专题16 尺规作图（5大基本题型） 期末专项训练 2024～2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题16】尺规作图（5大基本题型） 【核心知识点总结】 1. 作平行线 （1） 原理：利用同位角相等或内错角相等的性质构造平行线 （2） 步骤： a. 以已知点为顶点作一个角等于已知角（同位角/内错角） b. 延长角的另一侧边即为所求平行线 （3） 示例：过直线外一点A作已知直线的平行线。 在直线上任取一点B，连接；以点B为圆心，任意半径画弧，分别交于直线于点；以点B为圆心，同等半径画弧，交于直线于点F；以点F为圆心，半径画弧，交前一步骤所画圆弧于点E；连接；直线就是所求直线. 2. 根据已知条件作三角形 （1） SSS：已知三边，直接作三条线段首尾相连 示例：已知线段，用尺规作，使. 作一条线段，；分别以点B，C为圆心，以c, b的长为半径作弧，两弧交于点A；连接，就是所要作的三角形。 （2） SAS：已知两边及夹角，先作角再截取边长 示例：已知线段，，用尺规作，使. 作一条线段，；以点B为顶点，以为一边，作；在射线上截取线段；连接；就是所要作的三角形。 （3） ASA：已知两角及夹边，先作边再作角 示例：已知，线段c，用尺规作，使. 作；在射线上截取线段；以B为顶点，以为一边，作，交于点C；就是所要作的三角形。 （4） 特殊三角形：如等腰三角形需利用对称性，直角三角形需结合垂直平分线。 3. 作已知角的角平分线 （1） 步骤： a. 以角顶点为圆心画弧交两边于两点 b. 分别以这两点为圆心画等半径弧交于一点 c. 连接顶点与交点即为角平分线 （2） 关键：半径需大于边长的一半以确保弧相交 （3） 示例：作的角平分线 a. 如图，已知，在和上分别截取，使得（即以点O为圆心，以任意半径画弧，交的两边分别为点）； b. 分别以点M和点N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点C； c. 作射线； 射线就是的平分线 4. 作三角形的高与线段的垂直平分线 （1） 作高： a. 以底边两端点为圆心画弧交于两点 b. 连接交点与顶点即为高线 c. 示例：如图，已知三角形，过点A作的高。 以点A为圆心，以大于在边上高的长为半径作弧，两弧相较于点D和E。以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相较于点F和G，作直线，交线段于点O，则延长必定过点A。线段则为在边上高。 （2） 垂直平分线： a. 分别以线段两端点为圆心画等半径弧交于两点 b. 过交点作直线即为垂直平分线 c. 示例：如图，已知线段，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相较于点C和D，作直线。直线（即直线l）就是线段的垂直平分线，若点E为直线l上任意一点，则且. 5. 综合作图求交点 常见类型：如三角形重心（三边中线交点）、垂心（三高交点）等，需结合基本作图法分步完成 【技巧总结】 1. 分步拆解复杂问题：作平行线时，先构造等角再延长线段；作三角形时先确定关键点（如顶点）再连线 2. 利用几何性质简化步骤：作垂直平分线时利用对称性，作角平分线时结合弧交点的轨迹特性 3. 轨迹交点法的应用：在综合作图中，明确所求点的轨迹（如垂直平分线、角平分线），通过交点确定最终位置 4. 保留作图痕迹：所有辅助弧线需清晰保留，便于验证逻辑严谨性 5. 验证与反推：完成作图后，通过测量角度或长度验证是否符合条件，或用几何定理反向推导（如全等三角形） 【易错点】 1. 工具使用不规范 （1） 直尺误用刻度测量，圆规未调整半径导致弧不相交 （2） 纠正：明确直尺仅用于连线，圆规半径需大于线段一半 2. 步骤遗漏或顺序错误 （1） 如作角平分线时未先确定弧交点直接连线，导致平分不准确 （2） 纠正：严格按“画弧→取点→连线”顺序操作 3. 几何条件理解偏差 （1） 例如将“作线段垂直平分线”误认为只需找中点 （2） 纠正：垂直平分线需满足两点到线段两端距离相等 4. 复杂问题逻辑混乱 （1） 如综合作图中未明确分步目标，导致轨迹不清晰 （2） 纠正：先分析题目条件，拆解为基本作图任务（如先作角再连线） 5. 忽略对称性与比例 （1） 如作等腰三角形时未利用对称轴，导致边长不等 （2） 纠正：利用垂直平分线或角平分线作为对称轴 【例1】作平行线 【典例】如图，点是的边上一点，请用尺规作图法，过点作射线的平行线．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】在“三角形”的学习中，小明进一步认识到“三角形三个内角的和等于”．基于课堂中“撕角”及“拼角”的活动经验，小明形成了以下证明思路：过点作的平行线，进而利用平行线的相关知识完成证明．请根据小明的思路完成下列的作图与填空． （1）尺规作图：过点作直线，使； （2）证明：由作图，知， ∴① ．（两直线平行，内错角相等） ．（② ） 即③ ． ∴．（④ ） 【变式2】如图，在三角形中，是角平分线，点是上一点． (1)请用直尺和三角尺过点作的平行线，交于点； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【变式3】小明在学习《相交线与平行线》的过程中，遇到如图的一个图形，其中，，现要求自己添加一些线条，并探究其产生的几何结论．下列是小明的操作和猜想，请按照他的思路作图并填空． (1)用无刻度的直尺和圆规作交的延长线于点，使得； (2)求证：． 证明：因为， 所以， 即 ． 因为， 所以（ ）． 所以 （ ）． 又因为， 所以 ． 所以（ ）． 【例2】根据已知条件作三角形 【典例】如图，在如图1中已知，，线段m，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，与的另一边交于点C．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知：如图1，线段，尺规作图找到线段的中点M． 小明同学设计了如下作法． 作法：①在线段的下方任取点C，连接，分别以点A、B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D（点C与点D位于两侧）； ②连接，则与的交点M即为所求．      根据题意，在图2中补全图形（尺规作图，保留作图痕迹）； 【变式2】尺规作图 (1)作图题：已知：线段a、c和（如图），利用直尺和圆规作，使．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：如图，四边形． 求作：点，使点在四边形内部，，并且点到两边的距离相等． 【变式3】根据下列要求画图，并回答问题： (1)画图：（不要求写作法，保留作图痕迹，并要写结论） ①画，使，，； ②分别画出边、上的高、； (2)在（1）的图形中，如果，那么___________．（用含、的代数式表示） 【例3】作已知角的角平分线 【典例】如图，中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知中，． 尺规作图：作的平分线交于点D；（不写作法，保留作图痕迹） 【变式2】尺规作图：如图，已知，请作出它的对称轴（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 【变式3】如图，已知，，，请用尺规作图法，在外求作一点值，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【例4】作三角形的高与线段的垂直平分线 【典例】如图，已知中． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交边，于点D，E（不写作法、保留作图痕迹并标明字母）； (2)连接，若，的周长是18，求的周长． 【变式1】如图，在中，请用尺规作图法，在内求作一点，使得点到，两点的距离相等，且点到边，的距离也相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式2】如图，，，． (1)尺规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：． 【变式3】数学课上，老师布置如下任务：如图，在中，平分交于点． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） (2)求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：∵ ， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ， ∴ （ ） ∴在和△BFO中， ∴． ∴ ∴． 【例5】根据题目条件综合作图求交点 【典例】如图，从点A到射线上一点M，再从M到射线上一点N，最后从点N到点B，找到最短时M、N点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】如图，O和为两条相交的公路，，是两个居民区，快递公司要在居民区旁边修建一个快递中转站，为了使邮寄和取送方便，要使中转站到两条公路的距离相等，并且到两居民区的距离也相等，请你用尺规作出中转站所在的位置（保留作图痕迹）． 【变式2】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 【变式3】如图，是平面内三点． （1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深． ①作射线，过点作直线，使两点在直线两旁； ②过点作直线的垂线段，垂足为； ③点为直线上任意一点，点为射线上任意一点，连结线段． （2）在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到射线的距离为5，点、之间的距离为8，点之间的距离为6，则的最小值为__________，依据是___________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题16】尺规作图（5大基本题型） 【核心知识点总结】 1. 作平行线 （1） 原理：利用同位角相等或内错角相等的性质构造平行线 （2） 步骤： a. 以已知点为顶点作一个角等于已知角（同位角/内错角） b. 延长角的另一侧边即为所求平行线 （3） 示例：过直线外一点A作已知直线的平行线。 在直线上任取一点B，连接；以点B为圆心，任意半径画弧，分别交于直线于点；以点B为圆心，同等半径画弧，交于直线于点F；以点F为圆心，半径画弧，交前一步骤所画圆弧于点E；连接；直线就是所求直线. 2. 根据已知条件作三角形 （1） SSS：已知三边，直接作三条线段首尾相连 示例：已知线段，用尺规作，使. 作一条线段，；分别以点B，C为圆心，以c, b的长为半径作弧，两弧交于点A；连接，就是所要作的三角形。 （2） SAS：已知两边及夹角，先作角再截取边长 示例：已知线段，，用尺规作，使. 作一条线段，；以点B为顶点，以为一边，作；在射线上截取线段；连接；就是所要作的三角形。 （3） ASA：已知两角及夹边，先作边再作角 示例：已知，线段c，用尺规作，使. 作；在射线上截取线段；以B为顶点，以为一边，作，交于点C；就是所要作的三角形。 （4） 特殊三角形：如等腰三角形需利用对称性，直角三角形需结合垂直平分线。 3. 作已知角的角平分线 （1） 步骤： a. 以角顶点为圆心画弧交两边于两点 b. 分别以这两点为圆心画等半径弧交于一点 c. 连接顶点与交点即为角平分线 （2） 关键：半径需大于边长的一半以确保弧相交 （3） 示例：作的角平分线 a. 如图，已知，在和上分别截取，使得（即以点O为圆心，以任意半径画弧，交的两边分别为点）； b. 分别以点M和点N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点C； c. 作射线； 射线就是的平分线 4. 作三角形的高与线段的垂直平分线 （1） 作高： a. 以底边两端点为圆心画弧交于两点 b. 连接交点与顶点即为高线 c. 示例：如图，已知三角形，过点A作的高。 以点A为圆心，以大于在边上高的长为半径作弧，两弧相较于点D和E。以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相较于点F和G，作直线，交线段于点O，则延长必定过点A。线段则为在边上高。 （2） 垂直平分线： a. 分别以线段两端点为圆心画等半径弧交于两点 b. 过交点作直线即为垂直平分线 c. 示例：如图，已知线段，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相较于点C和D，作直线。直线（即直线l）就是线段的垂直平分线，若点E为直线l上任意一点，则且. 5. 综合作图求交点 常见类型：如三角形重心（三边中线交点）、垂心（三高交点）等，需结合基本作图法分步完成 【技巧总结】 1. 分步拆解复杂问题：作平行线时，先构造等角再延长线段；作三角形时先确定关键点（如顶点）再连线 2. 利用几何性质简化步骤：作垂直平分线时利用对称性，作角平分线时结合弧交点的轨迹特性 3. 轨迹交点法的应用：在综合作图中，明确所求点的轨迹（如垂直平分线、角平分线），通过交点确定最终位置 4. 保留作图痕迹：所有辅助弧线需清晰保留，便于验证逻辑严谨性 5. 验证与反推：完成作图后，通过测量角度或长度验证是否符合条件，或用几何定理反向推导（如全等三角形） 【易错点】 1. 工具使用不规范 （1） 直尺误用刻度测量，圆规未调整半径导致弧不相交 （2） 纠正：明确直尺仅用于连线，圆规半径需大于线段一半 2. 步骤遗漏或顺序错误 （1） 如作角平分线时未先确定弧交点直接连线，导致平分不准确 （2） 纠正：严格按“画弧→取点→连线”顺序操作 3. 几何条件理解偏差 （1） 例如将“作线段垂直平分线”误认为只需找中点 （2） 纠正：垂直平分线需满足两点到线段两端距离相等 4. 复杂问题逻辑混乱 （1） 如综合作图中未明确分步目标，导致轨迹不清晰 （2） 纠正：先分析题目条件，拆解为基本作图任务（如先作角再连线） 5. 忽略对称性与比例 （1） 如作等腰三角形时未利用对称轴，导致边长不等 （2） 纠正：利用垂直平分线或角平分线作为对称轴 【例1】作平行线 【典例】如图，点是的边上一点，请用尺规作图法，过点作射线的平行线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的判定，作，则． 【详解】解：如下图：即为所求： 【变式1】在“三角形”的学习中，小明进一步认识到“三角形三个内角的和等于”．基于课堂中“撕角”及“拼角”的活动经验，小明形成了以下证明思路：过点作的平行线，进而利用平行线的相关知识完成证明．请根据小明的思路完成下列的作图与填空． （1）尺规作图：过点作直线，使； （2）证明：由作图，知， ∴① ．（两直线平行，内错角相等） ．（② ） 即③ ． ∴．（④ ） 【答案】（1）见解析；（2）①；②两直线平行，同旁内角互补；③；④等量代换 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，尺规作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）延长，以点C为顶点，为角的一条边，作即可； （2）根据平行线的性质得出，，即，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的直线； （2）证明：由作图，知， ∴．（两直线平行，内错角相等） ．（两直线平行，同旁内角互补） 即． ∴．（等量代换） 【变式2】如图，在三角形中，是角平分线，点是上一点． (1)请用直尺和三角尺过点作的平行线，交于点； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画平行线，角平分线的定义，以及平行线的性质； （1）根据题意用直尺和三角尺过点作的平行线，交于点； （2）利用角平分线的定义得出，根据平行线的性质可得，求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：平分， ， ， ， ． 【变式3】小明在学习《相交线与平行线》的过程中，遇到如图的一个图形，其中，，现要求自己添加一些线条，并探究其产生的几何结论．下列是小明的操作和猜想，请按照他的思路作图并填空． (1)用无刻度的直尺和圆规作交的延长线于点，使得； (2)求证：． 证明：因为， 所以， 即 ． 因为， 所以（ ）． 所以 （ ）． 又因为， 所以 ． 所以（ ）． 【答案】(1)见解析 (2)；两直线平行，内错角相等；；等量代换；；同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了尺规作图，平行线的判定和性质，三角形内角和，解题的关键是充分利用已知条件，熟练运用平行线的判定和性质定理． （1）根据作一个角等于已知角的作法，作即可； （2）根据平行线的性质得到，等量代换得到，利用等式的性质得到，利用三角形内角和得到，从而判定结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：因为， 所以， 即． 因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以． 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；等量代换；；同位角相等，两直线平行． 【例2】根据已知条件作三角形 【典例】如图，在如图1中已知，，线段m，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，与的另一边交于点C．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：∵，， ∴这样作图的依据是， 故选：C． 【变式1】已知：如图1，线段，尺规作图找到线段的中点M． 小明同学设计了如下作法． 作法：①在线段的下方任取点C，连接，分别以点A、B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D（点C与点D位于两侧）； ②连接，则与的交点M即为所求．      根据题意，在图2中补全图形（尺规作图，保留作图痕迹）； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．根据作法直接画图即可． 【详解】（1）解：如图2所示． 【变式2】尺规作图 (1)作图题：已知：线段a、c和（如图），利用直尺和圆规作，使．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：如图，四边形． 求作：点，使点在四边形内部，，并且点到两边的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作三角形，尺规作线段的垂直平分线，尺规作角平分线， 对于（1），先作射线，截取，再作，然后截取，连接，则即为所求作的三角形； 对于（2），作线段的垂直平分线，再作的平分线，可知，点P到的两边的距离相等，则点P就是所求作的点． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：如图所示，点P就是所求作的点． 【变式3】根据下列要求画图，并回答问题： (1)画图：（不要求写作法，保留作图痕迹，并要写结论） ①画，使，，； ②分别画出边、上的高、； (2)在（1）的图形中，如果，那么___________．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作三角形、作垂线，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①先作射线，再在射线上截取，再以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接、，则即为所求；②以为圆心，为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线交于，这高，同理可得高； （2）由等面积法计算即可得解． 【详解】（1）解：①如图：即为所求， ②如图：边、上的高、即为所求， （2）解：∵，，，， ∴． 【例3】作已知角的角平分线 【典例】如图，中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，掌握基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质等知识点是解答本题的关键． 由直角三角形两锐角互余可求出，由作图可得，由三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：，， ， 由作图知，平分， ， 又， ， 故选：B． 【变式1】如图，已知中，． 尺规作图：作的平分线交于点D；（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示； 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及其尺规作图． 根据角平分线的尺规作图方法作图即可； 【详解】解：如图所示，即为所求 【变式2】尺规作图：如图，已知，请作出它的对称轴（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图-作角平分线，轴对称的定义．作直线平分，则直线为的对称轴． 【详解】解：的对称轴如图所示， 【变式3】如图，已知，，，请用尺规作图法，在外求作一点值，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，一条线段等于已知线段，角平分线定义，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 作平分线，在上截取，由，，则，所以，，由作图可知，平分，故有，所以． 【详解】解：如图，作平分线，在上截取， 理由：∵，， ∴， ∴，， 由作图可知，平分， ∴， ∴， ∴即为所求． 【例4】作三角形的高与线段的垂直平分线 【典例】如图，已知中． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交边，于点D，E（不写作法、保留作图痕迹并标明字母）； (2)连接，若，的周长是18，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由题意得，由线段垂直平分线的性质可得，则可得的周长为． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：连接， ∵的周长是18， ∴， ∴， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 【变式1】如图，在中，请用尺规作图法，在内求作一点，使得点到，两点的距离相等，且点到边，的距离也相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线，作的平分线，交于点M，点M即为所求． 【详解】解：如图所示，点M即为所求． ∵是线段的垂直平分线 ∴， ∵是的平分线， ∴点到边，的距离相等． 【点睛】本题考查尺规基本作图作角平分线 、作线段的垂直平分线，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关基本知识，属于中考常考题型． 【变式2】如图，，，． (1)尺规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了基本尺规作图——过直线外一点作线段的垂线，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． （1）利用基本的尺规作图步骤进行作图即可； （2）根据角角边即可证明两直角三角形全等，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：尺规作图如下： （2）证明：，， ， ， ，， ， 在和中， ， ． 【变式3】数学课上，老师布置如下任务：如图，在中，平分交于点． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） (2)求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：∵ ， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ， ∴ （ ） ∴在和△BFO中， ∴． ∴ ∴． 【答案】(1)见解析 (2)平分；；；平角的定义 【分析】本题考查了基本作图——作垂直平分线，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟记全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）证明得出，进而即可得到结论 【详解】（1）解：所求图形，如图所示： （2）证明：∵平分， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴（平角的定义） ∴在和中， ∴． ∴ ∴． 【例5】根据题目条件综合作图求交点 【典例】如图，从点A到射线上一点M，再从M到射线上一点N，最后从点N到点B，找到最短时M、N点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质，对称轴是对应点连线的垂直平分线以及根据两点之间线段最短，可知最短． 【详解】解：如图，M、N即为所求， 【变式1】如图，O和为两条相交的公路，，是两个居民区，快递公司要在居民区旁边修建一个快递中转站，为了使邮寄和取送方便，要使中转站到两条公路的距离相等，并且到两居民区的距离也相等，请你用尺规作出中转站所在的位置（保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作角平分线和线段垂直平分线，角平分线和线段垂直平分线的性质，根据题意作的角平分线与的垂直平分线交于点，则点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求 【变式2】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的判定，线段的垂直平分线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，作线段的垂直平分线交的角平分线于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． 【变式3】如图，是平面内三点． （1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深． ①作射线，过点作直线，使两点在直线两旁； ②过点作直线的垂线段，垂足为； ③点为直线上任意一点，点为射线上任意一点，连结线段． （2）在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到射线的距离为5，点、之间的距离为8，点之间的距离为6，则的最小值为__________，依据是___________． 【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）5，垂线段最短 【分析】（1）①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁即可； ②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求； ③点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ即可： （2）根据垂线段最短，即可求出AP+PQ的最小值． 【详解】解：如图所示， （1）①射线BC，直线l即为所求； ②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求； ③点P、Q、线段AP、PQ即为所求； （2）根据作图可知： 过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，与直线相交与点P， ∴AP+PQ的最小值即为点A到直线BC的距离为：AQ=5． 依据为：垂线段最短． 故答案为：5，垂线段最短． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，直线，射线，线段的定义，正确的作出图形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$