专题14【学案】三角形与四边形

扇学科同·阻子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【学案·专题14】三角形与四边形 【思维导图】 【考点一】一半模型 【考点二】等高模型 【考点三】鸟头（共角）模型 三角形和四边形 【考点四】蝴蝶模型 【考点五】相似模型 【考点六】燕尾模型 【考点一】一半模型 【例1】如图所示，平行四边形ABCD中，AB和EF平行，三角形ABF的面积为20平方 分米，三角形ECD的面积为24平方分米，求平行四边形ABCD的面积。 B A 【思路分析】 24 辅助线：连接AE 1观察三角形的面积关系： 因为AB和EF平行，根据“等底等高的三角形面积相等”原理 三角形ABF和三角形ABE有相同的底AB,并且它们的高都等于AB与EF之间的距离 所以SABF=S。ABE=20平方分米 SABE=×ABX(h是AB到EF的高) 1 扇学科网·顺子学 www.zxxk.com 让学习更高效 S.ECD=XCDx:(是cD到EF的高) 2利用等积关系： 由AB和CD平行且相等，EF平行AB和CD,可以得出h1+h=h,即平行四边形的高 因此，平行四边形ABCD=ABXh=2X(SABE+S.ECD) =2×(20+24) =2×44 =88(平方分米) 技巧点拨 一半模型：在特定图形中，某些部分的面积恰好是整个图形面积的一半 1三角形中的一半（图中红点为中点） 2平行四边形（长、正方形）中的一半 3梯形中的一半（图中红点为中点） 4.任意四边形（图中红点为中点） 【考点二】等高模型 【例2】如图，在长方形ABCD中，三角形DEC的面积是6平方厘米，线段CE与线段AE 长度的比是1：2，长方形ABCD的面积是( )平方厘米。 扇学科网·阻子学 www.zxxk.com 让学习更离效 【思路分析】 1.△DEC和△DAE,它们有共同的顶点D,且底边CE和AE在同一条直线AC上（这两个三 角形等高) 2.因为CE:AE=1:2,根据“等高三角形面积比等于底边比”，可得SDEC:S。DAE=1:2 S。DEC=6平方厘米→S.DAE=6×2=12(平方厘米) 3.S.DAC=SDEC+SDAE=6+12=18(平方厘米) SDAC=SABCD→SABCD=18X2=36(平方厘米) 【解答】36 技巧点拨 等高模型： 1.识别等高三角形：寻找共享顶点、底边共线的三角形，确定它们等高 2利用面积比：①等底等高的两个三角形面积相等 ②等高三角形面积比等于底边比 ③等底三角形面积比等于高之比 【考点三】鸟头（共角）模型 【例3】已知三角形DEF的面积为7平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC 的面积。 【思路分析】 1.△BDE:AD=2BD→BD-AB BE=CE→BE-BC 2.△ADF:AD=2BD→AD-5AB CF=3AF→AF=AC 3 扇学科网·胆子学 www.zxxk.com 让学习更高效 3.△CFE: BE=CE→CE-号BC 3 CF=3AF→CF=2AC 3 SAABC-SAABC 4.△DEF=S△ABC-S△BDE-SADF-SACFE =SABC- SAG-SACSABC 6 2SA8c △DEF=7平方厘米→SABC=7÷ 24=24(平方厘米) 技巧点拨 鸟头（共角）模型：①找共角②找夹边③找乘积④作比例 1两个三角形中有一个角相等或互补（两角之和为180°），这两个三角形叫共角三角形 2.共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比 正常鸟 歪头鸟 抬头鸟 直角鸟 相等角 互补角 互补角 S△ADE.AD×AE S△4BCAB×4C 【考点四】蝴蝶模型 【例4】如图，在长方形ABCD中，AB=6厘米，AD=2厘米，AE=EF=FB,求阴影部分 的面积。 【思路分析】 连接DE、CF,构造出“蝴蝶模型” S 4 扇学科网·顺子学 www.zxxk.com 让学习更高效 S3=S△AED+S△EOD 1.AB=6厘米，AE=EF=FB→AE=EF=FB=6÷3=2厘米 在梯形EFDC中，由“蝴蝶模型”可得S1:S2 =22:2×6 =4:12 =1:3 S%D7×2X2=2(平方厘米) SE0D是Sm的，所以SaoD=2×2=15(平方厘米) 2. S-×2×2-2(平方厘米) 3.S=SAED+SE0D=2+1.5=3.5(平方厘米) 技巧点拨 蝴蝶模型： 1梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”) ①蝴蝶翅膀面积相等：S2=S4 S2 6 ②文叉相乘积相等：S1×S,=S2×S4 3S1:S3:S2:S4=a2:b2:ab:ab ④梯形面积对应份数为(a+b): 2.任意四边形中的比例关系(“风筝模型”) ①S1:S1=S4:S3或者S1×S=S4×S 5 ②AO:OC(S1+S2):(S4+S);B0:OD=(S1+S):(S1+S4) 【考点五】相似模型 【例5】如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16,AD=10,BE=4,那么FC的长度是 多少？ B 扇学科网·顺子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【思路分析】 ①平行四边形ABCD中，AB∥CD,所以△DFC和△FBE是相似模型 对应线段成比例： B距_FB-4-1 DC FC 16 4 @AD-BC黑-→FC-BC-Cx10-8 FC 4 技巧点拨 相似模型： (金字塔模型) (沙漏模型) 条件：存在平行线（如：DE∥BC) 1对应边成比例：”=二-D2= AB AC BC AG 2面积比-=相似比的平方：SAe:SAsc=(2)? AB 【考点六】燕尾模型 【例6】如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少？ 84 E 35 4030 D 【思路分析】 ①根据燕尾模型：△AOB和△AOC面积比： 4 SaA0C=S△A0E+35→ a+35写 ②根据等高模型：△OEC和△BOC面积比→OE和OB比值： 0E=匹=5_1 08-。-70- 6 扇学科网·顺子学 www.zxxk.com 让学习更离效 ③根据等高模型： 1 0B2 →ScA0B=2S△A0E 4 25△oE- 5aa+35写 一5写解得50E70 S△A0B=2S△A0E=2X70=140 S△ABc=SAAOB+-SABOD+S△Doc+S△EOc+S△AoE =140+40+30+35+70 =315 技巧点拨 燕尾模型：①找比例关系，求具体数值②先设份数，统一大小，最后求值 1特征：在三角形中，一点三线 2结论：S1:S2=S:S4=BD:DC (左边翅膀：右边翅膀=左边尾巴：右边尾巴=尾巴线段比) D 3三个燕尾： S△AOB:S△AOC=BD:DC S△Aoc:SABOC=AF:FB S△EOc:S△AOB=CE:EA 7