1.1空间向量及其运算（思维导图+8大知识点+9大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版201

1.1空间向量及其运算 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：空间向量的有关概念 4 知识点二：空间向量的线性运算 4 知识点三：共线问题 5 知识点四：向量共面问题 6 知识点五：空间向量数量积的运算 6 知识点六：利用数量积证明空间垂直关系 7 知识点七：夹角问题 7 知识点八：空间向量的长度 8 04 题型归纳，举一反三 9 题型一：空间向量的基础概念解析 9 题型二：空间向量的加减法运算 10 题型三：空间向量的数乘运算 11 题型四：共线向量定理的实践应用 11 题型五：共面向量的判定与应用 13 题型六：空间向量的数量积运算 13 题型七：利用数量积求向量夹角 14 题型八：利用数量积证明垂直关系 16 题型九：利用数量积求线段长度 18 知识点一：空间向量的有关概念 1、空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 知识点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2、几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 知识点二：空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 知识点三：共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 知识点四：向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 知识点五：空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 知识点诠释： （1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同． （2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 知识点六：利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 知识点七：夹角问题 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 知识点诠释： （1）规定: （2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。 2、利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 知识点八：空间向量的长度 1、定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2、利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 题型一：空间向量的基础概念解析 【例1】已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 【方法技巧与总结】 空间向量的概念与平面向量的概念类似，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的概念． 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【变式1-2】给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 题型二：空间向量的加减法运算 【例2】（2025·高二·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式． 【变式2-1】（2025·高二·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高二·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高二·天津·期末）如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 题型三：空间向量的数乘运算 【例3】化简 . 【方法技巧与总结】 利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． 【变式3-1】若，其中，，为已知向量，则未知向量 . 【变式3-2】已知是三个不共面向量，已知向量则 . 【变式3-3】（2025·高二·全国·单元测试）如图，已知空间四边形，连接分别是的中点，则 ． 题型四：共线向量定理的实践应用 【例4】（2025·高二·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【方法技巧与总结】 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 【变式4-1】（2025·高二·湖北省直辖县级单位·期中）若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 【变式4-2】已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 【变式4-3】（2025·高二·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式4-4】（2025·高二·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 题型五：共面向量的判定与应用 【例5】（2025·高二·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 【变式5-1】（2025·高二·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式5-2】（2025·高二·浙江金华·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 【变式5-3】（2025·高二·湖北·期中）如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（   ） A． B． C． D． 题型六：空间向量的数量积运算 【例6】（2025·高二·山西·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 【方法技巧与总结】 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算． 【变式6-1】（2025·高二·广东佛山·期中）已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则 【变式6-2】（2025·高二·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 【变式6-3】（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 题型七：利用数量积求向量夹角 【例7】（2025·高二·安徽淮南·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【方法技巧与总结】 本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 【变式7-1】如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【变式7-2】如图，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC上的点，且，． (1)求证：； (2)求直线BD与AC所成角的大小． 【变式7-3】 ． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 题型八：利用数量积证明垂直关系 【例8】如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【方法技巧与总结】 立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零. 【变式8-1】如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【变式8-2】（2025·高二·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 【变式8-3】如图，棱长为a的正方体中，E，F分别为棱AB和BC的中点，为棱的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 题型九：利用数量积求线段长度 【例9】如图所示，在空间四边形中，，，两两成角，且，为的中点，为的中点，试求，间的距离． 【方法技巧与总结】 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。 【变式9-1】（2025·高二·江苏扬州·期中）如图，在四面体中，，，.    (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 【变式9-2】如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 【变式9-3】（2025·高二·浙江杭州·期中）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足． (1)用向量，，表示； (2)求． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1空间向量及其运算 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 知识点梳理 5 知识点一：空间向量的有关概念 5 知识点二：空间向量的线性运算 5 知识点三：共线问题 6 知识点四：向量共面问题 7 知识点五：空间向量数量积的运算 7 知识点六：利用数量积证明空间垂直关系 8 知识点七：夹角问题 8 知识点八：空间向量的长度 9 04 题型归纳，举一反三 10 题型一：空间向量的基础概念解析 10 题型二：空间向量的加减法运算 11 题型三：空间向量的数乘运算 13 题型四：共线向量定理的实践应用 15 题型五：共面向量的判定与应用 18 题型六：空间向量的数量积运算 20 题型七：利用数量积求向量夹角 23 题型八：利用数量积证明垂直关系 26 题型九：利用数量积求线段长度 30 知识点一：空间向量的有关概念 1、空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 知识点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2、几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 知识点二：空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 知识点三：共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 知识点四：向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 知识点五：空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 知识点诠释： （1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同． （2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 知识点六：利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 知识点七：夹角问题 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 知识点诠释： （1）规定: （2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。 2、利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 知识点八：空间向量的长度 1、定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2、利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 题型一：空间向量的基础概念解析 【例1】已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 【答案】C 【解析】 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 【方法技巧与总结】 空间向量的概念与平面向量的概念类似，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的概念． 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【解析】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 【变式1-2】给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 【变式1-3】给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 题型二：空间向量的加减法运算 【例2】（2025·高二·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向量相等可知: ，故A正确； ，故B正确； ，,则，所以，故C错误； ，故D正确； 故选：C. 【方法技巧与总结】 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式． 【变式2-1】（2025·高二·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在平行六面体中，==. 故选：C 【变式2-2】（2025·高二·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意， , 故选：A 【变式2-3】（2025·高二·天津·期末）如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 . 故选：B 题型三：空间向量的数乘运算 【例3】化简 . 【答案】 【解析】 . 故答案为：. 【方法技巧与总结】 利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． 【变式3-1】若，其中，，为已知向量，则未知向量 . 【答案】 【解析】由题设，则，故. 故答案为： 【变式3-2】已知是三个不共面向量，已知向量则 . 【答案】 【解析】， ， 故答案为： 【变式3-3】（2025·高二·全国·单元测试）如图，已知空间四边形，连接分别是的中点，则 ． 【答案】 【解析】因为分别是的中点，所以， 所以. 故答案为： 题型四：共线向量定理的实践应用 【例4】（2025·高二·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】B 【解析】对于，当时，，， 所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ， 即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即， 所以点在棱上，故正确； 对于，当时， 所以，， 所以， 即，即， 所以点在线段上，故正确． 故选：． 【方法技巧与总结】 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 【变式4-1】（2025·高二·湖北省直辖县级单位·期中）若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 【答案】A 【解析】由于，所以四点共面， 由于，所以三点共线， 根据平行四边形法则可知：是线段上，靠近的三等分点（如下图所示）. 所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A 【变式4-2】已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 【答案】D 【解析】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误； 对于B，，，， 又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误； 对于C、D，若，，，四点共面， 则有， ，即，故， 故，，，四点共面，C错误，D正确. 故选：D. 【变式4-3】（2025·高二·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 【变式4-4】（2025·高二·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 题型五：共面向量的判定与应用 【例5】（2025·高二·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知，，共面， 则可设， 即， 即，解得， 故选：D. 【方法技巧与总结】 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 【变式5-1】（2025·高二·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得. 故选：B 【变式5-2】（2025·高二·浙江金华·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题意可得， 因为所以，且，， 所以， 因为，所以，， 所以， 因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面的性质，有， 所以， 所以，解得， 所以. 故选：A 【变式5-3】（2025·高二·湖北·期中）如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，在四棱台中， ， 设，则四点共面， . 故选：A 题型六：空间向量的数量积运算 【例6】（2025·高二·山西·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 【答案】6 【解析】棱长为的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 【方法技巧与总结】 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算． 【变式6-1】（2025·高二·广东佛山·期中）已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则 【答案】/ 【解析】由题意可知：，且， 因为M为BC中点，N为AD中点， 则， 所以 . 故答案为： 【变式6-2】（2025·高二·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 【答案】1 【解析】因为， 又，，所以， 所以. 故答案为： 【变式6-3】（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【答案】 【解析】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为， 设，则 且， 如图所示，连接，由，， 可得， 所以. 故答案为：. 题型七：利用数量积求向量夹角 【例7】（2025·高二·安徽淮南·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）， ， ， （2），，， ，，， 因为 ， 所以，即的长为； （3）因为，， 同理可求得，， 又因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【方法技巧与总结】 本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 【变式7-1】如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）因为为线段的中点，，所以，， 所以 ， 又因为，， 所以. （2）由（1）得 ， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 【变式7-2】如图，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC上的点，且，． (1)求证：； (2)求直线BD与AC所成角的大小． 【解析】（1）证明：是底面圆的直径，，； 由圆柱可得：母线底面，底面，； 又，平面，平面， 又平面，． （2），， ， 由（1）知母线底面，，， 又，， ，由题知，， 设直线BD与AC所成角为，则 ， 而，所以，故直线BD与AC所成角的大小为. 【变式7-3】 ． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【解析】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 题型八：利用数量积证明垂直关系 【例8】如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【解析】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 【方法技巧与总结】 立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零. 【变式8-1】如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【解析】（1）正方体中，， 故. （2）由题意知，， ， ， 故， 故 . （3）由题意， ， ， 故与垂直. 【变式8-2】（2025·高二·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 【解析】（1）设，，，则，，，， ． 因为 ， 所以 （2）证明：因为 ， 所以． 【变式8-3】如图，棱长为a的正方体中，E，F分别为棱AB和BC的中点，为棱的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 【解析】（1）正方体中，四边形ABCD是正方形，所以. 又平面，平面ABCD，所以，. 又因为，，平面，所以，平面. 中，E，F分别为AB，BC中点， 所以，，所以，平面. （2）正方体中，四边形是正方形， 又F、M分别为、中点， 所以，，， 所以， ， 即.① 正方体中，平面，平面，所以.② 由①②及，且，平面，所以，平面， 又平面，所以，平面平面. 题型九：利用数量积求线段长度 【例9】如图所示，在空间四边形中，，，两两成角，且，为的中点，为的中点，试求，间的距离． 【解析】 ， 所以 因，，两两成角，且， 所以， 所以 所以， 即，间的距离为. 【方法技巧与总结】 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。 【变式9-1】（2025·高二·江苏扬州·期中）如图，在四面体中，，，.    (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 【解析】（1）在四面体中，，， . （2）如图所示： 因为，则， 因为F是CD中点，则， 于是. ， 所以. 【变式9-2】如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 【解析】（1）因为， 根据空间向量的运算法则，可得. （2）因为，，， 可得且， 则 ，所以， 即线段的长． 【变式9-3】（2025·高二·浙江杭州·期中）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足． (1)用向量，，表示； (2)求． 【解析】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足． 所以． （2）因为四面体OABC是正四面体，则， ， ， 所以． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$