第3讲 与圆有关的位置关系-【学海风暴·PK中考】2025江西中考数学备考集训本

第3讲与圆有关的位置关系 (建议用时：45分钟满分：50分) 「夯实悬础（第1~7题各3分，第8题6分，共 7.如图，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长 27分) 线上，PC切半圆O于点C,连接AC.若∠P 1.在平面直角坐标系内，已知点M(4,3),以点M 36°，则∠A的度数为 为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离， 8.(2024景德镇三模)如下图，△ABC内接于⊙O, 那么r的取值范围为 ( AB=AC,AD是⊙O的直径，交BC于点E,过点 A.0<r<5 B.3<r5 D作DF∥BC,交AB的延长线于点F,连 C.4<r<5 D.3<r<4 接BD. 2.(2024山西)如图，已知△ABC,以AB为直径的 (1)求证：DF是⊙O的切线： ⊙O交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD. (2)若AC=4,AF=6,求BD的长 若∠AOD=80°，则∠C= A.30° B.40 C.45 D.50° 第2题图 第3题图 3.(2024福建)如图，已知点A,B在⊙O上，∠AOB =72°，直线MN与⊙O相切，切点为C,且C为 AB的中点，则∠ACM等于 () A.18° B.30° C.36 D.72° 4.(2024泸州)如图，EA,ED是⊙O的切线，切点 为A,D,点B,C在⊙O上.若∠BAE+∠BCD= 236°，则∠E= ( A.56 B.60 C.68 D.70 厂提升能力（第9~10题各3分，第11题8分，共 14分) 9.(2024深圳罗湖区模拟)如图，AB,BC,CD分别 0 与⊙O相切于点E,F,G,且AB∥CD,OB,OC分 第4题图 第5题图 别交⊙O于点M,N.若BE与CG的乘积为6，则 5.如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点 MN的长为 () P,C为切点.若∠P=30°，⊙O的半径为3.则 A.23 B.2√6 C.32 D.6 PB的长为 E 6.如图，A是⊙O外一点，AB,AC分别与⊙O相切 于点B,C,点D在优弧BC上.若∠A=50°，则 ∠D的度数是 D 第9题图 第10题图 10.中考新方向·古代文化(2024东营二模)《九 章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步.问 B 0 第6题图 第7题图 勾中容圆径几何，”译文：今有一个直角三角形， 集训本金211 短直角边边长为8步，长直角边边长为15步， 厂冲刺名校7（第12题9分） 问该直角三角形内切圆的直径是多少.如图，该 12.(2024赣州南康区模拟)已知⊙O的直径AB 直径长 步 4,E是射线AB上的一个动点，以AE为边画 11.（2024南昌一模)【定理证明】 ☐ACDE,满足∠CAE=60°，AC=2AE. (1)如图①，PA,PB是⊙O的两条切线，切点分 (1)如图①，当AE的长为 时，点C恰 别为A,B,求证：PA=PB: 好在⊙O上： 【定理应用】 (2)如图②，当动点E与点O重合时，连接DB, (2)如图@，△ABC是⊙O的内接等腰三角形， 求证：DB是⊙O的切线； AB=AC=2,∠D=60°，DC是⊙O的切线.若 (3)在点E的运动过程中，是否存在□ACDE的 DA∥BC,求四边形ABCD的面积. 边所在的直线与⊙O相切？若存在，直接写出 AE的长；若不存在，请说明理由. B 图① 图② O(E)B 图① 围② 212.2025江西数学第六单元圆 .OC=2. 第1讲正多边形与圆（含多边形） 5.D【解析】如图，连接BC.:AB是⊙O 的直径，∠ACB=90°.·∠ACD= 1.A2.A ∠CAB,∴AD=BC,∴.AD=BC=2. 3.B【解析】，正六边形ABCDEF每个内角为120°， .∠A+∠F=240°.：四边形AMNF的内角和为(4一 在Rt△ABC中，AB=√AC+BC= 2)X180°=360°，∠a=∠AMN,∠B=∠FNM,∴.∠a 25,∴⊙0的半径为5. +∠B=∠AMN+∠FNM=360°-（∠A+∠F)= 6.80°7.50°8.75° 360°-240°=120° 9.60°【解析】：四边形ABCD内接于⊙O,∴.∠B+ 4.360°5.45 ∠D=180°.：四边形OABC是菱形，∴·∠B=∠AOC, 6.50°【解析】：六边形ABCDEF是正六边形， ∴.∠AOC+∠D=180.由圆周角定理，得∠D= .∠AFE=∠BAF=120°.∠EFG=20°，∴.∠AFG 2∠AOC,∴∠D=60 =120°-20°=100°.AH∥FG,.∠FAH=180° 100°=80°，∴∠BA1=120°-80°=40.，B1⊥AH. 10.40°【解析】连接OB,如图.：∠ACB= 25°，∴.∠AOB=2∠ACB=50°.：OA= .∠AB1=90°-40°=50， 7.6x【解析】：正八边形每个外角为360°÷8=45， OB,∠0AB=∠0BA=2(180 ∠BAH=135∴Sa。=135XmX4=6元 ∠AOB)=65°.·OA∥CB,∴.∠OAC=∠ACB=25°， 360 ∴∠CAB=∠OAB-∠OAC=40. 8.B【解析】，五边形的内角和为(5一2)X 11.18【解析】如图，连接AB.OB,过点O作 A C B 180°=540°，.正五边形的每一个内角为 OC⊥AB于点C,延长CO交⊙O于点D. 540°÷5=108°.如图，延长正五边形的两 0 :OC⊥AB,.AC=CB=6cm.由题意，得 边相交于点0，则∠1=360°-108°×3= OB=10cm,.在Rt△OBC中，(OC=8cm, 360°-324°=36°.360°÷36°=10,10-3=7，.完成 ∴.CD=OC十OD=8+10=18(cm),即这个容器所能 这一圆环还需要？个这样的正五边形. 装水的最大深度是18cm。 9. 2 【解析】如图，连接BC,BD.易 12.解：(1)证明：FA=FE, 知点G在BD上，且AB⊥BG,ABB .∠FAE=∠AEF ∥CD, :∠FAE-=∠BCE,∠AEF=∠CEB, .∠ABG=90°，.∠CDB=90°. ∴∠CEB=∠BCE. ,CE平分∠ACD 故BC为该圆的直径. ∴∠ACE=∠DCE BD=2G=2X2x9X1=2v5.CD=1. AB是直径，∠ACB=90 ∴.∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB BC=√BD+CD=√，∴该圆的半径为 2· =90°， 10.3【解析】如图，AB是正十二边形的一 ∴.∠CDE=90°，∴.CDLAB. 条边，点O是正十二边形的中心，过点A (2)由(1)知，∠BEC=∠BCE, 作AM⊥OB于点M.在正十二边形中， ∴BE=BC :AF=EF,FM⊥AB, ∠A0B=360÷12=30.∴AM=0A ∴.MA=ME-=2,∴.AE=4, =5m=20B·AM=号X1X号 ,圆的半径OA=OB=AE-OE=3, 心正 ∴.BC=BE=OB-OE=2, 十二边形的面积为12×-3,3=x×1,∴x=3, .AC=√AB-BC=√G-2=42. x的估计值为3. 第3讲与圆有关的位置关系 1.D2.D3.A 第2讲圆的有关性质 4.C【解析】如图，连接AD.四边形 1.C2.B3.A ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD 4.B【解析】如图，连接OB,设OA交BC +∠BCD=180°.∠BAE+∠BCD= 于点E 236,∴∠EAD+∠BAD+∠BCD= ∠ADB=30°，∠AOB=60°.OA ∠EAD十180°=236°，∴.∠EAD=56°.：EA,ED是 ⊥BC,BC=2原，BE=2BC=. ⊙O的切线，切点为A,D,.EA=ED,∠EDA= ∠EAD=56°，，.∠E=180°-∠EDA-∠EAD=180 在R△B0E中，m∠A0B-8器=号，解得OB-2. -56°-56°=68°. 5.36.657.27 参考答案 77 8.解：(1)证明：：AD是⊙O的直径， ∴∠OCA=∠OAC,∴.∠AOC+2∠OCA=180°， .∠ABD=90°，即∠ABC+∠CBD=90 ·AB=AC,.∠ABC=∠C ∴7∠A0c+∠0CA=90 ∠ADB=∠C,∴∠ABC=∠ADB. :DC与⊙O相切于点C,∴DC.LOC, ,BC∥DF,∴.∠CBD=∠FDB,∴∠ADB+∠FDB ∴.∠ACD+∠OCA=∠OCD=90°，∴.∠ACD= =90°，即∠ADF=90°，.AD⊥DF ∠A0C 又：OD是⊙O的半径，∴.DF是⊙O的切线. (2)AB=AC=4,AF=6,..BF=AF-AB=2. :∠B-∠A0C,∠ACD=∠B :∠ADF=90°.∠ABD=90°， :AD∥BC,∴∠CAD=∠ACB ∴.∠DBF-∠ABD=90°，∠ADB+∠BDF=∠BAD :AB=AC,∴∠B=∠ACB, +∠ADB=90°， ∴∠ACD=∠CAD,∴.AD=CD. ∠BDF=∠BAD△BDFO△BMD÷职-邵， :∠D=60°，∴.△ACD是等边三角形， ∴∠CAD=∠ACB=60°，∴.△ABC是等边三角形， .BD=BF·AB=2×4=8,.BD=22 ∴AB=CB=AC=AD=CD=2,∴.四边形ABCD是 9.A【解析】如图，连接OF.AB,BC,A 菱形 CD分别与⊙O相切于点E,F,G,.BE 过点C作CE⊥AD于点E,则∠AEC=90°，AE=DE =BF,CF=CG,∠OCG=∠OCF= ∠FG,∠OBF-∠OBE-∠EBRD -AD-1..CE-AG-AE-, 又：AB∥CD,.∠EBF+∠FCG=180°，.∠OCF+ ∴.Swwn=AD·CE=2X3=23. 12.解：(1)1 ∠0BF=2×180°=90，∠B0c=180°-90=90 (2)证明：如图①，设OD与⊙O交于点F,连接BF. 即∠BOF+∠COF=90°.：BC与⊙O相切于点F, :四边形AEDC是平行四边形， .∠OFB=∠CFO=90°，.∠BOF+∠OBF=90°， ,.AC∥DE,AC=OD ∠0BF=∠CoF,i△BoF0△0cR.85-8s. .∠DOB=∠CAE=60° 又，OF=OB,∴△OFB是等边三角形 ∴.OF=BF·CF=BE·CG=6.又，OM=ON, .BF=OF,∠OFB=∠OBF=60 ∠MON=90°，.MN=2Of=2OF=12,.MN= AC=OD=2AE=20A..OD=20F, √12=23. ∴.OF=DF=BF,∴∠FDB=∠FBD. 10.6【解析】如图，设该直角三角形ABC的 ∠OFB=∠FDB+∠FBD=6O°， 内切圆⊙O的切点分别为D,E,F,连接 ∠FDB=∠FBD=30°，.∠OBD=90,.OB OD,OE.由题意，得AC,AB,BC与⊙O相 ⊥BD 切，AC=15步，BC=8步，∠C=∠OEC= 又，OB为⊙O的半径，.DB是⊙O的切线， ∠ODC=90°，.BD=BF,CD=CE,AF= (3)存在，AE=2或2+4 AE,AB=√15+8=17（步），.四边形 3 ODCE为正方形.设OE=r,则CD=OD=CE=r, ..AF=AE=15-r,BF=BD=8-r,..AB=AF+ BF=15-r十8一r=17,解得r=3,∴.圆的直径为2× 3=6(步). 11.解：(1)证明：如图①，连接OA,OB,AB. ,PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别为A,B, .PA⊥OA,PB⊥OB, ∴.∠OAP=∠OBP=90°. OA=OB,∴.∠OAB=∠OBA, ∴.∠OAP-∠OAB=∠OBP-∠OBA, ∠PAB=∠PBA,∴.PA=PB 图3 图④ 【解析】(1)如图②，连接OC,:OC=OA,∠CAE 60,△0CA是等边三角形，AC=OA=2AB 湖①D 图2 2.:AC=2AE,AE=2AC=1.(3)可分两种情况 (2)如图②，连接OA,OC,则OA=OC, 讨论：①如图③，当CD与⊙O相切时，过点D作DH 78▲。2025江西数学 ⊥AB于点H,:四边形ACDE是平行四边形，∴.AC ∥DE,CD∥AE,AC=DE,.∠DEH=∠CAE ÷DE=2AC=2×4=2 60°.由平行线间间距相等可得DH=2,AC=DE= 7.D【解析】：AC=2BC,∠AOB=90°，∠BOC=90 mD09AE-AC-29,e如周D ×1+2=30,·CD1OA.CE⊥OB.OA∥CE, 当DE与⊙O相切时，设切点为F,连接OF.:四边 Sm-S-a0 360 12. 形ACDE是平行四边形，∴.AC∥DE,∴.∠AEF= ∠CAE=60°，由切线的性质可得∠OFE=90°.∴，OE 8.x【解析】连接OE,0D,如图。 OF sin∠OEF 45,AE=A0+0E=2+45综 .OD-OB. .∠B=∠ODB. 上1E的长为2支2+ ,AB=AC,∠B=∠C, 3 ∴.∠C=∠ODB,∴.OD∥AC, 第4讲与圆有关的计算 ∴.∠EOD=∠OEA. 1.C2.B .OE=OA. 3号m【解折】S=Sw-Sa=120 ·∠OEA=∠BAC=50°，∠EOD=50°. 360 1204=12x-1g-2g(m) OD-AB=3 cm. 360 3 4.300x【解析】设扇形所在圆的半径为R.由题意，得 DE的长为03=音。 6(em). 20x=120,解得R=30,∴扇形的面积=号×20x× 9.解：(1)证明：如图，连接OC 180 :CD为⊙O的切线，点C在⊙O上， 30=300π. ∴.∠OCD=90°，.∠DCA+∠OCA=90°. 5.解：(1)证明：如图，连接OD :AB为直径，·∠ACB=90°，.∠ABC+∠OAC 在△BOD和△BOC中， =90°. BD=BC, OC=OA,∴∠OAC=∠OCA,∴∠ABC=∠DCA. BO=BO. :AC-CE,∴∠ABC=∠CAE, DO=CO. .∠CAE=∠DCA,.DC∥AE. .△BOD≌△BOC(SSS),.∠BDO=∠BCO. (2)如图，连接OE,BE ∠ACB=90°，.∠BDO=90°，即OD⊥AB. EF垂直平分OB,∠OFE= 又：点D在⊙O上，即OD为⊙O的半径，.AB是 90°.OE=BE. ⊙O的切线， ,OE=OB,∴.△OEB为等边三 (2)令⊙O的半径为r. 角形， 在Rt△AOD中，(3)+=(r+1), .∠B0E=60°，∴.∠AOE=180-60°=120° DO 1 解得r=1,A0=2sinA=A02 OA=OE,∴.∠OAE=∠OEA=30. DC∥AE,∴∠D=∠OAE=30. ∴.∠A=30°，∴.∠D0C=120. ∠OCD=90°..OD=20C=OA+AD. 又，△BOD2△BC,.∠DOB=∠COB,.∠COB OA=0C,∴.OC=AD=3,∴AO=OE=(0C=3, =2∠D0C.∠c0B=60. Ep-停0E-3∴se-吉A0FE-9 2 流CF的长为01- 4 3 6.解：(1)，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的切线， 120XS-SaMInE-SAOE- 360 .AC⊥BC,即∠BCA=90° 3x- 93 ∠B=65°， 4 .∠A=90°-65°=25，.∠C0E=2∠A=50 10.解：(1)证明：如图，连接OB. AC=4,∴.0A=2, :∠ACB=90°，.∠BAC+∠ABC=90 ·阴影部分的面积=50xX2=5 :AB平分∠OAC,∴.∠OAB=∠BAC. 360 9元， OA=OB.∴.∠OAB=∠OBA, (2)CD=AE...CAD=ACE...CE=AD. ∴∠OBA=∠BAC,∴∠OBA+∠ABC=90°， .∠A=∠AED,.DE∥AC, ,∴.∠OBC=90°，即OB⊥BC. △DEO△CAP票 :OB是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线， AF-2ER,器-名 (2)①，AC⊥BD,BC=CD, 参考答案 79