专题05 各地期末试卷选择、填空题精选60题训练（浙江专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题05 各地期末试卷选择、填空题精选60题训练 一．选择题（共27小题） 1．（2024春•鄞州区校级期末）实数a、b满足|a+1|+|a+3|+|b+2|+|b﹣5|＝9，记代数式2ab+2a+b的最大值为m，最小值为n，则m+n的值为（　　） A．﹣25 B．﹣27 C．﹣29 D．﹣31 2．（2024春•江干区校级期末）设n为某一自然数，代入代数式n3﹣n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是（　　） A．521 B．1413 C．3721 D．1716 3．（2024春•慈溪市期末）若a2﹣2024＝3b，b2﹣2024＝3a（a≠b），则a3﹣6ab+b3的值为（　　） A．2024 B．6072 C．﹣2024 D．﹣6072 4．（2024春•柯桥区期末）小明同学每天傍晚5：30放学，妈妈每天都从家里出发，骑电瓶车按时到校接他回家．有一天学校提前30分钟放学，妈妈由于工作原因，不能提前过来接他，只能按原来的时间从家出发．他和妈妈约定先沿着原路线步行，路上遇到妈妈后再乘车回家，结果比原来早6分钟到家．若妈妈的车速不变，设妈妈的车速是小明步行速度的k倍，则k的值是（　　） A．10 B．9 C．6 D．5 5．（2024春•西湖区期末）设P＝x﹣1，Q，x≠1，有以下2个结论：①当x＞1时，P＞Q；②当x＜0时，P＜Q．下列判断正确的是（　　） A．①错②对 B．①对②错 C．①②都错 D．①②都对 6．（2024春•东阳市期末）已知关于x，y方程组给出下列结论： ①方程组的解也是2x+y＝5a﹣1的解； ②x，y值不可能是互为相反数； ③不论a取什么实数，x+3y的值始终不变； ④若2x+y＝9，则a＝2． 正确的是（　　） A．②③④ B．①④ C．①③④ D．①② 7．（2024春•江山市期末）已知实数x，y满足等式x2+2xy+2y2﹣2y＝﹣1，求x+2y的值（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．无法计算 8．（2024春•平湖市期末）设，其中整数a1，a2，a3，…，an满足0≤a1＜a2＜…＜an（n为正整数），则下列说法错误的是（　　） A．若m＝12，则n＝2 B．若n＝2，0＜m＜100，则满足条件的m有21个 C．若n＝3，0＜m＜100，则m的最大值为97 D．存在正整数m，使得a1，a2，a3，⋯，an这组数的值不唯一 9．（2024春•金华期末）七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为（m，n），若调整后的座位为（i，j），则称该生作了平移[a，b]＝[m﹣i，n﹣j]，并称a+b为该生的位置数．某生的位置数为8，当m+n取最小值时，则mn的最大值为（　　） A．25 B．30 C．36 D．48 10．（2024春•定海区期末）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升（x≠y），妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢？（　　） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 11．（2024春•嘉兴期末）一组有序排列的数：a1，a2，a3，…，an，…（n为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，a1﹣a4＝5，那么a2024+a2027＝（　　） A．24 B．27 C．31 D．36 12．（2024春•江北区期末）若A＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2，则A的末位数字是（　　） A．6 B．7 C．3 D．5 13．（2024春•鹿城区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（　　） A．28 B．29 C．30 D．31 14．（2024春•萧山区校级期末）如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a，宽为b的长方形（a＞b），密铺成正方形ABCD，已知ab＝2，正方形ABCD的面积为S，（　　） A．若a＝2b+1，则S＝16 B．若a＝2b+2，则S＝25 C．若S＝25，则a＝2b+3 D．若S＝16，则a＝2b+4 15．（2024春•镇海区校级期末）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为11，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则c：b的值为（　　） A． B． C． D． 16．（2024春•钱塘区期末）如图，在长方形ABCD中放置两个边长都为3的正方形BEFG与正方形DHIJ，设长方形ABCD的面积为S1，阴影部分的面积之和为S2．若3S1﹣S2＝66，则长方形ABCD的周长是（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 17．（2024春•临海市期末）有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上，下表记录了相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤ 两数的和 52 64 57 69 46 则写有最大数卡片的编号是（　　） A．② B．③ C．④ D．⑤ 18．（2024春•诸暨市期末）如图，直线AB∥CD，现将一副直角三角尺按如下步骤及要求摆放于同一平面内： 步骤1：将一块含30°（∠GFE＝30°）的直角三角尺（△EFG）如图放置，使得点E，F落于直线CD上，直角顶点G位于两平行线之间； 步骤2：将另一块含45°（∠MPN＝∠MNP＝45°）的直角三角尺（△PMN）进行放置，使得点P落于直线AB上（点P在点A的右边），边MN经过点G，满足∠EGN＝40°； 根据以上步骤，∠APM的度数可以是①～⑥选项中的哪三项（　　） ①10°；②20°；③70°；④80°；⑤160°；⑥170°． A．①③⑥ B．①④⑥ C．②④⑤ D．②③⑤ 19．（2024春•上城区期末）如图，已知AB∥CD，CG交AB于点G，且∠C＝α，GE平分∠BGC，点H是CD上的一个定点，点P是GE所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，∠GPH与∠PHC的关系不可能是（　　） A．∠GPH﹣∠PHCα B．∠GPH+∠PHCα C．∠GPH+∠PHCα＝180° D．∠PHC+∠GPHα＝360° 20．（2024春•嘉兴期末）如图，已知正方形ABCD和正方形CEFG，点E在CD边上，连结AG交CD于点H，连结BE，BH，GE．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（　　） A．正方形ABCD的面积 B．三角形BHG的面积 C．正方形CEFG的面积 D．三角形ADH的面积 21．（2024春•新昌县期末）如图，在线段AB上取点C，分别以AC，BC为边在AB的同侧作两个正方形，若AB＝8，AC＝m，则图中阴影部分的面积为（　　） A．32 B．m2+32 C．m2﹣8m+32 D．m2+16m﹣31 22．（2024春•瓯海区校级期末）学校要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案： 方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S1； 方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S2； 具体数据如图所示．则下列说法一定正确的是（　　） A． B． C． D． 23．（2024春•义乌市期末）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为部分周长为l1，面积为S1；图2中阴影部分周长为l2，面积为S2，若，则b与c满足的关系为（　　） A．3b＝5c B．b＝2c C．3b＝7c D．6b＝7 24．（2024春•温岭市期末）定义：平面直角坐标系中不重合两点A（x1，y1），B（x2，y2），把|y1﹣y2|称为A，B的“垂直距”，记为yAB，把|x1﹣x2|称为A，B的“水平距”，记为xAB，例如，A（1，2），B（﹣2，6），此时xAB＝|1﹣（﹣2）|＝3，yAB＝|2﹣6|＝4．现有两个命题：①xAB+yAB≥AB；②对于三角形ABC，若xAC+xBC＝xAB，yAC+yBC＝yAB，则∠ACB不可能是锐角；以上命题中（　　） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 25．（2024春•东阳市期末）如图，直线l1、l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（　　） 方案一： ①将点A向上平移d得到A'；②连接A'B交l1于点M；③过点M作MN⊥l1，交l2于点N，MN即桥的位置． 方案二： ①连接AB交l1于点M；②过点M作MN⊥l1，交l2于点N．MN即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 26．（2024春•长兴县期末）今天是6月28日，小吴用如图①所示的三张长方形纸片分别剪出数字6、2、8（如图②③④），剪成的数字可以分割成一些相同的白色长方形和一个黑色长方形（所有长方形的宽度相等）．小吴用其中一个白色长方形和数字8中的黑色长方形拼成图形⑤，将数字6中剪去的两部分（A、B）拼成长方形⑥，经过测量和计算，小吴发现长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，则黑色长方形中长与宽的比是（　　） A．11：3 B．5：1 C．7：2 D．4：1 27．（2024春•海曙区期末）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）．给出下列关于F（n）的说法：①F（6）；②F（16）＝1；③F（n2﹣n）＝1；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1．其中说法正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共33小题） 28．（2024春•东阳市期末）如图是一块矩形菜地ABCD，AB＝a米，AD＝b米，面积为s平方米．现将边AB增加1米． （1）如图1，若a＝4，边AD减少1米，得到的矩形面积不变，则b的值是 　 　 ． （2）如图2，若边AD增加2米，得到的矩形面积为2s平方米，且a，b为正整数，则s的值是 　 　 ． 29．（2024春•东阳市期末）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为5小块，除阴影D，E外，其余3块都是正方形，若阴影E周长为10，下列结论：①x的值为5；②若阴影D的周长为8，则正方形A的面积为1；③若大长方形的面积为30，则三个正方形周长的和为24．其中正确的是　 　 ． 30．（2024春•江北区期末）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，则一张小长方形的面积为 　 　 ． 31．（2024春•海曙区期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角∠ABM＝α（0°＜α＜75°且α≠60°），激光笔发出的光束DG射到平面镜上后，形成反射光束GH，发现∠AGH＝∠BGP，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角∠EPG＝30°，则GH与天花板所形成的角∠PHG的度数可用含α的代数式表示为 　 　 ． 32．（2024春•莲都区期末）现有二组数：（1）4，6，8，10，12，14，…；（2）0，3，8，15，24，35，…；第（1）组数中从左到右第n个数记为an，第（2）组数中从左到右第n个数记为bn，若an+bn＜2024，则n的最大值是 　 　 ． 33．（2024春•西湖区期末）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 按上述规律，回答以下问题： （1）用含n的代数式表示第n个等式：an＝　 　 ＝　 　 ． （2）计算：（a1+a2+a3）÷（a4+a5+a6+a7）＝　 　 ． 34．（2024春•定海区期末）如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．按照这个规律，若这样铺成一个n×n的正方形图案，则其中完整的圆共有　 　 个． 35．（2024春•上城区期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 　 　 （请填序号）． ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，m＝﹣2； ②无论m取何值，2xy+y2＝3（1+m）（1﹣m）恒成立； ③当方程组的解x，y都为自然数时，则m有唯一值为0； ④无论m取什么实数，2x•4y的值始终为8． 36．（2024春•杭州期末）有4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中阴影部分的面积为S，则S可以表示为 　 　 .（用含a、b的代数式表示并化简其结果） 37．（2024春•江山市期末）已知x﹣y＝1，则x2﹣y2﹣2y的值为　 　 ． 38．（2024春•东阳市期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得（x2﹣3x+11）÷（x+2）的商式为x÷5，余式为22，如图所示．运用此方法，那么（3x3+2x2+x+5）÷（x+1）的商式为 　 　 ，余式为 　 　 ． 39．（2024春•慈溪市期末）将三张边长分别为a，b，c（a＞b＞c）的正方形纸片A，B，C按图1，图2两种不同方式摆放于两个长方形中．设图1中的阴影部分周长为C1，面积为S1，图2中的阴影部分周长为C2，面积为S2．若S1﹣S2＝（C1﹣C2）2，则　 　 ． 40．（2024春•诸暨市期末）在长方形ABCD（AB＞AD）内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（a＞b），按图1，图2，图3三种方式放置（图中均有重叠部分），长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，图3中阴影部分的面积为S3，当b＝1时，S2＝S3；当a＝2，b＝1时，S2+S3＝2S1+1．则AB的长度为 　 　 ． 41．（2024春•莲都区期末）已知两个长方形ABCD和CEFG如图放置，点H在AB上．AB＝a，EF＝b，且BC＝2a，CE＝2b，S1表示三角形DHG的面积，S2表示三角形CGF的面积，若a+b＝8，ab＝13，则S1+S2的值是 　 　 ． 42．（2024春•鄞州区校级期末）对正整数n，规定n！＝n×（n﹣1）×（n﹣2）．…×2×1，记S＝1！×2！×…×24！，若正整数k（k≤100）使得S×k！为完全平方数，请写出一个符合条件的k的值：　 　 ． 43．（2024春•金华期末）若7m＝11，11n＝7，则的值为 　 　 ． 44．（2024春•钱塘区期末）一筐苹果，若分给全班同学每人5个，则还剩下15个；若全班同学一起吃，其中7个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，恰好用若干天吃完，则筐里最多共有 　 　 个苹果． 45．（2024春•长兴县期末）对于实数a，我们定义如下运算：若a为非负数，则[a]＝a；若a为负数，则[a]＝a．例如：[1]＝1，[﹣0.5]＝﹣0.50．则方程组的解为 　 　 ． 46．（2024春•新昌县期末）某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵：如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学 　 　 人． 47．（2024春•义乌市期末）将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+22﹣22﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2﹣9≥﹣9，∴当x＝2时，多项式x2﹣4x﹣5有最小值﹣9．已知a，b为实数，多项式（x+3）（3x+a）展开后x的一次项系数为m，多项式（3x+2）（x+b）展开后x的一次项系数为n，且m，n均为正整数．则当m+n＝17时，ab的最大值为 　 　 ． 48．（2024春•诸暨市期末）定义运算“⊕”：a⊕b，当x≠4时，满足4⊕x＝2，则x的值为 　 　 ． 49．（2024春•鄞州区校级期末）有三面镜子如图放置，其中镜子AB和BC相交所成的角∠ABC＝110°，已知入射光线EF经AB、BC、CD反射后，反射光线与入射光线EF平行，若∠AEF＝α，则镜子BC和CD相交所成的角∠BCD＝　 　 .（结果用含α的代数式表示） 50．（2024春•温岭市期末）如图，一副直角三角板的一条直角边分别与直线GH重合，∠BAC＝30°，∠EDF＝45°，将三角板DEF沿GH方向运动，连结BD，若∠ABD＝20°，则∠BDF的度数为 　 　 ． 51．（2024春•江山市期末）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿AB折叠，展开后，再沿BD折叠（如图2）．若∠ABE＝56°，∠DBE：∠CAB＝3：2，则∠ABC＝ 　 　 °． 52．（2024春•瓯海区校级期末）如图，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，空白部分的面积为 　 　 平方米． 53．（2024春•临海市期末）如图，大长方形是由一个长方形①，两个完全相同的长方形②及三个正方形A，B，C无缝拼接组成，若长方形①，②的周长之比为12：7，则正方形A，B的面积之比为 　 　 ． 54．（2024春•嘉兴期末）某服装厂销售某款时装，4月份销售每套该款时装获得的利润是其出厂价的20%（每套时装的利润＝出厂价﹣成本），5月份将每套该款时装的出厂价调低2%（每套时装的成本不变），销售量比4月份增长30%，那么该服装厂5月份销售这款时装的总利润比4月份的总利润增长了 　 　 %． 55．（2024春•柯桥区期末）已知关于x，y的二元一次方程mx+ny＝h的解如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 ﹣1 … 已知关于x，y的二元一次方程ax﹣by＝c的解如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … ﹣2 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于x，y二元一次方程组的解为 　 　 ． （2）关于x1，y1的二元一次方程组的解为 　 　 ． 56．（2024春•鹿城区校级期末）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，∠CEO＝90°，未使用指甲剪时，杠杆BC与上臂OC重合；使用时，下压点A至A'时，B刚好至B'点，当A'B'∥OE时，两刀片咬合，恰好CB'平分∠OCE，若∠CB'A'＝129°，则∠COE＝　 　 °． 57．（2024春•镇海区校级期末）图1是某折叠式靠背椅的实物图，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，椅面底部有根可以绕点H动的连杆HD，GFB段在转动过程中形状保持不变．图2是椅子合拢状态的侧面示意图，椅面CE和靠背FG平行，测得∠BCE＝150°，∠ABO＝70°，则靠背FG与水平地面AB的夹角α＝　 　 °．如图3，打开时椅面CE与地面AB平行，延长GF交AB于点H，FH平分∠AFB．若∠FCE+∠FAB＝β+105°，则β＝　 　 °． 58．（2024春•定海区期末）如图①，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，点E、F分别在边AD、BC上，如图②，将纸带先沿直线EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿FS折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，若∠BFS＝57°，则∠DEF＝　 　 ． 59．（2024春•义乌市期末）某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线AB，CD之间，其中点E，F在直线AB上，点H，N在直线CD上，∠EGH＝∠FMN＝90°，∠GEH＝45°，∠MFN＝30°．记∠AEG＝∠1，∠GHC＝∠2，∠MND＝∠3，∠BFM＝∠4． （1）比较大小：∠1+∠2 　 　 ∠3+∠4．（填“＞”或“＜”或“＝”） （2）如图2，∠EFN的平分线FP交直线CD于点P，记∠EHD＝α（0°＜α＜90°），∠FPN＝β．现保持三角板EGH不动，将三角板FMN从如图位置向左平移，若在运动过程中MN与EH始终平行，α与β满足的数量关系为 　 　 ． 60．（2024春•海曙区期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为 　 　 ． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 各地期末试卷选择、填空题精选60题训练 一．选择题（共27小题） 1．（2024春•鄞州区校级期末）实数a、b满足|a+1|+|a+3|+|b+2|+|b﹣5|＝9，记代数式2ab+2a+b的最大值为m，最小值为n，则m+n的值为（　　） A．﹣25 B．﹣27 C．﹣29 D．﹣31 【分析】根据|a+1|+|a+3|与|b+2|+|b﹣5所表示的意义，结合|a+1|+|a+3|+|b+2|+|b﹣5|＝9，确定a、b的取值范围，再根据有理数乘法、加法的计算法则确定当a＝﹣3，b＝5时，代数式2ab+2a+b的值最小，当a＝﹣3，b＝﹣2时，代数式2ab+2a+b的值最大，求出m、n的值代入计算即可． 【解答】解：由绝对值的定义可知，当﹣3≤a≤﹣1时，|a+1|+|a+3|的最小值是|﹣1+3|＝2， 当﹣2≤b≤5时，b+2|+|b﹣5|的最小值为|﹣2﹣5|＝7， ∵|a+1|+|a+3|+|b+2|+|b﹣5|＝9， ∴﹣3≤a≤﹣1，﹣2≤b≤5， ∴当a＝﹣3，b＝5时，代数式2ab+2a+b的值最小，即n＝2×（﹣3）×5+2×（﹣3）+5＝﹣31， 当a＝﹣3，b＝﹣2时，代数式2ab+2a+b的值最大，即m＝2×（﹣3）×（﹣2）+2×（﹣3）﹣2＝4， ∴m+n＝4﹣31＝﹣27， 故选：B． 【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义，由有理数加法、乘法的计算方法得出当a＝﹣3，b＝5时，代数式2ab+2a+b的值最小，当a＝﹣3，b＝﹣2时，代数式2ab+2a+b的值最大是解决问题的关键． 2．（2024春•江干区校级期末）设n为某一自然数，代入代数式n3﹣n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是（　　） A．521 B．1413 C．3721 D．1716 【分析】代数式n3﹣n因式分解可得n（n﹣1）（n+1），则代数式表示三个连续正整数的积．据此分析即可． 【解答】解：由题意可知：原式＝n（n﹣1）（n+1）， ∴n3﹣n为三个连续的正整数的积， ∴n3﹣n可写成三个连续自然数的积，其中一个因数必为偶数， ∴n3﹣n是一个偶数． 故选：D． 【点评】本题综合考查因式分解的应用，三个连续自然数的积为偶数等相关知识点，重点掌握因式分解的应用． 3．（2024春•慈溪市期末）若a2﹣2024＝3b，b2﹣2024＝3a（a≠b），则a3﹣6ab+b3的值为（　　） A．2024 B．6072 C．﹣2024 D．﹣6072 【分析】根据题意得，2024＝a2﹣3b＝b2﹣3a，a2﹣b2﹣3b+3a＝0，即（a+b+3）（a﹣b）＝0，因为a≠b，所以a+b+3＝0，即a+b＝﹣3；因为a2﹣3b+b2﹣3a＝4048，所以a2+b2＝4048+3a+3b＝4039；而a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣3）2﹣2ab＝4039，因此ab＝﹣2015；a3﹣6ab+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣6ab，将a+b、ab、a2+b2的值代入计算即可． 【解答】解：根据题意得，2024＝a2﹣3b＝b2﹣3a， 整理得，a2﹣b2﹣3b+3a＝0，即（a+b+3）（a﹣b）＝0， 因为a≠b， 所以a+b+3＝0，即a+b＝﹣3； 因为a2﹣3b+b2﹣3a＝4048， 所以a2+b2＝4048+3a+3b＝4048﹣9＝4039； 而a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣3）2﹣2ab＝4039， 因此ab＝﹣2015； 则a3﹣6ab+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣6ab＝（﹣3）×[4039﹣（﹣2015）]﹣6×（﹣2015）＝﹣6072． 故选：D． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，关键在于通过因式分解，分别求得a+b、ab、a2+b2的值，再对式子a3﹣6ab+b3进行整理化简，注意a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）． 4．（2024春•柯桥区期末）小明同学每天傍晚5：30放学，妈妈每天都从家里出发，骑电瓶车按时到校接他回家．有一天学校提前30分钟放学，妈妈由于工作原因，不能提前过来接他，只能按原来的时间从家出发．他和妈妈约定先沿着原路线步行，路上遇到妈妈后再乘车回家，结果比原来早6分钟到家．若妈妈的车速不变，设妈妈的车速是小明步行速度的k倍，则k的值是（　　） A．10 B．9 C．6 D．5 【分析】设小明步行的路程为S，根据结果比平时早6分钟到家，可知提前放学的这一天，妈妈骑电瓶车的路程少2S，利用速度＝路程÷时间，可得出妈妈骑电瓶车的速度为，结合妈妈的车速是小明步行速度的k倍，可得出小明步行的速度是，利用时间＝路程÷速度，可得出小明步行的时间，再结合小明走这段路程比妈妈骑电瓶车走这段路段多用时30﹣6＝24分钟（早出发30分钟，提前到达6分钟），可列出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设小明步行的路程为S，妈妈骑电瓶车的路程少2S， ∴妈妈的车速是，小明步行的速度是， ∴小明步行的时间为3k． 根据题意得：3k24， 解得：k＝9， ∴k的值是9． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．（2024春•西湖区期末）设P＝x﹣1，Q，x≠1，有以下2个结论：①当x＞1时，P＞Q；②当x＜0时，P＜Q．下列判断正确的是（　　） A．①错②对 B．①对②错 C．①②都错 D．①②都对 【分析】运用作差法分别进行运算、讨论和比较． 【解答】解：∵P﹣Q＝（x﹣1） ， ∴当2＞x＞1时，x﹣1＞0，x＞0，x﹣2＜0， 则0， 即P＜Q， ∴结论①不对； 当x＜0时，x﹣1＜0，x﹣2＜0， 则0， 即P＜Q， ∴结论②对， 故选：A． 【点评】此题考查了分式的大小比较能力，关键是能准确理解并运用分式加减运算法则和作差法进行求解． 6．（2024春•东阳市期末）已知关于x，y方程组给出下列结论： ①方程组的解也是2x+y＝5a﹣1的解； ②x，y值不可能是互为相反数； ③不论a取什么实数，x+3y的值始终不变； ④若2x+y＝9，则a＝2． 正确的是（　　） A．②③④ B．①④ C．①③④ D．①② 【分析】将方程组中两个方程相加，得2x+y＝5a﹣1，即可判断①； 求出原方程组的解，当x+y＝0时，求a的值即可判断②； 计算x+3y的值，即可判断③； 将原方程组的解代入2x+y＝9求出a的值即可判断④． 【解答】解：①将方程组中两个方程相加，得2x+y＝5a﹣1， ∴方程组的解也是2x+y＝5a﹣1的解，故①正确； ②解方程组，得， 当x，y的值互为相反数时，x+y＝0， 即， 解得， ∴当时，x，y的值互为相反数，故②不正确； ③原方程组的解为， ∴x+3y＝（3a）+3（﹣a）＝3a3a+1， ∴不论a取什么实数，x+3y的值始终不变，都为，故③正确； ④若2x+y＝9，则， 解得a＝2，故④正确； 综上，①③④正确． 故选：C． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握加减法和代入法是解题的关键． 7．（2024春•江山市期末）已知实数x，y满足等式x2+2xy+2y2﹣2y＝﹣1，求x+2y的值（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．无法计算 【分析】利用配方法，非负数的性质求出x，y的值即可． 【解答】解：x2+2xy+2y2﹣2y＝﹣1， （x2+2xy+y2+（y2﹣2y+1）＝0， （x+y）2+（y﹣1）2＝0， ∵（x+y）2≥0，（y﹣1）2≥0， ∴x＝﹣1，y＝1， ∴x+2y＝﹣1+2＝1． 故选：C． 【点评】本题考查配方法，非负数的性质，解题的关键是掌握配方法，学会利用非负数的性质解决问题． 8．（2024春•平湖市期末）设，其中整数a1，a2，a3，…，an满足0≤a1＜a2＜…＜an（n为正整数），则下列说法错误的是（　　） A．若m＝12，则n＝2 B．若n＝2，0＜m＜100，则满足条件的m有21个 C．若n＝3，0＜m＜100，则m的最大值为97 D．存在正整数m，使得a1，a2，a3，⋯，an这组数的值不唯一 【分析】根据选项条件，逐项判断即可求解． 【解答】解：A．若m＝12，那么， ∵23＝8，24＝16， ∴a1，a2，a3，⋯，an中，最大为3， 当a1＝1，a2＝3，21+23＝10≠12； 当a1＝2，a2＝3，22+23＝12； 当a1＝0，a2＝3，20+23＝9≠12； ∴n＝2；该选项正确，不符合题意； B．若n＝2，0＜m＜100， ∵26＝64，27＝128， ∴a1，a2中，最大为6， ∴当a1＝0时，a2＝1，2，3，4，5，6；当a1＝1时，a2＝2，3，4，5，6；当a1＝2时，a2＝3，4，5，6；当a1＝3时，a2＝4，5，6；当a1＝4时，a2＝5，6；当a1＝5时，a2＝6；共有21种情况， ∴满足条件的m有21个；该选项正确，不符合题意； C．若n＝3，0＜m＜100时， ∵26＝64，27＝128， ∴a1，a2，a3中，最大为6， ∴最大当a1＝1，a2＝5，a3＝6时，m的最大值为21+25+26＝98；该选项不正确，符合题意； D．存在正整数m，使得a1，a2，a3，⋯，an这组数的值不唯一；该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的定义，规律型：数字的变化类，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．（2024春•金华期末）七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为（m，n），若调整后的座位为（i，j），则称该生作了平移[a，b]＝[m﹣i，n﹣j]，并称a+b为该生的位置数．某生的位置数为8，当m+n取最小值时，则mn的最大值为（　　） A．25 B．30 C．36 D．48 【分析】根据1≤i≤6，l≤j≤8，且i、j都是整数，某生的位置数为8，可得出m+n的最小值，在分别列出m、n为符合条件的整数时mn的值，从而得出答案． 【解答】解：∵[a，b]＝[m﹣i，n﹣j]， ∴a+b＝m﹣i+n﹣j＝m+n﹣（i+j）， 又∵a+b＝8， ∴m+n﹣（i+j）＝8，即m+n＝i+j+8， ∵1≤i≤6，l≤j≤8，且i、j都是整数， ∴m+n的最小值为10， 当m＝2，n＝8时，mn＝16， 当m＝3，n＝7时，mn＝21， 当m＝4，n＝6时，mn＝24， 当m＝5，n＝5时，mn＝25， 当m＝6，n＝4时，mn＝24， 即mn的最大值为25， 故选：A． 【点评】本题考查了坐标确定位置，生活中平移现象，理解位置数是怎样规定的是解题的关键． 10．（2024春•定海区期末）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升（x≠y），妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢？（　　） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【分析】妈妈两次加油共需付款及爸爸两次加油升数，进而表示出两人的平均单价，列出关系式，通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，确定出差的正负即可作出判断． 【解答】解：根据题意得：妈妈每次加油共需付款a（x+y）元，爸爸两次能加升油， 若爸爸两次加油的平均单价为M元/升，妈妈两次加油的平均单价为N元/升，则M，N， ∵N﹣M0， ∴爸爸的加油方式更合算， 故选：A． 【点评】此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式． 11．（2024春•嘉兴期末）一组有序排列的数：a1，a2，a3，…，an，…（n为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，a1﹣a4＝5，那么a2024+a2027＝（　　） A．24 B．27 C．31 D．36 【分析】先根据题意求出第1个数，第3个数，第5个数，找出规律，再根据完全平方公式求解． 【解答】解：设第1个数为x，第3个数为y，第5个数为z， 由题意，得：xy＝m2，y＝m2m，yz， ∴x＝m，z， ∴这组数据为m，m2，m，，，，m，m2，……， 即这组数以m，m2，m，，，，6个为一组，进行循环， ∵2024÷6＝337……2，2027÷6＝337……5， ∴第2024个数是m2；第2027个数是， ∵a1﹣a4＝5， ∴m5， ∴a2024+a2027＝m2（m）2+2＝25+2＝27， 故选：B． 【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 12．（2024春•江北区期末）若A＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2，则A的末位数字是（　　） A．6 B．7 C．3 D．5 【分析】先把已知等式变成A＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2，然后利用完全平方公式进行计算，最后根据底数是2的幂的计算结果，找出末位数字的规律，按照此规律求出答案即可． 【解答】解：A＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2 ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）+2 ＝（28﹣1）（28+1）（216+1）+2 ＝（216﹣1）（216+1）+2 ＝232﹣1+2 ＝232+1， ∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64…， ∴末位数字分别为2，4，8，6，每四个一循环， ∵32÷4＝8， ∴232的末位数字为6， ∴232+1 的末位数字为7， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平方差公式和尾数的特征，解题关键是根据已知条件，把已知等式写成A＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2的形式． 13．（2024春•鹿城区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（　　） A．28 B．29 C．30 D．31 【分析】利用正方形和长方形的性质，将ID与DJ的关系表示出来，再利用阴影部分面积和为60即可求出ID与DJ，从而得到长方形FJDI的长和宽，即可求解． 【解答】解：设ID＝y，DJ＝z， ∵两个阴影部分都是正方形， ∴DN＝ID＝x，DM＝DJ＝y， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD， ∵AD＝AI+ID，CD＝CJ+DJ， ∴AI+ID＝CJ+DJ， ∵AI＝5，CJ＝3， ∴5+y＝3+z， ∴y＝z﹣2， ：∵阴影部分面积和为60， ∴y2+z2＝60， 方法1：将y＝z﹣2代入y2+z2＝60中，得： （z﹣2）2+z2＝60， 解得：z＝1或z＝1（舍）， ∴y＝z﹣21， ∴ID1，DJ＝1， ∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝（1）×（1）＝28； 方法2：∵z﹣y＝2， 所以（z﹣y）2＝4， ∴y2+z2﹣2yz＝4， ∴60﹣2yz＝4， yz＝28， ∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝28． 故选：A． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是利用图形面积之间的关系求解，熟练进行公式之间的转化变形． 14．（2024春•萧山区校级期末）如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a，宽为b的长方形（a＞b），密铺成正方形ABCD，已知ab＝2，正方形ABCD的面积为S，（　　） A．若a＝2b+1，则S＝16 B．若a＝2b+2，则S＝25 C．若S＝25，则a＝2b+3 D．若S＝16，则a＝2b+4 【分析】正方形的边长是一个含有两个字母的代数式，根据已知条件，变成含一个字母的代数式，根据正方形面积已知，列一元二次方程，通过求根公式求出字母的值，再对选项加以判定． 【解答】解：由题意，正方形ABCD的边长为a+2b， ab＝2，a＞b＞0， 若a＝2b+1，则正方形ABCD的边长为a+2b＝4b+1，b（2b+1）＝2， 即2b2+b﹣2＝0， 解得：b（负值不合题意，舍去）， ∴b， ∴S＝（4b+1）2＝（41）2＝17， ∴选项A不正确； 若a＝2b+2，则正方形ABCD的边长为a+2b＝4b+2，b（2b+2）＝2， 即b2+b﹣1＝0， 解得：（负值不合题意，舍去）， ∴b， ∴S＝（4b+2）2＝（42）2＝20， ∴选项B不正确； 若S＝25，则（a+2b）2＝25， ∵a+2b＞0， ∴a+2b＝5， ∴a＝5﹣2b， ∴b（5﹣2b）＝2， 即2b2﹣5b+2＝0， 解得：b1，b2＝2， 当b时，a＝5﹣2b＝4， 2b+3＝4， 此时，a＝2b+3； 当b＝2时，a﹣5﹣2b＝1，a＜b，不合题意， ∴选项C正确； 若S＝16，则（a+2b）2＝16， ∵a+2b＞0， ∴a+2b＝4， ∴a＝4﹣2b， ∴b（4﹣2b）＝2， 即b2﹣2b+1＝0， 解得：b1＝b2＝1， 当b＝1时，a＝4﹣2b＝2，2b+4＝6， ∴a≠2b+4， ∴选项D不正确； 故选：C． 【点评】本题考查的是一元二次方程的几何背景，正确识图、一元二次方程求根公式是关键， 15．（2024春•镇海区校级期末）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为11，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则c：b的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题目中的数据，设大长方形的宽短边长为d，表示出S2，S1，l1，l2，再代入，即可求解． 【解答】解：设大长方形的宽为d， ∴由图2知，d＝b﹣c+a， ∴l1＝2（a+b+c）+（d﹣a）+（d﹣c）+（a﹣b）+（b﹣c）＝2a+2b+2d， S1＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2﹣c2， l2＝a+b+c+d+a+c+（a﹣b）+（b﹣c）＝3a+b+c+d， S2＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2+bc， ∴S2﹣S1＝bc+c2， l1﹣l2＝b﹣c﹣a+d， ∴bc+c2＝（）2， ∴bc+c2＝（b﹣c）2， ∴3bc＝b2， ∴b＝3c， ∴c：b的值为． 故选：B． 【点评】本题主要考查整式的混合运算，明确整式的混合运算的计算方法是解题的关键． 16．（2024春•钱塘区期末）如图，在长方形ABCD中放置两个边长都为3的正方形BEFG与正方形DHIJ，设长方形ABCD的面积为S1，阴影部分的面积之和为S2．若3S1﹣S2＝66，则长方形ABCD的周长是（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 【分析】根据图形中各线段的关系，用x、y的代数式表示相关线段的长，再根据3S1﹣S2＝66，由矩形面积公式列出x、y的方程，求得x+y便可求解． 【解答】解：设AB＝CD＝x，AD＝BC＝y， 则AH＝CE＝y﹣3，AG＝CJ＝x﹣3，FK＝3﹣（y﹣3）＝6﹣y，FL＝3﹣（x﹣3）＝6﹣x， ∵3S1﹣S2＝66， ∴3xy﹣[2（x﹣3）（y﹣3）+（6﹣y）（6﹣x）]＝66， 整理得12（x+y）＝66+54， ∴2（x+y）＝20， 则长方形 ABCD的周长是20， 故选：C． 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 17．（2024春•临海市期末）有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上，下表记录了相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤ 两数的和 52 64 57 69 46 则写有最大数卡片的编号是（　　） A．② B．③ C．④ D．⑤ 【分析】由题意得关于①②③④⑤的方程，利用等式的性质求出它们的值，最后根据题意得结论． 【解答】解：∵①+②＝52（1），②+③＝64（2），③+④＝57（3），④+⑤＝69（4），①+⑤＝46 （5）， ∴（2）﹣（1），得③﹣①＝12（7），（4﹣）﹣（3），得⑤﹣③＝12 （8）． ∴（7）+（8），得⑤﹣①＝24（9）． ∴（5）+（9），得2⑤＝70，（5）﹣（9），得2①＝22． ∴⑤＝35，①＝11． 把⑤①的值代入（1）、（2）、（3）、（4）得②＝41，③＝23，④＝34． 故选：A． 【点评】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的性质是解决本题的关键． 18．（2024春•诸暨市期末）如图，直线AB∥CD，现将一副直角三角尺按如下步骤及要求摆放于同一平面内： 步骤1：将一块含30°（∠GFE＝30°）的直角三角尺（△EFG）如图放置，使得点E，F落于直线CD上，直角顶点G位于两平行线之间； 步骤2：将另一块含45°（∠MPN＝∠MNP＝45°）的直角三角尺（△PMN）进行放置，使得点P落于直线AB上（点P在点A的右边），边MN经过点G，满足∠EGN＝40°； 根据以上步骤，∠APM的度数可以是①～⑥选项中的哪三项（　　） ①10°；②20°；③70°；④80°；⑤160°；⑥170°． A．①③⑥ B．①④⑥ C．②④⑤ D．②③⑤ 【分析】根据题意分三种情况讨论，画出图形，再根据平行线的性质计算即可． 【解答】解：如图，过点G作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥GH， ∴∠FGH＝∠EFG＝30°，∠AKG＝∠HGN， ∵∠EGN＝40°，∠EGF＝90°， ∴∠FGN＝50°， ∴∠AKG＝∠HGN＝80°， ∴∠BKM＝∠AKG＝80°． ∵∠M＝90°， ∴∠APM＝90°﹣∠PKM＝10°； 如图，过点G作GH∥AB，过点M作KM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥GH∥KM， ∴∠FGH＝∠EFG＝30°，∠KMG＝∠HGM，∠APM＝∠PMK， ∵∠EGN＝40°，∠EGF＝90°， ∴∠KMG＝∠HGM＝180°﹣90°﹣40°﹣30°＝20°， ∵∠PMN＝90°， ∴∠APM＝∠PMK＝90°﹣20°＝70°； 如图，过点G作KG∥AB交PN于点K， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥GK， ∴∠FGK＝∠EFG＝30°，∠APK＝∠PKG， ∵∠EGN＝40°，∠EGF＝90°， ∴∠FGN＝50°，∠KGN＝80°， ∴∠NKG＝180°﹣∠PNM﹣∠KGN＝55°， ∴∠APK＝∠PKG＝180°﹣∠GKN＝125°， ∠APM＝∠APN+∠MPN＝170°． 故选：A． 【点评】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握相关知识和分类讨论是解题的关键． 19．（2024春•上城区期末）如图，已知AB∥CD，CG交AB于点G，且∠C＝α，GE平分∠BGC，点H是CD上的一个定点，点P是GE所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，∠GPH与∠PHC的关系不可能是（　　） A．∠GPH﹣∠PHCα B．∠GPH+∠PHCα C．∠GPH+∠PHCα＝180° D．∠PHC+∠GPHα＝360° 【分析】根据题意分3种情况讨论，分别根据平行线的性质和判定，结合角平分线的概念求解即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BGC＝∠C＝α， ∵GE平分∠BGC， ∴∠BGE＝∠CGE∠BGCα， 如图，当点P在AB和CD之间时，过点P作PM∥AB， ∴∠BGE＝∠GPMα， ∵AB∥CD， ∴MP∥CD， ∴∠MPH＝∠PHC＝∠GPH﹣∠GPM＝∠GPHα， ∴∠GPH﹣∠PHCα，故A不符合题题意； 当点P在AB上方时，如图，过点P作PN∥AB， ∴∠FGA＝∠BGEα， ∵PN∥AB， ∴∠FPN＝∠FGAα， ∵AB∥CD， ∴PN∥CD， ∴∠NPH＝∠PHC， ∵∠FPN+∠NPH+∠GPH＝180°， ∴α+∠PHC+∠FPH＝180°，故C不符合题题意；D符合题意； 当点P在CD下方时，如图，过点P作PK∥AB， ∴∠FPK＝∠AGFα， ∵AB∥CD， ∴PK∥CD， ∴∠CHP＝∠HPK， ∵∠GPH+∠KPH＝∠GPKα， ∴∠GPH+∠KPHα，故B不符合题题意； 故选：D． 【点评】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，分类讨论思想，根据题意正确分类并根据平行性的性质得出角度之间的关系是解题关键． 20．（2024春•嘉兴期末）如图，已知正方形ABCD和正方形CEFG，点E在CD边上，连结AG交CD于点H，连结BE，BH，GE．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（　　） A．正方形ABCD的面积 B．三角形BHG的面积 C．正方形CEFG的面积 D．三角形ADH的面积 【分析】连接AE，连接AC，因为四边形CGEF，ABCD为正方形，AB∥CD，AC∥GE，利用面积公式即可求解． 【解答】解：如图，连接AE，因为四边形CGFE为正方形， ∴AB∥CD， ∴S△BEH＝S△AEH， S阴影＝S△GEH+S△AEH＝S△AGE． 连接AC，∵四边形ABCD为正方形， ∴AC∥GE， ∴S阴影＝S△AGE＝S△CGES正方形CGFE． 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质以及三角形的面积，解题关键在于正确作图． 21．（2024春•新昌县期末）如图，在线段AB上取点C，分别以AC，BC为边在AB的同侧作两个正方形，若AB＝8，AC＝m，则图中阴影部分的面积为（　　） A．32 B．m2+32 C．m2﹣8m+32 D．m2+16m﹣31 【分析】延长EF，BG交于D，由以AC，BC为边在AB的同侧作两个正方形，AB＝8，AC＝m，即可得阴影部分的面积＝△EBD的面积﹣△FGD的面积． 【解答】解：延长EF，BG交于D， 由以AC，BC为边在AB的同侧作两个正方形，AB＝8，AC＝m， 得阴影部分的面积＝△EBD的面积﹣△FGD的面积8m（8﹣m）[m﹣（8﹣m）]＝m2﹣8m+32． 故选：C． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，解题关键是正确进行整式运算． 22．（2024春•瓯海区校级期末）学校要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案： 方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S1； 方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S2； 具体数据如图所示．则下列说法一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由图1得S1＝a2﹣b2，可判断A错误；由图2得S2＝（b）（a﹣b）﹣b2＝a2﹣2b2，可判断B错误；由，S1﹣S2＝a2﹣b2﹣（a2﹣2b2）＝b2，可判断C错误，D正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图1，S1＝a2﹣b2， ∴S1≠（a﹣b）2， 故A错误； 如图2，S2＝（b）（a﹣b）﹣b2＝a2﹣2b2， ∴S2≠a2﹣b2， 故B错误； ∴，S1﹣S2＝a2﹣b2﹣（a2﹣2b2）＝b2， 故C错误，D正确， 故选：D． 【点评】此题重点考查正方形的性质、正方形的面积公式、整式的乘除等知识，正确地用含a、b的代数式表示S1、S2是解题的关键． 23．（2024春•义乌市期末）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为部分周长为l1，面积为S1；图2中阴影部分周长为l2，面积为S2，若，则b与c满足的关系为（　　） A．3b＝5c B．b＝2c C．3b＝7c D．6b＝7 【分析】分别用含a，b，c的式子表示出 l1，l2，S1 S2，代入 进行运算，即可求解． 【解答】解：由图可知，长方形的长为a+b，宽为a+c， l1＝（a+b﹣c）+（a﹣c）+b+c+（a﹣b）+（a+c﹣b）＝4a， ， l2＝2a+2c+2b+2（a+c﹣b）＝4（a+c）， ， ∴，l2﹣l1＝4c， ∵ ∴4c2＝3（bc﹣c2）， 解得，即3b＝7c， 故选：C． 【点评】本题考查矩形的性质，正方形的性质，能表示出各个量，正确进行整式运算是解题的关键． 24．（2024春•温岭市期末）定义：平面直角坐标系中不重合两点A（x1，y1），B（x2，y2），把|y1﹣y2|称为A，B的“垂直距”，记为yAB，把|x1﹣x2|称为A，B的“水平距”，记为xAB，例如，A（1，2），B（﹣2，6），此时xAB＝|1﹣（﹣2）|＝3，yAB＝|2﹣6|＝4．现有两个命题：①xAB+yAB≥AB；②对于三角形ABC，若xAC+xBC＝xAB，yAC+yBC＝yAB，则∠ACB不可能是锐角；以上命题中（　　） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【分析】①设A（xA，xB），B（yA，yB），过点A作AD⊥y轴，AE⊥x轴，过点B作BE⊥y轴，DB⊥x轴，AD交BD于点D，AE交BE于点E，得到EB＝xAB，AE＝yAB，当AB不平行于坐标轴时，根据“两点之间线段最短”得EB+AE＞AB，当AB平行于坐标轴时，可得出xAB+yAB＝AB，即可判断①； ②根据题意得出点C在长方形AEBD内（含边界），分情况讨论即可． 【解答】解：如图，设 A（xA，xB），B（yA，yB），过点A作AD⊥y轴，AE⊥x轴，过点B作BE⊥y轴，DB⊥x轴，AD交BD于点D，AE交BE于点E， 由题意可知EB＝xAB，AE＝yAB， 当线段AB与坐标轴不平行时，EB+AE＞AB， ∴xAB+yAB＞AB， 当线段AB与坐标轴平行时，xAB+yAB＝AB， 综上所述，xAB+yAB≥AB， 故命题①是真命题； ∵对于三角形ABC，xAC+xBC＝xAB，yAC+yBC＝yAB， ∴点C在长方形AEBD内（含边界）， 当点C与点E或点D重合时，∠ACB＝90°； 当点C与点A或点B重合时，三角形ABC不存在； 当点C在长方形AEBD内或边上时（顶点除外），∠ACB＞90°； 综上所述，若 xAC+xBC＝xAB，yAC+yBC＝yAB，则∠ACB不可能是锐角， 故命题②是真命题； 故选：A． 【点评】本题考查新定义、两点之间线段最短、三角形形状的判定、命题的判定等知识，熟练掌握以上知识点并理解新定义是解题的关键． 25．（2024春•东阳市期末）如图，直线l1、l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（　　） 方案一： ①将点A向上平移d得到A'；②连接A'B交l1于点M；③过点M作MN⊥l1，交l2于点N，MN即桥的位置． 方案二： ①连接AB交l1于点M；②过点M作MN⊥l1，交l2于点N．MN即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 【分析】因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可，可利用平移解决问题． 【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可． ∵AA'垂直于河岸l2，AA′＝d， 连接BA′，与另一条河岸相交于M，作MN⊥直线l1， 由平移的性质，知MN∥AA′，且MN＝AA′＝d，MA′＝NA， 根据“两点之间线段最短”，BA′最短，即AN+BM最短． 故方案一符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查两点之间线段最短，平移的性质，能够将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题是解题的关键． 26．（2024春•长兴县期末）今天是6月28日，小吴用如图①所示的三张长方形纸片分别剪出数字6、2、8（如图②③④），剪成的数字可以分割成一些相同的白色长方形和一个黑色长方形（所有长方形的宽度相等）．小吴用其中一个白色长方形和数字8中的黑色长方形拼成图形⑤，将数字6中剪去的两部分（A、B）拼成长方形⑥，经过测量和计算，小吴发现长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，则黑色长方形中长与宽的比是（　　） A．11：3 B．5：1 C．7：2 D．4：1 【分析】设黑色小长方形纸 片的长为b，宽为a，根据已知条件长方形⑥的周长，恰好是图形⑤的周长的2倍，求出比值即可． 【解答】解：设黑色小长方形纸片的长为b，宽为a，则白色长方形的长为 （b+a），宽为a， ∴⑤的周长为b+a+b+5a＝2b+6a，⑥的长为b+a+b＝2b+a，宽为b， ∴⑥的周长为（b+2b+a）×2＝6b+2a， 又∵长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍， ∴6b+2a＝2（2b+6a），即b＝5a， ∴黑色长方形中长与宽的比是 ， 故选：B． 【点评】本题考查了图形的剪拼、比的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 27．（2024春•海曙区期末）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）．给出下列关于F（n）的说法：①F（6）；②F（16）＝1；③F（n2﹣n）＝1；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1．其中说法正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据最优分解的定义，分别求出6、16、n2﹣n以及完全平方数n，然后对各小题求解即可作出判断． 【解答】解：①∵6＝1×6＝2×3， ∴F（6），故本小题正确； ②∵16＝1×16＝2×8＝4×4， ∴F（16）1，故本小题正确； ③∵n2﹣n＝n（n﹣1）， ∴F（n2﹣n）1，故本小题正确； ④∵n是一个完全平方数， ∴n分解成两个完全相同的数时，差的绝对值最小， ∴F（n）＝1，故本小题正确． 综上所述，说法正确的个数是4． 故选：D． 【点评】本题考查了完全平方数，读懂题目信息，理解“最优分解”的定义是解题的关键． 二．填空题（共33小题） 28．（2024春•东阳市期末）如图是一块矩形菜地ABCD，AB＝a米，AD＝b米，面积为s平方米．现将边AB增加1米． （1）如图1，若a＝4，边AD减少1米，得到的矩形面积不变，则b的值是 　5　 ． （2）如图2，若边AD增加2米，得到的矩形面积为2s平方米，且a，b为正整数，则s的值是 　12　 ． 【分析】（1）根据题意列出方程ab＝（a+1）（b﹣1），求出b＝5； （2）根据题意列出方程2ab＝（a+1）（b+2），根据a，b为正整数，得出a＝3，b＝4，得到s＝ab＝12． 【解答】解：（1）ab＝（a+1）（b﹣1）， ∴ab＝ab﹣a+b﹣1， ∴0＝﹣4+b﹣1， ∴b＝5， 故答案为：5； （2）2ab＝（a+1）（b+2）， ∴2ab＝ab+2a+b+2， ∴2a+b﹣ab+2＝0， ∴（a﹣1）（b﹣2）＝4， ∵a，b为正整数， ∴a＝3，b＝4或a＝2，b＝6或a＝5，b＝3， ∴s＝ab＝12或15， 故答案为：12或15． 【点评】本题考查了列代数式，根据题意列出正确的代数式是解题的关键． 29．（2024春•东阳市期末）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为5小块，除阴影D，E外，其余3块都是正方形，若阴影E周长为10，下列结论：①x的值为5；②若阴影D的周长为8，则正方形A的面积为1；③若大长方形的面积为30，则三个正方形周长的和为24．其中正确的是　①②　 ． 【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，则x＝a+b，y＝b+c，阴影E的长为c，宽为a+b﹣c，阴影D的长为a，宽为b﹣a，由阴影E的周长为10可求解x值判定①；由阴影D周长为8可求解b值，即可求a，进而判定②；由大长方形的面积为30，可求b+c＝6，假设三个正方形的周长为24，可求得a＝0，不成立，故可判定③． 【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c， ∴x＝a+b，y＝b+c， 阴影E的长为c，宽为a+b﹣c， 阴影D的长为a，宽为b﹣a， ∵阴影E的周长为10， ∴2（c+a+b﹣c）＝10， ∴a+b＝5， 即x＝5，故①正确； ∵阴影D周长为8， ∴2（a+b﹣a）＝8， 解得：b＝4， ∵a+b＝5， ∴a＝1， 即正方形A的面积为1，故②正确； ∵大长方形的面积为30， ∴xy＝30， ∵x＝5， ∴y＝6， ∴b+c＝6， 假设三个正方形的周长为24， ∴4a+4b+4c＝24， ∴a+b+c＝6， ∴a＝0（不成立）， ∴若大长方形的面积为30，则三个正方形周长的和为24．故③错误， 故答案为：①②． 【点评】本题主要考查二元一次方程的应用，正方形的性质，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，用a，b，c表示x，y是解题的关键． 30．（2024春•江北区期末）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，则一张小长方形的面积为 　11　 ． 【分析】由小长方形的长为x，宽为y得出大长方形的长为2x+y、宽为x+2y，根据大长方形的周长为42和阴影部分的面积为54可分别得出等式，化简整理后得x+y＝7，x2+y2＝27，最后利用完全平方公式求xy即可． 【解答】解：由题意易得大长方形的长为2x+y、宽为x+2y， ∵大长方形的周长为42， ∴2x+y+x+2y21，整理得x+y＝7， 又∵阴影部分的面积为54， ∴（2x+y）（x+2y）﹣5xy＝54，整理得x2+y2＝27， 将x+y＝7两边平方，得x2+2xy+y2＝49， ∴27+2xy＝49，解得xy＝11， 即一张小长方形的面积为11． 故答案为：11． 【点评】本题主要考查列代数式、长方形的周长和面积公式、完全平方公式，根据易知条件正确列式化简，并学会利用整体思想是解题关键． 31．（2024春•海曙区期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角∠ABM＝α（0°＜α＜75°且α≠60°），激光笔发出的光束DG射到平面镜上后，形成反射光束GH，发现∠AGH＝∠BGP，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角∠EPG＝30°，则GH与天花板所形成的角∠PHG的度数可用含α的代数式表示为 　150°﹣2α.30°+2α．　 ． 【分析】当点H在点P的右侧时，如图1，过点G作GQ∥MN，则GQ∥∠EF，求出∠TGH，利用反射定律求出∠PGT，再利用平行线的性质定理求出∠PHG＝150°﹣2α；当点H在点P的左侧时，如图2，由反射定律求出∠PGT，再利用平行线的性质定理求出∠PHG＝30°+2α． 【解答】解：（1）当点H在点P的右侧时，如图1，过点G作GQ∥MN，则GQ∥EF， 则∠PHG＝∠HGQ，∠BGQ＝∠ABM＝α ∠EPG＝∠PGQ＝30°， 由反射定律，得 TG⊥AB， ∴∠TGH＝90°﹣∠PHG﹣∠BGQ， ＝90°﹣∠PHG﹣α， ∴∠PGT＝90°﹣∠PHG﹣α， ∴∠PGH＝2（90°﹣∠PHG﹣α） ∴∠PGH+∠PHG＝∠EPG， 即 2（90°﹣∠PHG﹣α）+∠PHG＝30°， ∴∠PHG＝150°﹣2α． （2）当点H在点P的左侧时，如图2，过点G作GQ∥MN，则GQ∥EF， 则∠HPG＝∠PGQ，∠BGQ＝∠ABM＝α， ∠EPG＝∠PGQ＝30°， ∠EHG＝∠HGQ， 由反射定律，得 TG⊥AB， ∴∠PGT＝90°﹣∠BGQ﹣∠PHG＝90°﹣α﹣30°＝60°﹣α， ∴∠HGT＝∠PGT＝60°﹣α， ∵∠PHG+∠HGQ＝180°， 即∠PHG+2∠HGT+∠PGQ＝180°， ∠PHG+2（60°﹣α）+30°＝180°， ∴∠PHG＝30°+2α． 【点评】本题考查光的反射定律的应用及平行线的性质的应用，正确作出辅助线，利用分类讨论思想，理解和掌握光的反射定律，能够用含α的代数式表示∠PGH是解决本题的关键． 32．（2024春•莲都区期末）现有二组数：（1）4，6，8，10，12，14，…；（2）0，3，8，15，24，35，…；第（1）组数中从左到右第n个数记为an，第（2）组数中从左到右第n个数记为bn，若an+bn＜2024，则n的最大值是 　43　 ． 【分析】根据题意，用含n的代数式分别表示出an和bn，再结合an+bn＜2024即可解决问题． 【解答】解：由题知， 第（1）组数为4，6，8，10，12，14，…， 所以第（1）组的第n个数可表示为2n+2， 则an＝2n+2． 第（2）组的数为0，3，8，15，24，35，…， 所以第（2）组的第n个数可表示为n2﹣1， 则bn＝n2﹣1， 又因为an+bn＜2024， 所以n2+2n+1＜2024， 即（n+1）2＜2024． 又因为452＝2025，442＝1936， 所以n的最大值为43． 故答案为：43． 【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能用含n的代数式分别表示出an和bn是解题的关键． 33．（2024春•西湖区期末）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 按上述规律，回答以下问题： （1）用含n的代数式表示第n个等式：an＝　　 ＝　　 ． （2）计算：（a1+a2+a3）÷（a4+a5+a6+a7）＝　32　 ． 【分析】（1）首先根据前四个等式的特征，可得第n个等式的分子是n+2，分母是n（n+1）•2n+1；然后判断出后面算式的两个数的分子都是1，第一个数的分母是n•2n，第二个数的分母是（n+1）•2n+1，据此解答即可． （2）根据题意，把前3个等式左右两边分别相加，求出a1+a2+a3的值，再把第4，5，6，7个等式左右两边分别相加，求出a4+a5+a6+a7的值即可解答． 【解答】解：（1）根据分析，可得用含n的代数式表示第n个等式：an； 故答案为：，； （2）∵a1+a2+a3， a4+a5+a6+a7， ∴（a1+a2+a3）÷（a4+a5+a6+a7）＝（）÷（）＝32， 故答案为：32． 【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出第n个等式的分子、分母的特征，并能用含n的代数式表示第n个等式． 34．（2024春•定海区期末）如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．按照这个规律，若这样铺成一个n×n的正方形图案，则其中完整的圆共有　2n2﹣2n+1　 个． 【分析】根据给出的四个图形可知，组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方；又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，从而可得若这样铺成一个n×n的正方形图案，所得到的完整圆的个数． 【解答】解：分析可得：组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，即为 n2； 又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，即为（n﹣1）2， ∴若这样铺成一个n×n的正方形图案，所得到的完整圆的个数共有：n2+（n﹣1）2．＝2n2﹣2n+1 故答案为：2n2﹣2n+1． 【点评】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏大，属于难题． 35．（2024春•上城区期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 　①②④　 （请填序号）． ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，m＝﹣2； ②无论m取何值，2xy+y2＝3（1+m）（1﹣m）恒成立； ③当方程组的解x，y都为自然数时，则m有唯一值为0； ④无论m取什么实数，2x•4y的值始终为8． 【分析】先根据方程组的解为互为相反数，把x用y表示出来，并代入两个方程，求出y，从而列出关于m的方程，解方程求出m，判断①的正误即可； 按照解二元一次方程组的一般步骤解方程组，求出x，y，从而求出2xy+y2，3（1+m）（1﹣m），进行判断②的正误即可； 根据②所求的x，y，取m＝0和1，求出x，y，进行判断③的正误即可； 把所求代数式的底数4写成22，然后根据同底数幂相乘法则进行计算，再把x＝1+2m，y＝1﹣m代入进行计算，然后判断④的正误即可． 【解答】解：， ∵这个方程组的解x，y的值互为相反数， ∴x＝﹣y， 把x＝﹣y代入①得：， 把x＝﹣y代入②得：， ∴， 3（4﹣m）＝2（1﹣4m）， 12﹣3m＝2﹣8m， 8m﹣3m＝2﹣12， 5m＝﹣10， m＝﹣2， ∴①的结论正确； ①﹣②得：y＝1﹣m， 把y＝1﹣m代入①得：x＝1+2m， ∴2xy+y2 ＝2（1+2m）（1﹣m）+（1﹣m）2 ＝2（1+m﹣2m2）+1﹣2m+m2 ＝2+2m﹣4m2+1﹣2m+m2 ＝3﹣3m2， ∵3（1+m）（1﹣m） ＝3（1﹣m2） ＝3﹣3m2， ∴无论m取何值，2xy+y2＝3（1+m）（1﹣m）恒成立， ∴②的结论正确； 由②可知：x＝1+2m，y＝1﹣m， ∵当m＝0时，x＝1，y＝1，此时x，y都为自然数， 当m＝1时，x＝3，y＝0，此时x，y都为自然数， ∴③的结论错误； ∵由②可知：x＝1+2m，y＝1﹣m， ∴2x•4y ＝2x•（22）y ＝2x•22y ＝2x+2y ＝21+2m+2（1﹣m） ＝21+2m+2﹣2m ＝23 ＝8， ∴④的结论正确， 综上可知：结论正确的是①②④， 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查了整式的有关运算和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解的定义和解二元一次方程组的一般步骤． 36．（2024春•杭州期末）有4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中阴影部分的面积为S，则S可以表示为 　2ab﹣b2　 .（用含a、b的代数式表示并化简其结果） 【分析】根据题意，图中空白部分面积为2个直角边为a和b的直角三角形，2个边长为（a+b）和b的直角三角形，边长为（a﹣b）的小正方形面积之和，阴影部分面积为边长为（a+b）的正方形面积减去空白部分的面积． 【解答】解：图中空白部分的面积为：2ab+2（a+b）b+（a﹣b）2＝a2+2b2， 则图中阴影部分的面积为：（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2． 【点评】本题主要考查了完全平方式，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景计算方法进行求解是解决本题的关键． 37．（2024春•江山市期末）已知x﹣y＝1，则x2﹣y2﹣2y的值为　1　 ． 【分析】首先利用平方差公式，求得x2﹣y2﹣2y＝（x+y）（x﹣y）﹣2y，继而求得答案． 【解答】解：∵x﹣y＝1， ∴x2﹣y2﹣2y＝（x+y）（x﹣y）﹣2y＝x+y﹣2y＝x﹣y＝1． 故答案为：1． 【点评】此题考查了平方差公式的应用．注意利用平方差公式将原式变形是关键． 38．（2024春•东阳市期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得（x2﹣3x+11）÷（x+2）的商式为x÷5，余式为22，如图所示．运用此方法，那么（3x3+2x2+x+5）÷（x+1）的商式为 　3x2﹣x+2　 ，余式为 　3　 ． 【分析】仿照条件中的方法，列出竖式，进行计算即可． 【解答】解：如图所示： ∴（3x3+2x2+x+5）÷（x+1）的商式为3x2﹣x+2，余式为3， 故答案为：3x2﹣x+2，3． 【点评】本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练利用“列竖式”法求商式和余式． 39．（2024春•慈溪市期末）将三张边长分别为a，b，c（a＞b＞c）的正方形纸片A，B，C按图1，图2两种不同方式摆放于两个长方形中．设图1中的阴影部分周长为C1，面积为S1，图2中的阴影部分周长为C2，面积为S2．若S1﹣S2＝（C1﹣C2）2，则　　 ． 【分析】根据题意，列出S1，S2，C1，C2的式子，根据题意即可求解． 【解答】解：由题意可得：C1＝a+c﹣b+b+a﹣b+a﹣c+c+a+b﹣c＝4a， S1＝（a+b）（a+c）﹣a2﹣b2﹣c2＝ac+ab+bc﹣b2﹣c2， C2＝a+b﹣c+c+b﹣a+a+a﹣b+a+b﹣c+c＝2a+2b， S2＝（a+b）（b+c）﹣a2﹣b2﹣c2＝ac+ab+bc﹣a2﹣c2， ∵S1﹣S2＝（C1﹣C2）2， ∴ac+ab+bc﹣b2﹣c2﹣（ac+ab+bc﹣a2﹣c2）＝[4a﹣（2a+2b）]2， 即a2﹣b2＝（2a﹣2b）2， 整理得：4a2﹣8ab+4b2＝a2﹣b2， 3a2+5b2﹣8ab＝0， 即（a﹣b）（3a﹣5b）＝0， 可知，a﹣b＝0，3a﹣5b＝0， 解得：1或， ∵a＞b＞c， ∴a＝b（舍去）， 综上，， 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的混合运算，解题关键在于根据题意列出整式． 40．（2024春•诸暨市期末）在长方形ABCD（AB＞AD）内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（a＞b），按图1，图2，图3三种方式放置（图中均有重叠部分），长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，图3中阴影部分的面积为S3，当b＝1时，S2＝S3；当a＝2，b＝1时，S2+S3＝2S1+1．则AB的长度为 　3.5　 ． 【分析】根据图形分别表示出S1，S2，S3，再根据当b＝1时，S2＝S3；当a＝2，b＝1时，S2+S3＝2S1+1，列出等式并化简即可求解． 【解答】解：由图可得： S1＝AD•AB﹣a2﹣2b2， S2＝AD•AB﹣a2﹣b2﹣b（AD﹣a）， S3＝AD•AB﹣a2﹣b（AB﹣a）， ∵当b＝1时，S2＝S3， ∴AD•AB﹣a2﹣b2﹣b（AD﹣a）＝AD•AB﹣a2﹣b（AB﹣a）， ∴﹣b2﹣b（AD﹣a）＝﹣b（AB﹣a）， ∴﹣1﹣（AD﹣a）＝﹣AB+a， ∴AB﹣AD＝1， ∵当a＝2，b＝1时，S2+S3＝2S1+1， ∴AD•AB﹣a2﹣b2﹣b（AD﹣a）+AD•AB﹣a2﹣b（AB﹣a）＝2（AD•AB﹣a2﹣2b2）+1， ∴2AD•AB﹣2a2﹣b2﹣b（ AD﹣a）﹣b（AB﹣a）＝2AD•AB﹣4b2﹣2a2+1， ∴3b2﹣b（AD﹣a）﹣b（AB﹣a）＝1， ∴3×1﹣（AD﹣2）﹣（AB﹣2）＝1， ∴AB+AD＝6， 又∵AB﹣AD＝1， ∴AB+AB﹣1＝6， ∴AB＝3.5． 故答案为：3.5． 【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是数形结合，并正确表示出阴影部分的面积． 41．（2024春•莲都区期末）已知两个长方形ABCD和CEFG如图放置，点H在AB上．AB＝a，EF＝b，且BC＝2a，CE＝2b，S1表示三角形DHG的面积，S2表示三角形CGF的面积，若a+b＝8，ab＝13，则S1+S2的值是 　25　 ． 【分析】根据题意可得：S1+S2＝a2﹣ab+b2，然后利用完全平方公式进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：S1+S2＝△DHG的面积+△CGF的面积 HG•DGFG•CG •2a•（a﹣b）•2b•b ＝a（a﹣b）+b2 ＝a2﹣ab+b2 ＝a2+2ab+b2﹣3ab ＝（a+b）2﹣3ab ＝82﹣3×13 ＝64﹣39 ＝25， 故答案为：25． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 42．（2024春•鄞州区校级期末）对正整数n，规定n！＝n×（n﹣1）×（n﹣2）．…×2×1，记S＝1！×2！×…×24！，若正整数k（k≤100）使得S×k！为完全平方数，请写出一个符合条件的k的值：　12（答案不唯一）　 ． 【分析】根据题意把S分解成[11×3!×...×23]2×212×12 的形式，再根据完全平方数的定义即可解答． 【解答】解：∵n!＝n×（n﹣1）×（n﹣2）， ∴×2×1， ∴n!×（n﹣1）!＝n×（n﹣1）!×（n﹣1）!＝n[（n﹣1）!]2， S＝1!×2!×...×24!＝2×[1]2×4×[3！]2×...×24×[23！]2， ∴S＝1!×2!×…×24!＝2×4×6×…×22×24×[1!×3!×…×23!]2， ∵2×4×6×⋯×22×24＝（2×1）×（2×2）×（2×3）×⋯×（2×12）＝212×（1×2×3×⋯×11×12）＝212×12!， ∴S＝[11×3!×...×23]2×212×12!， ∴[11×3!×...×23]2，212 都为完全平方数， ∵S×k!为完全平方数， ∴k的值可以是12， 故答案为：12（答案不唯一）． 【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是掌握相关知识的运算． 43．（2024春•金华期末）若7m＝11，11n＝7，则的值为 　1　 ． 【分析】由已知条件得出11mn＝11，即可得到mn＝1，再计算分式的加减，最后代入求值即可． 【解答】解：∵7m＝11，11n＝7， ∴（11n）m＝11， ∴11mn＝11， ∴mn＝1， ∴ ， ＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了分式的值，幂的乘方与积的乘方，得出mn＝1是解题的关键． 44．（2024春•钱塘区期末）一筐苹果，若分给全班同学每人5个，则还剩下15个；若全班同学一起吃，其中7个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，恰好用若干天吃完，则筐里最多共有 　195　 个苹果． 【分析】设全班共x个同学，全班同学恰好k天吃完，可得k（2x﹣7）＝5x+15，故k，即可知x的最大值为x＝36，从而可得答案． 【解答】解：设全班共x个同学，则筐里共有（5x+15）个苹果， ∵7个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个， ∴全班同学每天吃7×1+2（x﹣7）＝（2x﹣7）个， 设全班同学恰好k天吃完， ∴k（2x﹣7）＝5x+15， ∴k， ∵k为正整数， ∴为奇数， ∴要使x最大，则1， ∴x＝36， ∴筐里最多共有5x+15＝5×36+15＝195（个）苹果； 故答案为：195． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能列出方程求方程的正整数解． 45．（2024春•长兴县期末）对于实数a，我们定义如下运算：若a为非负数，则[a]＝a；若a为负数，则[a]＝a．例如：[1]＝1，[﹣0.5]＝﹣0.50．则方程组的解为 　和　 ． 【分析】分类讨论m﹣1与n﹣2分别为非负数和负数四种情况考虑，方程组利用题中的新定义化简求出m与n的值，即可作出判断． 【解答】解：当m﹣1≥0，n﹣2≥0，即m≥1，n≥2时， 方程组变形得：， 两方程相减得：6（n﹣2）， 解得：n， 把n代入得：m﹣14（2）＝2 解得：m， 此时方程组的解为； 当m﹣1≥0，n﹣2＜0，即m≥1，n＜2时， 方程组变形得：， 两方程相减得：6（n﹣2）， 解得：n， 把n代入得：m﹣14（2）＝2， 解得：m， 此时方程组的解为； 当m﹣1＜0，n﹣2≥0，即m＜1，n≥2时， 方程组变形得：， 两方程相减得：6（n﹣2）， 解得：n2，不符合题意，舍去； 当m﹣1＜0，n﹣2＜0，即m＜1，n＜2时， 方程组变形得：， 两方程相减得：6（n﹣2）， 解得：n， 把n代入得：m﹣14（2）＝2， 解得：m1，不符合题意，舍去， 综上所述，方程组的解为和． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，实数的运算，利用了分类讨论的思想，弄清题中的新定义是解本题的关键． 46．（2024春•新昌县期末）某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵：如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学 　65　 人． 【分析】设原长方形彩旗队阵有同学n人，设n+16＝a2，n﹣16＝b2，根据题意列出方程组，即可求出a、b的值，从而求出n的值． 【解答】解：设原长方形彩旗队阵有同学n人， 由已知得n+16和n﹣16均为完全平方数， 设n+16＝a2，n﹣16＝b2， 则a2﹣b2＝32，即（a+b）（a﹣b）＝32， 由a+b与a﹣b的奇偶性相同，且a，b都为自然数，可得 ， 解得， 所以n＝a2﹣16＝65（人）， 故答案为：65． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键． 47．（2024春•义乌市期末）将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+22﹣22﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2﹣9≥﹣9，∴当x＝2时，多项式x2﹣4x﹣5有最小值﹣9．已知a，b为实数，多项式（x+3）（3x+a）展开后x的一次项系数为m，多项式（3x+2）（x+b）展开后x的一次项系数为n，且m，n均为正整数．则当m+n＝17时，ab的最大值为 　3　 ． 【分析】先根据题意出a与b的关系，再变式代入，配方求解． 【解答】解：由题意得：m＝9+a，n＝3b+2， ∴m+n＝a+3b+11＝17， ∴a+3b＝6， ∴a＝6﹣3b， ∴ab＝（6﹣3b）b＝﹣3b2+6b＝﹣3（b﹣1）2+3≤3， ∴ab的最大值为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式和非负数的性质是解题的关键． 48．（2024春•诸暨市期末）定义运算“⊕”：a⊕b，当x≠4时，满足4⊕x＝2，则x的值为 　2或8　 ． 【分析】分两种情况，即x＞4和x＜4，由新定义的运算得到分式方程，解分式方程即可． 【解答】解：当x＞4时，2， 解得x＝8， 经检验x＝8是原方程的解， 当x＜4时，2， 解得x＝2， 经检验x＝2是原方程的解， 综上所述x的值为2或8． 故答案为：2或8． 【点评】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的关键，解分式方程一定要检验． 49．（2024春•鄞州区校级期末）有三面镜子如图放置，其中镜子AB和BC相交所成的角∠ABC＝110°，已知入射光线EF经AB、BC、CD反射后，反射光线与入射光线EF平行，若∠AEF＝α，则镜子BC和CD相交所成的角∠BCD＝　90°+α　 .（结果用含α的代数式表示） 【分析】先根据入射角等于反射角画出反射光线，再根据平行线的性质和三角形内角和得出结论． 【解答】解：根据入射光线FE画出反射光线EG，交BC于点G，同理根据入射光线EG画出反射光线GH，交CD于点H，根据入射光线GH画出反射光线HK，过点G作EF的平行线，使得GP∥EF∥HK， ∵入射角等于反射角， ∴∠BEG＝∠AEF＝α， ∴∠GEF＝180°﹣2α， ∵∠ABC＝110°， ∴∠BGE＝180°﹣110°﹣α＝70°﹣α， ∵入射角等于反射角， ∴∠HGC＝∠BGE＝70°﹣α， ∴∠EGH＝180°﹣2（70°﹣α）＝40°+2α， ∵GP∥EF∥HK， ∴∠GEF+∠ÈGP＝180°，∠PGH+∠GHK＝180°， ∵∠EGP+∠PGH＝∠EGH＝40°+2α， ∴∠GEF+∠EGH+∠GHK＝360°， ∴∠GHK＝360°﹣（180°﹣2α）﹣（40°+2α）＝140°， 根据入射角等于反射角，可知：∠GHC＝∠KHD（180°﹣140°）＝20°， ∴∠BCD＝180°﹣∠CGH﹣∠GHC＝90°+α， 故答案为：90°+α． 【点评】本题考查了平行线的性质，入射角和反射角以及三角形的内角和等知识，解题的关键在于正确画出辅助线． 50．（2024春•温岭市期末）如图，一副直角三角板的一条直角边分别与直线GH重合，∠BAC＝30°，∠EDF＝45°，将三角板DEF沿GH方向运动，连结BD，若∠ABD＝20°，则∠BDF的度数为 　95°　 ． 【分析】根据题意得出∠ABC＝60°，∠DFE＝45°，计算得到∠DBF＝40°，再根据三角形内角和得出∠BDF的度数． 【解答】解：∵∠BAC＝30°，∠EDF＝45°，∠ACB＝∠DEF＝90°， ∴∠ABC＝60°，∠DFE＝45°， ∵∠ABD＝20°， ∴∠DBF＝40°， ∵∠DBF+∠BDF+∠DFE＝180°， ∴40°+∠BDF+45°＝180°， ∴∠BDF＝95°， 故答案为：95°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 51．（2024春•江山市期末）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿AB折叠，展开后，再沿BD折叠（如图2）．若∠ABE＝56°，∠DBE：∠CAB＝3：2，则∠ABC＝ 　31　 °． 【分析】根据折叠的性质得出∠CAB＝∠BAE，∠EBD＝∠2，进而利用平角的定义解答即可． 【解答】解：由折叠可知，∠CAB＝∠BAE，∠EBD＝∠2， ∵CB∥AE， ∴∠CBA＝∠BAE， ∴∠CBA＝∠CAB， ∵∠ABE＝56°，∠DBE：∠CAB＝3：2， 设∠DBE＝3x，∠CAB＝2x， ∴∠CBA＝2x， ∴3x+3x+2x+56°＝180°， 解得：x＝15.5， ∴∠ABC＝31°， 故答案为：31． 【点评】此题考查轴对称的性质，关键是根据折叠的性质得出∠CAB＝∠BAE，∠EBD＝∠2解答． 52．（2024春•瓯海区校级期末）如图，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，空白部分的面积为 　48　 平方米． 【分析】根据平移现象，可阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形，根据矩形的面积公式，可得答案． 【解答】解：阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形， 则其面积为：12×（6﹣2）＝48（平方米）． 故答案为：48． 【点评】本题考查了生活中的平移现象，利用平移得出空白的矩形是解题关键． 53．（2024春•临海市期末）如图，大长方形是由一个长方形①，两个完全相同的长方形②及三个正方形A，B，C无缝拼接组成，若长方形①，②的周长之比为12：7，则正方形A，B的面积之比为 　4：9　 ． 【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图形分别得出长方形①、②的长和宽，再根据长方形①、②的周长之比，得到3a＝2b，即可求出正方形A、B的面积之比． 【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 长方形②的宽为a，长为 a+b，正方形c的边长为a+b； 长方形①的长为b+a+b＝a+2b，宽为a+b+a+a﹣（a+b ）＝2a， ∵长方形①、②的周长之比为12：7， ∴2（a+2b+2a）：2（a+a+b ）＝12：7， ∴ab， ∴S正方形A：S正方形B＝a2：b2＝（b）2：b2＝4：9， 故答案为：4：9． 【点评】本题考查比的应用，矩形的性质，正方形的性质，整式的加减法，列代数式，表示出两个正方形边长之间的数量关系是解题的关键． 54．（2024春•嘉兴期末）某服装厂销售某款时装，4月份销售每套该款时装获得的利润是其出厂价的20%（每套时装的利润＝出厂价﹣成本），5月份将每套该款时装的出厂价调低2%（每套时装的成本不变），销售量比4月份增长30%，那么该服装厂5月份销售这款时装的总利润比4月份的总利润增长了 　17　 %． 【分析】设增长率为x，4月份每套该款时装的出厂价为a元，4月份每套该款时装销售b件，根据题意列出方程式，即可得出答案． 【解答】解：设增长率为x，4月份每套该款时装的出厂价为a元，4月份每套该款时装销售b件， 20%a×b×（1+x）＝[（1﹣2%）a﹣（1﹣20%）a]×b×（1+30%）， 解得：x＝17%． 故答案为：17． 【点评】本题主要考查百分数的应用，找到等量关系是解题的关键． 55．（2024春•柯桥区期末）已知关于x，y的二元一次方程mx+ny＝h的解如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 ﹣1 … 已知关于x，y的二元一次方程ax﹣by＝c的解如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … ﹣2 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于x，y二元一次方程组的解为 　　 ． （2）关于x1，y1的二元一次方程组的解为 　　 ． 【分析】（1）根据二元一次方程组的解的定义，在表格中找出能够让每个方程都成立的未知数的值即可； （2）根据（1）中方程组的解，列出关于x1，y1的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）观察表中数据可知关于x，y二元一次方程组的解为：， 故答案为：； （2）由（1）可知关于x，y二元一次方程组的解为：， ∴关于x1，y1的二元一次方程组的解满足， 方程组化简得， ①+②得：， 把代入②得：， ∴关于x1，y1的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 56．（2024春•鹿城区校级期末）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，∠CEO＝90°，未使用指甲剪时，杠杆BC与上臂OC重合；使用时，下压点A至A'时，B刚好至B'点，当A'B'∥OE时，两刀片咬合，恰好CB'平分∠OCE，若∠CB'A'＝129°，则∠COE＝　12　 °． 【分析】延长CB′交OE于点H，利用平行线的性质和角平分线的定义以及三角形的内角和定理解答即可． 【解答】解：延长CB′交OE于点H，如图， ∵A'B'∥OE， ∴∠OHC＝∠CB'A'＝129°， ∴∠CHE＝180°﹣∠OHC＝51°， ∵∠CEO＝90°， ∴∠ECH＝90°﹣∠CHE＝39°． ∵CB'平分∠OCE， ∴∠ECO＝2∠ECH＝78°， ∴∠COE＝90°﹣∠ECO＝90°﹣78°＝12°． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握这些定理与性质是解题的关键． 57．（2024春•镇海区校级期末）图1是某折叠式靠背椅的实物图，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，椅面底部有根可以绕点H动的连杆HD，GFB段在转动过程中形状保持不变．图2是椅子合拢状态的侧面示意图，椅面CE和靠背FG平行，测得∠BCE＝150°，∠ABO＝70°，则靠背FG与水平地面AB的夹角α＝　80　 °．如图3，打开时椅面CE与地面AB平行，延长GF交AB于点H，FH平分∠AFB．若∠FCE+∠FAB＝β+105°，则β＝　105　 °． 【分析】（1）由平行线的性质得到∠GFC＝∠BCE＝150°，由三角形外角的性质，即可求解； （2）由三角形外角的性质得到∠FAB＝β﹣30°，由平行线的性质，三角形内角和定理，平角定义推出∠FCE＝30°+β，由∠FCE+∠FAB＝β+105°，即可求出β的度数． 【解答】解：在图2中，∵CE∥FG， ∴∠CFG＝∠BCE＝150°， 又∠CFG＝∠ABO+α， ∴α＝∠CFG﹣∠ABO＝150°﹣70°＝80°， 在图3中，∵β＝∠FAB+∠AFH，∠FCE+∠FAB＝β+105°， ∴∠FCE+∠FAB＝∠FAB+∠AFH+105°， 即∠FCE＝∠AFH+105°， 又∵CE∥AB， ∴∠DCO＝∠ABO， 即180°﹣∠FCE＝180°﹣∠FAB﹣∠AFB， 即∠FCE＝∠FAB+∠AFB， 又∵FH平分∠AFB， ∴∠FCE＝∠FAB+2∠AFH， 又∵∠FCE＝∠AFH+105°， ∴∠FAB+∠AFH＝105°， 即β＝105°， 故答案为：80；105． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点及运用空间想象能力． 58．（2024春•定海区期末）如图①，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，点E、F分别在边AD、BC上，如图②，将纸带先沿直线EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿FS折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，若∠BFS＝57°，则∠DEF＝　22°　 ． 【分析】由折叠可得∠GEF＝∠DEF，∠EFH＝2∠EFS，根据AD∥BC，∠EFB＝∠DEF，进而可以解决问题． 【解答】解：由折叠可得：∠GEF＝∠DEF， ∵AD∥BC， ∴FH∥EG， ∴∠GEF+∠EFH＝180°， ∵将纸带再沿FS折叠一次， ∴∠EFH＝2∠EFS， ∵AD∥BC， ∴∠EFB＝∠DEF， ∴∠DEF+2∠EFS＝180°， ∵∠BFS＝57°， ∴∠DEF+2（∠EFB+∠BFS）＝180°， ∴∠DEF+2（∠DEF+57°）＝180°， ∴∠DEF＝22°， 故答案为：22°． 【点评】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，正确理解折叠的性质是解题的关键． 59．（2024春•义乌市期末）某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线AB，CD之间，其中点E，F在直线AB上，点H，N在直线CD上，∠EGH＝∠FMN＝90°，∠GEH＝45°，∠MFN＝30°．记∠AEG＝∠1，∠GHC＝∠2，∠MND＝∠3，∠BFM＝∠4． （1）比较大小：∠1+∠2 　＝　 ∠3+∠4．（填“＞”或“＜”或“＝”） （2）如图2，∠EFN的平分线FP交直线CD于点P，记∠EHD＝α（0°＜α＜90°），∠FPN＝β．现保持三角板EGH不动，将三角板FMN从如图位置向左平移，若在运动过程中MN与EH始终平行，α与β满足的数量关系为 　30°β　 ． 【分析】（1）根据平行线的性质求解； （2）根据平行线的性质及角平分线的定义求解． 【解答】解：（1）根据“箭头模型”得：∠1+∠2＝∠G＝90°，∠3+∠4＝∠M＝90°， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4， 故答案为：＝； （2）∵AB∥CD，EH∥MN， ∴∠AFP＝∠FPD＝β，∠MND＝∠EHD＝α， 由“箭头模型”得∠BFM＝90°﹣∠MND＝90°﹣α， ∴∠AFN＝180°﹣30°﹣（90°﹣α），＝60°+α， ∵FP平分∠AFN， ∴∠AFP∠AFN＝30°β， ∴30°β． 【点评】本题考查了平行线的性质及角平分线的定义，掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 60．（2024春•海曙区期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为 　﹣3或或　 ． 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【解答】解：去分母得：（m+3）x＝﹣7， 当m+3＝0，即m＝﹣3时，方程无解； 当m+3≠0，即m≠﹣3时， 由分式方程无解，得到（x+3）（x﹣3）＝0，即x＝±3， 把x＝±（3分）别代入整式方程得：3（m+3）＝﹣7或﹣3（m+3）＝﹣7， 解得：或， 综上，m的值为﹣3或或． 故答案为：﹣3或或． 【点评】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$