第3讲 函数与方程(组)、不等式的关系&第4讲 函数的综合-【学海风暴·PK中考】2025江西中考数学备考集训本

第3讲 函数与方程（组）、不等式的关系 (建议用时：25分钟满分：30分) 厂夯实是础（第1一6题各3分，共18分） 6.(2024威海)如图，在平面直角坐标系中，直线 1.如图，一次函数y=k.x十b(k≠0)的图象与抛物 =ax+b(a≠0)与双曲线为=(k≠0)交于点A 线y=ax2十bx十c(a≠0)相交于A,B两点，则关 于x的不等式a.x2十bx十c>kx十b的解集为 (一1，m),B(2,一1)，则满足y1≤y2的x的取值 ( 范围是 A.x<-2或x>2 B.x>2 提升能力（第7~9题各3分，共9分） C.x<2 D.-2<x<2 7.抛物线y=一x2+bx十c与x轴交于两点，其中 一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标 小于1，则下列结论正确的是 () 2 第1题图 第2题困 A.b+c>1 B.b=2 2.在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=a.x十b C.b+4c<0 D.c<0 (a≠0)与y2=mx十n(m≠0)的图象如图所示， 8.(2024泸州)已知关于x的一元二次方程x2+2x 则下列结论错误的是 r +1一k=0无实数根，则函数y=kx与函数y= A.”随x的增大而增大 B.b<n 二的图象交点个数为 () C.当x<2时，y> A.0 B.1 ax-y=-b, D.关于x,y的方程组 的解 C.2 D.3 m.x-y=一n 9.中考新方向·结论开放题二次函数y=x十 x=2, 为 y=3 3x十n的图象与x轴的一个交点在y轴右侧，则 3.已知抛物线y=x十mx的对称轴为直线x=2, n的值可以是 (填一个值即可). 则关于x的方程x2+mx=5的根是 () 厂冲刺名校7（第10题3分） A.0,4 B.1.5 10.(2024遂宁)已知抛物线y= C.1,-5 D.-1,5 a.x2+bx十c(a≠0)的对称轴 4.中考新方向·结论开放题已知直线y1=x一1 与为=kx+b相交于点(2,1).请写出一个b值： 为直线x=一1，且该抛物线 ,使x>2时，y1>h 与x轴交于点A(1,0),与y 5.(2024扬州)如图，已知一次函数y=kx十b(k≠ 轴交于点B,如图所示.下列 0)的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点.若 结论：①abc>0:②9a-3b+ 第10题图 OA=2,OB=1,则关于x的方程k.x十b=0的解 为 c>0:⊙号<a<1:④若方程a+bc+c=r+1 的两根为m,n(m<n),则一3<m<1<n.其中 正确的有 了A A.1个 B.2个 第5题图 第6题图 C.3个 D.4个 184.2025江西数学 第4讲函数的综合 (建议用时：70分钟满分：62分) 厂夯实基础（第1~2题各6分，共12分）》 (2)点E在缆索L:上，EF⊥FF,且EF=2.6m, 1.(2024达州)如下图，一次函数y=kx十b(k≠0) FO<OD.求FO的长 的图象与反比例函数y=”(m≠0)的图象交于 点A(2,3),B(a,-2). (1)求反比例函数和一次函数的表达式： (2)若C是x轴正半轴上的一点，且∠BCA= 90°，求点C的坐标. 「提升能力（第3题8分，第4~5题各9分，共 26分) 3.(2024南充)如下图，直线y=k.x+b经过A(0, 一2)，B(-1,0)两点，与双曲线y=严(x<0)交 于点C(a,2). (1)求直线和双曲线的解析式： (2)过点C作CD⊥x轴于点D,点P在x轴上. 若以O,A,P为顶点的三角形与△BCD相似，请 2.(2024陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬 直接写出点P的坐标 索桥.桥梁的缆索L1与缆索L均呈抛物线形， 桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如下图所示， 以O为原点，直线FF为x轴，桥塔AO所在直 线为y轴，建立平面直角坐标系.已知缆索L1所 在抛物线与缆索L:所在抛物线关于y轴对称， 桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100m,AO =BC=17m,缆索L,的最低点P到FF'的距离 PD=2m(桥塔的粗细忽略不计). m 个片 (1)求缆索L,所在抛物线的函数表达式： 集训本 185 4.中考新方向·新定义问题(2024九江永修一 5.(2024南昌模拟)已知抛物线1的解析式为y= 模)在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax ax2-2a.x+a+1(a<0. a为抛物线y=a.x2+bx十c的“衍生直线”.如图 (1)若抛物线l经过原点。 ①，抛物线y=一十bx十c与其“衔生直线”交 ①a 于A,B两点（点B在x轴上，点A在点B的左 ②将抛物线1先向右平移1个单位，再向上平移 侧)，与x轴负半轴交于点C(一3,0). 2个单位得到抛物线41，则抛物线(，的解析式为 (1)求抛物线和“衍生直线”的解析式及点A的 坐标； (2)在(1)的条件下，将抛物线1沿直线y=2x一1 (2)如图②，抛物线y=一2+x十c的“衍生直线” 平移得到抛物线2，抛物线1与x轴交于A,B两 与y轴交于点D,依次作正方形DEFO, 点，抛物线g与x轴交于C,D两点.若CD= D,EF,F,DEFF。1(n为正整数)，使得点 3AB,求抛物线42的解析式： D,D,D,,D,在“衍生直线”上，点F,F, (3)设抛物线1的顶点为点P,抛物线（与x轴交 F,…,F在x轴负半轴上。 于A,B两点，连接PA,PB,在△PAB围成的区 ①直接写出下列点的坐标：E .E 域内（包含三条边），横，纵坐标都为整数的点恰 .Es .E 好为4个.求a的取值范围. ②试判断点E,E…,E是否在同一条直线上 若是，请求出这条直线的解析式：若不是，请说明 理由. 厂冲刺名校7（第6~7题各12分，共24分） 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y 一x+2x十3与x轴交于A,B两点（点A在点B 的左侧)，与y轴交于点C,P为抛物线C,的顶 点，连接PB,将抛物线C绕点O旋转180°得到 抛物线C· (1)求抛物线C2的解析式； 186.2025江西数学 (2)连接AC,BC,求sin∠ACB的值； 7.(2024广安)如下图，抛物线y=一号+b证十c (3)连接CP,Q是抛物线C:上的点，且满足 ∠QCO=∠PBC.求点Q的坐标. 与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A的 坐标为（一1,0），点B的坐标为(3,0). (1)求此抛物线的函数解析式： (2)P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点 P作x轴的垂线交直线BC于点D,过点P作y 轴的垂线，垂足为E.2PD+PE是否有最大值？ 备用图 若有最大值，求出最大值及此时点P的坐标：若 没有最大值，请说明理由； (3)M为该抛物线上的点，当∠MCB=45时，请 直接写出所有满足条件的点M的坐标。 集训本 187第3讲函数与方程（组）、不等式的关系 解得=3，=一4（不合题意，含去）， 1.A2.C 点C的坐标为(3,0) 3.D【解析】，抛物线y=x+mx的对称轴为直线x 2.解：(1)：A0=17m,∴A(0,17) 又OC=100m,缆索L1的最低点P到FF'的距离 2,一罗=2，解得m=一4心关于x的方程产十m PD=2m, =5即为x2-4x一5=0，∴.(x一5)(x十1)=0，解得 抛物线L,的顶点P的坐标为（⑤0,2）. =-1,x=5. 故可设抛物线为y=a(x一50)+2. 4.0(答案不唯一) 5.x=-26.-1≤r<0或≥27.A 将A0.17D代人，得250a+2=17,a-品 8.A【解析】，关于x的一元二次方程x+2x十1一k= “缆索山所在抛物线的函数表达式为y=品(x 0无实数根，∴△=4一4(1一)<0，解得k<0,则函数 50)2+2. y一红的图象经过第二，四象限“函数y=是的图象 (2),缆紫L所在抛物线与缆索L所在抛物线关于 位于第一，三象限，∴两个函数的图象没有交点。 y轴对称， 9.一3（答案不唯一） 3 六绳索L,所在抛物线为)y一0x十50)+2. 10.B【解析】，抛物线开口向上，a>0.:对称轴为 3 b 直线1=一品-1<0b>0.“与y轴的交点B 令y=2.6.得2.6=300x+50)+2, 解得=-40，x=-60. 在(0，-2)和(0，-3)之间，.-3<c<-2<0,∴abc :F0<OD,.x=-40,.FO的长为40m. <0,故①不正确：，对称轴为直线x=一1，且该抛物 3.解：(1)点A(0,-2),B(-1,0)在直线y=kr+b上， 线与x轴交于点A(1,0),∴.与x轴交于另一点（一3， b=-2, k=-2, 0).当x=一3时y=9a一3b+c-0,故②不正确：由 解得 题意，得方程ax2+十br十c=0的两个根为=1，x= 六-k+=0, b=-2. ∴.直线的解析式为y=一2x-2. -3.·=后c=-3a.又-3<<-2， 当y=2,即y=-2x-2=2时，x=-2,.C(一2,2). “-3<-8如<-2号<a<1,放③正确：若方程 :双曲线y=过点C(-2,2m=一4， ax2十bx十c=x+1的两根为m,n(m<n),则直线y 双曲线的解析式为y=一兰<0。 一x十1与抛物线的交点的横坐标为m,”.:直线y一 (2)(-4,0)或(-1,0)或(1,0)或(4,0) x+1过第一、二、三象限，且过点（一1,0），直线y 【解析】(2)CD⊥x轴，C(一2,2)，.D(一2,0》，CD 一x十1与抛物线的交点在第一·、三象限.由图象可 =2. 知，一3<m<1<n,故④正确.综上所述，正确的有 A(0,-2),B(-1,0),.OA=2,BD=1. 2个. 要使以O,A,P为顶点的三角形与△BCD相似，则OP 第4讲函数的综合 =1或4 1.解：(1)：点A(2,3),B(a,-2)在反比例函数y=四的 :点P在x轴上， ∴点P坐标为（一4,0）或（一1,0）或(1,0)或(4,0). 图象上， 4.解：(1)由题意可知，抛物线y=一x十bx+c的“行生 ∴.m=2×3=-2a,解得a=一3，m=6 直线”为y=-x+1, “反比例函数的表达式为y-兰点B的坐标为（一3， 点B的坐标为(1,0) 将B(1,0),C(一3,0)代入抛物线y=一x2+b.x+c -2). 将A(2,3),B(-3,-2)代入y=kx+b, 得 -1十b+c=0, 一g-36+=0.解得6-一2 1c=3, 得+ ,解得=1， ∴.抛物线的解析式为y=-x2-2x+3. b=1, ∴.一次函数的表达式为y=x+1. 当一x一2x+3=一x+1时，解得r=一2（正值已舍 去)， (2)设点C的坐标为(x,0). .点A的坐标为（一2,3）. A(2,3),B(-3,-2).C(x,0), (2)①(-1.1)(-3,2)(-7,4)(1-2"，2) ∴.AB=[2-(-3)]+[3-(-2)]=50,AC=(x 2)+3=(x-2)+9,BC=(x+3)+(-2)2=(.x+ ②点E,E,…,E在同一条直线上 设直线EE:的解析式为y=kx十m. 3)2+4. 1 :∠BCA=90°， I-- 2 ..AB=AC+BC. 由(2)①，得 一k十m=1,解得 一3k十m=2, 1 即50=(x-2)*+9+(x+3)2+4, m一2 64▲己025江西数学 “直线EE的解析式为y=一十 ∴.AB=4,AC=+3F=√10.OC =3,BC=/3+3=32, 当=1-2时y=一×1-2)+方-2， ∴点E,在直线E,E上， ∴Sw=2AB,0C-AC,BD, 点E,B,B在直线y=名十宁上. ∴AB·OC=AC·BD,即4×3= 10BD, 【解析】(2)①对于直线y=一x+1,当x=0时，y=1, 610 .D(0,1),.OD1=1. ..BD=6 10 ,sin∠ACB=B 5 =2 四边形DEFO是正方形，.F(一1,0)，E(一1， 5 C 32 5 1),.D(-1,2). (3)B(3,0),P(1,4),C(0,3) 四边形DEFF是正方形，.E(一3,2)， ∴.PC=√+(4-3)=E,BC=3√2，BP= .D(-3,4). /(3-1+4=25. 四边形D,EFF2是正方形，E(一7,4)， ∴PC+BC=BP,∴.△PBC是直角三角形，∠PCB … =90°. .D(1-2",21),E(1-2,2"1). PC 1 5.解：(1)①-1②y=-x2+4x-1 ian∠PBC=BC= (2):CD=3AB,.抛物线只能右移.故设抛物线沿x 分以下两种情况讨论： 轴正方向平移m个单位长度，沿y轴正方向平移2 ①如图②，当点Q在y轴左侧时，过点Q作QELy轴 个单位长度.由(1)可知，1的解析式为y=一x+2x= 于点E. -(x-1)°+1， '∠QCO=∠PBC, .平移后的函数解析式为y=一(x一1一m)+1 ∴.tan∠QCO=tan∠PBC= 十2m, 当y=0时，-(x-1-m)+1+2m=0,.CD= 器} 2√/1+2m. 设Q(m,m+2m-3),则E(0,m2+ y=-x+2x与x轴的两个交点为(0,0)，(2,0)， 2m-3), .AB=2. .QE=一m,CE=3一(m+2m一3)=一m2一2m十6， CD=3AB,∴.2/1+2m=6,解得m=4, -m …抛物线k的解析式为y=一(x一5)+9. 上2m十6行，解得m=一2（正值已舍去力 (3)y=a.x2-2ax+a+1=a(x-1)+1,∴.点P的 ∴点Q的坐标为（一2，一3）： 坐标为(1,1)， ②如图③，当点Q在y轴右侧时， .在△PAB中必有整数点(1,1)，(1,0). :∠QCO=∠PBC.∴.tan∠QCO= 当抛物线经过点(0,0)，(2,0)时，a=一1， 当抛物线经过点（一10,30）时a=一子 m∠PBC- :抛物线C与x轴的交点坐标为 a在-1与-之间，且a=-1时，整数点为4个： (1,0),(-3,0), .当点Q的坐标为(1,0)时， =一子时，整数点有6个，不可取， m∠Q0-g :-1<a<一时，横纵肇标都为整数的点恰好为 .点Q的坐标为(1,0) 4个 综上所述，点Q的坐标为（一2，一3）或(1,0). 6.解：(1)由题意可知，点A,B,P,C的坐标分别为A(一1， 7解：抛物线y=一号+6+c经过A(-1.0). 0),B(3,0),P(1,4),C(0,3). 将抛物线C绕点O旋转180得到抛物线C, B3,0∴y=-号(x+1D-3)=-号r+学+2 .抛物线C与x轴的交点坐标为(1,0)，（一3,0），与 (2)2PD+PE有最大值。 y轴交于点(0，一3)，顶点坐标为（一1，一4）. 设抛物线C:的解析式为y=a(.x+1)-4. 当x=0时y=一号r+号+2=2.六点C的坐标为 将(1,0)代人，得4a一4=0，解得a=1, (0,2) .抛物线C的解析式为y=(x+1)2一4=x2+2x 可设直线BC的解析式为y=kx十2. -3. 把B(3,0)代人，得3k+2=0,解得=-名 3 (2)如图①，过点B作BD⊥AC于点D. A(-1,0),B(3,0),C(03), ∴直线C的解析式为y=-号十2。 参考答案 65 设p(a,-号c+a+2)D(a,-号a+2) M品0) ∴2PD+PE=2(-号c+子a+2+号a-2）+a 综上所述，点M的坐标为（侣。一艺）或（品贵）。 a+a. 第5讲函数的实际应用 1.79 此时抛物线y= 3a+5a开口向下，对称轴为直线 2F驷 3.解：(1)设y=kx+b(0≤x≤240). 2x(-) ,则2PD+PE的最大值为- 15 b=80, 由题图，得 150k+b=50, ×(停》+5×号- 1 解得 k=-方'y=-+80， 将代人y= 音+2得y一器即 x+ 2 b=80, (2)令x=240,则y=32. P(侵，影)，放2PD+PE有最大值，最大值为亮此时 故该车的利余电量占满电量的品×10%=2%。 点P的坐标为（停器》 4.解：(1)根据题意，得y=1×x+1500十2(3000-x), 化简，得y=一x+7500(x为正整数). (3(学罗)支（品贵）. (2)根据题意，得x+1500≤2(3000-x), 即x+1500≤6000-2x,解得x≤1500. 【解析】(3)如图，以CB为对角线作正方形CTBK, :y=-x+7500中，k=-1<0, .∠BCK=∠BCT=45, y随若x的增大而减小， ∴.CK,CT与抛物线的另一 .当x=1500时，y有最小值，最小值为一1×1500+ 个交点即为M. 7500=6000, 如图，过点T作x轴的平行 此时3000-1500=1500， 线交y轴于点Q,过点B作 .当A商品宜传单印制1500份，B商品宣传单印制 BG⊥TQ于点G,则OB= 1500份时，才能使得印制总费用最低，最低印制总费 GQ=3, 用是6000元. ∴.∠CTB=∠CQT=∠QGB=90°， ∴.∠QCT+∠CTQ=∠CTQ+∠BTG=90°， 5A【解析】根据电压=电流×电阻，设1=只将(4,9 ∴.∠QCT=∠BTG. 又：CT=BT,∴.△CQT≌△TGB(AAS), 代入，得9-只解得U=361=瓷若该电路的最 ∴.QT=GB,CQ=TG. 小电阻为1Ω，则该电路能通过的最大电流是36A. 设QT=GB=m,则CQ=TG=3-m, 6.解：1设m关于d的函数解析式为m=会 ∴.Q0=3一m-2=1-m,T(m,m-1). 由TC=TB,得m+(m-3)=(m-3)+(m-1), 把(5.30)代入.得夸=30，解得=150 解得m=号7（分） 六m关于d的函数解析式为m=15 设直线CT为y=w+2,2n+2= 1 ，解得n （②把m-12代人m-得9-12，解得d-12.5 -5, 故当砝码质量为12g时，右边托盘与天平中间立柱的 ∴.直线CT的解析式为y=-5x+2. 距离为12.5cm. 19 I= 7.解：(1)y=-2.x+80,S=-2x2+80.x 21 联立 (2)能. y=2 y=-5x+2, y、91 根据题意可知，0<y≤42，且x>0,即0<-2x+80≤ 21 42,且x>0,.19≤x<40.令S=-2x2+80.x=750, ∴点M的坐标为（号，-婴）“T(2-）C0, ∴x1=15(不合题意，舍去)，=25. 2),B(3,0),且CTBK为正方形， 故当x一25时，矩形试险田的面积S能达到750m. (3)由(1)可知，S=-22+80.x=-2(x-20)+800. ∴K(号，号)，同理可得直线CK为y=言x+2 ,-2<0,且19≤x<40, 17 .当x=20时，面积S最大，最大面积为800m. 3x+2, 联立 解得 x10' 8.解：(1)设y与x之间的函数关系式是y=x+b 或 x=0, 1 117 y=x+2. y-50 y=2, 由表格，得十么仁1：得么g b=324, 66 己025江西数学