1.1空间向量及其运算（9大题型）（精练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1空间向量及其运算 目录 01 题型归纳目录 2 题型一：空间向量的基础概念解析 2 题型三：空间向量的数乘运算 3 题型四：共线向量定理的实践应用 4 题型五：共面向量的判定与应用 4 题型六：空间向量的数量积运算 5 题型七：利用数量积求向量夹角 5 题型八：利用数量积证明垂直关系 7 题型九：利用数量积求线段长度 8 02 重难点拓展 11 题型一：空间向量的基础概念解析 1．下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．下列说法中正确的是（    ） A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．数乘运算中，既决定大小又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有 3．（2025·高二·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 4．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 题型二：空间向量的加减法运算 5．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·重庆·期末）在正四面体中，过点P作四面体的高PO，用向量，，表示（   ） A． B． C． D． 8．（2025·高一·四川·期中）平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 题型三：空间向量的数乘运算 9．化简算式： ． 10．化简：． 11．化简：． 12．在空间四边形ABCD中，连结AC､BD，△BCD的重心为G，化简. 题型四：共线向量定理的实践应用 13．（2025·高二·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 14．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 15．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 题型五：共面向量的判定与应用 16．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 17．下列条件中，使点与点一定共面的为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·高二·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 19．（2025·高二·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 题型六：空间向量的数量积运算 20．在三棱锥中，已知，，，则 21．如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则 .    22．（2025·高二·河北保定·开学考试）在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则 ． 23．（2025·高二·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 题型七：利用数量积求向量夹角 24．（2025·高二·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 25．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 26．（2025·高二·湖北·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 27．已知不共面的三个单位向量两两之间的夹角均为，，． (1)求证：； (2)求． 题型八：利用数量积证明垂直关系 28．在空间四面体中，，．求证：． 29．已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：． 30．已知空间有A，B，C，D四个点，满足，空间中还有四点，满足，求证：． 31．（2025·高二·重庆九龙坡·期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 题型九：利用数量积求线段长度 32．（2025·高二·江西南昌·期中）如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线都等于1，点分别是的中点，设为空间向量的一组基底，计算：    (1); (2). 33．如图，在四面体中，，，，设.    (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 34．如图所示，已知是平行六面体，，求的长． 35．（2025·高二·福建·开学考试）在如图所示的斜三棱柱中，． (1)设，，，用表示； (2)若，，求的长． 1．（2025·高二·重庆·期中）如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·河南新乡·期中）记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·高二·浙江温州·开学考试）如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 4．（2025·高二·四川宜宾·期末）如图所示，在平行六面体中，，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 5．（2025·高二·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 6．（2025·高二·四川成都·期末）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，二面角的平面角为，则（    ） A．2 B． C． D． 7．（2025·高二·江苏徐州·期末）在棱长为1的正四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·广西南宁·期末）在平行六面体中，，，则的长为（    ） A．10 B．12 C． D． 9．在四面体中，E为棱的中点，点F为线段上一点，且，设，，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知平行六面体中，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）如图，在正方体中，，M为棱的中点，动点P满足，其中，，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为4 B．若，则点P在平面上 C．若，则点M到平面的距离为定值1 D．若点N为外接圆的圆心，则 12．（2025·高二·江苏泰州·期中）如图，线段平面，在平面内，，与平面成角，点与点在的同侧，已知，则的长为 . 13．如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则 . 14．（2025·高二·广东肇庆·期末）已知平行六面体中，．若，则的值为 ． 15．（2025·高二·辽宁葫芦岛·期末）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则线段的长度为 . 16．已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1空间向量及其运算 目录 01 题型归纳目录 2 题型一：空间向量的基础概念解析 2 题型三：空间向量的数乘运算 5 题型四：共线向量定理的实践应用 6 题型五：共面向量的判定与应用 7 题型六：空间向量的数量积运算 8 题型七：利用数量积求向量夹角 10 题型八：利用数量积证明垂直关系 13 题型九：利用数量积求线段长度 15 02 重难点拓展 19 题型一：空间向量的基础概念解析 1．下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【解析】对于A，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B，只能说明，的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C，向量作为矢量不能比较大小，故C错误； 对于D，相等向量方向相同大小相等，故D正确. 故选：D. 2．下列说法中正确的是（    ） A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．数乘运算中，既决定大小又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有 【答案】C 【解析】对于A，空间中共线的向量不一定在同一条直线，有可能两向量所在的直线平行，所以A错误， 对于B，两个向量不相等，有可能方向不同，模相等，如的方向不同，但模相等，所以B错误， 对于C，向量数乘运算中，既决定大小又决定方向，所以C正确， 对于D，在平行四边形ABCD中，才有，所以D错误. 故选：C 3．（2025·高二·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【解析】对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误； 对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误； 对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误； 对于D，与仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D正确， 故选：D 4．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【答案】D 【解析】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误； 对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误； 对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误； 对于D，四边形ABCD中，，故D正确. 故选：D 题型二：空间向量的加减法运算 5．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由正方体，空间向量的加法法则可得． ；； ；． 故选：D． 6．已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为分别是的中点， 所以， 则. 故选：B. 7．（2025·高二·重庆·期末）在正四面体中，过点P作四面体的高PO，用向量，，表示（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在正四面体中，为正三角形，则点为重心， 故，故， 故. 故选：B. 8．（2025·高一·四川·期中）平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】 ， 所以， 故选：C. 题型三：空间向量的数乘运算 9．化简算式： ． 【答案】 【解析】由题意得. 故答案为：. 10．化简：． 【解析】原式． 11．化简：． 【解析】 12．在空间四边形ABCD中，连结AC､BD，△BCD的重心为G，化简. 【解析】设E为BC的中点，则，又为的重心，则，所以 题型四：共线向量定理的实践应用 13．（2025·高二·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 14．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解析】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即， ∴，，解得． 故选：C． 15．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【解析】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 题型五：共面向量的判定与应用 16．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【解析】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 17．下列条件中，使点与点一定共面的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于可得，，由空间共面向量定理知，M、A、B、C一定共面，故A正确， 对于可知，系数和不为1，故M、A、B、C不共面，故B错； 对于，系数和 ，故M、A、B、C不共面，故C错； 对于，可得，系数和不为1，根据空间向量共面的推论可知M、A、B、C不共面，故D错； 故选：A. 18．（2025·高二·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 所以， 当点共面时，可得，解得. 故选：A. 19．（2025·高二·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点在平面内，且， 所以，解得. 故选：D 题型六：空间向量的数量积运算 20．在三棱锥中，已知，，，则 【答案】 【解析】设，显然， 则，即， 而，即， 于是得，， ， 则有，所以. 故答案为： 21．如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则 .    【答案】/0.25 【解析】分别为的中点，则， 由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接， 由已知和为正三角形，则， 又，且平面，则平面，又平面 则，即， 则. 故答案为：. 22．（2025·高二·河北保定·开学考试）在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， ． 故答案为：-12 23．（2025·高二·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【解析】（1）因为，由向量的线性运算法则， 可得： . （2）由， 所以 . 题型七：利用数量积求向量夹角 24．（2025·高二·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 【解析】（1）因为点为的中点 所以 所以 所以，所以 （2）因为 ； 所以； 因为； 又。 所以； 所以直线与所成的角的余弦值为. 25．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）证明：由题意，因为，， 所以， 所以，即. （2）由（1）知，， 所以， 又， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 26．（2025·高二·湖北·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 【解析】（1）设，，， 由题意可知，，， 由空间向量数量积的定义可得， ， 则， 故. （2）， 则， ，则. 故直线和直线所成角的余弦值为. 27．已知不共面的三个单位向量两两之间的夹角均为，，． (1)求证：； (2)求． 【解析】（1）因为， 所以 ， 所以，即． （2）因为， 所以，， 所以． 所以，． 所以． 题型八：利用数量积证明垂直关系 28．在空间四面体中，，．求证：． 【解析】因为，，所以，； 因为，， 所以 . . 所以. 29．已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：． 【解析】因为，所以， 因为，，所以，． 又，所以， 故． 30．已知空间有A，B，C，D四个点，满足，空间中还有四点，满足，求证：． 【解析】根据题意，有， 根据余弦定理，有， 从而， 故即， ， . 命题得证． 31．（2025·高二·重庆九龙坡·期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 【解析】（1）设，则， ∵，则. ∵，∴. 故线段的长为. （2）证明：∵，∴. 故. 题型九：利用数量积求线段长度 32．（2025·高二·江西南昌·期中）如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线都等于1，点分别是的中点，设为空间向量的一组基底，计算：    (1); (2). 【解析】（1）因为空间四边形的每条边和对角线都等于1， 所以， 因为点分别是的中点，所以， 所以. （2）因为，所以. 33．如图，在四面体中，，，，设.    (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 【解析】（1）由，，可得 , 所以 （2）由于是线段中点，点满足， 所以, 故, 所以, 所以 34．如图所示，已知是平行六面体，，求的长． 【解析】由已知可得不共面，而且 ， 而且 ， ， ， 又因为 ， 所以 ， 因此，即所求长为． 35．（2025·高二·福建·开学考试）在如图所示的斜三棱柱中，． (1)设，，，用表示； (2)若，，求的长． 【解析】（1）在三棱柱中，侧面为平行四边形， 所以， 则． （2）依题意可得， 则 ， 所以的长为． 1．（2025·高二·重庆·期中）如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知平行四边形，，且， ，， 二面角为，，， ， ， 则，即与之间距离为. 故选：D． 2．（2025·高二·河南新乡·期中）记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意可得，球O的半径为1． ．当P为正方体顶点时等号成立， 故选：B 3．（2025·高二·浙江温州·开学考试）如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】设，， 由， 所以， 因为， 所以， ， 所以，直线与BM所成角的正弦值为. 故选：C 4．（2025·高二·四川宜宾·期末）如图所示，在平行六面体中，，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以 . 故选：A. 5．（2025·高二·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】由题意得，，，，， ∴，，. ∵， ∴ . 故选：D. 6．（2025·高二·四川成都·期末）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，二面角的平面角为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故选：B. 7．（2025·高二·江苏徐州·期末）在棱长为1的正四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以 故选：A 8．（2025·高二·广西南宁·期末）在平行六面体中，，，则的长为（    ） A．10 B．12 C． D． 【答案】C 【解析】如下图，， 所以 ， 所以. 故选：C. 9．在四面体中，E为棱的中点，点F为线段上一点，且，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为E为棱的中点，所以， 因为，所以， 所以. 故选：B. 10．已知平行六面体中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图： ， ． 故选：B． 11．（多选题）如图，在正方体中，，M为棱的中点，动点P满足，其中，，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为4 B．若，则点P在平面上 C．若，则点M到平面的距离为定值1 D．若点N为外接圆的圆心，则 【答案】ABD 【解析】对于A， ， 所以 ， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为4，故A正确； 对于B，连接， 若，则三点共线， 因为，所以共面， 所以点P在平面上，故B正确； 对于C，连接，则，且互相平分， 因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为， 因为M为棱的中点， 所以点M到平面的距离为，故C错误； 对于D，如图，取的中点，连接，则， 所以，故D正确. 故选：ABD. 12．（2025·高二·江苏泰州·期中）如图，线段平面，在平面内，，与平面成角，点与点在的同侧，已知，则的长为 . 【答案】 【解析】设平面于F， 平面， ，又与平面成角， ， 与的夹角为， 又平面，平面，， 又， ， ． 故答案为：. 13．如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则 . 【答案】 【解析】设分别为的中点，连接， 在正三角形中，，， 在正方形中，，，， 所以为二面角的平面角，即， 所以 . 故答案为：. 14．（2025·高二·广东肇庆·期末）已知平行六面体中，．若，则的值为 ． 【答案】 【解析】由题意可得 ， 解得：， 所以 故答案为： 15．（2025·高二·辽宁葫芦岛·期末）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则线段的长度为 . 【答案】/ 【解析】如下图所示： 易知， 由棱长均为，且可得， ， 因此 ， 即可得线段的长度为. 故答案为：. 16．已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为 . 【答案】4 【解析】取的中点为，连接，如下图所示： 因此可得，且 可得； 因此当的长度最大时，取得最大值， 显然当点与重合时，，因此取得最大值为4. 故答案为：4 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$