第01讲 二次函数（3知识点+10考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第01讲 二次函数 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.理解掌握二次函数的概念和一般形式. 2.会利用二次函数的概念解决问题. 3.会列二次函数表达式解决实际问题. 知识点 1 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的特征：1）函数关系式的左侧是因变量，右侧是含有自变量的是整式； 2）自变量的最高次数是2；3）二次项系数不能为0. 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数都是整式成为解题的关键． 直接根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，不合题意； B、是二次函数，符合题意； C、，当时，是二次函数，不合题意； D、是一次函数，符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）下列函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的一般形式是常数），并据此对各选项进行分析判断． 分别对每个选项中的函数进行化简，然后根据二次函数的定义判断其是否为二次函数． 【详解】A、函数符合二次函数的一般形式），故它是二次函数，不符合题意； B、函数也符合二次函数的一般形式，它是二次函数，不符合题意； C、函数同样符合二次函数的一般形式，故是二次函数，不符合题意； D、对进行化简，，化简后函数最高次项是一次，不符合二次函数的定义，故它不是二次函数，符合题意；． 故选：D． 3．（23-24九年级上·广西河池·期中）若函数为二次函数，则实数 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的一般式为（，为常数）是解本题的关键． 根据二次函数的定义即可得出答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴． 故答案为：2． 4．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故选：D． 知识点 2 二次函数的一般式 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的3种特殊形式：1)当b＝0时， 2)当c＝0时， 3)当b＝0且c＝0时， . 1．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）二次函数的一般式为 ． 【答案】 【分析】二次函数的一般形式为，据此即可获得答案． 【详解】解：二次函数的一般式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的一般形式以及完全平方公式的应用，理解并掌握二次函数的一般形式是解题关键． 2．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）把变成一般式，它的常数项为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为（为常数且）. 根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案. 【详解】解：， 把变成一般式，它的常数项为， 故答案为：. 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了二次函数的定义，对于二次函数（a、b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项． 根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴该函数解析式的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故答案是：3，． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式，根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为， 故选：． 知识点 3 列二次函数 在实际问题中建立二次函数解析式的一般步骤： 1.审清题意,分清实际问题中的已知量(常量)和未知量(变量),并分析它们之间的关系，找出等量关系. 2.用含一个变量的代数式表示等量关系中的相关数量，从而写出用一个变量表示另一个变量的函数解析式 3.注意自变量的取值范围，在实际问题中，自变量的取值要符合实际意义， . 1．（24-25九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 2．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二次函数关系式．根据正方形的面积=边长边长即可求得． 【详解】解：由正方形面积公式得：． 故选：D． 3．（2025·上海奉贤·一模）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，先计算出原正方形的面积，再计算出边长减少后的正方形的面积，作差即可得解． 【详解】解：原正方形面积为（平方厘米）， 边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米， 则， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·安徽阜阳·期中）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，那么与的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据第一个月投放2000辆单车，第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，得到第二个月投放单车的数量为，第三个月投放单车的数量为，根据计划三个月共投放单车辆，得出函数关系式即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查求函数解析式，解题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确的列出函数关系式． 考点一： 辨别二次函数 1．（24-25九年级上·上海普陀·期中）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A. 不符合二次函数的定义，不是二次函数； B. 是一次函数，不是二次函数； C. 不符合二次函数的定义，不是二次函数；     D. 符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 2．（2024九年级下·江苏·专题练习）下列函数关系式中： （1）（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数，）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：（1）是二次函数； （2）不是二次函数； （3）是二次函数； （4）不是二次函数； （5）不是二次函数； （6），不确定m是否为0，不一定是二次函数； 故选：B． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）下列各式中，二次函数的个数是（　　） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：①，故不是二次函数； ②是二次函数； ③当时，，故不是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤是二次函数， 则二次函数的个数有2个， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（2025九年级下·全国·专题练习）下列函数中，哪些是关于的二次函数？ ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦． 【答案】①②④⑥ 【分析】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意是不等于零的常数．根据二次函数的定义：（且是常数）判断即可得答案． 【详解】解：①是二次函数； ②是二次函数； ③不是整式，不是二次函数； ④是二次函数； ⑤不是整式，不是二次函数； ⑥可变形为：是二次函数； ⑦是一次函数． 故二次函数的有①②④⑥． 考点二： 由二次函数的定义求字母的值 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，解得或， ， ， ． 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）若函数是二次函数，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数称为二次函数”进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故答案为4． 4．（2025九年级下·全国·专题练习）已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念，熟练掌握其概念并能正确分类讨论是解决此题的关键． （1）根据二次函数的概念得，且，求解即可； （2）根据一次函数的概念得且，，求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得，且， 解得 ∴时，该函数为二次函数； （2）解：依题意，当首项次数为1，且合并同类项后一次项系数不为零时， 且， 解得， 当首项系数为零时，， 解得和， 综上，，和时，该函数为一次函数． 考点三： 由二次函数的定义求字母的取值范围 1．（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式的表示，掌握二次函数的定义是关键． 二次函数的一般式为，由此判定即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， ∴， 解得，， 故选：D ． 2．（24-25九年级上·全国·期中）已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数.据此进行解答即可. 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：D 3．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知函数（m为常数）． (1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值． (2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)且． 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：依题意且， 所以； （2）解：依题意， 所以且． 【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型． 考点四： 二次函数的一般形式 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 5 【分析】根据二次函数的定义判断即可。 【详解】解：二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是， 故答案为：①，② ，③ ， 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 2．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：， ∴该函数是二次函数，其二次项系数是，一次项系数是9，常数项是10， 则A、C、D说法错误，B说法正确， 故选：B． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二次项、一次项、常数项． ①； ②； ③； ④． 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义． 根据形如是二次函数，可得答案． 【详解】解：①：化简得：，是二次函数，二次项是，一次项是，常数项是； ②：化简得：，是二次函数，二次项是，一次项是，常数项是2； ③：整理得：，是二次函数，二次项是，一次项是0，常数项是3； ④：化简得：，不是二次函数． 考点五： 求二次函数的值 1．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ． 【答案】106 【分析】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键． 将代入解析式求值即可． 【详解】解：， 当时，， 水的体积为． 故答案为：106． 2．（24-25九年级上·山东泰安·期中）一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（单位：米）与经过的时间（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间是 ． 【答案】3 【分析】本题主要查了二次函数的实际应用．令，即可求解． 【详解】解：令，则， 解得：， ∴球弹起后又回到地面所经过的时间是秒． 故答案为：3 3．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）把一个小球以的速度竖直向上弹出，它在空中的高度与时间满足关系：．当时，小球的运动时间为 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了二次函数图象与性质以及应用， 把代入关系式得求解即可． 【详解】解：根据题意，把代入关系式得： ， 解得或， ∴物体运动时间为或； 故答案为：1或3． 考点六： 判断函数关系 1．（21-22九年级上·北京石景山·期末）正方形的面积y与它的周长x满足的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 【答案】C 【分析】由周长，先求出正方形的边长，然后结合面积公式，即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的周长为x， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数表达式，解题的关键是掌握正方形的面积和周长公式． 2．（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数和二次函数的定义，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，分别根据题意得，即可得与满足的函数关系． 【详解】解：矩形的面积为，线段的长为，的长为， ， ， 正方形的面积为， ， 与满足的函数关系分别是反比例函数关系，二次函数关系， 故选：． 3．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，正方形和的周长之和为（为常数），设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与x，S与满足的函数关系分别是（    ） A．二次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵正方形和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键． 4．（22-23九年级上·北京石景山·期末）如图，线段，点在线段上（不与点重合），以为边作正方形，设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别为（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】通过，可得到与的函数关系，通过正方形的面积可得到与的函数关系． 【详解】解：， ， ， 所以与是一次函数关系； ， ， 所以与是二次函数关系； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是通过题意准确找出关系式． 考点七： 列二次函数关系式(销售) 1．（22-23九年级上·浙江温州·期中）某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设苹果单价提高x元，则销售量为千克，再根据销售额售价数量进行求解即可． 【详解】解：设苹果单价提高x元，则销售量为千克， 由题意得，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键． 3．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）某种品牌的服装进价为每件元，当售价为每件元时，每天可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价元，每天可多卖出件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价元，每天售出服装的利润为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，利用每天售出服装的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出y关于x的函数关系式，再结合要确保盈利且日销售量为整数，即可得出x的取值范围． 【详解】设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，每天售出服装的利润为y元，由题意得： ， 又∵要确保盈利，且日销售量为整数， ∴，且x为偶数， ∴y关于x的函数解析式为（，x为偶数）． 故选：A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 考点八： 列二次函数关系式(几何图形) 1．（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先根据周长，将长方形的另一边表示出来，再根据长方形的面积=长×宽，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得： ∵长方形的周长为，其中一边为， ∴长方形的另一边长为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握长方形的面积计算方法. 2．（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）在半径为的圆中，挖去一个半径为的圆面，剩下的圆环的面积为，则y与x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用半径为的圆的面积减去半径为的圆的面积即可求解． 【详解】解：依题意，， 故选D． 【点睛】本题考查了列函数关系式，掌握圆的面积公式是解题的关键． 3．（23-24八年级下·福建莆田·期中）一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积． 首先表示出原边长为4厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程． 【详解】解：原边长为4厘米的正方形面积为：（平方厘米）， 边长增加x厘米后边长变为：， 则面积为：平方厘米， ∴． 故答案为：． 考点九： 列二次函数关系式(变化率) 1．（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据两次降价后的价格等于原价乘以(每次降价的百分率)，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：依题意，每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 考点十： 列二次函数关系式(循环问题) 1．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张纪念卡，则全班送贺卡共1892张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学 每名同学要送出张； 又是互送纪念卡， 总共送的张数应该是． 故选：D． 2．（22-23九年级上·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式 ，它 (填“是”或“不是”)二次函数． 【答案】 y＝x2－ 是 【详解】试题分析：设有x人参加聚会，每个人需要和另外的（x－1）个人握手，所以共握手x(x−1) 次，所以y＝x(x−1)＝x2－，是二次函数． 故答案为y＝x2－，是． 点睛：本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是了解握手问题中两人之间相互握手一次． 1．（2025·上海·模拟预测）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（为常数且）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 不是二次函数，故该选项不符合题意； B． ，不是二次函数，故该选项不符合题意； C． 是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意； D． 是二次函数，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（2025·上海徐汇·一模）二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，根据题意形如的形式叫做y是x的二次函数．继而得到，即得本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，即， 故选：A． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：， 故选：B． 4．（24-25九年级上·新疆巴音郭楞·期末）二次函数的常数项是（    ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的一般形式，直接利用中为常数项即可得到答案． 【详解】解：二次函数的常数项是； 故选：C 5．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为， 故选：C． 6．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， ， 解得：， m的取值范围为． 故答案为：． 7．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． （1）若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 【答案】 一次 反比例 二次 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （2 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （3 ）根据题意可得，即可得出，即可得出答案； 【详解】（1 ）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数． 故答案为：，一次 （2 ）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数． 故答案为：，反比例 （3 ）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴S是的二次函数． 故答案为：，二次 8．（2025九年级下·全国·专题练习）下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数，一次项系数和常数项． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数与一元二次方程的关系是解答关键． 根据二次函数的这定义，二次函数与一元二次方程的关系来进行判定求解． 【详解】解：（1）是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0； （2），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是； （3）不是二次函数； （4），是二次函数，二次项系数是5、一次项系数是，常数项是3； （5）是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是，常数项是4； （6）不是二次函数． 9．（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的函数． (1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式； (2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式； 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是根据定义列出关于k的方程和不等式． （1）根据一次函数的定义列出关于k的方程，求出k的值即可； （2）根据二次函数的定义列出关于k的方程和不等式，求出k的值即可． 【详解】（1）解：函数为一次函数， ，或， ，或 当时函数， 当时函数， 此一次函数解析式为或； （2）解：x的函数为二次函数． ，且 解得：， 当时，， 函数的解析式． 10．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙的说法对，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的定义，配方法的应用，将配方得出，从而得出无论取何值，，结合二次函数的定义即可得解． 【详解】解：乙的说法对，理由如下： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，， ∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对． 11．（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)这个函数是二次函数吗？为什么？ (3)求自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)是二次函数；理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是二次函数的应用，以及二次函数的定义，熟知一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键． （1）根据题意，算出原来矩形的面积，再算边长增加后的面积，然后列出y与x的函数关系式； （2）结合（1）得到的函数关系式，根据所学过的函数表达式即可判断； （3）因为边长的增加量是非负数，即可写出x的取值范围． 【详解】（1）解：∵矩形的长为，宽为， ∴矩形的面积． ∵矩形的长与宽都增加， ∴增加后矩形的面积， ∴，即， 故y与x之间的函数关系式为． （2）解：∵一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数， ∴是二次函数； （3）解：∵x为矩形增加的长与宽， ∴自变量x的取值范围为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次函数 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.理解掌握二次函数的概念和一般形式. 2.会利用二次函数的概念解决问题. 3.会列二次函数表达式解决实际问题. 知识点 1 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的特征：1）函数关系式的左侧是因变量，右侧是含有自变量的是整式； 2）自变量的最高次数是2；3）二次项系数不能为0. 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）下列函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D．． 3．（23-24九年级上·广西河池·期中）若函数为二次函数，则实数 ． 4．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 知识点 2 二次函数的一般式 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的3种特殊形式：1)当b＝0时， 2)当c＝0时， 3)当b＝0且c＝0时， . 1．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）二次函数的一般式为 ． 2．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）把变成一般式，它的常数项为 ． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点 3 列二次函数 在实际问题中建立二次函数解析式的一般步骤： 1.审清题意,分清实际问题中的已知量(常量)和未知量(变量),并分析它们之间的关系，找出等量关系. 2.用含一个变量的代数式表示等量关系中的相关数量，从而写出用一个变量表示另一个变量的函数解析式 3.注意自变量的取值范围，在实际问题中，自变量的取值要符合实际意义， . 1．（24-25九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海奉贤·一模）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ． 4．（22-23九年级上·安徽阜阳·期中）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，那么与的函数表达式为 ． 考点一： 辨别二次函数 1．（24-25九年级上·上海普陀·期中）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·江苏·专题练习）下列函数关系式中： （1）（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）下列各式中，二次函数的个数是（　　） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025九年级下·全国·专题练习）下列函数中，哪些是关于的二次函数？ ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦． 考点二： 由二次函数的定义求字母的值 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 3．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）若函数是二次函数，则的值是 ． 4．（2025九年级下·全国·专题练习）已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 考点三： 由二次函数的定义求字母的取值范围 1．（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期中）已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（        ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知函数（m为常数）． (1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值． (2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围． 考点四： 二次函数的一般形式 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 2．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 3．（2025九年级下·全国·专题练习）下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二次项、一次项、常数项． ①； ②； ③； ④． 考点五： 求二次函数的值 1．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ． 2．（24-25九年级上·山东泰安·期中）一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（单位：米）与经过的时间（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间是 ． 3．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）把一个小球以的速度竖直向上弹出，它在空中的高度与时间满足关系：．当时，小球的运动时间为 ． 考点六： 判断函数关系 1．（21-22九年级上·北京石景山·期末）正方形的面积y与它的周长x满足的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 2．（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 3．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，正方形和的周长之和为（为常数），设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与x，S与满足的函数关系分别是（    ） A．二次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 4．（22-23九年级上·北京石景山·期末）如图，线段，点在线段上（不与点重合），以为边作正方形，设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别为（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 考点七： 列二次函数关系式(销售) 1．（22-23九年级上·浙江温州·期中）某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）某种品牌的服装进价为每件元，当售价为每件元时，每天可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价元，每天可多卖出件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价元，每天售出服装的利润为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 考点八： 列二次函数关系式(几何图形) 1．（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）在半径为的圆中，挖去一个半径为的圆面，剩下的圆环的面积为，则y与x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·福建莆田·期中）一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 ． 考点九： 列二次函数关系式(变化率) 1．（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ． 2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 考点十： 列二次函数关系式(循环问题) 1．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张纪念卡，则全班送贺卡共1892张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式 ，它 (填“是”或“不是”)二次函数． 1．（2025·上海·模拟预测）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海徐汇·一模）二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 4．（24-25九年级上·新疆巴音郭楞·期末）二次函数的常数项是（    ） A． B．3 C．5 D．6 5．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围为 ． 7．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． （1）若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 8．（2025九年级下·全国·专题练习）下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数，一次项系数和常数项． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 9．（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的函数． (1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式； (2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式； 10．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 11．（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)这个函数是二次函数吗？为什么？ (3)求自变量的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$