专题06 各地期末试卷压轴题选练（浙江专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题06 各地期末试卷压轴题选练 1．（2024春•鄞州区期末）问题：探究什锦糖的混合比例 【基本信息】 糖的种类 甲种糖 乙种糖 丙种糖 售价（元/千克） 30 20 12 进价（元/千克） 24 16 8 什锦糖的单价 【样品实验】 （1）甲种糖40千克，乙种糖30千克，丙种糖30千克混合成什锦糖样品1，求样品1的单价； （2）甲种糖在40千克基础上减少m千克，乙种糖30千克不变，丙种糖在30千克基础上增加n千克（m，n为正整数），混合成什锦糖样品2，用含m，n的代数式表示样品2的单价； 【解决问题】 （3）若样品2比样品1的单价少0.8元，求满足条件的什锦糖样品2中甲乙丙三种糖的质量之比． （4）在（3）的条件下，若该商店销售什锦糖样品2的数量为每天420千克，求该商店销售样品2的日利润． 2．（2024春•慈溪市期末）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式x3﹣2x2﹣7x+2进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式x+2，小轩认为必有因式是x﹣2，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法： （1）观察老师的演算后，你认为 　 　 同学的想法是对的； （2）已知多项式x3﹣6x2+7x+6的其中一个因式为x﹣3，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式x3﹣6x2+7x+6进行因式分解； （3）若多项式x3﹣3x2+mx+n能因式分解成x+1与另一个完全平方式，求m与n的值． 3．（2024春•瓯海区校级期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记A、B、C三类，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：　 　 ； 方法2：　 　 ． （2）请直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的一个等量关系 　 　 ． （3）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A类卡片 　 　 张，B类卡片 　 　 张，C类卡片 　 　 张． （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值． ②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2． 4．（2024春•海曙区期末）在学习“第9章整式乘法与因式分解”这一章内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：　 　 ； （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）在直角△ABC中，∠C＝90°，三边分别为a、b、c，a+b＝14，ab＝48，求c的值； （4）如图3，五边形ABCDE中，AC⊥BD，垂足为N，AC＝BD＝2，CN＝a，BN＝b，△BCN周长为2，四边形AEDN为长方形，求四边形AEDN的面积． 5．（2024春•长兴县期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何合理搭配消费券？ 素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含A型消费券（满50减20元）1张，B型消费券（满100减30元）2张，C型消费券（满300减100元）1张． 素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了2张A型消费券，2张C型消费券，则用了 　 　 张B型消费券，此时实际消费最少为 　 　 元． 任务二 若小明一家用8张A、B、C型的消费券消费，已知A型比B型的消费券多1张，求A、B、C型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额． 6．（2024春•余姚市期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为40cm．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背 　 　 张和座垫 　 　 张． 方法三：裁切靠背 　 　 张和座垫 　 　 张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 7．（2024春•钱塘区期末）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示． 种类 文学类 科技类 进货价（元/本） 16 24 销售价（元/本） 20 30 （1）若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？ （2）若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？ （3）为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？ 8．（2024春•义乌市期末）根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某校“半亩方塘”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为20dm，竖杠长为8dm，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成． 素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏．已知这种规格的围栏材料每根长为60dm，价格为50元/根． 解决问题 任务要求 解决办法 任务1 一根60dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废） 方法①：当只裁剪8dm长的用料时，最多可裁剪 　 　 根． 方法②：当先裁剪下1根20dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8dm长的用料 　 　 根． 方法③：当先裁剪下2根20dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8dm长的用料 　 　 根． 任务2 要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为160dm（即需要制作8副围栏，需要的用料为：16个横杠，40个竖杠）． 劳动实践小组打算用“任务1”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务1”中的方法②和方法③各裁剪多少根60dm长的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料？ 任务3 劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根20dm调整为每根16dm，再将其中两根竖杠材料由每根8dm调整为每根10dm（其它三根竖杠长度不变）． 若要搭建任务2中所需的围栏长度（160dm），每根60dm的材料恰好可裁下2根16dm、a根8dm、b根10dm的用料（无剩余）或者若干根8dm的用料（可剩余）．问：购买60dm的材料至少需要多少费用？若材料有剩余，请求出剩余材料的长度．（剩余材料不可拼接） 9．（2024春•上城区期末）2024年4月，中国汽车流通协会联席分会4月1日至14日数据显示，新能源汽车零售渗透率达到了50.39%，首次超过传统燃油乘用车，油电市场已然格局逆转．某新能源汽车厂接到两项都为生产400辆新能源汽车的任务． （1）在完成第一项任务时，若按原计划生产速度的2倍进行，结果提前2天完成任务，问完成第一项任务实际用了多少天？ （2）在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案（其中a≠b） 甲方案：设完成生产任务所需的时间为t1天，计划200辆按每天生产a辆完成，剩下的200辆按每天生产b辆完成，则t1＝　 　 天（用a，b的代数式表示）． 乙方案：设完成生产任务所需的时间为t2天，其中一半时间每天生产a辆，另一半时间每天生产b辆．则t2＝　 　 天（用a，b的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，请判断t1，t2的大小，并说明理由． 10．（2024春•余姚市期末）图1表示一条两岸彼此平行的河，直线l1、l2表示河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥（桥与河岸垂直），“桥”用线段表示． （1）如图1，在河岸C、E两点建两座桥CD、EF，则CD和EF的大小为CD 　 　 EF； （2）如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场A经过桥到河对岸B的路程最短？ 亮亮的方法是：作AD⊥l2交l1、l2于C，D两点．，在CD处建桥能使从游乐场A经过桥到河对岸B的路程最短； 木木的方法是：作AD⊥l2交l1、l2于C，D两点，把线段CD平移至BE，在BE处建桥能使从游乐场A经过桥到河对岸B的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． （3）如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短？画出示意图，并用平移的原理说明理由． 11．（2024春•西湖区期末）已知直线AB∥CD，点F在CD上，射线FE与AB交于点E．点P在射线FE上（不与点E，F重合），点Q在射线EA上（不与点E重合），连接PQ． （1）如图1，若点P在线段EF上，∠AQP＝115°，∠PFD＝75°，求∠QPF的度数． （2）如图2，点P在线段EF上，QM平分∠AQP，且与∠CFP的角平分线交于点M，若MQ∥PF，MF∥PQ，求∠AEF的度数． （3）当60°＜∠FEA＜90°时，PG⊥PQ交直线CD于点G，EN∥PG交直线CD于点N，若∠PQE∠PEQ＝α，请直接写出∠NEP的度数．（用含α的代数式表示） 12．（2024春•德清县期末）已知，直线PQ∥m∥n，A，B，C分别是直线PQ，m，n上的点，连结AB，AC，若∠QAC为锐角，点B在∠CAQ的内部． （1）如图1，若∠1＝40°，∠2＝35°，求∠3的度数； （2）如图2，以AB为边向左侧作∠BAD＝60°，与直线n交于点D（点D在点C的左侧），作∠ADC的平分线DE，交AC于点E，连结EB并延长，交直线PQ于点F，记EF与直线m的夹角为β，∠EDC＝α．若∠ABF＝β． ①求α与β的数量关系； ②求∠FEC﹣∠AED的值． 13．（2024春•东阳市期末）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在BC上，已知∠A＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠E． （1）判断AC与BE的位置关系，并说明理由． （2）如图2，分别作∠ACB与∠BED的平分线交于点F，求∠F的度数． （3）如图3，点P，G分别在AC，BD上，连PG，作∠GPC的平分线交BE于点Q，点H是射线PQ上一点，连BH，且∠HBC＝2∠HBQ，设∠BGP＝α，∠GPQ＝β，∠PHB＝θ．请画出图形，并直接写出α，β，θ之间的数量关系． 14．（2024春•东阳市期末）如图1，一块三角板如图放置，∠G＝90°，AB∥CD，直线CD分别交AG，BG于点N，E，∠BAG的角平分线AK交CD于点K，交BG于点M，F是线段AB上的一点（不与A，B重合），连接EF交AK于点H． （1）判断∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系，并说明理由； （2）若∠BEF∠BAK，∠BEC＝n∠BEF． ①用含n的代数式表示∠AHE的度数； ②当n＝2时，将△KHE绕着点E以每秒6°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，求出此时t的值． 15．（2024春•越城区期末）如图1，点A，B分别在直线GH，MN上，∠GAC＝∠NBD，∠C＝∠D． （1）求证：GH∥MN．（温馨提示：可延长AC交MN于点P进行探索） （2）如图2，已知AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED＝∠GAC，探索∠GAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，如图3，已知BF平分∠DBM，点K在射线BF上，，若∠AKB＝∠ACD．请直接写出∠GAC的度数． 16．（2023春•南浔区期末）三角板和直尺是我们重要的学习工具，可以利用这些工具进行很多数学探究．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．AB，AC分别交DG于M，N点． （1）求∠1和∠2的度数； （2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°，如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时： ①请用含n的代数式表示∠2的度数； ②当0＜n＜360时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，说明理由． 17．（2024春•江干区校级期末）综合与实践 【探索发现】（1）已知：如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP． 易证：∠APC＝∠BAP+∠PCD． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作PQ∥AB. 小红：如图3，延长AP交CD于点M. 请你选择一位同学的方法，并进行证明： 【深入思考】（2）如图4，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点P，连接AC，EG，若∠PAC+∠PEG＝∠AGE，求证：AC∥EF； 【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，AB∥CD，AH平分∠PAC，FH平分∠PFC，AH与FH交点H，若∠CAH＝25°，∠AHF＝∠AEG，∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG．求∠PFC的度数． 18．（2024春•金华期末）光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角（锐角）与反射光线与镜面的夹角（锐角）相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． （1）如图2，已知有两个平面镜镜面MO与镜面ON，入射光线AB能够经镜面ON，OM形成反射，记反射光线分别为BC，CD． ①当∠ABN＝50°，AB∥CD时，求∠MCD的度数． ②记∠ABN＝α，∠DCM＝β，当AB∥CD时，求α，β之间的等量关系． （2）如图3，已知有三个平面镜AB，BC，CD，其中镜面CD放在水平地面上固定，调整镜面AB与镜面BC的摆放角度，使得入射光线EF能够经镜面AB，BC，CD形成反射，记反射光线分别为FG，GH，HI． ①当∠AFE＝40°，∠ABC＝110°，FE∥HI时，求∠BCD的度数． ②记∠AFE＝m，∠BCD＝n，当m，n存在怎样的等量关系时，有FE∥HI成立．请写出关于m，n之间的等量关系，并说明相应理由． 19．（2024春•长兴县期末）【问题情境】在综合实践课上，老师组织同学开展了探究角与角数量关系的数学活动，如图1，AB∥CD，G、E是直线AB上的两点，连接CE、DG交于点F． 【探索发现】 （1）判断∠CDG，∠EFD和∠CEG之间的数量关系，并说明理由． 【深入探究】如图2，过点D作DH⊥CE，交CE的延长线于点H，交AB于点K，过点E作EM分别交DF、CD于点M，N． （2）若DF平分∠CDH，∠MEF∠GDH；求∠DME的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线EG重合时停止，则在旋转过程中，当边HK与△MEG的某一边平行时，直接写出此时t的值． 20．（2024春•杭州期末）知识拓展：解分式方程除了转化整式方程外，还有其他的解法，请仔细阅读并完成填空： （1）例题：解方程． 解法1：利用分式的基本性质，将原方程化为，由分子相同，得分母相同，即 　 　 ． 解法2：分式两边通分，得，由分母相同，得分子相同，即 　 　 ． （2）解法3：用图形的方式表示出来，就可以用图1来解释． 如图，S长方形ABCD＝90，S长方形AGHD＝60，GE＝EB＝v，AE＝DF＝30，AB＝30+v，AG＝30﹣v．则AD•AD＝EF，EF，由S长方形AEFD＝75，AE＝30，得AD＝　 　 ，从而求得v＝　 　 ． 问题解决： （3）如图2所示，在三角形ABC中，D，E是BC边上的点，且DE＝EC，S三角形ABC＝48cm2，S三角形ABD＝36cm2，BE＝21cm，求BC的长． 21．（2024春•江北区期末）阅读材料 若两个正数a，b，则有下面不等式，当a＝b时取等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 不等式可以变形为不等式，当且仅当a＝b时取到等号．（a，b均为正数） 例：已知x＞0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即x＝1时，有最小值，最小值为2． 根据上面材料回答下列问题： （1）5+6 　 　 ；6+6 　 　 ；（用“＝”“＜”“＞”填空） （2）当x＞0，则的最小值为 　 　 ，此时x＝　 　 ； （3）当x＞2，则的最小值为 　 　 ； （4）用篱笆围一个面积为100m2的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 22．（2024春•义乌市期末）如图1，将一张宽度相等的纸条（AD∥BC）按如图所示方式折叠，记点C，D的对应点分别为C'，D'，折痕为EF，且C′E交AD于点G． （1）若∠AGC'＝128°，则∠FEC＝　 　 度． （2）如图2，在（1）的条件下，将四边形GFD'C'沿GF向下翻折，记C′，D′的对应点分别为C″，D″，再将长方形ABCD沿着PQ翻折，记A，B的对应点分别为A′，B′，折痕为PQ（点P在BC上，点Q在AD上）．若A'B'∥C″D″，求∠BPQ的度数． （3）如图3，分别作∠AGE，∠BEG的平分线交于点M，连结GM，EM，BM，作∠BME的平分线交BE于点N，延长GM交BE于点Q．若∠MBE＝8°，∠FGC″比∠GFE多27°，求∠QMN的度数. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 各地期末试卷压轴题选练 1．（2024春•鄞州区期末）问题：探究什锦糖的混合比例 【基本信息】 糖的种类 甲种糖 乙种糖 丙种糖 售价（元/千克） 30 20 12 进价（元/千克） 24 16 8 什锦糖的单价 【样品实验】 （1）甲种糖40千克，乙种糖30千克，丙种糖30千克混合成什锦糖样品1，求样品1的单价； （2）甲种糖在40千克基础上减少m千克，乙种糖30千克不变，丙种糖在30千克基础上增加n千克（m，n为正整数），混合成什锦糖样品2，用含m，n的代数式表示样品2的单价； 【解决问题】 （3）若样品2比样品1的单价少0.8元，求满足条件的什锦糖样品2中甲乙丙三种糖的质量之比． （4）在（3）的条件下，若该商店销售什锦糖样品2的数量为每天420千克，求该商店销售样品2的日利润． 【分析】根据题意进行列代数式，进而求解． 【解答】解：（1）21.6（元/千克）， 故样品1的单价为21.6． （2） （元/千克）， 故样品2的单价为． （3）由题意得：， ∴23m+22n＝200， ∵m，n都是正整数， ∴m＝2，n＝7， ∴什锦糖混合比例为38：30：37， 故甲乙丙三种糖的质量之比为38：30：37． （4）在（3）的条件下，什锦糖样品2的单价为20.8元/千克， 420×20.8﹣38×24﹣30×16﹣37×8＝7048（元）， 故该商店销售样品2的日利润为7048元． 【点评】本题考查了根据题意列代数式，解题关键在于读懂题意，正确列代数式． 2．（2024春•慈溪市期末）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式x3﹣2x2﹣7x+2进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式x+2，小轩认为必有因式是x﹣2，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法： （1）观察老师的演算后，你认为 　小磊　 同学的想法是对的； （2）已知多项式x3﹣6x2+7x+6的其中一个因式为x﹣3，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式x3﹣6x2+7x+6进行因式分解； （3）若多项式x3﹣3x2+mx+n能因式分解成x+1与另一个完全平方式，求m与n的值． 【分析】（1）根据因式分解的定义以及短除法的意义即可得出答案； （2）利用短除法进行计算即可； （3）利用短除法以及完全平方式的定义，即可求出m、n的值． 【解答】解：（1）由两个短除法可知，x3﹣2x2﹣7x+2＝（x+2）（x2﹣4x+1）， 故答案为：小磊； （2）由短除法可得， 所以x3﹣6x2+7x+6＝（x﹣3）（x2﹣3x﹣2）； （3）由短除法可得， ∵多项式x3﹣3x2+mx+n能因式分解成x+1与另一个完全平方式，即x2﹣4x+（m+4）是完全平方式， ∴m+4＝4，n＝m+4， 即m＝0，n＝4． 【点评】本题考查完全平方式．因式分解的定义以及短除法，理解因式分解的定义，完全平方式的结构特征以及短除法是正确解答的关键． 3．（2024春•瓯海区校级期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记A、B、C三类，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：　a2+b2　 ； 方法2：　（a+b）2﹣2ab　 ． （2）请直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的一个等量关系 　a2+b2＝（a+b）2﹣2ab　 ． （3）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A类卡片 　1　 张，B类卡片 　3　 张，C类卡片 　2　 张． （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值． ②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2． 【分析】（1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可； （2）（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案； （3）先画长方形，长为a+2b，宽为a+b，观察图形可得答案； （4）①利用（m+n）2﹣2 m n和（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn计算即可； ②设m＝x﹣2021，n＝x﹣2023，利用（m+n）2﹣2 m n求出2mn＝30，再利用（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn求出（m+n）2＝64，最后把m，n还原后求解即可． 【解答】解：（1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：a2+b2， 方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab； （2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （3）拼图如下： 观察图形可得：需要A类卡片1张，B类卡片3张，C类卡片2张． 故答案为：1，3，2； （4）①根据（2）题可得m2+n2＝（m+n）2﹣2mn， ∵m+n＝5，m2+n2＝20， ∴20＝52﹣2mn， ∴， ； ②设m＝x﹣2021，n＝x﹣2023， ∵（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34， ∴m2+n2＝34， 又∵m﹣n＝（x﹣2021）﹣（x﹣2023）＝2， ∵（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn， ∴22＝34﹣2mn， ∴2mn＝30， 由（m+n）2﹣2 m n，得： 34＝（m+n）2﹣30， ∴（m+n）2＝64， 即（x﹣2021+x﹣2023）2＝64， 整理，得（2x﹣4044）2＝64，即4（x﹣2022）2＝64， ∴（x﹣2022）2＝16． 【点评】本题考查了完全平方式，多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，数形结合是解题的关键． 4．（2024春•海曙区期末）在学习“第9章整式乘法与因式分解”这一章内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：　a2+b2＝（a+b）2﹣2ab　 ； （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）在直角△ABC中，∠C＝90°，三边分别为a、b、c，a+b＝14，ab＝48，求c的值； （4）如图3，五边形ABCDE中，AC⊥BD，垂足为N，AC＝BD＝2，CN＝a，BN＝b，△BCN周长为2，四边形AEDN为长方形，求四边形AEDN的面积． 【分析】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）图2中图形的面积 ，即可变形为a2+b2＝c2； （3）由（1）（2）结论可知：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即c2＝（14）2﹣2×48＝100，求解即可； （4）根据CN＝a，BN＝b，△BCN周长为2，可得：BC＝2﹣CN﹣BN＝2﹣a﹣b，因此（2﹣a﹣b）2＝a2+b2，即ab﹣2（a+b）＝﹣2，根据AN＝AC﹣CN＝2﹣a，DN＝BD﹣BN＝2﹣b，可知长方形AEDN的面积为：AN•DN＝（2﹣a）（2﹣b）＝4+ab﹣2（a+b）＝4﹣2＝2． 【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）发现：a2+b2＝c2， 理由：∵图2中图形的面积 ， ∴， ∴2ab+c2＝（a+b）2， ∴a2+b2＝c2． （3）在直角△ABC中，∠C＝90°，三边分别为a、b、c， 由（1）（2）结论可知：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∵a+b＝14，ab＝48， ∴c2＝（14）2﹣2×48＝100， ∴c＝10． （4）∵CN＝a，BN＝b，△BCN周长为2， ∴BC＝2﹣CN﹣BN＝2﹣a﹣b， ∵在Rt△BNC 中，BC2＝CN2+BN2， ∴（2﹣a﹣b）2＝a2+b2， ∴4+a2+b2+2ab﹣4a﹣4b＝a2+b2， ∴4+2ab﹣4a﹣4b＝0， ∴ab﹣2（a+b）＝﹣2， ∵AC＝BD＝2，CN＝a，BN＝b， ∴AN＝AC﹣CN＝2﹣a，DN＝BD﹣BN＝2﹣b， ∴长方形AEDN的面积为：AN•DN＝（2﹣a）（2﹣b）＝4+ab﹣2（a+b）＝4﹣2＝2． 【点评】本题考查的是因式分解的应用和完全平方公式的几何背景，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 5．（2024春•长兴县期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何合理搭配消费券？ 素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含A型消费券（满50减20元）1张，B型消费券（满100减30元）2张，C型消费券（满300减100元）1张． 素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了2张A型消费券，2张C型消费券，则用了 　6　 张B型消费券，此时实际消费最少为 　880　 元． 任务二 若小明一家用8张A、B、C型的消费券消费，已知A型比B型的消费券多1张，求A、B、C型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额． 【分析】任务一：根据消费券规则求解； 任务一：根据“小明一家在超市使用消费券共减了420元”列方程求解； 任务一：先分类讨论，列函数关系式，再根据一次函数的性质求解． 【解答】解：任务一：用B型的消费券数量为：（420﹣2×20﹣2×100）÷30＝6， 满减前至少消费额为：2×50+6×100+300×2＝1300（元）， ∴实际消费最少为：1300﹣420＝880（元）． 故答案为：6，880； 任务二：设B型的消费券x张，则A型的消费券（x+1）张，C型的消费券（7﹣2x）张， 则：20（x+1）+30x+100（7﹣2x）＝420， 解得：x＝2， 答：A型的消费券3张，B型的消费券2张，则C型的消费券3张； 任务三：设小明一家共使用A型的消费券a张，B型的消费券b张，C型的消费券c张， 则a，b，c都是正整数，a≤4，b≤8，c≤4， 当选取A、B型：20a+30b＝420． ∴2a+3b＝42， ∵a，b都是正整数，a≤4，b≤8， ∴无解； 当选取B、C型：30b+100c＝420， ∴3b+10c＝42， ∵b，c都是正整数，b≤8．c≤4， 实际消费金额：100×4+300×3＝1300， 付款额为：1300﹣420＝880（元）； 当选取A、C型：20a+100c＝420， ∴a+5c＝21， ∵a，c都是正整数，a≤4，c≤4， ． .实际消费金额：50×1+300×4＝1250， 付款额为：1250﹣420＝830（元）， ∵830＜880 ∴使用1张A型消费券、4张C型消费券时实际消费金额最小． 【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握函数的性质是解题的关键． 6．（2024春•余姚市期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为40cm．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背 　9　 张和座垫 　3　 张． 方法三：裁切靠背 　2　 张和座垫 　6　 张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：15m+35n＝240，求出非负整数解即可； 任务二：列式计算得能制作成240张学生椅； 任务三：应该是设x张靠背9张和坐垫3张．y张靠背2张和坐垫6张，可得，解方程组可得答案． 【解答】解：任务一： 设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张， 根据题意得：15m+35n＝240， ∴n， ∵m，n为非负整数， 或或， ∴方法二：裁切靠背9张和坐垫3张； 方法三：裁切靠背2张和坐垫6张； 故答案为：9，3；2，6； 任务二： 240（张）， ∴该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅； 任务三： 应该是设x张靠背9张和坐垫3张．y张靠背2张和坐垫6张， 根据题意得：， 解得：， ∵42+61＝103（张）， ∴需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐垫6张． 【点评】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 7．（2024春•钱塘区期末）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示． 种类 文学类 科技类 进货价（元/本） 16 24 销售价（元/本） 20 30 （1）若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？ （2）若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？ （3）为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？ 【分析】（1）设书店销售x本文学类书籍，y本科技类书籍，根据“书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据两种书籍销售利润与销售价格间的关系，即可求出此次书店的总利润； （3）设此次书店购进3a本文学类书籍，3b本科技类书籍，则购进（a+2b）盒水彩笔，利用总价＝单价×数量，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【解答】解：（1）设书店销售x本文学类书籍，y本科技类书籍， 根据题意得：， 解得：． 答：书店销售60本文学类书籍，30本科技类书籍； （2）∵，，， ∴2400480（元）． 答：此次书店的总利润为480元； （3）设此次书店购进3a本文学类书籍，3b本科技类书籍，则购进（a+2b）盒水彩笔， 根据题意得：16×3a+24×3b+6（a+2b）＝2100， ∴b＝25a． 又∵a，b均为正整数， ∴或， ∴或． 答：此次书店购进42本文学类书籍，48本科技类书籍或84本文学类书籍，21本科技类书籍． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 8．（2024春•义乌市期末）根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某校“半亩方塘”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为20dm，竖杠长为8dm，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成． 素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏．已知这种规格的围栏材料每根长为60dm，价格为50元/根． 解决问题 任务要求 解决办法 任务1 一根60dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废） 方法①：当只裁剪8dm长的用料时，最多可裁剪 　7　 根． 方法②：当先裁剪下1根20dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8dm长的用料 　5　 根． 方法③：当先裁剪下2根20dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8dm长的用料 　2　 根． 任务2 要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为160dm（即需要制作8副围栏，需要的用料为：16个横杠，40个竖杠）． 劳动实践小组打算用“任务1”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务1”中的方法②和方法③各裁剪多少根60dm长的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料？ 任务3 劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根20dm调整为每根16dm，再将其中两根竖杠材料由每根8dm调整为每根10dm（其它三根竖杠长度不变）． 若要搭建任务2中所需的围栏长度（160dm），每根60dm的材料恰好可裁下2根16dm、a根8dm、b根10dm的用料（无剩余）或者若干根8dm的用料（可剩余）．问：购买60dm的材料至少需要多少费用？若材料有剩余，请求出剩余材料的长度．（剩余材料不可拼接） 【分析】任务1 方法①：根据60除8，得到商，余数舍去即可；方法②：根据60﹣20＝40，再除8即可得到结果；根据60﹣2×20，再除8得到商，余数舍去即可； 任务2 设方法②的裁剪x根，方法③的裁剪y根，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果； 任务3 根据每根60dm的材料恰好可裁下2根16dm、a根8dm、b根10dm的用料（无剩余）列出方程，确定出正整数解a与b的值，再根据题意求出剩余材料，以及费用即可． 【解答】解：任务1 方法①：60÷8＝7…4，即当只裁剪8dm长的用料时，最多可裁剪7根； 方法②：（60﹣20）÷8＝40÷8＝5，即当先裁剪下1根20dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8dm长的用料5根； 方法③：（60﹣2×20）÷8＝2…4，即当先裁剪下2根20dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8dm长的用料2根； 故答案为：7，5，2； 任务2 设方法②的裁剪x根，方法③的裁剪y根， 根据题意得：， 解得：， 则方法②的裁剪6根，方法③的裁剪5根； 任务3 根据题意得：32+8a+10b＝60， 正整数解为：a＝1，b＝2， 搭建10副围栏共需20根16dm的，20根10dm的，30根8dm的， 买10根60dm的材料可得20根16dm，20根10dm，则少20根8dm， 再买3根60dm的，每根可得7根8dm的用料， ∴剩余的长度为4+4+12＝20dm， 则至少费用为：（10+3）×50＝650（元）． 【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，弄清题意是解本题的关键． 9．（2024春•上城区期末）2024年4月，中国汽车流通协会联席分会4月1日至14日数据显示，新能源汽车零售渗透率达到了50.39%，首次超过传统燃油乘用车，油电市场已然格局逆转．某新能源汽车厂接到两项都为生产400辆新能源汽车的任务． （1）在完成第一项任务时，若按原计划生产速度的2倍进行，结果提前2天完成任务，问完成第一项任务实际用了多少天？ （2）在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案（其中a≠b） 甲方案：设完成生产任务所需的时间为t1天，计划200辆按每天生产a辆完成，剩下的200辆按每天生产b辆完成，则t1＝　　 天（用a，b的代数式表示）． 乙方案：设完成生产任务所需的时间为t2天，其中一半时间每天生产a辆，另一半时间每天生产b辆．则t2＝　　 天（用a，b的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，请判断t1，t2的大小，并说明理由． 【分析】（1）设完成第一项任务实际用了x天，则若按原计划生产速度需（x+2）天完成任务，利用工作效率＝工作总量÷工作时间，结合实际的生产速度是原计划生产速度的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合给出的两种生产方案，即可用含a，b的代数式表示出t1，t2的值； （3）二者作差后，可得出t1﹣t2，结合a，b均为正数，且a≠b，即可得出0，即t1﹣t2＞0，进而可得出t1＞t2． 【解答】解：（1）设完成第一项任务实际用了x天，则若按原计划生产速度需（x+2）天完成任务， 根据题意得：2， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是所列方程的解，且符合题意． 答：完成第一项任务实际用了2天； （2）根据题意得：甲方案所需时间t1（天）； 乙方案所需时间t2（天）． 故答案为：，； （3）t1＞t2，理由如下： t1﹣t2． ∵a，b均为正数，且a≠b， ∴（a﹣b）2＞0，ab（a+b）＞0， ∴0， ∴t1﹣t2＞0， ∴t1＞t2． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，用含a，b的代数式表示出t1，t2的值；（3）二者作差后，找出t1﹣t2＞0． 10．（2024春•余姚市期末）图1表示一条两岸彼此平行的河，直线l1、l2表示河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥（桥与河岸垂直），“桥”用线段表示． （1）如图1，在河岸C、E两点建两座桥CD、EF，则CD和EF的大小为CD 　＝　 EF； （2）如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场A经过桥到河对岸B的路程最短？ 亮亮的方法是：作AD⊥l2交l1、l2于C，D两点．，在CD处建桥能使从游乐场A经过桥到河对岸B的路程最短； 木木的方法是：作AD⊥l2交l1、l2于C，D两点，把线段CD平移至BE，在BE处建桥能使从游乐场A经过桥到河对岸B的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． （3）如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短？画出示意图，并用平移的原理说明理由． 【分析】（1）说明四边形EFCD为平行四边形，进而得出答案； （2）分别用两种方法求处于从A到B的路程，进行比较即可； （3）作图FG∥BE，FG＝BE，GF可以看作BE平移的结果，则BG＝EF，若设另在HI处架桥，同理可得EH＝BI，则BI+HI+HA＝EH+HI+HA＞EA+GF，所以在FG处建桥，使从村庄A经桥到村庄B的路程最短． 【解答】解：（1）CD＝EF，理由如下： ∵l1∥l2，EF∥CD， ∴四边形EFCD为平行四边形， ∴CD＝EF． 故答案为：CD＝EF． （2）木木的方法正确，理由如下： 由平移性质知BD＝EC， 亮亮的方法，从A到B的路程为AC+CD+BD＝AC+EC+CD， 木木的方法，从A到B的路程为AE+BE＝AE+CD， ∵AE＜AC+CE， ∴AE+CD＜AC+EC+CD， ∴木木的方法正确． （3）如图b，①作AD⊥l2交11、l2于C，D， ②把 CD平移至BE，连结 AE，交11于F， ③作FG⊥l2于G， 在FG处建桥，使从村庄A经桥到村庄B的路程最短． 理由：由作图FG∥BE，FG＝BE，GF可以看作BE平移的结果，连接HE， ∴BG＝EF， 若设另在HI处架桥，同理可得EH＝BI，则BI+HI+HA＝EH+HI+HA＞EA+GF， ∴在FG处建桥，使从村庄A经桥到村庄B的路程最短． 【点评】本题主要考查一次函数的应用、平行线的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键． 11．（2024春•西湖区期末）已知直线AB∥CD，点F在CD上，射线FE与AB交于点E．点P在射线FE上（不与点E，F重合），点Q在射线EA上（不与点E重合），连接PQ． （1）如图1，若点P在线段EF上，∠AQP＝115°，∠PFD＝75°，求∠QPF的度数． （2）如图2，点P在线段EF上，QM平分∠AQP，且与∠CFP的角平分线交于点M，若MQ∥PF，MF∥PQ，求∠AEF的度数． （3）当60°＜∠FEA＜90°时，PG⊥PQ交直线CD于点G，EN∥PG交直线CD于点N，若∠PQE∠PEQ＝α，请直接写出∠NEP的度数．（用含α的代数式表示） 【分析】（1）过点P作PT∥AB，根据平行线的性质得出∠QPF＝∠QPT+∠TPF，即可求解； （2）设∠AEF＝β，根据平行线的性质得出∠CFM＝∠MFP＝∠PFD＝β，结合平角的定义，即可求解； （3）分情况讨论即可． 【解答】解：（1）如图所示，过点P作PT∥AB， ∵AB∥CD， ∴TP∥CD， ∵∠AQP＝115°，∠PFD＝75°， ∴∠QPT＝180°﹣∠AQP＝65°，∠TPF＝∠PFD＝75°， ∴∠QPF＝∠QPT+∠TPF＝65°+75°＝140°； （2）设∠AEF＝β， ∵AB∥CD， ∴∠PFD＝∠AEF＝β， ∵MQ∥PF， ∴∠AQM＝∠AEF＝β， ∵QM平分∠AQP， ∴∠MQP＝∠AQM＝β， ∵MQ∥PF， ∴∠QPE＝∠MQP＝β， ∵PQ∥MF， ∴∠MFP＝∠QPE＝β， ∵MF是∠CFP的角平分线， ∴∠CFM＝∠MFP＝β， ∴∠CFM＝∠MFP＝∠PFD＝β， 又∵∠CFM+∠MFP+∠PFD＝180°，即3β＝180°， 解得：β＝60°， ∴∠AEF＝60°； （3）当P在EF下方时，如图所示， ∵PG⊥PQ， ∴∠QPG＝90°， ∵∠PQE∠PEQ＝α， ∴∠PEQ＝2α， 由（1）可得∠QPG＝∠EQP+∠PGF， ∴∠PGF＝90°﹣α， ∵EN∥PG， ∴∠ENF＝∠PGF＝90°﹣α， ∵AB∥CD， ∴∠QEN＝∠ENF＝90°﹣α， ∴∠NEP＝∠QEP﹣∠QEN＝2α﹣（90°﹣α）＝3α﹣90°． 当P在EF上方时，如图所示， ∵PG⊥PQ， ∴∠QPG＝90°， ∵∠PQE∠PEQ＝α， ∴∠PEQ＝2α， ∴∠PEB＝180°﹣2α，∠QPG+∠EQP+∠PGF＝180°， ∴∠PGF＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α， ∵EN∥PG， ∴∠ENF＝∠PGF＝90°﹣α， ∵AB∥CD， ∴∠QEN＝∠END＝180°﹣∠ENF＝90°+α， ∴∠BEN＝180°﹣∠QEN＝90°﹣α， ∴∠NEP＝∠BEN+∠PEB＝90°﹣α+（180°﹣2α）＝270°﹣3α°． 【点评】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 12．（2024春•德清县期末）已知，直线PQ∥m∥n，A，B，C分别是直线PQ，m，n上的点，连结AB，AC，若∠QAC为锐角，点B在∠CAQ的内部． （1）如图1，若∠1＝40°，∠2＝35°，求∠3的度数； （2）如图2，以AB为边向左侧作∠BAD＝60°，与直线n交于点D（点D在点C的左侧），作∠ADC的平分线DE，交AC于点E，连结EB并延长，交直线PQ于点F，记EF与直线m的夹角为β，∠EDC＝α．若∠ABF＝β． ①求α与β的数量关系； ②求∠FEC﹣∠AED的值． 【分析】（1）根据平行线的性质即可解答； （2）①根据平行线的性质列式计算即可解答； （3）过E作n的平行线MN，根据平行线的性质即可解答． 【解答】解：（1）∵∠1＝40°，∠2＝35°，PQ∥m∥n， ∴∠QAB＝∠2＝35°， ∴∠3＝∠QAC＝∠1+∠2＝75°； （2）①∵PQ∥m， ∴∠FAB+2β＝180°， ∵PQ∥n， ∴∠FAB+60°+2α＝180°， 即60°+2α﹣2β＝0， ∴β﹣α＝30°； ②如图，过E作n的平行线MN， 则∠AEN＝∠CEM， ∵∠FEM＝β，∠DEN＝α， ∴∠FEC﹣∠AED＝（β+∠CEM）﹣（α+∠AEN）＝β﹣α＝30°． 【点评】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 13．（2024春•东阳市期末）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在BC上，已知∠A＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠E． （1）判断AC与BE的位置关系，并说明理由． （2）如图2，分别作∠ACB与∠BED的平分线交于点F，求∠F的度数． （3）如图3，点P，G分别在AC，BD上，连PG，作∠GPC的平分线交BE于点Q，点H是射线PQ上一点，连BH，且∠HBC＝2∠HBQ，设∠BGP＝α，∠GPQ＝β，∠PHB＝θ．请画出图形，并直接写出α，β，θ之间的数量关系． 【分析】（1）先证明∠C＝∠DBE，从而可得结论； （2）证明∠ACB+∠ABC＝90°＝∠ACB+∠DEB，∠ACF+∠BEF（∠ACB+∠DEB）＝90°，如图，过F作FK∥AC，AC∥FK∥BE，再进一步利用平行线的性质可得答案； （3）如图，当H在线段PQ上，设∠HBC＝2∠HBQ＝2x°，则∠HBQ＝x°，由（2）的结论可得：； 如图，当H在线段PQ的延长线上时，设∠HBC＝2∠HBQ＝2x°，则∠HBQ＝∠CBQ＝x°，同理可得：∠BGP＝∠CPG+∠QBG，证明∠CPQ＝∠PQB＝β，∠BHP+∠QBH＝∠PQB，，从而可得答案； 【解答】解：（1）AC∥BE，理由如下： ∵∠A＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠E， ∴∠C＝∠DBE， ∴AC∥BE； （2）∵∠A＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠DEB． ∴∠ACB+∠ABC＝90°＝∠ACB+∠DEB， ∵∠ACB与∠BED的平分线交于点F， ∴∠ACF+∠BEF（∠ACB+∠DEB）＝45°， 如图，过F作FK∥AC， ∵AC∥BE， ∴AC∥FK∥BE， ∴∠KFC＝∠ACF，∠KFE＝∠BEF， ∴∠CFE＝∠KFC+∠KFE＝∠ACF+∠BEF＝45°； （3）如图，当H在线段PQ上， 设∠HBC＝2∠HBQ＝2x°，则∠HBQ＝x°， 由（2）的结论可得：∠BGP＝∠CPG+∠QBG，∠BHP＝∠CPH+∠QBH， ∵∠BGP＝α，∠GPQ＝β，∠PHB＝θ，∠GPC的平分线交BE于点Q， ∴∠CPQ＝∠GPQ＝β， ∴， 整理可得：α＝3θ﹣β； 如图，当H在线段PQ的延长线上时， 设∠HBC＝2∠HBQ＝2x°，则∠HBQ＝∠CBQ＝x°， ∵∠BGP＝α，∠GPQ＝β，∠PHB＝θ，∠GPC的平分线交BE于点Q， ∴∠CPQ＝∠GPQ＝β， 同理可得：∠BGP＝∠CPG+∠QBG， ∵AC∥BE， ∴∠CPQ＝∠PQB＝β， 而∠BHP+∠QBH+∠BQH＝180°＝∠BQH+∠PQB， ∴∠BHP+∠QBH＝∠PQB， ∴， 整理可得：α＝3β﹣θ； 综上：α＝3θ﹣β或α＝3β﹣θ． 【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，二元一次方程组的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 14．（2024春•东阳市期末）如图1，一块三角板如图放置，∠G＝90°，AB∥CD，直线CD分别交AG，BG于点N，E，∠BAG的角平分线AK交CD于点K，交BG于点M，F是线段AB上的一点（不与A，B重合），连接EF交AK于点H． （1）判断∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系，并说明理由； （2）若∠BEF∠BAK，∠BEC＝n∠BEF． ①用含n的代数式表示∠AHE的度数； ②当n＝2时，将△KHE绕着点E以每秒6°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，求出此时t的值． 【分析】（1）作HP∥AB，根据AB∥CD，得出HP∥CD，根据平行线的性质得出∠KEH＝∠PHE，∠FAH＝∠AHP，即可求解； （2）①设∠BEF＝x，则∠BAK＝nx，∠BEC＝nx，根据AB∥CD，得出∠ABE＝∠BEC＝nx，结合AK平分∠BAG，AG⊥BE，即可得出3nx＝90°，解得，由（1）得∠AHE＝∠KEH+∠FAH即可求解； ②当n＝2时，∠BEF＝15°，∠KEH＝45°，∠HKE＝30°，分为（i）当KH∥NG时，（ii）当HK∥EG时，（iii）当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时，（iv）当KE∥NG时，（v）当HE∥NG时，分别画图求解． 【解答】解：（1）∠AHE＝∠FAH+∠KEH． 理由如下： 作HP∥AB， ∵AB∥CD， ∴HP∥CD， ∴∠KEH＝∠PHE，∠FAH＝∠AHP， ∴∠AHE＝∠AHP+∠PHE＝∠KEH+∠FAH． （2）①设∠BEF＝x，则∠BAK＝nx，∠BEC＝nx， ∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠BEC＝nx， ∵AK平分∠BAG， ∴∠BAK＝∠GAK＝nx， ∵AG⊥BE， ∴∠AGB＝90°， ∴3nx＝90°， ∴， 由（1）得； ②当n＝2时，∠BEF＝15°，∠KEH＝45°，∠HKE＝30°， （i）当KH∥NG时，延长KE交GN边于P， ∵∠EKH＝∠EPG＝30°， ∴∠PEG＝90°﹣∠EPG＝60°， ∵∠GEN＝90°﹣ENG＝30°， ∴∠PEN＝∠PEG﹣∠GEN＝30°， ∴∠CEK＝∠PEN＝30°， ∴当△KHE绕E点旋转30°时，EK∥GN， ∴； （ii）当HK∥EG时， ∴∠EKH＝∠KEG＝30°， ∴∠NEK＝∠NEG+∠KEG＝60°， ∴∠NEK＝60°， ∴∠CEK＝120°， ∴当△KHE绕点E旋转120°时，HK∥EG， ∴； （iii）当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时， ∴∠CEK＝150°， ∴当△KHE绕点E旋转150°时，KH∥EN， ∴， （iv）当KE∥NG时， ∵∠GEN＝30°， ∴∠CEK＝90°﹣∠GEN＝60°． ∴当△KHE旋转60°时，KE∥NG． ∴； （v）当HE∥NG时， ∵∠GEN＝30°，∠KEH＝45°， ∴∠CEK＝∠CEH+∠HEK＝90°﹣∠GEN+∠HEK＝105°． ∴当△KHE旋转105°时，HE∥NG． ∴， 当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为5秒或20秒或25秒或10秒或秒． 【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键． 15．（2024春•越城区期末）如图1，点A，B分别在直线GH，MN上，∠GAC＝∠NBD，∠C＝∠D． （1）求证：GH∥MN．（温馨提示：可延长AC交MN于点P进行探索） （2）如图2，已知AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED＝∠GAC，探索∠GAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，如图3，已知BF平分∠DBM，点K在射线BF上，，若∠AKB＝∠ACD．请直接写出∠GAC的度数． 【分析】（1）延长AC交MN于P，根据∠ACD＝∠D得AP∥BD，则∠APB＝∠NBD，再根据∠GAC＝∠NBD得∠APB＝∠GAC，由此即可得出结论； （2）延长AC交MN于P，交ED于Q，根据角平分线定义可设∠GAE＝∠CAE＝α，∠CDE＝∠BDE＝β，则∠GAC＝2α，∠CDB＝2β，进而得∠GAC＝∠NBD＝2α，∠ACD＝∠CDB＝2β，∠AED＝∠GAC＝2α，则∠AQE＝180°﹣（∠AED+∠CAE）＝180°﹣3α，∠QCD＝180°﹣∠ACD＝180°﹣2β，进而得∠CQD＝180°﹣∠AQE＝3α，再根据三角形内角和定理得∠CQD+∠QCD+∠CDE＝180°，进而得β＝3α，则∠ACD＝6α，据此可得∠GAC与∠ACD之间的数量关系； （3）根据点K在射线BF上，分以下两种情况：①当点K在GH上方时，过点K作KM∥GH，设∠KAG＝θ，则∠GAC＝∠NBD＝4θ，∠MBD＝180°﹣∠NBD＝180°﹣4θ，根据BF平分∠DBM得∠MBF∠MBD＝90°﹣2θ，证明KM∥GH∥MN得∠MKB＝∠MBF＝90°﹣2θ，∠MKA＝∠KAG＝θ，则∠AKB＝∠MKB﹣∠MKA＝90°﹣3θ，再根据在（2）的条件下这∠ACD＝3∠GAC＝12θ，则∠AKB＝∠ACD＝12θ，由此得90°﹣3θ＝12θ，据此解出θ＝6°，则可得∠GAC的度数；②当点K在GH下方时，过点K作KN∥GH，设∠KAG＝θ，同理∠GAC＝∠NBD＝4θ，∠AKB＝∠ACD＝12θ，∠MBF＝90°﹣2θ，KM∥GH∥MN，则∠AKN＝∠KAG＝θ，∠BKN＝∠MBF＝90°﹣2θ，进而得∠AKB＝∠AKN+∠BKN＝90°﹣θ，由此得90°﹣θ＝12θ，据此解出θ，则可得∠GAC的度数，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）延长AC交MN于P，如图1所示： ∵∠ACD＝∠D， ∴AP∥BD， ∴∠APB＝∠NBD， ∵∠GAC＝∠NBD， ∴∠APB＝∠GAC， ∴GH∥MN； （2）∠GAC与∠ACD之间的数量关系是：∠ACD＝3∠GAC，理由如下： 延长AC交MN于P，交ED于Q，如图2所示： ∵AE平分∠GAC，DE平分∠BDC， ∴设∠GAE＝∠CAE＝α，∠CDE＝∠BDE＝β， 则∠GAC＝2α，∠CDB＝2β， ∴∠GAC＝∠NBD＝2α，∠ACD＝∠CDB＝2β，∠AED＝∠GAC＝2α， ∴∠AQE＝180°﹣（∠AED+∠CAE）＝180°﹣3α，∠QCD＝180°﹣∠ACD＝180°﹣2β， ∴∠CQD＝180°﹣∠AQE＝180°﹣（180°﹣3α）＝3α， ∵∠CQD+∠QCD+∠CDE＝180°， ∴3α+180°﹣2β+β＝180°， ∵β＝3α， ∴∠ACD＝2β＝6α， ∴∠GAC＝2α， ∴∠ACD＝3∠GAC； （3）∠GAC的度数为：24°或，理由见解答过程． ∵点K在射线BF上， ∴有以下两种情况： ①当点K在GH上方时，过点K作KR∥GH，如图3①所示： 设∠KAG＝θ， ∵∠KAG∠GAC， ∴∠GAC＝4∠KAG＝4θ， ∴∠GAC＝∠NBD＝4θ， ∴∠MBD＝180°﹣∠NBD＝180°﹣4θ， ∵BF平分∠DBM， ∴∠MBF∠MBD（180°﹣4θ）＝90°﹣2θ， 由（1）可知：GH∥MN， ∵KR∥GH， ∴KR∥GH∥MN， ∴∠RKB＝∠MBF＝90°﹣2θ，∠RKA＝∠KAG＝θ， ∴∠AKB＝∠RKB﹣∠RKA＝90°﹣2θ﹣θ＝90°﹣3θ， ∵在（2）的条件下， ∴∠ACD＝3∠GAC＝12θ， ∴∠AKB＝∠ACD＝12θ， ∴90°﹣3θ＝12θ， 解得：θ＝6°， ∴∠GAC＝4θ＝24°； ②当点K在GH下方时，过点K作KR∥GH，如图3②所示： 设∠KAG＝θ， 同理：∠GAC＝∠NBD＝4θ，∠AKB＝∠ACD＝12θ，∠MBF＝90°﹣2θ，KF∥GH∥MN， ∴∠AKR＝∠KAG＝θ，∠BKR＝∠MBF＝90°﹣2θ， ∴∠AKB＝∠AKR+∠BKR＝θ+90°﹣2θ＝90°﹣θ， ∴90°﹣θ＝12θ， 解得：θ， ∴∠GAC＝4θ． 综上所述：∠GAC的度数为24°或． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键． 16．（2023春•南浔区期末）三角板和直尺是我们重要的学习工具，可以利用这些工具进行很多数学探究．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．AB，AC分别交DG于M，N点． （1）求∠1和∠2的度数； （2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°，如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时： ①请用含n的代数式表示∠2的度数； ②当0＜n＜360时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，说明理由． 【分析】（1）根据平行线的性质即可求解． （2）①根据平行线的性质即可求解． ②分情况讨论即可． 【解答】解：（1）∵EF∥DG， ∴∠AMN＝∠ABC＝60°，∠ANM＝∠ACB＝90°， ∴∠1＝180﹣∠AMN＝120°， ∠2＝180﹣∠ANM＝90°， 故∠1和∠2的度数为120°，90°． （2）①∵EF∥DG， ∴∠MCB＝∠CBF＝n°， ∴∠ACM＝90﹣∠MCB＝90﹣n°， ∴∠2＝180﹣∠ACM＝（90+n）°， 故∠2的度数为（90+n）°． ②存在．理由如下： 当n＝30°时，AB⊥DG（EF）， 当n＝90°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）； 当n＝120°时，AB⊥DE（GF）； 当n＝180°时，AC⊥DG（EF），BC⊥DE（GF）； 当n＝210°时，AB⊥DG（EF）； 当n＝270°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）； 当n＝300°时，AB⊥DE （GF）． 【点评】本题考查了角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键． 17．（2024春•江干区校级期末）综合与实践 【探索发现】（1）已知：如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP． 易证：∠APC＝∠BAP+∠PCD． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作PQ∥AB. 小红：如图3，延长AP交CD于点M. 请你选择一位同学的方法，并进行证明： 【深入思考】（2）如图4，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点P，连接AC，EG，若∠PAC+∠PEG＝∠AGE，求证：AC∥EF； 【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，AB∥CD，AH平分∠PAC，FH平分∠PFC，AH与FH交点H，若∠CAH＝25°，∠AHF＝∠AEG，∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG．求∠PFC的度数． 【分析】【探索发现】小刚的方法：先证AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质得∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠PCD，据此即可得出结论；小红的方法：先由AB∥CD得∠BAP＝∠PMC，再根据三角形的外角定理得∠APC＝∠PMC+∠PCD，据此即可得出结论； 【深入思考】先根据三角形的外角定理得∠AGE＝∠APE+∠PEG，再根据∠AGE＝∠PAC+∠PEG得∠APE＝∠PAC，然后根据平行线的判定可得出结论； 【拓展延伸】设∠PEG＝α，则∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG＝50°+3α，进而可得∠AGE＝130°﹣3α，根据在（2）的条件下∠PAC+∠PEG＝∠AGE，得50°+α＝130°﹣3α，由此解出α＝20°，设∠PFH＝β，则∠PFC＝2∠PFH＝2β，再根据AB∥CD得∠AEF＝∠PFC＝2β，进而得∠AEG＝∠AHF＝∠AEG＝2β﹣20°，然后根据在（2）的条件下得AC∥EF，则∠AHF＝∠CAH+∠PFH，由此得2β﹣20°＝25°+β，据此求出β即可得∠PFC的度数． 【解答】【探索发现】解：小刚的证明如下： 过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PQ∥CD， ∴∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠PCD， ∴∠APQ+∠CPQ＝∠BAP+∠PCD， 即∠APC＝∠BAP+∠PCD； 小红的证明如下： 延长AP交CD于点M， ∵AB∥CD， ∴∠BAP＝∠PMC， ∵∠APC是△PCM的一个外角， ∴∠APC＝∠PMC+∠PCD， 即∠APC＝∠BAP+∠PCD； 【深入思考】证明：∵∠AGE是△PGE的一个外角， ∴∠AGE＝∠APE+∠PEG， ∵∠AGE＝∠PAC+∠PEG， ∴∠APE＝∠PAC， ∴AC∥EF； 【拓展延伸】解：∵AH平分∠PAC，∠CAH＝25°， ∴∠PAC＝2∠CAH＝50°， 设∠PEG＝α， ∴∠PGE＝2∠CAH+3∠PEG＝50°+3α， ∴∠AGE＝180°﹣∠PGE＝130°﹣3α， ∵在（2）的条件下， ∴∠PAC+∠PEG＝∠AGE， ∴50°+α＝130°﹣3α， 解得：α＝20°， ∴∠PEG＝20°， 设∠PFH＝β， ∵FH平分∠PFC， ∴∠PFC＝2∠PFH＝2β， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠PFC＝2β， ∴∠AEG＝∠AEF﹣∠PEG＝2β﹣20°， ∴∠AHF＝∠AEG＝2β﹣20°， ∵在（2）的条件下， ∴AC∥EF， ∴∠AHF＝∠CAH+∠PFH， 即2β﹣20°＝25°+β， 解得：β＝45°， ∴∠PFC＝2β＝90° 【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，角的计算，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键． 18．（2024春•金华期末）光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角（锐角）与反射光线与镜面的夹角（锐角）相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． （1）如图2，已知有两个平面镜镜面MO与镜面ON，入射光线AB能够经镜面ON，OM形成反射，记反射光线分别为BC，CD． ①当∠ABN＝50°，AB∥CD时，求∠MCD的度数． ②记∠ABN＝α，∠DCM＝β，当AB∥CD时，求α，β之间的等量关系． （2）如图3，已知有三个平面镜AB，BC，CD，其中镜面CD放在水平地面上固定，调整镜面AB与镜面BC的摆放角度，使得入射光线EF能够经镜面AB，BC，CD形成反射，记反射光线分别为FG，GH，HI． ①当∠AFE＝40°，∠ABC＝110°，FE∥HI时，求∠BCD的度数． ②记∠AFE＝m，∠BCD＝n，当m，n存在怎样的等量关系时，有FE∥HI成立．请写出关于m，n之间的等量关系，并说明相应理由． 【分析】（1）①依题意得∠1＝∠ABN＝50，则∠ABC＝80°，由AB∥CD得∠DCB＝100°，根据∠2＝∠MCD，∠2+∠MCD+∠DCB＝180°可得∠MCD的度数； ②依题意得∠1＝∠ABN＝α，∠2＝∠DCM＝β，则∠CABC＝180°﹣2α，∠BCD＝180°﹣2β，根据AB∥CD得∠ABC+∠BCD＝180°，由此可得α，β之间的等量关系； （2）①过点G作GP∥EF，依题意得∠1＝∠AEF＝40°，则∠5＝100°，根据∠ABC＝110°得∠2＝∠3＝30°，则∠FGH＝120°，再根据GP∥EF得∠FGP＝80°，则∠PGH＝40°，证明GP∥HI得∠6＝140°，然后根据∠4＝∠IHD，∠4+∠IHD+∠6＝180°，得∠4＝20°，由此可得∠BCD的度数； ②依题意得∠1＝∠AEF＝m，则∠5＝180°﹣2m，根据∠4＝∠IHD，∠4+∠IHD+∠6＝180°得∠4＝90°∠6，根据∠2＝∠3，∠2+∠3+∠FGH＝180°得∠3＝90°∠FGH，则∠BCD（∠6+∠FGH），则∠FGH＝2∠BCD﹣∠6＝2n﹣∠6，证明FE∥GP∥HI得∠EGP+∠5＝180°，∠6+∠PGH＝180°，即∠FGP+∠5+∠6+∠PGH＝360°，进而得2n﹣∠6+180°﹣2m+∠6＝360°，据此可得m，n之间的等量关系． 【解答】解：（1）①如图2所示： ∵∠ABN＝50°， ∴∠1＝∠ABN＝50， ∴∠ABC＝180°﹣（∠1+∠ABN）＝80°， ∵AB∥CD， ∴∠DCB＝180°﹣∠ABC＝100°， ∵∠2＝∠MCD，∠2+∠MCD+∠DCB＝180°， ∴∠MCD（180°﹣∠DCB）（180°﹣100°）＝40°； ②α，β之间的等量关系是：α+β＝90°，理由如下： 依题意得：∠1＝∠ABN＝α，∠2＝∠DCM＝β， ∴∠CABC＝180°﹣（∠1+∠ABN）＝180°﹣2α，∠BCD＝180°﹣（∠2+∠DCM）＝180°﹣2β， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， 即180°﹣2α+180°﹣2β＝180°， ∴α+β＝90°； （2）①过点G作GP∥EF，如图3①所示： ∵∠1＝∠AEF＝40°， ∴∠5＝180°﹣（∠1+∠AEF）＝100°， ∵∠ABC＝110°， ∴∠2＝∠3＝180°﹣（∠1+∠ABC）＝180°﹣（40°+110°）＝30°， ∴∠FGH＝180°﹣（∠2+∠3）＝120°， ∵GP∥EF， ∴∠FGP＝180°﹣∠5＝180°﹣100°＝80°， ∴∠PGH＝∠EGH﹣∠EGP＝120°﹣80°＝40°， ∵FE∥HI，GP∥EF， ∴GP∥HI， ∴∠6＝180°﹣∠PGH＝180°﹣40°＝140°， ∵∠4＝∠IHD，∠4+∠IHD+∠6＝180°， ∴∠4（180°﹣∠6）（180°﹣140°）＝20°， ∴∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣（30°+20°）＝130°； ②m，n之间的等量关系是：n﹣m＝90°，理由如下： 如图3所示：∠1＝∠AEF＝m， ∴∠5＝180﹣（∠1+∠AEF）＝180°﹣2m， ∵∠4＝∠IHD，∠4+∠IHD+∠6＝180°， ∴∠4（180°﹣∠6）＝90°∠6， ∵∠2＝∠3，∠2+∠3+∠FGH＝180°， ∴∠3（180°﹣∠FGH）＝90°∠FGH， ∵∠BCD+∠3+∠4＝180° ∴n+90°∠6+90°∠FGH＝180°， ∴∠FGH＝2n﹣∠6 ∵GP∥EF，FE∥HI， ∴FE∥GP∥HI， ∴∠EGP+∠5＝180°，∠6+∠PGH＝180°， ∴∠FGP+∠5+∠6+∠PGH＝360°， ∵∠FGP+∠PGH＝∠FGH， 即∠FGH+∠5+∠6＝360°， ∴2n﹣∠6+180°﹣2m+∠6＝360°， ∴n﹣m＝90°． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键． 19．（2024春•长兴县期末）【问题情境】在综合实践课上，老师组织同学开展了探究角与角数量关系的数学活动，如图1，AB∥CD，G、E是直线AB上的两点，连接CE、DG交于点F． 【探索发现】 （1）判断∠CDG，∠EFD和∠CEG之间的数量关系，并说明理由． 【深入探究】如图2，过点D作DH⊥CE，交CE的延长线于点H，交AB于点K，过点E作EM分别交DF、CD于点M，N． （2）若DF平分∠CDH，∠MEF∠GDH；求∠DME的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线EG重合时停止，则在旋转过程中，当边HK与△MEG的某一边平行时，直接写出此时t的值． 【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠BGD＝∠CDG，根据三角形的外角的性质可得∠EFD＝∠BGD+∠CEG，等量代换，即可求解； （2）根据平行线的性质得出∠HCD＝∠GEF，根据角平分线的定义以及∠HCD+∠HDC＝90°，得出∠GEF＝30°，则，进而根据平行线的性质以及角平分线的定义得出∠EGD＝∠GDC＝30°，根据三角形的外角的性质，即可求解； （3）设△EHK旋转后的三角形为△EH'K'，H，K的对应点为H'K'，分三种情况讨论，根据平行线的性质即可求解． 【解答】解：（1）∠EFD＝∠CDG+∠CEG，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠BGD＝∠CDG， ∵∠EFD是△GEF的外角， ∴∠EFD＝∠BGD+∠CEG， ∴∠EFD＝∠CDG+∠CEG； （2）∵AB∥CD， ∴∠HCD＝∠GEF，， ∴∠GEF＝∠GDH， ∵DF平分∠CDH， ∴∠HDC＝2∠GDH＝2∠GEF， ∵DH⊥CE， ∴∠HCD+∠HDC＝90°， ∴3∠GEF＝90°， ∴∠GEF＝30°， ∴， ∴∠GEM＝∠GEF+∠MEF＝40°， ∵AB∥CD， ∠HCD＝∠GEF＝30°， ∴DF平分∠CDH， ∴∠GDC＝∠GDH＝30°， ∵AB∥CD， ∴∠EGD＝∠GDC＝30°， ∵∠DME是△GEM的外角， ∴∠DME＝∠EGD+∠GEM＝70°； （3）由（2）可得∠HEK＝∠C＝30°，∠HKE＝∠HDC＝60°，∠H＝90°， 设△EHK旋转后的三角形为△EH'K'，H，K的对应点为H'，K'， ①当K′H′∥GM时，延长H'K'交AB于点M，如图所示， ∴∠M＝∠EGM＝30°， ∵∠H'＝∠H＝90°， ∴∠H'EM＝60°， ∴∠H'EH＝60°﹣∠HEK＝30°， ∴； ②当H′K′∥EG时，如图所示， ∴∠GEK'＝180°﹣∠K'＝120°， ∴∠GEH'＝∠GEK'﹣∠H'EK＝120°﹣30°＝90°， ∴∠HEH'＝∠GEH﹣∠GEK'＝（180°﹣∠HEK）﹣90°＝150°﹣90°＝60°， ∴； ③当HK′∥EM时，如图所示， ∴∠H'EM＝∠H'＝90°， ∴∠H'EG＝90°﹣GEM＝90°﹣40°＝50°， ∴∠H′EH＝180°﹣∠GEH′﹣∠HEK＝180°﹣50°﹣30°＝100°， ∴， 综上所述，t＝6s或12s或20s． 【点评】本题考查了三角形的综合应用，主要考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，旋转的性质，熟练掌握以上知识及分类讨论思想方法是解题的关键． 20．（2024春•杭州期末）知识拓展：解分式方程除了转化整式方程外，还有其他的解法，请仔细阅读并完成填空： （1）例题：解方程． 解法1：利用分式的基本性质，将原方程化为，由分子相同，得分母相同，即 　60+2v＝90﹣3v　 ． 解法2：分式两边通分，得，由分母相同，得分子相同，即 　90（30﹣v）＝60（30+v）　 ． （2）解法3：用图形的方式表示出来，就可以用图1来解释． 如图，S长方形ABCD＝90，S长方形AGHD＝60，GE＝EB＝v，AE＝DF＝30，AB＝30+v，AG＝30﹣v．则AD•AD＝EF，EF，由S长方形AEFD＝75，AE＝30，得AD＝　2.5　 ，从而求得v＝　6　 ． 问题解决： （3）如图2所示，在三角形ABC中，D，E是BC边上的点，且DE＝EC，S三角形ABC＝48cm2，S三角形ABD＝36cm2，BE＝21cm，求BC的长． 【分析】（1）根据题干提供的信息列出方程即可； （2）根据长方形面积公式，结合S长方形AEFD＝75，AE＝30，求出AD；根据2.5求出结果即可； （3）设△ABC中BC边上的高为h，根据DE＝EC，得出S△ADE＝S△ACE，根据S△ABC和S△ABD，得出S△ADE＝S△ACE，求出h，根据S△ABCBC×h，求出BC即可． 【解答】解：（1）解法1：利用分式的基本性质，将原方程化为， 由分子相同，得分母相同， 即60+2v＝90﹣3v； 解法2：分式两边通分，得， 由分母相同，得分子相同， 即90（30﹣v）＝60（30+v）， 故答案为：60+2v＝90﹣3v，90（30﹣v）＝60（30+v）； （2）由S长方形AEFD＝75，AE＝30， 得AD2.5； ∵AD， ∴30﹣v， 解得：v＝6； 经检验，v＝6是原方程的解， 故答案为：2.5，6； （3）设△ABC中BC边上的高为h， ∵DE＝EC， ∴S△ADE＝S△ACE， ∵S△ABC＝48cm2，S△ABP＝36cm2， ∴S△ACD＝S△ABC﹣S△ABD＝48﹣36＝12（cm2）， ∴S△ADE+S△ACE＝12cm2， ∴S△ADE＝S△ACE＝6cm2， ∴S△ABE＝S△ABD+S△ADE＝36+6＝42（cm2）， ∴BE×h＝42， 即21×h＝42， 解得：h＝4， ∴S△ABCBC×h＝48， 即BC×4＝48， 解得：BC＝24cm， ∴BC的长为24cm． 【点评】本题是四边形和分式方程综合题，主要考查了解分式方程，与三角形的高有关的计算，矩形的面积计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形的面积计算公式． 21．（2024春•江北区期末）阅读材料 若两个正数a，b，则有下面不等式，当a＝b时取等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 不等式可以变形为不等式，当且仅当a＝b时取到等号．（a，b均为正数） 例：已知x＞0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即x＝1时，有最小值，最小值为2． 根据上面材料回答下列问题： （1）5+6 　＞　 ；6+6 　＝　 ；（用“＝”“＜”“＞”填空） （2）当x＞0，则的最小值为 　6　 ，此时x＝　3　 ； （3）当x＞2，则的最小值为 　8　 ； （4）用篱笆围一个面积为100m2的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 【分析】（1）根据，代入即可作答； （2）根据，代入即可作答； （3）把x﹣2看成整体，即t＝x﹣2，则x＝t+2，进而推出t+2t2≥2，当且仅当t，即t＝3时，有最小值，进而作答即可； （4）设这个长方形的长为x cm，宽为y m，由，得：x+y＞2，进而作答即可． 【解答】解：（1）∵，5＞0，6＞0， ∴5+6， ∵5≠6， ∴5+6； ∵，6＞0， ∴6+6， ∵6＝6， ∴6+6； 故答案为＞，＝； （2）∵x＞0， 由， 得22×3＝6， 当且仅当x，即x＝3时，有最小值，最小值为6， 故答案为：6，3； （3）∵x＞2， ∴x﹣2＞0， 把x﹣2看成整体， 即t＝x﹣2， ∴x＝t+2， ∴t+2t2≥22＝2×3+2＝6+2＝8， 当且仅当t，即t＝3时，有最小值，最小值为8， 故答案为：8； （4）设这个长方形的长为x cm，宽为y m， 由题意得：xy＝100， 由， 得：x+y＞2220， 当且仅当x＝y时，即x＝10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m， ∴这个长方形的长、宽为10m时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m． 【点评】本题是几何不等式和四边形综合题，考查了二次根式的计算，分式的加减法，长方形的面积，解题的关键是根据已给信息，理解题意，并作答． 22．（2024春•义乌市期末）如图1，将一张宽度相等的纸条（AD∥BC）按如图所示方式折叠，记点C，D的对应点分别为C'，D'，折痕为EF，且C′E交AD于点G． （1）若∠AGC'＝128°，则∠FEC＝　26　 度． （2）如图2，在（1）的条件下，将四边形GFD'C'沿GF向下翻折，记C′，D′的对应点分别为C″，D″，再将长方形ABCD沿着PQ翻折，记A，B的对应点分别为A′，B′，折痕为PQ（点P在BC上，点Q在AD上）．若A'B'∥C″D″，求∠BPQ的度数． （3）如图3，分别作∠AGE，∠BEG的平分线交于点M，连结GM，EM，BM，作∠BME的平分线交BE于点N，延长GM交BE于点Q．若∠MBE＝8°，∠FGC″比∠GFE多27°，求∠QMN的度数. 【分析】（1）根据对顶角和平行线的性质可得∠GEC+∠FGE＝180°，再由折叠的性质可得∠FEC＝∠FEG，即可求出∠BPQ的度数． （2）根据题意可分成两种情况，当AB向下翻折 时，当AB向上翻折时，根据平行线的性质和折叠的 性质，即可求出∠BPQ的度数． （3）补全图形后，设∠GFE＝x，则∠FGC'＝x+27°，根据折叠的性质和平行线的性质，可得∠GEC＝∠FGC＝2x，即∠C'GF＝∠FGC'代入数值解得x＝27°，根 对顶角，角平分线的性质，平行线的性质，外角的性质，三角形内角和的性质，即可求出∠QMN的 度数． 【解答】解：（1）∵∠AGC'＝128°， ∴∠AGC'＝∠FGE＝128°， ∵AD∥BC， ∴∠GEC+∠FGE＝180°， ∴∠GEC＝52°， 根据折叠的性质可得∠FEC＝∠FEG， ∴， 故答案为：26． （2）当AB向下翻折时，根据题意补充全图，如图1所示： ∵∠GEC＝52°，AD∥BC， ∴∠CEG＝∠FGC'＝52°， 根据折叠的性质可得∠C'GF＝∠FGC'＝52°， ∵AB'∥C'D'再根据折叠的性质可得 GC'∥QA'， ∴∠C'GF＝∠AQG＝52°， ∴∠AQA＝180°﹣∠AQG＝128°， 根据折叠的性质可得 ， ∵AD∥BC， ∴∠BPQ＝180°﹣∠AQP＝180°﹣64°＝116°， 当AB向上翻折时，BP交AD与点H，如图2所示： 由上可得 C'GF＝∠PHG＝52°， ∵AD∥BC，∴∠BPH＝∠PHG＝52°， 根据折叠的性质可得 ， 综上可得∠BPQ的度数为26°或116°． （3）补全图形，如图3所示： 设∠GFE＝x，则∠FGC'＝x+27°， 根据折叠的性质可得∠FEG＝∠FEC＝x， ∵AD∥BC，∴∠GEC＝∠FGC'＝2x， 根据折叠的性质可得∠C'GF＝∠FGC' ∴2x＝27°+x， 解得 x＝27°， ∴∠FGC'＝27°×2＝54°， ∴∠FGC'＝∠AGE＝54°， ∵∠AGQ＝∠QGE， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠AGO＝∠OGE＝∠GOE＝27°，∠QEG＝180°﹣∠AGE＝180°﹣54°＝126°， ∵∠QEM＝∠GEM， ∴，∠MBE＝8°， ∴∠BME＝180°﹣63°﹣8°＝109°， ∵∠BMN＝∠EMN， ∴， ∴∠MNE＝180°﹣54.5°﹣63°＝62.5°，∠GQE＝27°， ∴∠QMN＝62.5°﹣27°＝35.5°． 【点评】本题考查了四边形综合，矩形的性质，折叠的性质、平行线的性质、对顶角性质、角平分线的性质、外角的性质、三角形内角和的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$