第5讲 相似三角形-【学海风暴·PK中考】2025江西中考数学备考集训本

第5讲相似三角形 (建议用时：50分钟满分：53分) 夯实基础（第1~7题各3分，第8题6分，共 6.(2024乐山)如图，在梯形 27分) ABCD中，AD∥BC,对角线 1.(2024内江)已知△ABC与△DEF相似，且相似 AC和BD交于点O.若 比为1：3，则△ABC与△DEF的周长之比是 SAABD 3,则 SA跑 第6题图 ( SARCD △mx A.1:1 B.1:3 C.1:6 D.1:9 7.如图，乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A,B 2.(2024浙江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分 与△A'B'C‘是位似图形，位似中心为点O.若点 制点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑 A(一3,1)的对应点为A'(-6,2),则点B(-2, 点C,D之间的距离为 cm(结 4)的对应点B的坐标为 ( 果保留根号). A.(-4,8) B.(8,-4) C.(-8,4) D.(4,一8) A D C B 第7题图 8.(2024南昌东湖区模拟)如下图，在等边三角形 ABC中，P是边BC上一动点（不与端点重合）， 作∠DPE=60°，PE交边AC于点E,PD交边 第2题图 第3题国 AB于点D. 3.中考新方向·跨音乐学科如图，五线谱是由等 (1)求证：△BPD△CEP: 距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线 (2)若AB=10,BD=3,CP:BP=1:4,求CE 上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3, 的长 则线段BC的长是 A号 B.1 c D.2 4.中考新方向·人教九下教材第42页题5变 式如图，AB∥CD∥EF,则下列结论正确的是 () A踢 B c-" 品-票 第4题图 第5题图 5.(2024滨州)如图，在△ABC中，点D,E分别在 边AB,AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则 这个条件可以是 集训本心 197 提升能力（第9~11题各3分，第12题8分，共 (2)连接CG,若∠BAG=∠BCG,求证：□AB 17分) CD是菱形. 9.如图，点P是△ABC的重心，D是边AC的中 点，PE∥AC交BC于点E,DF∥BC交EP于点 F,若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面 积为 A.12 B.14 C.18 D.24 第9题图 第10题图 「厂冲刺名按7（第13题9分）】 10.(2024重庆A卷)如图，在△ABC中，延长AC 13.(2024南昌一模)如下图，△ABD和△BCD均 至点D,使CD=CA,过点D作DE∥CB,且DE 为直角三角形，∠ABD=∠BCD=90°，∠A=C =DC,连接AE交BC于点F.若∠CAB= (0°<a<90°)，且BC∥AD,DE∥AB,连接BE, ∠CFA,CF=1,则BF= 以BE为斜边向上作Rt△BFE,且∠BFE= 11.中考新方向·双空题(2024 90°，∠EBF=∠ADB,连接CF. 湖北)△DEF为等边三角形， 分别延长FD,DE,EF到点 1求证2。 A,B,C,使DA=EB=FC,连 (2)求证：AD·CF=BD·DE: 接AB,AC,BC,连接BF并延 第11题图 (3)直接写出票的值（用含e的式子表示）. 长交AC于点G.若AD=DF=2,则∠DBF .FG= 12.如右图，在□ABCD中，对 角线AC,BD交于点E,M 是边DC延长线上的一点， 连接AM,与边BC交于点 F,与对角线BD交于点G. (1)求证：AG=GF·GM: 198.2025江西数学90°，∴.∠BAE+∠ABE=90°.：∠BAC=90°， :∠DBF=15",∠ADB=∠C+∠DBF, .∠BAE+∠CAF=90°，∴.∠CAF=∠ABE ∠C=45° ∠BEA=∠F, 如图，过点B作BM LAC于点M, 在△ABE和△CAF中， ∠ABE=∠CAF,.△ABE ∴.∠CBM=∠C=45. AB-CA. :BC=62,∴MB=MC=6. ≌△CAF(AAS),,∴.BE=AF,AE=CF :∠A=60°， BE=4.CF=1...AF=BE=4.AE=CF=1, ∴.AM=23,AD=AB=43, ∴.EF=AF-AE=4-1=3. 7.证明：AB是∠CAD的平分线，∴·∠CAB=∠DAB. .CD=AC-AD=AM+MC-AD=23+6-43 AC=AD, =6-25. 在△ABC和△ABD中，∠CAB=∠DAB, 12.解：(1) AB=AB, (2)0①= .△ABC≌△ABD(SAS),∴.∠C=∠D. ②证明：：△MCD,△MNF是等边三角形， 8.证明：(1)：D为BC的中点， ∴.∠CMD=∠NMF=6o°，MC=MD,MN=MF. ∴.BD=CD.:BE∥AC, ∴.∠CMN=∠DMF,∴.△MCN2△MDF(SAS) ∴.∠EBD=∠C,∠E=∠CAD. (3)0①60 ∴.△BDE≌△CDA(AAS). ②如图，连接ME,过点M作MH∥BC,交EG于点 (2):D为BC的中点，AD⊥BC, H,过点H作HI⊥AG于点1 ∴.直线AD为线段BC的垂直平分线，.BA=CA. :MH∥BC,AG∥BC, 由(1)可知，△BDE≌△CDA, ∴.∠MAG=∠ACB=∠AMH=90°， ∴.BE=CA,∴.BA=BE. ∠AGH=∠GEB=6O'=∠MHE. 9.D【解析】如图，将BA绕点B顺 :H1⊥AG 时针旋转90°得到BE,连接AE, 四边形AMHI是矩形，.AM DE,∴.BE=AB,∠ABE=90°， =IH, ∴AE=2AB=6.∠DBC=90 MC=a,AC=4,..AM=IH=4-a. =∠EBA,.∠DBE+∠CBE=∠CBA+∠CBE, :∠IHG=90°-∠1GH=30°，∴.HG=21G,HI= ∴∠DBE=∠CBA.又BD=BC,BE=BA, 31G. ∴.△DBE2△CBA(SAS),∴.DE=CA=2.在△ADE HG=2y3H1=8B-23@ 中，AD<AE+DE, 3 3 ∴.当A,D,E三点共线时，AD有最大值，AD的最大 :∠CED=180°-∠GEB=120°，∠NCD=90° 值为AE+DE=8. ∠MCD=30°， 10.108°【解析】：AD=CD,∴∠DAC=∠C=18°， .∠EDC=30°，.∠MDE=60°+30°=90. ∴.∠ADB=36 MD=MC.ME=ME, :AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC, ∴.Rt△MCE2Rt△MDE(HL), ∴∠BAD=∠ECD. ∴.∠CEM=∠DEM=60 AB-CE. 又，∠MHE=60”,∴.△MEH是等边三角形， 在△BAD与△ECD中，∠BAD=∠ECD, ∴.ME=MH,∠EMH=60°=∠NMF, AD-CD. ∴∠EMN=∠HMF ,.△BAD≌△ECD(SAS), 又，MN=MF, ∴.∠BDA=∠EDC=36°，∴.∠ADE=180°-36° ∴.△MEV≌△MHF(SAS),∴.EN=HF, 36°=108°. GF+EN-GF+HF-HG-8/3-2/3a 11.解：(1)证明：：∠ABD=∠CBE,∴.∠ABD+∠DBC 3 =∠CBE+∠DBC,即∠ABC=∠DBE. 【解析】(3)①由(2)②可知，△MCN≌△MDF ∠A=∠D, ∠MCN=∠MDF=∠MDE=90°，∴.∠CMD+ 在△ABC与△DBE中，∠ABC=∠DBE ∠CED=180°，.∠CED=180°-60°=120°， BC-BE. ∴∠GEB=60 '.△ABC≌△DBE(AAS). 第5讲相似三角形 (2):△ABC≌△DBE,∴.AB= 1.B2.A DB.,∠A=60°，∴.△ABD是等 3.C【解析】过点A作平行横线 边三角形， 的垂线，交点B所在的平行横线 .∠ABD=∠ADB=60°，AB 于点D,交点C所在的平行横线 =AD. 于点E,如图， 70 、。2025江西数学 则能-品即品-2BC-多 DE=DC=AC,∴.AC=2CF=2.∠CAB= ∠CFA,∠ACF=∠BCA..△CAF∽△CBA,.AC 4D【解折：AB∥CD/ER∴能0能-0. :BC=CF:CA,即2：BC=1:2,.BC=4,.BF =BC-CF=3. 一品-票选项AB.C结论错误，不符合题意：选 11.30 4区【解析】：△DEF为等边 5 项D结论正确，符合题意， 5.∠ADE-∠C(答案不唯一) 三角形，且AD=DF,∴.DE=BE EF,∠DEF-∠DFE=∠EDF=6O°， 6.号【解析：AD∥BC,∴点B到AD的距离等于点 .∠DBF=∠EFB=30°，∴∠AFB= D到BC的距离， 90°.如图，作CH⊥BG,交BG的延长线于点H. SAR -寸提-3由题意，得△0Dn△COB, @=1, :∠CFH=∠BFE=30,AD=DF=CF=2,∴.CH 器-(0-)专 =2CF=1.AF=4,∴FH=.∠AFPG=∠CHG 7.(805-160)【解析】：C是靠近点B的黄金分糊 =90,∠AGP=∠CGH,i△MPG△CHG,e 点，AB=80cmm, -器-4FG-gFH= 51 ÷AC=5,AB=521×80=(405-40)cm. 2 2 12.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，AB∥ :D是靠近点A的黄金分制点，AB=80cm, DM,AD∥BC, .BD=AC=(405-40)cm, ÷△AGO△MDG.△FBGO△ADG÷瓷-e. .CD=AC+BD-AB=2×(405-40)-80= (805-160)cm. 需-%品-需AG=F.GM ∴.支撑点C,D之间的距离为(805-160)cm: (2)'AB∥DM,∴.∠BAG=∠M. '∠BAG=∠BCG,∴∠M=∠BCG. 8.解：(1)证明：：△ABC是等边三角形， ,.∠B=∠C=60°， :∠Mcc-=∠cGF.i△GCFAGMC,÷e ∴.∠BDP=18O°-∠B-∠BPD=120°-∠BPD. GF ∠DPE=60°， 元，即CG=GF·GM ,.∠CPE=18O°-∠DPE-∠BPD=120°-∠BPD, AG=GF·GM,∴.CG=AG,.CG=AG. .∠BDP=∠CPE,,'.△BPD∽△CEP ,四边形ABCD是平行四边形，∴.AE=CE, (2)BC=AB=10,CP:BP=1:4, GE⊥AC,即BD⊥AC,∴.□ABCD是菱形. BP=专BC=8,CP=号BC=2. 13.解：(I)证明：，BC∥AD,∴∠ADB=∠DBC '∠EBF=∠ADB, :△BPDO△CEP,小器-80 ∴∠EBF=∠DBC,∴·∠DBE=∠CBF :.CE-BP.CP_8X2_16 :AB∥DE,∠ABD=∠BCD=90°， BD 3-3 ∴∠BDE=∠BCF=90°， 9.C【解析】如图，连接BD. △BDEO△CF,肥-8 :点P是△ABC的重心，D是边AC的 (2)证明：：BC∥AD,∠BCD=90°， 中点，.点P在BD上，S=2SAmx, .∠ADC=90°，.∠ADB+∠BDC=90. BP:PD=2:1.DF∥BC △DFPABEP,.Sg-号 ∠A+∠ADB=90°，.∠A=∠BDC 4 :∠ABD=∠DCB=90°， EF∥AC, ÷△ADBn△DBC,品说 .△BEP△BCD, 由(I)知，△BDE△BCF, 0-器部-器AD.cF=DDE 设△DFP的面积为m,则△BEP的面积为4m, CF △BCD的面积为9m. (3)DE=sina. 【解桥13)由(2)知肥品 四边形CDFE的面积为6，∴.m十9m一4m=6, .m=1,,△BCD的面积为9，.△ABC的面积 E品器 为18. ∠ABD=90°，∠A=a(0°<a<90), 1O.3【解析】CD=CA,DE∥CB,.AF=EF,.CF 是△ADE的中位线，.DE=2CF=2. e船能=e 参考答案 71