题型五 最值问题 2025年 中考数学复习课件（河南专版）

题型五 最值问题 1 类型1 两点之间，线段最短（含将军饮马模型） （第1题） 1.如图,在平面直角坐标系中,已知,,过点 作轴的垂线,为直线上一动点,连接,,则 的最小值为___. 2025河南中考专题 2 【解析】如图，作点关于直线的对称点 ，连 接，，则 ， ， 当点,, 共线时， 的值最小（关键点：分析出点 的位置在 线段上），最小值为的长.易知 ， ，故 的最小值为5. . . . . 2025河南中考专题 3 2.如图，在中，，，,分别是边， 上的动点， 且.当的值最小时， 的长度为__. （第2题） 2025河南中考专题 4 【解析】如图（1），延长至点，使 ，连接 ，.又， ， ，，， 当点 ， ,共线时，的值最小，如图（2），易证 ， ， ． 图（1） 图（2） 2025河南中考专题 5 （第3题） 3.如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限， 且其横坐标为2,直线与轴交于点 ， 且经过点，点为的中点,点为 轴上一动 点，连接，，当的值最小时，点 的坐标为________. 2025河南中考专题 6 （第3题） 【解析】根据题意易得，为 的中 点，.如图，作点关于轴的对称点 ，连接 ，直线与轴的交点就是的值最小时点 的位置（关键点）.易得.设直线 的表达式为 ,将， 分别代入，得 解得 直线 的表达式为 .当时，， . . . . . 2025河南中考专题 7 （第4题） 4.如图，在矩形中，， .按如下步骤 画图：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点 ; ②分别以点,为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧 交于点,；③作直线.若点为直线 上一动点， 则阴影部分周长的最小值是______. 2025河南中考专题 8 （第4题） 【解析】连接,则, , , , 的长为 .由尺规作图可知垂直平分线段 , .易知当点为与 的交点时，阴影部分 的周长最小，如图，此时 ,故阴影部 分周长的最小值为 . 2025河南中考专题 9 5.新考法 “将军饮马”和点圆模型的综合如图，在矩形中， ， ，点为平面内一点，且，点为 上一个动点，则 的最小值为____. （第5题） 2025河南中考专题 10 【解析】如图（1），作点关于的对称点，连接，则 , ， 点在以点为圆心，2为半径的圆上.当点 , ,，共线，且点在点，之间时，的值最小，即 的值最小，如图（2），此时 ， ,故 的最小值为11. 图（1） 图（2） 2025河南中考专题 11 （第6题） 6.如图,在中， ， ， ，，是的平分线 上的两个动点，且 ，连接，,则 周长的最小值为________. 2025河南中考专题 12 【解析】如图（1），作点关于 的对称点，连接，则 . 过点作 ，且使 ，连接， ,则四边 形是平行四边形，， ， 当点，，共线时，的值最小，最小值为 的长，如图（2） 所示，易知， ， 是等边三角形， .易知 ， ,周长的最小值为 . 2025河南中考专题 13 类型2 两点之间距离的最大值问题 （第7题） 7.如图,在中,,,以 为边作 ,,点与点在的两侧,则 的 最大值为( ) D A. B. C.5 D.8 2025河南中考专题 14 （第7题） 【解析】如图，将绕点B顺时针旋转 ，得到 ，连接，，则 ， ， ， ， ， （点拨：“手拉手”模型），， 当 A，D，三点共线时，有最大值，的最大值 .故选D． 2025河南中考专题 15 （第8题） 8.如图,在平面直角坐标系中,边长为4的菱形 的顶 点,分别在轴的正半轴和 轴的正半轴上,且 ,当在轴的正半轴上运动时,点随之在 轴的正半轴上运动,菱形 的形状保持不变,则在运动 过程中,点到点 的距离的最大值是( ) B A. B. C. D. 2025河南中考专题 16 （第8题） 【解析】如图，取的中点，连接， ,则 .过点D作,交 的延长线 于点，则 ， ， ， ， .， 的长度不变， 当点D,,共线时，点 ，D之间的距离最大，最大为 . 2025河南中考专题 17 （第9题） 9.新课标 数学文化如图所示的图形是我国汉代赵爽在 注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”, 它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的. 在正方形中,,, 的长度不定.将 绕点逆时针旋转 得到,则 的最 大值为_________. 2025河南中考专题 18 （第9题） 【解析】如图，由旋转的性质得 ，取的中点，连接 , ，则（提示：当,, 三点共线 时取等号，此时的长度最大，为 的值）. 易得 ， ， ， 故的最大值为 . . . 2025河南中考专题 19 类型3 垂线段最短（含胡不归模型） （第10题） 10.如图，在中， ， . 以点为圆心，为半径作半圆交边于点，点 为边上一动点，过点作半圆的切线，切点为 ， 当的长最小时， 的长为_ ____． 2025河南中考专题 20 （第10题） 【解析】如图，连接是半圆 的切线， .连接 ，由勾股定理可得 ，故当的长最小时， 的长最小. 当时，的长最小.由 ， ，易得 ， .在 中，， ， ， . 2025河南中考专题 21 11.如图，点在等边三角形的边上运动（不与点，重合），点 为的中点，在右侧作等边三角形，连接.若，则 的 最小值为____. （第11题） 2025河南中考专题 22 【解析】如图（1），连接，与 均为等边三角形， ，， ， ， ， ， 当时， 的长 度最小，如图（2）所示，则 . 图（1） 图（2） 2025河南中考专题 23 12.如图,在中,, ,点为边上一动点,则 的最小值为_____. （第12题） 2025河南中考专题 24 【解析】作 ，过点作于点 ，如图（1），则 ,,故当点,,共线时， 的值 最小，最小值为的长，如图（2）所示，易知 ， ，即的最小值为 . 2025河南中考专题 25 13.如图，在中， ，，，点， 分别 在，边上，连接，将沿翻折，使点落在点 的位置， 且四边形 是菱形． （第13题） 2025河南中考专题 26 （1）若点在上，则菱形 的边长为___； （第13题） 2025河南中考专题 27 【解析】如图（1），在中，，， ．设 菱形的边长为，则 四边形 是菱形， ，，，，解得， 菱 形的边长为 ． 图（1） 2025河南中考专题 28 （2）连接，则 的长的最小值为_____． （第13题） 2025河南中考专题 29 【解析】如图（2），连接 四边形是菱形，平分， 点在的平分线上运动， 当时， 的长最小（点拨：垂 线段最短），如图（3）所示.设与的交点为，与的交点为 ， 则点是的中点，. . . 图（2） 图（3） 2025河南中考专题 30 易证 ， ， 点是的中点， ， ．又，，是 的中位线， ，， ， ． 2025河南中考专题 31 一题多解 对于第（2）问，找到最短时点 的位置后，也可用以 下方法求得的长：如图，设与的交点为 ，过点 作于点，则， ， ，.设 ，则 .在 中，由勾股定理可得 ，解得，， ， .易证， , . 2025河南中考专题 32 $$