题型十 一次函数、反比例函数的实际应用 2025年 中考数学复习课件（河南专版）

题型十 一次函数、反比例函数的实际应用 1 类型1 一次函数——阶段收费问题 1.国庆节期间，某品牌服装在两个平台做促销活动. 平台A：①顾客所购服装的原总价打九折；②原总价每满300元即送60元现 金券，折后可用券抵扣． 例如，某人购物原总价为620元，则他实际付款为 （元）． 2025河南中考专题 2 平台 原总价 优惠标准 不超过300元的部分 九折优惠 超过300元但不超过600元的部分 六折优惠 超过600元的部分 五折优惠 例如，某人购物原总价为700元，则他实际付款为 （元）． （1）若小李要买一件400元的该品牌服装，则他应选择平台___ （填“A”或“B”）购买. A 2025河南中考专题 3 （2）某款服装单价的定价为元 ，若小芳计划购买1件， 发现在两个平台上优惠后价格一样，求 的值. 【答案】平台A的优惠价为 元，平台B的优惠价为 元， 由题意可得 ， 解得 ， 故 的值为500. 2025河南中考专题 4 （3）小华要购买原总价超过600元且不超过900元的该品牌服装，那他在 哪个平台上购买更划算？请你帮他设计购买方案. 【答案】设原总价为元，平台A的优惠价为元，平台B的优惠价为 元， 当时， ， . 若，，解得 . 2025河南中考专题 5 若，，解得 . 若，，解得 . 当时， ， , . 综上可知，当时，在平台A上购买；当 时， 在平台B上购买，当 时，在两个平台上购买价格一样. 2025河南中考专题 6 类型2 一次函数——方案选择型问题 2.小文和小强计划寒假期间到一网球馆练球，已知 该网球馆推出寒假优惠活动：办一张寒假专属卡， 每次收费打六折.设练球次数为 ，不参加活动所需 费用为元，参加寒假优惠活动所需费用为 元， 和关于 的函数图象如图所示. （1）请分别求出，关于 的函数表达式. 【答案】（元/次）， （元/次）， ， . 2025河南中考专题 7 （2）若小文计划在寒假期间进行12次训练，则她是 否办理寒假专属卡后更划算？ 【答案】对于，令，则 ， 对于，令，则 . ，故小文办理寒假专属卡后更划算. 2025河南中考专题 8 （3）小强计划在寒假期间进行 次训练，若他办理寒假专属卡后更划算， 请你直接写出 的取值范围. 【答案】 . 【解析】解法提示：令，即，解得 . 2025河南中考专题 9 类型3 一次函数——方案设计型问题 3.某中学为了落实《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，让学 生体验农耕劳动，需要采购一批劳动工具．学校用3 600元在某超市购买 了如图所示的铲子、铁锹两种劳动工具共200把．已知一把铁锹的价格是 一把铲子的价格的3倍，且购买铁锹的费用与购买铲子的费用相同． （1）求购买一把铁锹、一把铲子分别需要多少元. 2025河南中考专题 10 【答案】方法一：设购买一把铲子需要元，则购买一把铁锹需要 元， 依题意得， （关键点：依据购买铲子、铁锹共200把这 一等量关系列出方程）， 解得 ， 经检验， 是所列方程的解，且符合题意（易错点）， . 答：购买一把铲子需要12元，购买一把铁锹需要36元． . . . . 2025河南中考专题 11 方法二：设购买铲子把，则购买铁锹 把， 依题意得， （关键点：依据一把铁锹的价格是一把铲子的 价格的3倍这一等量关系列出方程）， 解得 ， 经检验， 是所列方程的解，且符合题意（易错点）， ， ． 答：购买一把铲子需要12元，购买一把铁锹需要36元． . . . . 2025河南中考专题 12 （2）若该中学准备再次购买铁锹、铲子两种劳动工具共200把，且铲子的 数量不多于铁锹数量的2倍，问本次购买最少花费多少钱. 2025河南中考专题 13 【答案】设购买铲子把，则购买铁锹 把， 依题意得， ， 解得 ． 设本次购买总费用为 元， 根据题意得，． ，随 的增大而减小. 又，且 为正整数， 当时， 取得最小值，最小值为 ． 答：本次购买最少花费4 008元. 2025河南中考专题 14 （3）该超市为了促销铁锹、铲子两种劳动工具，决定推出一种优惠方案： 一把铲子和一把铁锹打包成一套销售，每套40元；不成套购买，按照原价 付款.若该中学在（2）的条件下在该超市按照优惠方案购买劳动工具，则 最少花费多少钱. 2025河南中考专题 15 【答案】每套劳动工具40元，比按原价购买少了8元，但购买一把铁锹比 一把铲子多了24元，故还是购买铲子越多，费用越少，即购买铲子133把 时费用最少，此时购买铁锹 （把）. 依题意得，先购买67套劳动工具，再单买铲子 （把）. （元）. 答：最少花费3 472元． 2025河南中考专题 16 4.某书店计划购进A，B两种与航天有关的图书共400本进行销售.已知购进 4本A种图书和5本B种图书需花费98元；购进5本A种图书和10本B种图书 需花费160元. （1）求A，B两种图书每本的进价. 【答案】设A种图书每本进价元，B种图书每本进价 元， 根据题意，得 解得 答：A种图书每本进价为12元，B种图书每本进价为10元. 2025河南中考专题 17 （2）若A，B两种图书的售价均为16元/本，且购进A种图书的数量不少于 100本，购进B种图书的数量不少于180本.设购进A种图书 本. ①求 的取值范围. 【答案】购进A种图书本，则购进B种图书 本. 根据题意，得 ， . 又 ， 的取值范围为 . 2025河南中考专题 18 ②该书店在购进图书时正好赶上A种图书的促销活动，即购买A种图书超 过130本时，超过130本的部分打5折.请设计出最佳的购进方案，使得两种 图书售完后能获得最大利润，并求出最大利润. 【答案】设两种图书售完后获得的总利润为 元， 当 时， . ， 随 的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为 . 2025河南中考专题 19 当 时， . ， 随 的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为 . ， 的最大值为，此时, . 答：当购进A种图书220本，B种图书180本时，两种图书售完后能获得最 大利润，最大利润为2 500元. 2025河南中考专题 20 类型4 一次函数——行程问题 5.1号海底探测器从海平面某处出发，以 的速度匀速竖直下降， 后2号海底探测器在另一位置从海平面以 的速度匀速竖直下降， 两探测器第一次下降至同一深度时，2号探测器原地停留 探测周围环境， 随后继续按原速下降.已知1号探测器出发 后，两个探测器均抵达各自 目标深度,不再下降.设1号探测器下降时间为（单位：），下降深度为 （单位：），2号探测器的下降深度为（单位： ），请回答下列问题. （1）两探测器第一次相遇前，直接写出，关于 的函数关系式. 【答案】，（或 ）. 2025河南中考专题 21 （2）求两探测器第一次下降至同一深度时，距离海平面多远. 【答案】令，则， . 此时 ，故两探测器第一次下降至同一深度时，距离海平面 远. 2025河南中考专题 22 （3）当两个探测器下降深度相差时，求出 的值. 【答案】根据题意可知， 时，两个探测器抵达各自深度， 不再下降， . 当时，令，则 ， 解得 . ， 当时，， ， 2025河南中考专题 23 ， 当时，两个探测器下降的深度最大相差 . 当时，设，将代入，可得 ， ， . 令，即， ,符合题意. 当两个探测器下降深度相差时，的值为50或 . 2025河南中考专题 6.“定向越野”活动不仅是一次勇往直前的体验，也是一场寻找自我、挑战 自我、超越自我的精神之旅.为了缅怀先烈，继承遗志，某校于4月初进行 了“忆先烈功垂不朽”的定向越野活动.如图（1），在一条道路上依次有 , ,三地,甲同学从地出发跑向地,同时乙同学从地出发跑向地,到达 地时恰与甲同学相遇，乙停留后,按原路原速返回 地.两人匀速行进,甲 同学比乙同学晚到达地.两人距地的路程与时间 之间的函 数关系如图（2）所示. 2025河南中考专题 25 图（1） 图（2） 请结合图象信息解答下列问题: 2025河南中考专题 26 （1）求点 的坐标. 【答案】设直线的表达式为 ， 将， 分别代入， 得解得 故直线的表达式为 . 由题意可知，点的横坐标， . 乙同学原路原速返回 地， 2025河南中考专题 乙同学到达地所用时间，即 . 由题意可知，点在 上， , . 2025河南中考专题 （2）求乙同学从地返回地的过程中,与 之间的函数关系式. 【答案】由题意可知， 轴， . 又， . 设乙同学从地返回地的过程中,与之间的函数关系式为 ， 将， 分别代入， 得解得 故乙同学从地返回地的过程中，与之间的关系式为 . 2025河南中考专题 29 （3）直接写出甲、乙两同学相距 的时刻有几个. 【答案】4个. 【解析】解法提示：设，相交于点 ，如图， 2025河南中考专题 30 进行如下分析： 当时，一定有一个时刻，甲、乙两同学相距 . 当时，将代入，得 ，而 ， 故当时，甲、乙两同学相距 . 当时，将代入，得 ，故 在这个范围内，一定有2个时刻，甲、乙两同学相距.（提示：在 的 左右两侧各有1个） 2025河南中考专题 31 类型5 一次函数——其他问题 7.杆秤是我国传统的计重工具，如图（1），可以用秤砣到秤纽的水平距离， 来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤钩所挂物体的质量为 （单位：斤）（注：1斤千克），秤砣到秤纽的水平距离为 （单位：厘米），则是 的一次函数．下表为称重时所记录的一些数据： 斤 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 厘米 1 2 4 7 11 12 2025河南中考专题 32 已知表格中有一组数据记录有误. （1）在如图（2）所示的平面直角坐标系中，利用描点的方法，判断哪一 组数据是错误的，并求出与 之间的函数关系式. 2025河南中考专题 33 【答案】描点如图所示. 由图可知, 这组数据有误. 设，把， 分别代入， 得解得 . 2025河南中考专题 34 （2）若将一箱质量为5斤的橘子挂在秤钩上， 求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离. 【答案】对于，当时， . 答：若将一箱质量为5斤的橘子挂在秤钩上， 则秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米. 2025河南中考专题 35 （3）已知秤砣到秤纽的最大水平距离为50厘米，则这个杆秤最多可以称 多少斤的重物？ 【答案】对于，当时， . 答：这个杆秤最多可以称13斤的重物. 2025河南中考专题 36 8.某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物 的共同生长情况.当他们尝试施用某种药物时，发 现会对， 两种植物分别产生促进生长和抑制生 长的作用.通过实验数据统计发现，药物施用量 与，两种植物的生长高度 ， 的关系如图所示. 2025河南中考专题 37 （1）请分别求出种植物、种植物的生长高度 与药物施用量 之间的函数关系式； 【答案】设 ，由图象可知直线 过点， ， 解得 . 设，由图象可知直线 过点 ， ， 解得 . 2025河南中考专题 38 （2）当两种植物的生长高度相同时，求药物的施用量 的值. 【答案】联立得解得 当两种植物的生长高度相同时，药物的施用量应为 . 2025河南中考专题 39 （3）同学们研究发现，当两种植物的高度差不超过 时，两种植物的 生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物的施用 量 的取值范围. 2025河南中考专题 40 【答案】当 时， ， 解得， . 当时， ，解 得 , . 综上所述，当 时，两种植物的高度差不超过 ，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态. 2025河南中考专题 41 类型6 反比例函数的实际应用____ 9.家用电灭蚊器的发热部分使用了发热材料,电阻（单位: ）随温度 （单位:）（在一定范围内）的变化而变化,通电后发热材料温度从 上升到 的过程中,电阻与温度有如下关系: 10 15 20 30 6 4 3 2 2025河南中考专题 42 （1）根据表中的数据,在下图中描出实数对 的对应点,猜测并确定与 之间的函数关系式并画 出其图象. 2025河南中考专题 43 【答案】由题意得,当时，设和之间的函数关系式为 , 把代入中，解得 ， 与之间的函数关系式为 . 画出图象如图所示. 2025河南中考专题 44 （2）当时,与之间的函数关系式为 ，请在图中画出该 函数图象. 【答案】如图所示. 2025河南中考专题 45 （3）根据以上信息,家用电灭蚊器在使用过程中, 温度在什么范围内发热材料的电阻不超过 ？ 【答案】由图可知，当 时，发热材料 的电阻不超过 . 2025河南中考专题 46 10.环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的质 量浓度超标，即硫化物的质量浓度超过最高允许的 ．环保局要求该 企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水 中硫化物的质量浓度与时间 （天）的变化规律如图所示，其中线 段表示前3天的变化规律，且第3天时硫化物的质量浓度降为 ．从 第3天起所排污水中硫化物的质量浓度与时间 满足如下表格中的关系： 2025河南中考专题 47 时间 天 3 4 5 6 8 … 硫化物的质量浓度 4 3 2.4 2 1.5 … （1）整改过程中，当时，求硫化物的质量浓度与时间 的函数 关系式. 2025河南中考专题 48 【答案】当时，设硫化物的质量浓度 与 时间的函数关系式为 ， 把，分别代入 ，得 解得 故当时，硫化物的质量浓度与时间 的 函数关系式为 . 2025河南中考专题 49 （2）整改过程中，当 时，求硫化物的质量浓 度与时间 的函数关系式. 【答案】当时，设硫化物的质量浓度 与时间 的函数关系式为 ， 把代入，得 ， 解得 . 故当时，硫化物的质量浓度与时间 的函数 关系式为 . 2025河南中考专题 50 （3）该企业所排污水中硫化物的质量浓度能否在15 天以内不超过最高允许的 ？为什么？ 【答案】能． 理由：当时， . ， 该企业所排污水中硫化物的质量浓度能在15天以内 不超过最高允许的 . 2025河南中考专题 51 $$