准正交基表示； (2)求的坐标． 【解析】（1）因为，，， 所以点的坐标为，从而． （2）同理因为，，，易得点的坐标为，所以． 题型二：空间向量在直角坐标系下的运算规则 4．（2025·高二·四川乐山·期末）已知，，则 . 【答案】 【解析】. 故答案为： 5．已知向量，，，求． 【解析】由已知 6．已知，，．求： （1）；         （2）． 【解析】（1）因为，， 所以， 因为， 所以， （2）因为，，， 所以 7．在中，，，. （1）求顶点、的坐标； （2）求； （3）若点在上，且，求点的坐标. 【解析】（1）设点为坐标原点，， 则. ，则； （2），则， 又，因此，； （3）设点为坐标原点，，则， 则， 所以，点的坐标为. 题型三：空间向量的共线性与共面性判定 8．已知空间三点共线，则和的值分别是（   ） A．3，6 B．2，4 C．1，4 D．2，6 【答案】B 【解析】，， 则有，解得，. 故选：B. 9．已知，若三向量共面，则实数等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】三向量共面，设， 故， 即，解得. 故选：A 10．（2025·高二·湖北·期末）已知向量，向量，向量，若三个向量共面，则实数等于（    ） A．17 B．19 C．21 D．23 【答案】D 【解析】因为向量，向量，向量，且，，三向量共面， 可知存在，使得，即， 则，解得，所以. 故选：D. 11．（2025·高二·上海·期末）已知，若三个向量共面，则实数的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】因为，，，且，，三向量共面， 可知存在，使得，即， 则，解得. 故选：A. 题型四：空间向量模长在坐标体系下的表示形式 12．（2025·高二·甘肃酒泉·期中）已知点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以，所以， 故选：C. 13．（2025·高二·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解析】由题意可得，故，， 故选：A 14．设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 15．（2025·高二·辽宁大连·期末）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【解析】由题可得，解得， 所以向量，，所以， 所以. 故选：C. 题型五：空间向量平行的坐标判定依据 16．已知向量，，且与是共线向量，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为，，且与是共线向量， 所以，所以，解得. 故选：D 17．（2025·高二·贵州毕节·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由于，故，故，则， 故选：A 18．（2025·高二·安徽安庆·期末）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于C，，，， 所以，故C错误； 对于B，因为不存在，使得，所以B错误； 对于A，因为，所以A正确； 对于D，因为，故D错误． 故选：A. 19．（2025·高一·四川·期中）已知向量，，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以， 又，且， 则，解得. 故选：A 题型六：空间向量垂直的坐标判定方法 20．（2025·高二·江苏南通·期末）已知空间向量，，若，则 . 【答案】16 【解析】因为空间向量，， 所以， 因为， 所以，解得. 故答案为：. 21．（2025·高二·北京·期末）已知向量，且，则实数 ， ． 【答案】 【解析】因为，且， 所以，解得，则， 所以， 所以. 故答案为：； 22．已知向量，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【解析】（1）因为， 所以，解得， 所以， 则， 所以； （2）， ， ， 设向量与夹角为， 所以， 所以向量与夹角的余弦值为． 23．棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点. (1)证明：； (2)求； (3)求FH的长. 【解析】（1）如图，以为原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，， 所以， 所以，故； （2）因为，所以 因为，且， 所以； （3）因为是的中点，所以， 又因为，所以，，即. 题型七：空间向量夹角在坐标体系中的计算方式 24．已知向量，. (1)求的值； (2)若，求实数k的值； (3)求向量与夹角的余弦值. 【解析】（1）由题可得，则. （2），， ，， 即，则. （3），，，， ， 向量与夹角的余弦值为. 25．（2025·高二·广东茂名·期中）已知：，，，，，求： (1)，，； (2) 【解析】（1）因为，所以设，即， 故，解得， ， ， ∴，解得， ； （2）， . 26．（2025·高二·广西南宁·期中）已知向量，. (1)求，，； (2)求向量与夹角的余弦值. 【解析】（1），， ，，. （2），， ， 即向量与夹角的余弦值为. 27．（2025·高二·河北衡水·周测）如图，，坐标原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，．    (1)求向量的坐标； (2)求与的夹角的余弦值． 【解析】（1）过点作于点，由题意，， 则， ， 所以， 因为，是的中点，所以， 所以. （2），所以， ，所以，， 所以， 则与的夹角的余弦值为. 题型八：立体几何的综合应用 28．（多选题）（2025·高二·河北石家庄·开学考试）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】ACD 【解析】，故A正确； ，，故B不正确； 在上的投影向量，故C正确； ，故D正确； 故选：ACD. 29．（多选题）（2025·高二·广东·期末）已知向量，则（    ） A． B．同方向上的单位向量的坐标为 C． D．在上的投影向量的模为 【答案】BD 【解析】因为，，所以. 对于A：因为，故A错误； 对于B：因为，即方向上的单位向量是，故B正确； 对于C：因为，故C错误； 对于D：由，故D正确. 故选：BD. 30．（多选题）（2025·高二·河南郑州·期末）已知空间向量 ，则下列结论正确的是（    ） A． 与 共面 B． C．在上的投影向量为 D．与夹角的余弦值为 【答案】AD 【解析】假设与共面，则有解，即有解， 解得 ，故选项A正确； ，所以，故选项B错误； 在上的投影向量为，故选项C错误； ，故选项D正确； 故选：AD 31．（多选题）（2025·高二·福建泉州·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．无最大值 【答案】BCD 【解析】若，则，解得，故A错误； 若，则，，则，则，故B正确； ，所以最小值为，故C正确； 由C可得无最大值，故D正确； 故选：BCD. 1．（2025·高二·福建·期中）如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，将正四面体嵌套正方体内，并以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 因为正四面体的棱长为，可知正方体的棱长为2， 则， 可得， 则在方向上的投影向量为， 所以的值为. 故选：B. 2．（2025·高二·福建·期中）在空间直角坐标系中，已知．若，分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：点在坐标平面上的正投影分别为， 因为，则，可知三点共线， 可得，，， 所以. 故选：B. 3．已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，平面，平面，且，点为的中点，点是线段上的动点，则线段的长度不可能为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】如图所示，以为原点，以,,所在直线分别为轴，轴，轴正方向， 建立空间直角坐标系，则、、、、、 .设，由点是上的动点，知，即 ，∴ ，故， ∴ 所以. 故选：A 4．（2025·高二·河北石家庄·开学考试）已知长方体中，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为， 因为，那么， 所以， 所以、、、四点共面， 由得，解得， 所以的最小值为. 故选：B. 5．（2025·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C 6．（2025·高三·全国·开学考试）已知圆台的上、下底面半径分别为母线与底面所成角为为下底面的一条直径，点为侧面上的一个动点，若，则的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆台的母线记为，， 如图所示建系，设点，且， 则， 如图，母线，而，故，点为侧面上的一点，且， 则由勾股定理得:，故为的中点， 故点的轨迹是半径为的圆，其轨迹长度为. 故选：C. 7．（2025·高二·浙江宁波·期末）已知，，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，，，. ； . 计算和, . 根据投影向量公式，则投影向量为. 故选：A. 8．（2025·高二·河南郑州·期末）在边长为 2 的正方体中，分别为的中点， 分别为线段 上的动点 (不包括端点) 满足 ，则线段的长度最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】如图建立空间直角坐标系，，，设，， ，， 因为，所以，即， 所以， 当时，线段的最小值为. 故选：A 9．（2025·高二·山东临沂·期末）已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在空间直角坐标系中，、、， 则，，， 因为、、、四点共面，设， 即， 可得，消去、可得，即， 故选：A. 10．（多选题）（2025·高二·河北张家口·开学考试）已知空间中三个向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】ACD 【解析】因为， 对于 A ， ，故 A 正确； 对于 ，，所以 与 不垂直，故 错误； 对于 C ， 在 上的投影向量为 ，故 C正确； 对于 D ， ，故D 正确. 故选： ACD . 11．（2025·高二·江西赣州·期中）如图，在棱长为6的正四面体中，点E满足 ，则四面体的外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】在正四面体中，取的中点为，连接， 由正四面体知，为等边三角形， 所以，， 又平面，所以平面， 设四面体的外接球的球心为，则点在平面上， 设在平面上的射影分别为，则为的重心， 所以，， 因为，所以， 在中，，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，以过点垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，外接球的半径为， 则，即， 整理得，解得，即， 所以所求外接球的表面积， 故答案为：． 12．（2025·高二·上海·期末）空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在平面，平面，平面上的射影长分别为，则这条线段的长为 . 【答案】 【解析】这条线段可看作一长方体的体对角线，这个长方体的同一个顶点外的三个表面的面对角线为， 设长方体的长、宽、高分别为，则， 所以这条线段的长为. 故答案为：. 13．（2025·黑龙江·二模）如图，平面平面，正方形的边长为4，四边形为矩形，，点在上，若三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上，则 . 【答案】1或3 【解析】 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设，，，，， 因为三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上， 所以， 根据两点距离公式可得： ，，, 解得：，所以， 因为，解得：或， 所以或. 故答案为：1或3. 14．已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【解析】， 由题可得： ，可得， 则在上的投影向量为. 故答案为：. 15．（2025·高二·北京·期末）如图，正方体的棱长为4，点是棱的中点，点是平面内的动点，且到平面的距离等于线段的长度，则点的轨迹为 ，线段长度的最小值为 ．    【答案】 抛物线 【解析】因为平面平面，平面平面，而平面， 所以到直线的距离就是到平面的距离， 由到平面的距离等于线段的长度，可知点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 建立如图所示的空间直角坐标系（的中点为原点，与正方体的棱平行的直线为坐标轴）， ，，， 点的轨迹方程是， ， 所以时，， 故答案为：抛物线；． 16．（2025·高二·河北沧州·期末）已知空间四点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【解析】由题意得，，，， 则，，， 设两向量所成的角为θ， 则向量在向量上的投影向量为 ， 故答案为： 17．（2025·高二·上海·期末）已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 【解析】（1）根据题意，，则， 若，设，又由，则， 解可得，故或. （2）根据题意，， 则， 则，故， 故. 18．（2025·高二·湖南永州·期末）已知空间中三点，，． (1)若向量与相互垂直，求实数的值； (2)求的面积． 【解析】（1），， ∴， 又∵，∴， 即，解得. （2）法一：由（1）得，， ， 因为，∴， ． 法二：，， ∴为直角三角形，，，， ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$