八年级（下）期末数学试卷（拔尖卷）-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（浙教版）

2024-2025学年八年级（下）期末数学试卷（拔尖卷） 【浙教版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·江苏泰州·期末）已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（　　） A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案． 【详解】解：∵+是整数，m、n是正整数， ∴m=2，n=5或m=8，n=20， 当m=2，n=5时，原式=2是整数； 当m=8，n=20时，原式=1是整数； 即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20）， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度． 2．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）对于两个实数，，用表示其中较大的数，则方程的解是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据题意则有x2=2x+1和-x2=2x+1，然后解一元一次方程即可． 【详解】∵max（a，b）表示其中较大的数， ∴当x＞0时，max（x，-x）=x， 方程为x2=2x+1， x2-2x+1=2， （x-1）2=2， ∴x-1=±， ∴x=1±， ∴x＞0， ∴x=1+； 当x＜0时，max（x，-x）=-x． 方程为-x2=2x+1 x2+2x+1=0， （x+1）2=0， ∴x=-1， 故方程x×max（x，-x）=2x+1的解是-1，1+ 故选C． 【点睛】本题考查了配方法解一元一次方程，根据题意得出x2=2x+1和-x2=2x+1是本题的关键． 3．（3分）（24-25八年级·广东深圳·期中）某校八（1）班在2024年秋季运动会中，参加跳绳比赛的10名学生的参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均数是95分 B．众数是90分 C．中位数是95分 D．方差是15 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数，众数，中位数和方差的定义，熟练掌握这些知识点是解决问题的关键，根据相关知识点一一判断即可； 【详解】解：A．这组数据的平均数为，此选项错误，不符合题意； B．这组数据中90分出现5次，次数最多，所以这组数据的众数为90分，此选项正确，符合题意； C．这组数据的中位数为，此选项错误，不符合题意； D．这组数据的方差为，此选项错误，不符合题意； 故选： 4．（3分）（24-25八年级·浙江·期中）如图，平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴正半轴上运动，以为对角线作平行四边形，使得边在轴上，点在的右侧，且，连接交于点，当时，若，则点的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 连接，设，证得，结合平行四边形的性质得、、、，通过勾股定理，构建方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设，则，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 整理，得：， 解得：（负值舍去）， ， 点的坐标为． 故选：D． 5．（3分）（24-25八年级·福建厦门·期中）在菱形中，，，点在上，，若点是菱形四条边上异于点的一点，，则以下长度中，不可能是的长度的是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】分点位于边上、位于边上、位于边上三种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：当点位于边上时，如图所示： 菱形中，，， ，， ； 当点位于边上时，如图所示： 菱形中，，， 是等边三角形， 过点作于点， ， 由勾股定理得， ， 点与点重合， ； 当点位于边上时， ，，， ， ， 由勾股定理得． 综上，的长为或4或． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 6．（3分）（24-25八年级·陕西渭南·期末）如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形，延长，分别交，于点，，连接，，，，在一条直线上，图中两块阴影部分的面积分别记为，，若：：，四边形的面积为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，，则，再证明四边形是正方形，四边形和四边形是面积相等的矩形，则，再证明，则，可推导出，则，再由，求得，则，再推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形和四边形都是正方形， ，，， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 设正方形和正方形的边长分别为、， ，， ， 四边形是正方形，四边形和四边形是面积相等的矩形， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， 设，则， ， ， ， 故选：． 【点睛】此题重点考查正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，证明并且求得是解题的关键． 7．（3分）（24-25八年级·广西贵港·期末）如图，点是正方形的边延长线一点，连接交于，作，交的延长线于，连接，当 时，作于，连接，则的长为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作AP⊥EG于点P，作HM⊥AD，HN⊥CG， 易证∠GAF=∠GCE=45°，进而得：AH=HF，由余角的性质，得∠GAD=∠GFH，得到∆AMH≅ ∆FNH(AAS)，进而得：四边形HMDN是正方形，设HM=x，则FN=1+x，AM=2-x，列出方程，即可得到答案. 【详解】作AP⊥EG于点P，作HM⊥AD，HN⊥CG， ∵， ∴AB=AP， ∵四边形是正方形， ∴AD=AP， ∴AG平分∠CGP， ∵∠PGC-∠GEC=∠GCE，∠PGA-∠GEA=∠GAF， ∴∠GAF=∠GCE=45°， ∵， ∴AH=HF， ∵∠GAD+∠AGF=90°，∠GFH+∠AGF=90°， ∴∠GAD=∠GFH， 在∆AMH和∆FNH中， ∵， ∴∆AMH≅ ∆FNH(AAS)， ∴HM=HN，AM=FN， ∴四边形HMDN是正方形， ∵ ， ∴，即：， ∴FC=1， ∴DF=2-1=1， 设HM=x，则FN=1+x，AM=2-x， ∴1+x=2-x，解得：x=， ∴DH=. 故选C. 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定定理和性质定理，添加合适的辅助线，构造全等三角形和正方形是解题的关键. 8．（3分）（24-25八年级·浙江温州·期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值． 【详解】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵，小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为，即， ∵， 即， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）在反比例函数的图象上，有一系列点，，，，，，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，，，，，作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，由的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出的表达式，熟练掌握反比例函数的性质并能求出的坐标的表达式，再由此求出的表达式是解决此题的关键． 【详解】解：点、、、、、在反比例函数的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2， 又点的横坐标为2， ，，坐标为． 由题图象知，，， ， ， ， ，2，3，， ， ． 故选：． 10．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图，直线与x轴交于B，与y轴交于A，点C在双曲线上一点，且是以为底的等腰直角三角形，于D，M、N分别是上的一动点，且．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】首先求得、的坐标，过点D作轴，过点A作于点P，过点C作于点Q，证明，即可求得的坐标，从而利用待定系数法求得的值；于点，作于点，易证，则②可以得证，然后利用待定系数即可证得③是正确的；利用，的特殊位置说明④的正确性． 【详解】解：在中，令， 解得：，则的坐标是； 令，解得：，则的坐标是， 是以为底的等腰直角三角形，, 点是中点，， 则的坐标是： ， 过点D作轴，过点A作于点P，过点C作于点Q， ， ， ， 的横坐标是，则纵坐标是， 则的坐标是：． 把代入得：． 故①正确； 作于点，作于点， 则，且， ， ， 在和中，， ． ，， 又等腰直角中，是中线， ， ，故②正确； 在直角中，， 设，， 则， ， 则③正确； 当在点时，正好在点，不会出现平分的情况，故④一定是错误的； 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，正确求得的坐标是关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·上海·阶段练习）求值： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的应用，先推导公式，然后利用公式计算即可． 【详解】解： ， ∴原式 ， 故答案为：． 12．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式，根据一元二次方程根的判别式可得出关于和的不等式，再对所得不等式进行分析即可解决问题，熟知一次二次方程根的判别式及对所得不等式进行正确的讨论是解题的关键． 【详解】∵方程和方程都有实数解， ∴，， ∴，， ∵，是正实数， ∴， ∴，即， ∴， 故的最小值为， 又∵， 则当时，， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 13．（3分）（24-25八年级·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过点的双曲线（）同时经过点，且点在点的左侧，点的横坐标为，，则的值为 ． ． 【答案】 【分析】过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可； 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图像在第一象限， ， ， ，， ， ， 双曲线经过B， 整理得：， 解得：（舍）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键 14．（3分）（24-25八年级·辽宁铁岭·期末）如图，在矩形中，点A的坐标为，D为边上一点，将沿所在的直线折叠，A的对应点恰好落在x轴上，E为边上一点，将四边形沿所在的直线折叠，D的对应点恰好与点C重合，B的对应点为，则点E坐标为 ． 【答案】/ 【分析】证明四边形是矩形，则，得四边形是正方形，则，，由折叠的性质得到，证明四边形是矩形，则，由折叠的性质得到，设，则，在中，勾股定理得，求出，即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，点A的坐标为， ∴， ∵沿所在的直线折叠，A的对应点恰好落在x轴上， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵四边形沿所在的直线折叠，D的对应点恰好与点C重合，B的对应点为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，     解得， 即， ∴点E的坐标是， 故答案为： 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、勾股定理、折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 15．（3分）（24-25八年级·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点A，C的坐标分别为（2，0），（0，2），D是x轴正半轴上的一点（点D在点A的右边），以BD为边向外作正方形BDEF（E，F两点在第一象限），连接FC交AB的延长线于点G．若反比例函数的图象经过点E，G两点，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】过F作FN垂直于x轴,交CB延长线于点M,利用AAS得到三角形ABD与三角形BMF全等, 利用全等三角形对应边相等得到AD=FM,进而表示出F坐标, 根据B为CM中点,得出G的CF中点,表示出G坐标,进而得出E坐标, 把G与E代入反比例解析式求出a的值,确定出E坐标,代入反比例解析式求出k的值即可. 【详解】详解: 过F作FN⊥x轴,交CB的延长线于点M,过E作EH⊥x轴,交x轴于点H, ∵∠FBM+∠MBD=90°,∠MBD+∠ABD=90°, ∴∠FBM=∠ABD, ∵四边形BDEF为正方形, ∴BF=BD, 在△ABD和△BMF中, ∠BAD=∠BMF,∠ABD=∠MFB,BD=BF, ∴△ABD≌△BMF(AAS), 设AD=FM=a,则有F(4,2+a),C(0,2), 由三角形中位线可得G为CF的中点, ∴G(2,2+12a),同理得到△DHE≌△BAD, ∴EH=AD=a,OH=OA+AD+DH=4+a, ∴E(4+a,a),∴2(2+12a)=a(4+a),即a2+3a-4=0,解得:a=1或a=-4(舍去), ∴E(5,1), 把F代入反比例解析式得:k=5. 故答案为:5. 【点睛】此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:正方形的性质,全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,解一元二次方程,以及反比例函数的性质,熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键. 16．（3分）（24-25八年级·广东佛山·期末）如图，中，，，，对角线，相交于点，过点的线段交于点，交于点，以下说法中：①；②；③；④的面积与的面积比为．其中，正确的序号有 ． 【答案】①③④ 【分析】过点作于点，连接，易通过证明，得到，再证四边形为菱形，进而判断①；根据平行四边形及菱形的性质，易证为等腰直角三角形，得到，则，设，则，在中，利用勾股定理建立方程，解得，进而求得，由平行线的性质得，由可得，以此判断②；在中，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，以此判断③；易得到的距离为1，到的距离为1，则，，再进一步计算即可判断④． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵四边形为平行四边形，， ∴，，，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形为菱形， ∴，故①正确； ∵四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则， 在中，，则， 解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； 在中，， ∴， 在中，， ∴，故③正确； ∵， ∴到的距离为1，到的距离为1， ∴， ， ∴，故④正确． 综上，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·北京海淀·阶段练习）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) (3)见解析 (4)①；②18 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法代入运算即可． 【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）①解： ． ② ， ， ， ． 18．（6分）（24-25八年级·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“______倍根方程”； (2)若关于x的方程是“三倍根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）； (4)由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到的最小值是______．（参考公式：，x、y均为正数） 【答案】(1)四 (2) (3) (4)1 【分析】本题考查一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“n倍根方程”的定义． （1）先解方程，再根据“n倍根方程”的定义即可得出结论； （2）根据三倍根方程的定义以及根与系数的关系列方程组解答即可； （3）设与是方程的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案； （4）根据（3）中发现的b、c之间的数量关系，借助参考公式即可求出答案； 【详解】（1）解：， ， 解得和， ∵， ∴一元二次方程是“四倍根方程”； 故答案为：四； （2）解：由题意可设：与是方程的解， ∴， 解得：， ∴m的值为； （3）解：∵关于x的方程是“n倍根方程”， ∴可设与是方程的解， ∴， 消去得：， （4）解：由参考公式：（x、y均为正数）可得， ∴， 故答案为：1． 19．（8分）（2025·山东聊城·一模）为落实全国教育大会上提出的“要树立健康第一”的教育理念，某市启动中考体育改革，将体育成绩纳入中考总分，包括．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分共分（其中运动参与满分分，主要有平时体育课、课间体育活动等；运动技能满分分，主要是自主选择一项田径、球类等项目进行测试掌握基本技能即为满分；体质健康测试满分分，包括体重指数、肺活量、跑步、立定跳远等项目；统一体能测试满分分，包括跑步，引体向上（男）仰卧起坐（女）等项目）． 某中学数学兴趣小组对本校八年级学生的体育测试情况进行统计调查，从该校所有八年级学生中随机抽出部分学生的体育测试成绩，将所得的数据进行收集、整理、描述． 下面给出了部分信息： 信息一：每名学生的四项得分之和作为总分，总分用表示，将总分数据分成如下四组：第组：，第组：，第组：，第组：，以下是总分的频数直方图和扇形统计图的部分信息． 结合信息一解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全，________，第4组所对应的圆心角的度数是________； （2）所抽取的这些学生的中位数位于第________组； （3）该校八年级共有名学生，请估计体育总分不低于分的学生有多少名？ 信息二： 抽取的学生在．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分的平均数和方差如下表： 运动参与 运动技能测试 体质健康测试 统一体能测试 平均分 方差 （4）请结合以上信息分析，影响一个学生体育总分的主要是哪些部分的成绩？并就如何提升学生体育成绩，提出至少两条合理化建议． 【答案】（1）；； （2）； （3）人； （4）见解析． 【分析】从条形统计图可知：第组、组、组人数之和为，从扇形统计图中可知：第组、组、组人数之和占总人数的百分比为，利用人数除以对应的分率可以求出抽查的总人数，用总人数乘以扇形统计图中第组人数所占的百分比求出第组的人数，根据第组的人数补全统计图即可；是第组人数占总人数的百分比，根据第组的人数和总人数计算即可；根据第的人数和总人数求出第组的人数占总人数的百分比，利用百分比求出扇形统计图中第组的圆心角即可； 共抽查了学生，根据中位数的定义可知：中位数是第、名成绩的平均数，从条形统计图中可知：第、名位于第组，所以抽取的这些学生的中位数位于第组； 利用样本估计总体，根据抽查的名学生中体育成绩不低于分的人数所占的百分比代表全校所有学生成绩不低于分人数的百分比，计算即可； 从表格中可知、两项所占的权重较大，所以为了提高学生的体育成绩，应重点从、两项中提高成绩． 【详解】解：从条形统计图可知：第组、组、组人数之和为， 从扇形统计图中可知：第组、组、组人数之和占总人数的， 抽取的总人数为：（人） 第组的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 第组有人，占比为：， ∴， 第组有人， 第组占抽查总人数的， 扇形统计图中第组对应的圆心角的度数为：， 故答案为，； 总共抽查了人， 中位数是第、名成绩的平均数， 第1组和第2组总人数是24人， 从条形统计图中可知：第、名位于第组， 抽取的这些学生的中位数位于第组； 从条形统计图中可知：抽查的学生中体育总分不低于分的学生， 利用样本估计总体可得：全校体育成绩不低于分的学生总人数为人； 、两项权重较大，是影响体育总分的主要因素． 建议：保持合理饮食习惯，保证体重指表在健康范围内； 加强锻炼增强肺活量； 加强跑步上定跳远、引体向上、仰卧起坐等项目的训练．（合理即可） 【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的综合运用、用样本代替总体、求扇形统计图的圆心角度数、中位数，解决本题的关键是综合运用扇形统计图与条形统计图，根据已知的信息求出未知的信息． 20．（8分）（2025·河南平顶山·一模）定义：在凸四边形中，若有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为直角，我们把这类四边形叫做“奋进四边形”．若“奋进四边形”的另一组邻边也相等，我们把这类四边形叫做“和谐奋进四边形”． (1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合“奋进四边形”性质的特殊四边形； (2)如图1，“奋进四边形”中，，． ①当，且时，求的长； ②当时，求证：“奋进四边形”是“和谐奋进四边形”； (3)如图2，矩形中，，，点，分别为边，上一个动点，且，当四边形为“奋进四边形”时，直接写出的长． 【答案】(1)正方形 (2)①；②详见解析 (3)为或 【分析】（1）根据“奋进四边形”定义即可得解； （2）①先证明四边形为正方形，得出，，再根据勾股定理求出即可； ②连接、，根据，，得出，证明垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据“和谐奋进四边形”的定义即可得出结论； （3）根据题意可知，分两种情况讨论：当或时，四边形是“奋进四边形”，先证明四边形为矩形，再由勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：正方形有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为直角， 所以正方形是“奋进四边形”； （2）①解：，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， 四边形为正方形， ，， ； ②证明：连接、，如图： ，， ， 垂直平分， ； “奋进四边形”是“和谐奋进四边形”； （3）解：，， 根据题意可知，分两种情况讨论：当或时，四边形是“奋进四边形”； 当时，连接，过点作于点，如图： ， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ； 当时，连接，过点作于点，如图： 则， ， ， 四边形矩形， ，， ， ； 综上分析可知，为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，画出相应的图形，并注意进行分类讨论． 21．（10分）（24-25八年级·河南郑州·期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（）与时间（）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求与（）的函数表达式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】(1) (2)这种蔬菜一天内最适合生长的时间为 (3)恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害 【分析】（1）当时，设双曲线的解析式为，把的坐标代入，得出，解出即可得出答案； （2）根据待定系数法求出线段解析式，再根据题意：大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，结合图象，把代入线段的解析式，得出时间，再把代入（1）中双曲线，得出时间，两时间相减，即可得出答案； （3）先求解时，对应的双曲线函数图象上点的横坐标，再利用坐标含义可得答案． 【详解】（1）解：当时，设双曲线的解析式为， ∵过双曲线， ∴把的坐标代入， 可得：， 解得：， ∴函数表达式为：； （2）解：设线段解析式为， ∵线段过点，， 代入得， 解得：， ∴解析式为：， ∵大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长， 当时，代入， 可得：， 解得：， 当，代入， 可得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∵（）， ∴这种蔬菜一天内最适合生长的时间为； （3）解：当时，可得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴（）， ∴恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式和一次函数解析式，反比例函数的性质，理解反比例函数图象上的点的坐标含义是解本题的关键． 22．（10分）（24-25八年级·河北石家庄·期末）中，是射线上一点，连接，是的中点，过点作，交的延长线于点．    【探究】如图1，连接，若点在线段上，且． （1）证明：； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． 【拓展】如图2，当点在点右侧，且时，其他条件不变，直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形． 【答案】【探究】（1）见解析；（2）当时，四边形是矩形．理由见解析；【拓展】中，，且时，四边形是正方形． 【分析】（1）根据平行线的性质，可证得，得到，从而证明；（2）首先证明四边形是平行四边形，再由，，得到，从而证明四边形是矩形；【拓展】由正方形性质，得到，，再推出四边形为平行四边形，进而得到，就可得到，且时，四边形是正方形． 【详解】证明：是的中点， ， ， ，， ， ， ， ； （2）当时，四边形是矩形． 理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 是矩形． 拓展： 中，，且时，四边形是正方形， 理由如下： 四边形是正方形， ，， 且， 四边形为平行四边形， ， 是的中点， 是的中点， ， ， 在中，，且时，四边形是正方形． 【点睛】本题考查了全等三角形、平行四边形、矩形、等腰三角形、正方形、直角三角形勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形、平行四边形、矩形、等腰三角形、正方形形、直角三角形勾股定理及逆定理，从而完成求解． 23．（12分）（24-25八年级·四川巴中·期末）如图1，已知点，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过两点． (1)求反比例函数表达式； (2)点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直接写出其值． 【答案】(1) (2)；；； (3)的值不发生改变 【分析】（1）设，可知，再根据反比例函数的性质求出t的值即可；（2）由（1）知可知反比例函数的解析式为 ，再由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；（3）连接、、，易证，故，，，由此即可得出结论． 【详解】（1） ∵，为中点， ∴， 设， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） ∵由（1）知， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在双曲线上，点在轴上， ∴设， ①当为边时：如图1，若为平行四边形， 则， 解得， 此时； 如图2，若为平行四边形， 则， 解得， 此时； ②如图3，当为对角线时， ，且； ∴， 解得， ∴； 故；；； （3）结论：的值不发生改变， 理由：如图4，连， ∵是线段的垂直平分线， ∴, ∵四边形是正方形， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， 四边形中， ，而 ， 所以，， 所以，四边形内角和为360°， 所以， ∴， ∴ 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，难度较大． 24．（12分）（24-25八年级·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，． (1)如图1，若，，，求四边形的面积． (2)如图2，点、点分别是、上的点，，点、点分别为、的中点，连接，为上一点，为延长线上一点，连接、，若，，，证明：； (3)如图3，过点作于点，是上一点，连接，作于点，交于点，，．当点在直线上运动时，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先证明，再证四边形是平行四边形，结合得出，再在中利用勾股定理求出，再计算面积即可； （2）连接，取中点，连接，，同（1）可得四边形是平行四边形，通过导角得出，再证明，由点、点分别为、的中点，为中点，利用中位线得出，，，，可得，再进行导角可得，是等腰直角三角形，得，再利用线段的和差即可证明； （3）先证明，推导出、是等腰直角三角形，再求出，，，过点作于点，连接，通过证明推导出，推出点，，共线，可知点的轨迹为直线，过点作直线的对称点，连接，则，当且仅当，，依次共线时取最小值，证明四边形是平行四边形，可知，最后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，取中点，连接，， 同（1）可得四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点、点分别为、的中点，为中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：∵，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同（1）可得四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， ∴，， 如图，过点作于点，连接， 由旋转知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点，，共线， ∴点的轨迹为直线， 如图，过点作直线的对称点，连接， 则，当且仅当，，依次共线时取最小值， 此时如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形的判定与性质，中位线，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些判定与性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级（下）期末数学试卷（拔尖卷） 【浙教版】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·江苏泰州·期末）已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（　　） A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是 2．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）对于两个实数，，用表示其中较大的数，则方程的解是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．（3分）（24-25八年级·广东深圳·期中）某校八（1）班在2024年秋季运动会中，参加跳绳比赛的10名学生的参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均数是95分 B．众数是90分 C．中位数是95分 D．方差是15 4．（3分）（24-25八年级·浙江·期中）如图，平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴正半轴上运动，以为对角线作平行四边形，使得边在轴上，点在的右侧，且，连接交于点，当时，若，则点的坐标为（      ） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25八年级·福建厦门·期中）在菱形中，，，点在上，，若点是菱形四条边上异于点的一点，，则以下长度中，不可能是的长度的是（    ） A． B．4 C． D． 6．（3分）（24-25八年级·陕西渭南·期末）如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形，延长，分别交，于点，，连接，，，，在一条直线上，图中两块阴影部分的面积分别记为，，若：：，四边形的面积为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（3分）（24-25八年级·广西贵港·期末）如图，点是正方形的边延长线一点，连接交于，作，交的延长线于，连接，当 时，作于，连接，则的长为（        ） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25八年级·浙江温州·期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）在反比例函数的图象上，有一系列点，，，，，，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，，，，，作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 10．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图，直线与x轴交于B，与y轴交于A，点C在双曲线上一点，且是以为底的等腰直角三角形，于D，M、N分别是上的一动点，且．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·上海·阶段练习）求值： ． 12．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是 ． 13．（3分）（24-25八年级·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过点的双曲线（）同时经过点，且点在点的左侧，点的横坐标为，，则的值为 ． ． 14．（3分）（24-25八年级·辽宁铁岭·期末）如图，在矩形中，点A的坐标为，D为边上一点，将沿所在的直线折叠，A的对应点恰好落在x轴上，E为边上一点，将四边形沿所在的直线折叠，D的对应点恰好与点C重合，B的对应点为，则点E坐标为 ． 15．（3分）（24-25八年级·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点A，C的坐标分别为（2，0），（0，2），D是x轴正半轴上的一点（点D在点A的右边），以BD为边向外作正方形BDEF（E，F两点在第一象限），连接FC交AB的延长线于点G．若反比例函数的图象经过点E，G两点，则k的值为 ． 16．（3分）（24-25八年级·广东佛山·期末）如图，中，，，，对角线，相交于点，过点的线段交于点，交于点，以下说法中：①；②；③；④的面积与的面积比为．其中，正确的序号有 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·北京海淀·阶段练习）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 18．（6分）（24-25八年级·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“______倍根方程”； (2)若关于x的方程是“三倍根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）； (4)由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到的最小值是______．（参考公式：，x、y均为正数） 19．（8分）（2025·山东聊城·一模）为落实全国教育大会上提出的“要树立健康第一”的教育理念，某市启动中考体育改革，将体育成绩纳入中考总分，包括．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分共分（其中运动参与满分分，主要有平时体育课、课间体育活动等；运动技能满分分，主要是自主选择一项田径、球类等项目进行测试掌握基本技能即为满分；体质健康测试满分分，包括体重指数、肺活量、跑步、立定跳远等项目；统一体能测试满分分，包括跑步，引体向上（男）仰卧起坐（女）等项目）． 某中学数学兴趣小组对本校八年级学生的体育测试情况进行统计调查，从该校所有八年级学生中随机抽出部分学生的体育测试成绩，将所得的数据进行收集、整理、描述． 下面给出了部分信息： 信息一：每名学生的四项得分之和作为总分，总分用表示，将总分数据分成如下四组：第组：，第组：，第组：，第组：，以下是总分的频数直方图和扇形统计图的部分信息． 结合信息一解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全，________，第4组所对应的圆心角的度数是________； （2）所抽取的这些学生的中位数位于第________组； （3）该校八年级共有名学生，请估计体育总分不低于分的学生有多少名？ 信息二： 抽取的学生在．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分的平均数和方差如下表： 运动参与 运动技能测试 体质健康测试 统一体能测试 平均分 方差 （4）请结合以上信息分析，影响一个学生体育总分的主要是哪些部分的成绩？并就如何提升学生体育成绩，提出至少两条合理化建议． 20．（8分）（2025·河南平顶山·一模）定义：在凸四边形中，若有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为直角，我们把这类四边形叫做“奋进四边形”．若“奋进四边形”的另一组邻边也相等，我们把这类四边形叫做“和谐奋进四边形”． (1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合“奋进四边形”性质的特殊四边形； (2)如图1，“奋进四边形”中，，． ①当，且时，求的长； ②当时，求证：“奋进四边形”是“和谐奋进四边形”； (3)如图2，矩形中，，，点，分别为边，上一个动点，且，当四边形为“奋进四边形”时，直接写出的长． 21．（10分）（24-25八年级·河南郑州·期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（）与时间（）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求与（）的函数表达式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？ 22．（10分）（24-25八年级·河北石家庄·期末）中，是射线上一点，连接，是的中点，过点作，交的延长线于点．    【探究】如图1，连接，若点在线段上，且． （1）证明：； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． 【拓展】如图2，当点在点右侧，且时，其他条件不变，直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形． 23．（12分）（24-25八年级·四川巴中·期末）如图1，已知点，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过两点． (1)求反比例函数表达式； (2)点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直接写出其值． 24．（12分）（24-25八年级·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，． (1)如图1，若，，，求四边形的面积． (2)如图2，点、点分别是、上的点，，点、点分别为、的中点，连接，为上一点，为延长线上一点，连接、，若，，，证明：； (3)如图3，过点作于点，是上一点，连接，作于点，交于点，，．当点在直线上运动时，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当最小时，直接写出的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$